電廠冷卻水在湖泊和水庫中熱擴散過程的數(shù)學模擬.pdf

2 0 0 4年 1 2月 De c 2 0 0 4 應(yīng)用數(shù)學與計算數(shù)學學報 COMM ON AP PL MA TH AND COMPUT 第 1 8卷 第 2期 VoI 1 8 NO 2 電廠冷卻水在湖泊和水庫中熱擴散過程的數(shù)學模擬 張大克 王玉杰 天津科技大學理學院 天津 3 0 0 2 2 2 摘要 本文對電廠冷卻水排入湖泊和水庫后的熱擴散過程進行了數(shù)學模擬 建立了 三維擴散方程 給出了一維 二維和三維計算湖泊和水庫中任意點任意時刻水溫上升量的 計算公式 并通過實例對一維情形的計算公式進行了驗證 結(jié)果很好 關(guān)鍵詞 電廠冷卻水 湖泊和水庫 熱擴散過程 擴散方程 數(shù)學模擬 電廠將循環(huán)冷卻用的大量超天然水溫的熱水排入湖泊和水庫后 擴散形成一個大 面積的具有成層結(jié)構(gòu)的熱水區(qū)域 1 1 本文稱其為熱水團 這一熱水團因循環(huán)擴散而改 變天然水的水溫 從而造成了對湖泊 水庫及周圍小區(qū)域生態(tài)環(huán)境的污染 深刻研究 這一熱水團的循環(huán)擴散規(guī)律 了解這一熱水團任意時刻任意點的溫度變化情況 對于 保護湖泊 水庫及周圍小區(qū)域生態(tài)環(huán)境具有極其重要的意義 本文通過擴散方程的解 析 對湖泊 水庫排入循環(huán)冷卻水的熱擴散過程進行了數(shù)學模擬 給出了熱水擴散過 程中任意時刻任意點水溫上升量的計算公式 并與實測數(shù)據(jù)進行了比較 取得了良好 效果 擴散方程與數(shù)學模擬 為了建立擴散方程 我們首先建立坐標系 在電廠冷卻水排入湖泊和水庫的入水 點處 以順岸線方向為y軸 以朝向水面方向 平行于水面 為 軸 以水深方向為 z軸 以入水點為坐標原點 按右手系定則建立空間直角坐標系 根據(jù)物質(zhì)守恒定律可以導出電廠循環(huán)冷卻水溫度變化規(guī)律的數(shù)學模型 一般流動 流體擴散物質(zhì)的濃度變化規(guī)律是一個連續(xù)方程 因此 我們可用F i c k 擴散方程表示循 環(huán)水溫度變化的規(guī)律 引 即 c 南 c c 南 Q 1 其中T為水溫上升量 C t 為時間 秒 D D D 依次為X Y Z方向的 擴散系數(shù) m 2 秒 依次為X Y Z方向的流速 m 秒 D 麗O T D 可O T D O T依次為與X y Z方向垂直的單位面積水溫上升量的通量 Q為 單位時間單位體積溫度發(fā)生率 度m 秒 其數(shù)值等于水量乘以上升溫度 本文 2 0 0 2 年 1 2月 2 9日 收到 吉林省科委資助項目 9 8 0 2 1 6 維普資訊 8 6 應(yīng)用數(shù)學與計算數(shù)學學報 如果各方向擴散同性 即D D D D t 而又無擴散溫度發(fā)生 即Q一0 則 1 式可寫成矢量形式 d i v T u D t V T 2 現(xiàn)將U 看作時間t 的函數(shù) 擴散系數(shù)看作常數(shù) 溫度發(fā)生率用D i r a c 函數(shù)表示 假定 天然水溫為上升水溫的零點 在只考慮沿 方向流動的情形下 U t U U 0 這樣我們可以將熱循環(huán)冷卻水的擴散方程用擴散方程初值問題表示為 t 一 霧 等 3 L T x Y Z t l o 0 4 對 3 和 4 作 F o u r i e r 變換得 C a u c h y 問題 D D 甓 即 一 Q 0 5 F T l o 0 6 利用條件 6 便可求得 5 式的解 然后再作逆變換 于是我們得到 3 和 4 解 的表達式 8 廠 唧 X Tr 3 D z D y D z J o 4 D 一 s L z t s 4 D 4 D d sJ t s 一 s J 而 7 式滿足 麗O T Ly o 0 麗O T Lz O 0 此性質(zhì)說明在Y z 0 點沿y z方向是絕 熱的 7 式中s 表示t 以前的時間 U T d T 表示時間s 排放熱量Q d s 以流速u t 沿 軸方向流下的距離 令 U T d T 則點 0 0 就是熱 水團Q d s 的 擴 散中 心 而 4 D t s 4 D y t s 4 D z t s 依次為這個橢球體形狀熱水團在 y z軸方向的橢 球體半徑 在t 時間以前 熱量 Q d s 一方面沿 方向流動 另一方面又以橢球體的形 狀向外擴散 如果將此狀態(tài)從s 0 到s t 之間 進行積分 就可以求出任意點 Y z 因總排放熱量所引起的水溫上升值 我們完全可以類似地由一維 二維擴散初值問題 得到 t 籌 L T x t l o 0 t O T 0 2 T 0 2 T L T x Y t l o 0 T x t 8 9 1 0 1 1 唧 ds 維普資訊 2 期 張大克 王玉杰 電廠冷卻水在湖泊和水庫中熱擴散過程的數(shù)學模擬 8 7 T 1 e Xp ds 13 利用公式 1 2 可以計算出任意時刻 x軸上任意點處因總排放熱量所引起的水溫 上升量 此公式對計算排入湖泊 水庫中電廠循環(huán)冷卻水的擴散過程是很方便的 利 用公式 1 3 可以計算任意時刻湖泊 水庫因電廠循環(huán)冷卻水的排入而引起水面任意位 置水溫上升的上升量 利用公式 7 可計算出電廠循環(huán)冷卻水排入湖泊 水庫后任意 時刻任意地點的水溫上升量 上面給出一維 二維和三維擴散方程初值問題 及它們的解析解 1 2 1 3 和 7 這三個公式可以計算電廠循環(huán)冷卻水排入湖泊 水庫后引起某一條線 某一水面 某一 水層任意點任意時刻水溫上升的上升量 由于這三個公式具有一般性 因此 應(yīng)用較 廣 并且這三個公式是計算瞬時熱源產(chǎn)生的水溫上升量公式 在比較復雜的情況下 特別是當邊界條件變化較多時 往往只能求其近似解 至于擴散系數(shù) 在實際問題的 計算中正確采用其數(shù)值甚為重要 它和分子擴散式 1 類似 在三個不同坐標方向可 有不同的值 而且可隨空間坐標變化 擴散系數(shù)一般是通過實驗手段來確定 即在擴 散方程式中根據(jù)實測水溫上升量 按照已有的理論關(guān)系式來反算擴散系數(shù) 2 應(yīng)用實例 八道江熱電廠將大量循環(huán)冷卻熱水排入岔路河水庫 給該水庫及周圍小區(qū)域的生 態(tài)環(huán)境帶來了嚴重的熱污染 為了研究循環(huán)冷卻熱水在該水庫中的熱擴散規(guī)律 我們 在該水庫對循環(huán)冷卻熱水的熱擴散進行了實際觀測 觀測結(jié)果見表 1 表 1 中t i 表示 排水后時間 秒 表示沿X軸方向距電廠冷卻熱水排入點的距離 m 表示t i 時 刻 t 位置點的水面水溫瞬時上升量 i 1 2 8 表 1熱擴散過程的實測數(shù)據(jù) 在只考慮熱水沿 軸方向流動的情況下 根據(jù)表 1 中的實測數(shù)據(jù)我們確定出公式 1 2 中的Q 4 2 0 t 2 9 0 0 0 1 1 t 因此 公式 1 2 化為 咐 麗 4 2 0 唧 4 D ds t s I 由公式 1 4 并根據(jù)實測上升水溫反推算擴散系數(shù)的方法 我們編制了計算機程 序 在計算機上我們可以模擬出該熱電廠將循環(huán)冷卻熱水排入水庫后 任意時刻沿 軸方向任意位置點的水溫瞬時上升量 維普資訊 應(yīng)用數(shù)學與計算數(shù)學學報 為了校驗模型 1 4 的精度 一方面我們在計算機上模擬出循環(huán)冷卻熱水排入水庫 后 3 6 0 0 秒 1 小時 時沿 軸方向6 0 個位置點的水溫瞬時上升量 結(jié)果見表 2 表 2 在計算機上的模擬結(jié)果 Z X i Z X i Z X i 五 1 0 1 1 6 0 0 0 2 1 1 0 0 0 7 4 0 9 7 4 1 2 0 0 0 5 8 4 6 9 2 5 0 1 1 3 7 4 8 2 2 1 0 5 0 7 2 9 9 9 4 2 2 0 5 0 5 7 9 2 5 3 1 0 0 1 0 9 8 9 8 2 3 1 1 0 0 7 1 9 4 8 4 3 2 1 0 0 5 7 3 9 6 4 1 5 0 1 0 6 4 1 6 2 4 1 1 5 0 7 0 9 4 3 4 4 2 1 5 0 5 6 8 8 1 5 2 0 0 1 0 3 2 3 7 2 5 1 2 0 0 6 9 9 7 7 4 5 2 2 0 0 5 6 3 8 0 6 2 5 0 1 0 0 3 3 0 2 6 1 2 5 0 6 9 0 5 0 4 6 2 2 5 0 5 5 8 9 2 7 3 0 0 9 7 6 5 4 2 7 1 3 0 0 6 8 1 5 9 4 7 2 3 0 0 5 5 4 1 6 8 3 5 0 9 5 1 8 4 2 8 1 3 5 0 6 7 3 0 2 4 8 2 3 5 0 5 4 9 5 2 9 4 0 0 9 2 8 8 8 2 9 1 4 0 0 6 6 4 7 7 4 9 2 4 0 0 5 4 5 0 0 1 0 4 5 0 9 0 7 5 0 3 0 1 4 5 0 6 5 6 8 0 5 0 2 4 5 0 5 4 0 5 9 1 1 5 0 0 8 8 7 5 6 3 1 1 5 0 0 6 4 9 1 2 5 1 2 5 0 0 5 3 6 2 8 1 2 5 5 0 8 6 8 8 8 3 2 1 5 5 0 6 4 1 7 0 5 2 2 5 5 0 5 3 2 0 7 1 3 6 0 0 8 5 1 3 3 3 3 1 6 0 0 6 3 4 5 3 5 3 2 6 0 0 5 2 7 9 7 1 4 6 5 0 8 3 4 7 7 3 4 1 6 5 0 6 2 7 6 0 5 4 2 6 5 0 5 2 3 9 5 1 5 7 0 0 8 1 9 1 7 3 5 1 7 0 0 6 2 0 8 8 5 5 2 7 0 0 5 2 0 0 3 1 6 7 5 0 8 0 4 4 1 3 6 1 7 5 0 6 1 4 3 8 5 6 2 7 5 0 5 1 6 1 9 1 7 8 0 0 7 9 0 4 2 3 7 1 8 0 0 6 0 8 0 8 5 7 2 8 0 0 5 1 2 4 3 1 8 8 5 0 7 7 7 1 3 3 8 1 8 5 0 6 0 1 9 7 5 8 2 8 5 0 5 0 8 7 6 1 9 9 0 0 7 6 4 4 9 3 9 1 9 0 0 5 9 6 0 4 5 9 2 9 0 0 5 0 5 1 6 2 0 9 5 0 7 5 2 4 5 4 0 1 9 5 0 5 9 0 2 8 6 0 2 9 5 0 5 0 1 6 5 表 2 中i 表示位置點排列序號 X 表示沿 軸方向第i 個位置點距電廠冷卻熱水 排入點的距離 m 表示第i 個位置點處水面水溫的瞬時上升量 i 1 2 6 0 另一方面我們在循環(huán)冷卻熱水排入該水庫后 3 6 0 0 秒時 沿 軸方向順次每隔5 0 m設(shè) 置一個測量點 同時測量了 1 0 個位置點的水面水溫瞬時上升量 結(jié)果見表 3 表 3 實測結(jié)果 表3 中i 表示位置點排列序號 X i 表示沿 軸方向第i 個位置點距電廠冷卻熱水 排入點的距離 m 表示第i 個位置點處水面水溫的瞬時上升量 C i 1 2 1 0 由表2 和表 3 可見 實測結(jié)果與計算機模擬結(jié)果基本吻合 這說明我們所進行的 維普資訊 2 期 張大克 王玉杰 電廠冷卻水在湖泊和水庫中熱擴散過程的數(shù)學模擬8 9 數(shù)學模擬是符合實際的 3 討 論 i 根據(jù)本文的公式 1 2 1 3 和 7 運用計算機技術(shù) 可以在計算機上很方便 地模擬電廠循環(huán)冷卻水排入湖泊 水庫后的熱擴散過程和規(guī)律 這對人們了解和監(jiān)控 電廠循環(huán)冷卻水對湖泊 水庫及周圍小區(qū)域生態(tài)環(huán)境的影響是非常有意義的 i i 根據(jù)我們利用公式 7 在假設(shè)狀態(tài)下運用計算機對三維情形熱水團的擴散過 程進行的模擬可知 三維情形的熱水團是一個橢球 并且隨著時間的推移它逐漸變得 偏平 而面積在逐漸擴大 參 考 文 獻 1 多田東臣 熱排放水擴散預測計算方法 J 電力土木 1 9 7 8 7 5 6 6 0 2 吳望一 流體力學 M 北京 北京大學出版社 1 9 8 3 上冊 1 4 5 1 9 9 下冊 2 1 2 3 8 6 3 易家訓 流體力學 M 北京 高等教育出版社 1 9 8 3 2 8 4 1 2 4 8 2 8 6 4 華東水利學院 水力學 M 北京 科學出版社 1 9 8 4 第二版 下冊 8 4 1 5 9 5 武漢水利電力學院 華東水利學院 水力學 M 北京 人民教育出版社 1 9 8 0 3 6 7 1 3 3 0 3 6 5 6 M 謝克特 著 葉其孝 譯 齊民友 校 偏微分方程的現(xiàn)代方法 M 北京 科學出版社 1 9 8 3 3 3 5 9 8 0 1 0 8 7 郭敦仁 數(shù)學物理方法 M 北京 人民教育出版社 1 9 7 8 1 9 8 2 1 2 M a t h e ma t i c a l S i mul a t i o n f o r Th e r ma l Di f r u s i o n Pr o c e s s o f t h e Po we r Pl a n t Co o l i ng W a t e r i n t h e La k e a nd Re s e r v o i r Z h a n g D a k e Wa n g Y u j i e C o l l e g e o f S c i e n c e T i a n j i n U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y T i a n j i n 3 0 0 2 2 2 C h i n a A bs t r ac t I n t h i s p a p e r t h e r ma l d i ff u s i o n p r o c e s s o f t h e p o we r p l a n t c o o l i n g wa t e r d i s c h a r g e d i n t o t h e l a k e a n d r e s e r v o i r i s s i mu l a t e d b y ma t h e ma t i c a l me t h o d t h r e e d i me n s i o n a l d i ff u s i o n e q u a t i o n i s b u i l t o n e t wo a n d t h r e e d i me n s i o n a l c o mp u t a t i o n al f o r mu l a s f o r