（浙江專(zhuān)版）2018年高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線(xiàn)與方程 2.2 橢圓學(xué)案 新人教A版選修2-1.doc

2.2221橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程預(yù)習(xí)課本p3842，思考并完成以下問(wèn)題1平面內(nèi)滿(mǎn)足什么條件的點(diǎn)的軌跡為橢圓？橢圓的焦點(diǎn)、焦距分別是什么？2橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？1橢圓的定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)f1，f2的距離的和等于常數(shù)(大于|f1f2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距點(diǎn)睛定義中的條件2a|f1f2|0不能少，這是根據(jù)三角形中的兩邊之和大于第三邊得出來(lái)的否則：當(dāng)2a|f1f2|時(shí)，其軌跡為線(xiàn)段f1f2；當(dāng)2ab0)1(ab0)焦點(diǎn)坐標(biāo)(c,0)，(c,0)(0，c)，(0，c)a，b，c的關(guān)系c2a2b21判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡為橢圓()(2)已知橢圓的焦點(diǎn)是f1，f2，p是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)f1p到q，使得|pq|pf2|，則動(dòng)點(diǎn)q的軌跡為圓()(3)方程1(a0，b0)表示的曲線(xiàn)是橢圓()答案：(1)(2)(3)2若橢圓1的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，則實(shí)數(shù)m的值為()a1b2c4 d6答案：c3橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是_答案：(0，12)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程典例求滿(mǎn)足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(4,0)和(4,0)，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,0)；(2)焦點(diǎn)在y軸上，且經(jīng)過(guò)兩個(gè)點(diǎn)(0,2)和(1,0)解(1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)將點(diǎn)(5,0)代入上式解得a5，又c4，所以b2a2c225169故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(2)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,2)和(1,0)，所以故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21確定橢圓的方程包括“定位”和“定量”兩個(gè)方面(1)“定位”是指確定與坐標(biāo)系的相對(duì)位置，在中心為原點(diǎn)的前提下，確定焦點(diǎn)位于哪條坐標(biāo)軸上，以判斷方程的形式；(2)“定量”是指確定a2，b2的具體數(shù)值，常根據(jù)條件列方程求解活學(xué)活用求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(2，)，；(2)過(guò)點(diǎn)(，)，且與橢圓1有相同的焦點(diǎn)解：法一：(分類(lèi)討論法)若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由已知條件得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由已知條件得解得則a2b0矛盾，舍去綜上，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1法二：(待定系數(shù)法)設(shè)橢圓的一般方程為ax2by21(a0，b0，ab)將兩點(diǎn)(2，)，代入，得解得所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(2)因?yàn)樗髾E圓與橢圓1的焦點(diǎn)相同，所以其焦點(diǎn)在y軸上，且c225916設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)因?yàn)閏216，且c2a2b2，故a2b216又點(diǎn)(，)在橢圓上，所以1，即1由得b24，a220，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1橢圓的定義及其應(yīng)用典例如圖所示，已知橢圓的方程為1，若點(diǎn)p在第二象限，且pf1f2120，求pf1f2的面積解由已知得a2，b，所以c1，|f1f2|2c2在pf1f2中，由余弦定理，得|pf2|2|pf1|2|f1f2|22|pf1|f1f2|cos 120，即|pf2|2|pf1|242|pf1|由橢圓定義，得|pf1|pf2|4，即|pf2|4|pf1|將代入解得|pf1|所以spf1f2|pf1|f1f2|sin 1202，即pf1f2的面積是(1)橢圓定義的應(yīng)用中，要實(shí)現(xiàn)兩個(gè)焦點(diǎn)半徑之間的相互轉(zhuǎn)化，將兩個(gè)焦半徑之和看作個(gè)整體(2)涉及焦點(diǎn)三角形面積時(shí)，可把|pf1|，|pf2|看作一個(gè)整體，運(yùn)用|pf1|2|pf2|2(|pf1|pf2|)22|pf1|pf2|及余弦定理求出|pf1|pf2|，而無(wú)需單獨(dú)求解活學(xué)活用設(shè)f1，f2是橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn)，p是橢圓上一點(diǎn)，且|pf1|pf2|2則pf1f2是()a鈍角三角形b直角三角形c銳角三角形 d等腰直角三角形解析：選b由橢圓的定義得|pf1|pf2|8又|pf1|pf2|2，|pf1|5，|pf2|3，又|f1f2|2c4，故pf1f2為直角三角形與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題典例(1)已知p是橢圓1上一動(dòng)點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，則線(xiàn)段op中點(diǎn)q的軌跡方程為_(kāi)(2)已知圓m：(x1)2y21，圓n：(x1)2y29，動(dòng)圓p與圓m外切并且與圓n內(nèi)切，圓心p的軌跡為曲線(xiàn)c求c的方程解析(1)設(shè)p(xp，yp)，q(x，y)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得所以又點(diǎn)p在橢圓1上，所以1，即x21答案：x21(2)解：由已知得圓m的圓心為m(1,0)，半徑r11；圓n的圓心為n(1,0)，半徑r23設(shè)圓p的圓心為p(x，y)，半徑為r動(dòng)圓p與圓m外切并且與圓n內(nèi)切，所以|pm|pn|(rr1)(r2r)r1r24由橢圓定義可知，曲線(xiàn)c是以m，n為左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為2，短半軸長(zhǎng)為的橢圓(左頂點(diǎn)除外)，其方程為1(x2)解決與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的兩種方法(1)定義法：用定義法求橢圓方程的思路是：先觀(guān)察、分析已知條件，看所求動(dòng)點(diǎn)軌跡是否符合橢圓的定義若符合橢圓的定義，則用待定系數(shù)法求解即可(2)相關(guān)點(diǎn)法：有些問(wèn)題中的動(dòng)點(diǎn)軌跡是由另一動(dòng)點(diǎn)按照某種規(guī)律運(yùn)動(dòng)而形成的，只要把所求動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)“轉(zhuǎn)移”到另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中所遵循的條件中去，即可解決問(wèn)題，這種方法稱(chēng)為相關(guān)點(diǎn)法活學(xué)活用求過(guò)點(diǎn)p(3,0)且與圓x26xy2910相內(nèi)切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程解：圓方程配方整理得(x3)2y2102，圓心為c1(3，0)，半徑為r10設(shè)所求動(dòng)圓圓心為c(x，y)，半徑為r，依題意有消去r得r|pc|cc1|pc|cc1|r，即|pc|cc1|10又p(3,0)，c1(3,0)，且|pc1|60，常數(shù))；命題乙：p點(diǎn)軌跡是橢圓則命題甲是命題乙的()a充分不必要條件 b必要不充分條件c充分且必要條件 d既不充分又不必要條件解析：選b利用橢圓定義若p點(diǎn)軌跡是橢圓，則|pa|pb|2a(a0，常數(shù))，甲是乙的必要條件反過(guò)來(lái)，若|pa|pb|2a(a0，常數(shù))是不能推出p點(diǎn)軌跡是橢圓的這是因?yàn)椋簝H當(dāng)2a|ab|時(shí)，p點(diǎn)軌跡才是橢圓；而當(dāng)2a|ab|時(shí)，p點(diǎn)軌跡是線(xiàn)段ab；當(dāng)2ab”是“方程1表示橢圓”的()a充分而不必要條件 b必要而不充分條件c充要條件 d既不充分條件又不必要條件解析：選a若ab，則a2b2，方程1表示橢圓，是充分條件，若方程1表示橢圓，得不到ab，不是必要條件5已知p為橢圓c上一點(diǎn)，f1，f2為橢圓的焦點(diǎn)，且|f1f2|2，若|pf1|與|pf2|的等差中項(xiàng)為|f1f2|，則橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為()a1b1或1c1d1或1解析：選b由已知2c|f1f2|2，c2a|pf1|pf2|2|f1f2|4，a2b2a2c29故橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程是1或16橢圓1的焦距是2，則m的值是_解析：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，a2m，b24，c2m4，又2c2，c1m41，m5當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，a24，b2m，c24m1，m3答案：3或57已知橢圓c經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(2,3)，且點(diǎn)f(2,0)為其右焦點(diǎn)，則橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)解析：法一：依題意，可設(shè)橢圓c的方程為1(ab0)，且可知左焦點(diǎn)為f(2,0)從而有解得又a2b2c2，所以b212，故橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為1法二：依題意，可設(shè)橢圓c的方程為1(ab0)，則解得b212或b23(舍去)，從而a216所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為1答案：18橢圓的兩焦點(diǎn)為f1(4,0)，f2(4,0)，點(diǎn)p在橢圓上，若pf1f2的面積最大為12，則橢圓方程為_(kāi)解析：如圖，當(dāng)p在y軸上時(shí)pf1f2的面積最大，8b12，b3又c4，a2b2c225橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1答案：19設(shè)f1，f2分別是橢圓c：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)設(shè)橢圓c上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)f1，f2的距離和等于4，寫(xiě)出橢圓c的方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)解：由點(diǎn)在橢圓上，得1，又2a4，所以橢圓c的方程為1，焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,0)，(1,0)10已知橢圓c與橢圓x237y237的焦點(diǎn)f1，f2相同，且橢圓c過(guò)點(diǎn)(1)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若pc，且f1pf2，求f1pf2的面積解：(1)因?yàn)闄E圓y21的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(6,0)，(6,0)所以設(shè)橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(a236)將點(diǎn)的坐標(biāo)代入整理得4a4463a26 3000，解得a2100或a2(舍去)，所以橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(2)因?yàn)閜為橢圓c上任一點(diǎn)，所以|pf1|pf2|2a20由(1)知c6，在pf1f2中，|f1f2|2c12，所以由余弦定理得：|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|pf2|cos ，即122|pf1|2|pf2|2|pf1|pf2|因?yàn)閨pf1|2|pf2|2(|pf1|pf2|)22|pf1|所以122(|pf1|pf2|)23|pf1|pf2|所以1222023|pf1|pf2|所以|pf1|pf2|spf1f2|pf1|pf2|sin 所以f1pf2的面積為層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1下列說(shuō)法中正確的是()a已知f1(4,0)，f2(4,0)，平面內(nèi)到f1，f2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是橢圓b已知f1(4,0)，f2(4,0)，平面內(nèi)到f1，f2兩點(diǎn)的距離之和等于6的點(diǎn)的軌跡是橢圓c平面內(nèi)到點(diǎn)f1(4,0)，f2(4,0)兩點(diǎn)的距離之和等于點(diǎn)m(5,3)到f1，f2的距離之和的點(diǎn)的軌跡是橢圓d平面內(nèi)到點(diǎn)f1(4,0)，f2(4,0)距離相等的點(diǎn)的軌跡是橢圓解析：選ca中，|f1f2|8，則平面內(nèi)到f1，f2兩點(diǎn)的距離之和等于8的點(diǎn)的軌跡是線(xiàn)段，所以a錯(cuò)誤；b中，到f1，f2兩點(diǎn)的距離之和等于6，小于|f1f2|，這樣的軌跡不存在，所以b錯(cuò)誤；c中，點(diǎn)m(5,3)到f1，f2兩點(diǎn)的距離之和為4|f1f2|8，則其軌跡是橢圓，所以c正確；d中，軌跡應(yīng)是線(xiàn)段f1f2的垂直平分線(xiàn)，所以d錯(cuò)誤故選c2橢圓1的焦點(diǎn)為f1，f2，p為橢圓上的一點(diǎn)，已知0，則f1pf2的面積為()a9b12c10 d8解析：選a0，pf1pf2|pf1|2|pf2|2|f1f2|2且|pf1|pf2|2a又a5，b3，c4，2，得2|pf1|pf2|36，|pf1|pf2|18，f1pf2的面積為s|pf1|pf2|93若，方程x2sin y2cos 1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則的取值范圍是()a bc d解析：選a易知sin 0，cos 0，方程x2sin y2cos 1可化為1因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以0，即sin cos 0又，所以b0)或1(ab0)，由已知條件得解得所以b2a2c212于是所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1法二：設(shè)所求的橢圓方程為1(ab0)或1(ab0)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為f1，f2由題意知2a|pf1|pf2|358，所以a4在方程1中，令xc，得|y|；在方程1中，令yc，得|x|依題意有3，得b212于是所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或18 如圖在圓c：(x1)2y225內(nèi)有一點(diǎn)a(1,0)q為圓c上一點(diǎn)，aq的垂直平分線(xiàn)與c，q的連線(xiàn)交于點(diǎn)m，求點(diǎn)m的軌跡方程解：如圖，連接ma由題意知點(diǎn)m在線(xiàn)段cq上，從而有|cq|mq|mc|又點(diǎn)m在aq的垂直平分線(xiàn)上，則|ma|mq|，故|ma|mc|cq|5又a(1,0)，c(1,0)，故點(diǎn)m的軌跡是以(1,0)，(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓，且2a5，故a，c1，b2a2c21故點(diǎn)m的軌跡方程為1222橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)第一課時(shí)橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)預(yù)習(xí)課本p4347，思考并完成以下問(wèn)題1橢圓有哪些幾何性質(zhì)？什么叫做橢圓的中心、頂點(diǎn)、長(zhǎng)軸與短軸？2什么是橢圓的離心率？隨著離心率的變化橢圓的形狀有何變化？橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程1(ab0)1(ab0)范圍axa且bybbxb且aya頂點(diǎn)a1(a,0)，a2(a,0)，b1(0，b)，b2(0，b)a1(0，a)，a2(0，a)，b1(b,0)，b2(b,0)軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b焦點(diǎn)f1(c,0)，f2(c,0)f1(0，c)，f2(0，c)焦距|f1f2|2c對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸x軸和y軸，對(duì)稱(chēng)中心(0,0)離心率e(0eb0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于a()(2)橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為ac()(3)橢圓的離心率e越小，橢圓越圓()答案：(1)(2)(3)2橢圓25x29y2225的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率依次是()a5,3，b10,6，c5,3， d10,6，答案：b3若橢圓y21的焦點(diǎn)在x軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則橢圓的離心率為()a bc d答案：a4若焦點(diǎn)在y軸上的橢圓1的離心率為，則m的值為_(kāi)答案：由標(biāo)準(zhǔn)方程研究幾何性質(zhì)典例求橢圓4x29y236的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、焦距、焦點(diǎn)坐標(biāo)、頂點(diǎn)坐標(biāo)和離心率解橢圓方程變形為1，a3，b2，c 橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和焦距分別為2a6,2c2，焦點(diǎn)坐標(biāo)為f1(，0)，f2(，0)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為a1(3,0)，a2(3,0)，b1(0，2)，b2(0,2)，離心率e求橢圓的性質(zhì)時(shí)，應(yīng)把橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，注意分清楚焦點(diǎn)的位置，這樣便于直觀(guān)地寫(xiě)出a，b的數(shù)值，進(jìn)而求出c，求出橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的長(zhǎng)、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐標(biāo)等幾何性質(zhì)活學(xué)活用已知橢圓c1：1，設(shè)橢圓c2與橢圓c1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)分別相等，且橢圓c2的焦點(diǎn)在y軸上(1)求橢圓c1的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；(2)寫(xiě)出橢圓c2的方程，并研究其性質(zhì)解：(1)由橢圓c1：1可得其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為10，短半軸長(zhǎng)為8，焦點(diǎn)坐標(biāo)(6,0)，(6,0)，離心率e；(2)橢圓c2：1，性質(zhì)：范圍：8x8，10y10；對(duì)稱(chēng)性：關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；頂點(diǎn)：長(zhǎng)軸端點(diǎn)(0,10)，(0，10)，短軸端點(diǎn)(8,0)，(8,0)；焦點(diǎn)：(0,6)，(0，6)；離心率：e利用幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程典例求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是10，離心率是；(2)在x軸上的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸兩個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)互相垂直，且焦距為6解(1)設(shè)橢圓的方程為1(ab0)或1(ab0)由已知得2a10，a5又e，c4b2a2c225169橢圓方程為1或1(2)依題意可設(shè)橢圓方程為1(ab0)如圖所示，a1fa2為一等腰直角三角形，of為斜邊a1a2的中線(xiàn)(高)，且|of|c，|a1a2|2b，則cb3，a2b2c218，故所求橢圓的方程為1(1)利用橢圓的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程通常采用待定系數(shù)法(2)根據(jù)已知條件求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的思路是“選標(biāo)準(zhǔn)，定參數(shù)”，即先明確焦點(diǎn)的位置或分類(lèi)討論一般步驟是：求出a2，b2的值；確定焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸；寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程活學(xué)活用求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的5倍，且過(guò)點(diǎn)a(5,0)(2)離心率e，焦距為12解：(1)若橢圓焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，由題意得解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21；若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，由題意，得解得故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1綜上所述，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21或1(2)由e，2c12，得a10，c6，則b2a2c264當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1；當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1綜上所述，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1或1求橢圓的離心率典例設(shè)橢圓c：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，p是c上的點(diǎn)，pf2f1f2，pf1f230，則c的離心率為()abc d解析法一：由題意可設(shè)|pf2|m，結(jié)合條件可知|pf1|2m，|f1f2|m，故離心率e法二：由pf2f1f2可知p點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，將xc代入橢圓方程可解得y，所以|pf2|又由pf1f230可得|f1f2|pf2|，故2c，變形可得(a2c2)2ac，等式兩邊同除以a2，得(1e2)2e，解得e或e(舍去)答案d一題多變1變條件若將本例中“pf2f1f2，pf1f230”改為“pf2f175，pf1f245”，求c的離心率解：在pf1f2中，pf1f245，pf2f175，f1pf260，設(shè)|pf1|m，|pf2|n，|f1f2|2c，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a，則在pf1f2中，有，e2變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)若將本例中“pf2f1f2，pf1f230”改為“c上存在點(diǎn)p，使f1pf2為鈍角”，求c的離心率的取值范圍解：由題意，知cb，c2b2又b2a2c2，c2a2c2，即2c2a2e2，e故c的離心率的取值范圍為求橢圓離心率及范圍的兩種方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解(2)方程法：若a，c的值不可求，則可根據(jù)條件建立a，b，c的關(guān)系式，借助于a2b2c2，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a，c的齊次方程或不等式，再將方程或不等式兩邊同除以a的最高次冪，得到關(guān)于e的方程或不等式，即可求得e的值或范圍 層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1橢圓以?xún)蓷l坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸，一個(gè)頂點(diǎn)是(0,13)，另一個(gè)頂點(diǎn)是(10,0)，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為()a(13,0)b(0，10)c(0，13) d(0，)解析：選d由題意知橢圓焦點(diǎn)在y軸上，且a13，b10，則c，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)2若橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正三角形，則該橢圓的離心率為()a bc d解析：選a依題意，bf1f2是正三角形，在rtobf2中，|of2|c，|bf2|a，of2b60，cos 60，即橢圓的離心率e，故選a3已知橢圓1與橢圓1有相同的長(zhǎng)軸，橢圓1的短軸長(zhǎng)與橢圓1的短軸長(zhǎng)相等，則()aa225，b216ba29，b225ca225，b29或a29，b225da225，b29解析：選d因?yàn)闄E圓1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦點(diǎn)在x軸上，橢圓1的短軸長(zhǎng)為6，所以a225，b294已知橢圓1(ab0)的左焦點(diǎn)為f，右頂點(diǎn)為a，點(diǎn)b在橢圓上，且bfx軸，直線(xiàn)ab交y軸于點(diǎn)p若2，則橢圓的離心率是()a bc d解析：選d2，|2|又pobf，即，e5橢圓mx2ny2mn0(mn0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()a(0，) b(，0)c(0，) d(，0)解析：選c化為標(biāo)準(zhǔn)方程是1，mn0，0n0)，橢圓過(guò)點(diǎn)p(5,4)，1解得a245橢圓方程為1答案：18設(shè)f1，f2分別為橢圓y21的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)a，b在橢圓上，若5，則點(diǎn)a的坐標(biāo)是_解析：設(shè)a(m，n)由5，得b又a，b均在橢圓上，所以有解得或所以點(diǎn)a的坐標(biāo)為(0,1)或(0，1)答案：(0,1)或(0，1)9在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓c的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)f1，f2在x軸上，離心率為，過(guò)點(diǎn)f1的直線(xiàn)l交橢圓c于a，b兩點(diǎn)，且abf2的周長(zhǎng)為16，求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程解：設(shè)橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)由e知，故，從而，由abf2的周長(zhǎng)為|ab|bf2|af2|af1|af2|bf1|bf2|4a16，得a4，b28故橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為110橢圓1(ab0)的右頂點(diǎn)是a(a,0)，其上存在一點(diǎn)p，使apo90，求橢圓離心率的取值范圍解：設(shè)p(x，y)，由apo90知，點(diǎn)p在以oa為直徑的圓上，圓的方程是2y22y2axx2又p點(diǎn)在橢圓上，故1把代入化簡(jiǎn)，得(a2b2)x2a3xa2b20，即(xa)(a2b2)xab20，xa，x0，x，又0xa，0a，即2b2a2由b2a2c2，得a2又0e1，e1層級(jí)二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1橢圓1與1(0kb0)，則c又2b2，即b1，所以a2b2c26，則所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x214(全國(guó)丙卷)已知o為坐標(biāo)原點(diǎn)，f是橢圓c：1(ab0)的左焦點(diǎn)，a，b分別為c的左、右頂點(diǎn)p為c上一點(diǎn)，且pfx軸過(guò)點(diǎn)a的直線(xiàn)l與線(xiàn)段pf交于點(diǎn)m，與y軸交于點(diǎn)e若直線(xiàn)bm經(jīng)過(guò)oe的中點(diǎn)，則c的離心率為()a bc d解析：選a如圖所示，由題意得a(a,0)，b(a,0)，f(c,0)設(shè)e(0，m)，由pfoe，得，則|mf|又由oemf，得，則|mf|由得ac(ac)，即a3c，e故選a5已知橢圓1(ab0)，a，b分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，f為右焦點(diǎn)，且abbf，則橢圓的離心率為_(kāi)解析：在rtabf中，|ab|，|bf|a，|af|ac，由|ab|2|bf|2|af|2，得a2b2a2(ac)2將b2a2c2代入，得a2acc20，即e2e10，解得e因?yàn)閑0，所以e答案：6已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20，短軸長(zhǎng)為16，則橢圓上的點(diǎn)到橢圓中心的距離的取值范圍是_解析：由題意，知a10，b8，不妨設(shè)橢圓方程為1，其上的點(diǎn)m(x0，y0)，則|x0|a10，|y0|b8，點(diǎn)m到橢圓中心的距離d因?yàn)?，所以y6464x，則d ，因?yàn)?x100，所以64x64100，即8d10答案：8,107已知橢圓x2(m3)y2m(m0)的離心率e，求實(shí)數(shù)m的值及橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)和短軸長(zhǎng)，并寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)和頂點(diǎn)坐標(biāo)解：橢圓方程可化為1，由m0，可知m，所以a2m，b2，c ，由e，得 ，解得m1于是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21，則a1，b，c所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2，短軸長(zhǎng)為1；兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,0)，(1,0)，8設(shè)f1，f2分別是橢圓e：1(ab0) 的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) f1的直線(xiàn)交橢圓 e于 a，b兩點(diǎn)，|af1|3|f1b| (1)若|ab|4，abf2 的周長(zhǎng)為16，求|af2|；(2)若cosaf2b，求橢圓e 的離心率解：(1)由|af1|3|f1b|，|ab|4，得|af1|3，|f1b|1因?yàn)閍bf2的周長(zhǎng)為16，所以由橢圓定義可得4a16，|af1|af2|2a8故|af2|835(2)設(shè)|f1b|k，則k0且|af1|3k，|ab|4k由橢圓定義可得，|af2|2a3k，|bf2|2ak在abf2中，由余弦定理可得，|ab|2|af2|2|bf2|22|af2|bf2|cosaf2b，即(4k)2(2a3k)2(2ak)2(2a3k)(2ak)化簡(jiǎn)可得(ak)(a3k)0，而ak0，故a3k于是有|af2|3k|af1|，|bf2|5k因此|bf2|2|f2a|2|ab|2，可得f1af2a，故af1f2為等腰直角三角形從而ca，所以橢圓e的離心率e第二課時(shí)直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系預(yù)習(xí)課本p4748，思考并完成以下問(wèn)題1點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系有哪幾種？如何判斷？2直線(xiàn)與橢圓有哪幾種位置關(guān)系？如何確定？3直線(xiàn)被橢圓截得的弦長(zhǎng)公式是什么？1點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系點(diǎn)p(x0，y0)與橢圓1(ab0)的位置關(guān)系：點(diǎn)p在橢圓上1；點(diǎn)p在橢圓內(nèi)部12直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系直線(xiàn)ykxm與橢圓1(ab0)的位置關(guān)系，判斷方法：聯(lián)立消y得一元二次方程當(dāng)0時(shí)，方程有兩解，直線(xiàn)與橢圓相交；當(dāng)0時(shí)，方程有一解，直線(xiàn)與橢圓相切；當(dāng)0時(shí)，方程無(wú)解，直線(xiàn)與橢圓相離3直線(xiàn)與橢圓相交的弦長(zhǎng)公式(1)定義：連接橢圓上兩個(gè)點(diǎn)的線(xiàn)段稱(chēng)為橢圓的弦(2)求弦長(zhǎng)的方法交點(diǎn)法：將直線(xiàn)的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來(lái)求根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線(xiàn)的斜率為k，被橢圓截得弦ab兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長(zhǎng)公式為：|ab| 1已知點(diǎn)(2,3)在橢圓1上，則下列說(shuō)法正確的是()a點(diǎn)(2,3)在橢圓外b點(diǎn)(3,2)在橢圓上c點(diǎn)(2，3)在橢圓內(nèi) d點(diǎn)(2，3)在橢圓上答案：d2直線(xiàn)yx1被橢圓1所截得的弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是()a bc d答案：c3設(shè)f1，f2分別是橢圓1的左、右焦點(diǎn)，p為橢圓上一點(diǎn)，m是f1p的中點(diǎn)，|om|3，則p點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為_(kāi)答案：4直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系典例對(duì)不同的實(shí)數(shù)值m，討論直線(xiàn)yxm與橢圓y21的位置關(guān)系解由消去y，得(xm)21，整理得5x28mx4m240(8m)245(4m24)16(5m2)當(dāng)m0，直線(xiàn)與橢圓相交；當(dāng)m或m時(shí)，0，直線(xiàn)與橢圓相切；當(dāng)m時(shí)，0直線(xiàn)與橢圓相交；0直線(xiàn)與橢圓相切；0直線(xiàn)與橢圓相離活學(xué)活用若直線(xiàn)ykx1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓1總有公共點(diǎn)，求m的取值范圍解：直線(xiàn)ykx1過(guò)定點(diǎn)a(0,1)由題意知，點(diǎn)a在橢圓1內(nèi)或橢圓上，1，m1又橢圓焦點(diǎn)在x軸上mb0)上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，m(x0，y0)是線(xiàn)段ab的中點(diǎn)，則由，得(xx)(yy)0，變形得，即kab活學(xué)活用(全國(guó)卷)已知橢圓c：1(ab0)的離心率為，點(diǎn)(2，)在c上(1)求c的方程；(2)直線(xiàn)l不過(guò)原點(diǎn)o且不平行于坐標(biāo)軸，l與c有兩個(gè)交點(diǎn)a，b，線(xiàn)段ab的中點(diǎn)為m證明：直線(xiàn)om的斜率與直線(xiàn)l的斜率的乘積為定值解：(1)由題意有，1，解得a28，b24所以c的方程為1(2)證明：法一：設(shè)直線(xiàn)l：ykxb(k0，b0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(xm，ym)將ykxb代入1，得(2k21)x24kbx2b280故xm，ymkxmb于是直線(xiàn)om的斜率kom，即komk所以直線(xiàn)om的斜率與直線(xiàn)l的斜率的乘積為定值法二：設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(xm，ym)，則得0，kab又ko m，kabkom所以直線(xiàn)om的斜率與直線(xiàn)l的斜率的乘積為定值與橢圓有關(guān)的綜合問(wèn)題典例已知橢圓y21(a1)，過(guò)直線(xiàn)l：x2上一點(diǎn)p作橢圓的切線(xiàn)，切點(diǎn)為a，當(dāng)p點(diǎn)在x軸上時(shí)，切線(xiàn)pa的斜率為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，求poa面積的最小值解(1)當(dāng)p點(diǎn)在x軸上時(shí)，p(2,0)，直線(xiàn)pa的方程為y(x2)，聯(lián)立x22x10，則440a22，所以橢圓方程為y21.(2)設(shè)切線(xiàn)方程為ykxm，p(2，y0)，a(x1，y1)，則(12k2)x24kmx2m22016k2m24(12k2)(2m22)0m22k21，且x1，y1，y02km，則|po|，直線(xiàn)po的方程為yx，則點(diǎn)a到直線(xiàn)po的距離d，則spoa|po|d|y0x12y1|(2km)|km|k|，(sk)212k2k22sks210，8s240s，當(dāng)且僅當(dāng)k時(shí)等號(hào)成立poa面積的最小值為.解決與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題的三種方法(1)定義法：利用定義轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題處理(2)數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)與形的結(jié)合，挖掘幾何特征，進(jìn)而求解(3)函數(shù)法：探求函數(shù)模型，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理，注意橢圓的范圍活學(xué)活用設(shè)橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)為f1，f2，右頂點(diǎn)為a，上頂點(diǎn)為b已知|ab|f1f2|(1)求橢圓的離心率(2)設(shè)p為橢圓上異于其頂點(diǎn)的一點(diǎn)，以線(xiàn)段pb為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)f1，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)o的直線(xiàn)l與該圓相切，求直線(xiàn)l的斜率解：(1)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)f2的坐標(biāo)為(c,0)由|ab|f1f2|，可得a2b23c2，又b2a2c2，則所以橢圓的離心率e(2)由(1)知a2 2c2，b2c2故橢圓方程為1設(shè)p(x0，y0)由f1(c,0)，b(0，c)，有(x0c，y0)，(c，c)由已知，有0，即(x0c)cy0c0又c0，故有x0y0c0又因?yàn)辄c(diǎn)p在橢圓上，故1由和可得3x4cx00而點(diǎn)p不是橢圓的頂點(diǎn)，故x0，代入得y0，即點(diǎn)p的坐標(biāo)為設(shè)圓的圓心為t(x1，y1)，則x1c，y1c，進(jìn)而圓的半徑rc，設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k，依題意，直線(xiàn)l的方程為ykx由l與圓相切，可得r，即c，整理得k28k10，解得k4所以直線(xiàn)l的斜率為4或4層級(jí)一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1直線(xiàn)ykxk1與橢圓1的位置關(guān)系為()a相切b相交c相離 d不確定解析：選b直線(xiàn)ykxk1可變形為y1k(x1)，故直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)(1,1)，而該點(diǎn)在橢圓1內(nèi)部，所以直線(xiàn)ykxk1與橢圓1相交，故選b2橢圓mx2ny21與直線(xiàn)y1x交于m，n兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與線(xiàn)段mn中點(diǎn)所在直線(xiàn)的斜率為，則的值是()a bc d解析：選a由消去y得，(mn)x22nxn10設(shè)m(x1，y1)，n(x2，y2)，mn中點(diǎn)為(x0，y0)，則x1x2，x0，代入y1x得y0由題意，選a3已知f1，f2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿(mǎn)足0的點(diǎn)m總在橢圓內(nèi)部，則橢圓離心率的取值范圍是()a(0,1) b0，c0， d，1解析：選c，點(diǎn)m在以f1f2為直徑的圓上，又點(diǎn)m在橢圓內(nèi)部，cb，c2b2a2c2，即2c2a2，即0，0eb0)的右焦點(diǎn)為f(3,0)，過(guò)點(diǎn)f的直線(xiàn)交e于a，b兩點(diǎn)若ab的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，則e的方程為()a1 b1c1 d1解析：選d因?yàn)橹本€(xiàn)ab過(guò)點(diǎn)f(3,0)和點(diǎn)(1