九上2.4二次函數(shù)的實際應用(最值問題).doc

深圳實驗培訓中心2009年暑期初二培訓資料 姓名 月 日第4課時 二次函數(shù)的實際應用面積最大(小)值問題知識要點：在生活實踐中，人們經(jīng)常面對帶有“最”字的問題，如在一定的方案中，花費最少、消耗最低、面積最大、產(chǎn)值最高、獲利最多等；解數(shù)學題時，我們也常常碰到求某個變量的最大值或最小值之類的問題，這就是我們要討論的最值問題。求最值的問題的方法歸納起來有以下幾點：1運用配方法求最值；2構造一元二次方程，在方程有解的條件下，利用判別式求最值；3建立函數(shù)模型求最值；4利用基本不等式或不等分析法求最值例1：在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，點P從點A出發(fā)，沿AB邊向點B以1cms的速度移動，同時點Q從點B出發(fā)沿BC邊向點C以2cms的速度移動，如果P、Q兩點同時出發(fā)，分別到達B、C兩點后就停止移動（1）運動第t秒時，PBQ的面積y(cm)是多少？（2）此時五邊形APQCD的面積是S(cm)，寫出S與t的函數(shù)關系式，并指出自變量的取值范圍（3）t為何值時s最小，最小值時多少？答案：例2：小明的家門前有一塊空地，空地外有一面長10米的圍墻，為了美化生活環(huán)境，小明的爸爸準備靠墻修建一個矩形花圃，他買回了32米長的不銹鋼管準備作為花圃的圍欄，為了澆花和賞花的方便，準備在花圃的中間再圍出一條寬為一米的通道及在左右花圃各放一個1米寬的門（木質(zhì)）花圃的長與寬如何設計才能使花圃的面積最大？解：設花圃的寬為米，面積為平方米則長為：(米)則： ，與的二次函數(shù)的頂點不在自變量的范圍內(nèi)，而當內(nèi)，隨的增大而減小，當時，(平方米)答：可設計成寬米，長10米的矩形花圃，這樣的花圃面積最大例3：已知邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE（如圖），其中AF=2，BF=1試在AB上求一點P，使矩形PNDM有最大面積 解：設矩形PNDM的邊DN=x，NP=y，則矩形PNDM的面積S=xy（2x4）易知CN=4-x，EM=4-y過點B作BHPN于點H則有AFBBHP，即，此二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為x=5，當x5時，函數(shù)值隨的增大而增大，對于來說，當x=4時，【評析】本題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機的結合在一起，能很好考查學生的綜合應用能力同時，也給學生探索解題思路留下了思維空間例4：某人定制了一批地磚，每塊地磚（如圖(1)所示）是邊長為0.4米的正方形ABCD，點E、F分別在邊BC和CD上，CFE、ABE和四邊形AEFD均由單一材料制成，制成CFE、ABE和四邊形AEFD的三種材料的每平方米價格依次為30元、20元、10元，若將此種地磚按圖(2)所示的形式鋪設，且能使中間的陰影部分組成四邊形EFGH(1)判斷圖(2)中四邊形EFGH是何形狀，并說明理由；(2)E、F在什么位置時，定制這批地磚所需的材料費用最省？解：(1) 四邊形EFGH是正方形圖(2)可以看作是由四塊圖(1)所示地磚繞C點按順(逆)時針方向旋轉90后得到的，故CE=CF =CGCEF是等腰直角三角形因此四邊形EFGH是正方形 (2)設CE=x, 則BE=0.4x，每塊地磚的費用為y元那么：y=x30+0.4(0.4-x)20+0.16-x-0.4(0.4-x)10 當x=0.1時，y有最小值，即費用為最省，此時CE=CF=0.1答：當CE=CF=0.1米時，總費用最省作業(yè)布置：1(2008浙江臺州)某人從地面垂直向上拋出一小球，小球的高度(單位：米)與小球運動時間(單位：秒)的函數(shù)關系式是，那么小球運動中的最大高度 4.9米 2(2008慶陽市)蘭州市“安居工程”新建成的一批樓房都是8層高，房子的價格y(元/平方米)隨樓層數(shù)x(樓)的變化而變化(x=1，2，3，4，5，6，7，8)；已知點(x，y)都在一個二次函數(shù)的圖像上，(如圖所示)，則6樓房子的價格為 元/平方米 提示：利用對稱性，答案：20803如圖所示，在一個直角MBN的內(nèi)部作一個長方形ABCD，其中AB和BC分別在兩直角邊上，設AB=x m，長方形的面積為y m2，要使長方形的面積最大，其邊長x應為( D )Am B6 m C15 m Dm解：AB=x m，AD=，長方形的面積為y m2 ADBC MADMBN，即，, 當時，有最大值4(2008湖北恩施)將一張邊長為30的正方形紙片的四角分別剪去一個邊長為的小正方形，然后折疊成一個無蓋的長方體當取下面哪個數(shù)值時，長方體的體積最大（ C ） A7 B6 C5 D45如圖，鉛球運動員擲鉛球的高度(m)與水平距離(m)之間的函數(shù)關系式是：，則該運動員此次擲鉛球的成績是( D ) A6 m B12 m C8 m D10m解：令，則： （圖5） （圖6） （圖7）6某幢建筑物，從10 m高的窗口A，用水管向外噴水，噴出的水流呈拋物線狀(拋物線所在的平面與墻面垂直，如圖6，如果拋物線的最高點M離墻1 m，離地面m，則水流落地點B離墻的距離OB是( B )A2 m B3 m C4 m D5 m解：頂點為，設，將點代入，令，得：，所以OB=37(2007烏蘭察布)小明在某次投籃中，球的運動路線是拋物線的一部分，如圖7所示，若命中籃圈中心，則他與籃底的距離L是（ B ）A4.6mB4.5mC4mD3.5m8某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻(墻長15m)的空地上修建一個矩形花園ABCD，花園的一邊靠墻，另三邊用總長為40m的柵欄圍成若設花園的寬為x(m) ，花園的面積為y(m)(1)求y與x之間的函數(shù)關系，并寫出自變量的取值范圍；（2）根據(jù)（1）中求得的函數(shù)關系式，描述其圖象的變化趨勢；并結合題意判斷當x取何值時，花園的面積最大，最大面積是多少？解： 二次函數(shù)的頂點不在自變量的范圍內(nèi)，而當內(nèi)，隨的增大而減小，當時，(平方米)答：當米時花園的面積最大，最大面積是187.5平方米9如圖，要建一個長方形養(yǎng)雞場，雞場的一邊靠墻，如果用50 m長的籬笆圍成中間有一道籬笆隔墻的養(yǎng)雞場，設它的長度為x米(1)要使雞場面積最大，雞場的長度應為多少m？(2)如果中間有n(n是大于1的整數(shù))道籬笆隔墻，要使雞場面積最大，雞場的長應為多少米？比較(1)(2)的結果，你能得到什么結論？ 解：(1)長為x米，則寬為米，設面積為平方米當時，(平方米)即：雞場的長度為25米時，面積最大(2) 中間有道籬笆，則寬為米，設面積為平方米則：當時，(平方米)由(1)(2)可知，無論中間有幾道籬笆墻，要使面積最大，長都是25米即：使面積最大的值與中間有多少道隔墻無關10如圖，矩形ABCD的邊AB=6 cm，BC=8cm，在BC上取一點P，在CD邊上取一點Q，使APQ成直角，設BP=x cm，CQ=y cm，試以x為自變量，寫出y與x的函數(shù)關系式解：APQ=90, APB+QPC=90.APB+BAP=90,QPC=BAP，B=C=90.ABPPCQ.11(2006年南京市)如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD，線段EF=10在EF上取一點M，分別以EM、MF為一邊作矩形EMNH、矩形MFGN，使矩形MFGN矩形ABCD令MN=x，當x為何值時，矩形EMNH的面積S有最大值？最大值是多少？解：矩形MFGN矩形ABCDMF=2MN =2x EM=10-2x S=x（10-2x）=-2x2+10x=-2(x-2.5)2+12.5 ，當x=2.5時，S有最大值12.512(2008四川內(nèi)江)如圖，小明的父親在相距2米的兩棵樹間拴了一根繩子，給他做了一個簡易的秋千，拴繩子的地方距地面高都是2.5米，繩子自然下垂呈拋物線狀，身高1米的小明距較近的那棵樹0.5米時，頭部剛好接觸到繩子，則繩子的最低點距地面的距離為 0.5 米答案：如圖所示建立直角坐標系則：設 將點，代入，解得 頂點，最低點距地面0.5米13(2008黑龍江哈爾濱)小李想用籬笆圍成一個周長為60米的矩形場地，矩形面積S(單位：平方米)隨矩形一邊長x(單位：米)的變化而變化（1）求S與x之間的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當x是多少時，矩形場地面積S最大？最大面積是多少？解：（1）根據(jù)題意，得 自變量的取值范圍是 （2），有最大值 當時，答：當為15米時，才能使矩形場地面積最大，最大面積是225平方米14(2008年南寧市)隨著綠城南寧近幾年城市建設的快速發(fā)展，對花木的需求量逐年提高某園林專業(yè)戶計劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預測，種植樹木的利潤與投資量成正比例關系，如圖12-所示；種植花卉的利潤與投資量成二次函數(shù)關系，如圖12-所示(注：利潤與投資量的單位：萬元)（1）分別求出利潤與關于投資量的函數(shù)關系式；（2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲取的最大利潤是多少？解：（1）設=,由圖12-所示，函數(shù)=的圖像過（1，2），所以2=，故利潤關于投資量的函數(shù)關系式是=；因為該拋物線的頂點是原點，所以設=，由圖12-所示，函數(shù)=的圖像過（2，2），所以， 故利潤關于投資量的函數(shù)關系式是；（2）設這位專業(yè)戶投入種植花卉萬元（），則投入種植樹木()萬元，他獲得的利潤是萬元，根據(jù)題意，得=+=當時，的最小值是14； 他至少獲得14萬元的利潤因為，所以在對稱軸的右側，隨的增大而增大所以，當時，的最大值為3215(08山東聊城)如圖，把一張長10cm，寬8cm的矩形硬紙板的四周各剪去一個同樣大小的正方形，再折合成一個無蓋的長方體盒子（紙板的厚度忽略不計）（1）要使長方體盒子的底面積為48cm2，那么剪去的正方形的邊長為多少？（2）你感到折合而成的長方體盒子的側面積會不會有更大的情況？如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由；（3）如果把矩形硬紙板的四周分別剪去2個同樣大小的正方形和2個同樣形狀、同樣大小的矩形，然后折合成一個有蓋的長方體盒子，是否有側面積最大的情況；如果有，請你求出最大值和此時剪去的正方形的邊長；如果沒有，請你說明理由解：（1）設正方形的邊長為cm，則即解得（不合題意，舍去），剪去的正方形的邊長為1cm（2）有側面積最大的情況設正方形的邊長為cm，盒子的側面積為cm2，則與的函數(shù)關系式為：即改寫為當時，即當剪去的正方形的邊長為2.25cm時，長方體盒子的側面積最大為40.5cm2（3）有側面積最大的情況設正方形的邊長為cm，盒子的側面積為cm2若按圖1所示的方法剪折，則與的函數(shù)關系式為：即當時，若按圖2所示的方法剪折，則與的函數(shù)關系式為：即當時，比較以上兩種剪折方法可以看出，按圖2所示的方法剪折得到的盒子側面積最大，即當剪去的正方形的邊長為cm時，折成的有蓋長方體盒子的側面積最大，最大面積為cm216(08蘭州)一座拱橋的輪廓是拋物線型(如圖16所示)，拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m（1）將拋物線放在所給的直角坐標系中(如圖