第三章 平面力系平衡方程的應(yīng)用.doc

第三章 平面力系平衡方程的應(yīng)用第1節(jié) 物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題一、外力、內(nèi)力的概念(1)外力。系統(tǒng)外任何物體作用于該系統(tǒng)的力稱(chēng)為這個(gè)系統(tǒng)的外力。(2)內(nèi)力。所研究的系統(tǒng)內(nèi)部各物體間相互作用的力稱(chēng)為內(nèi)力，內(nèi)力總是成對(duì)地作用于同一系統(tǒng)上。因此，當(dāng)取系統(tǒng)為研究對(duì)象時(shí)，不必考慮這些內(nèi)力。二、靜定與靜不定概念(1)靜定系統(tǒng)。系統(tǒng)中所有未知量的總數(shù)小于或等于系統(tǒng)獨(dú)立的平衡方程的總數(shù)時(shí)，稱(chēng)這系統(tǒng)為靜定系統(tǒng)。這類(lèi)系統(tǒng)僅應(yīng)用剛體的靜力平衡條件，就可以求得全部未知量的解。(2)靜不定系統(tǒng)。系統(tǒng)中所有未知量的總數(shù)大于系統(tǒng)獨(dú)立的平衡方程的總數(shù)時(shí)，稱(chēng)這系統(tǒng)為靜不定系統(tǒng)或超靜定系統(tǒng)。這類(lèi)問(wèn)題僅應(yīng)用剛體的靜力平衡條件，不能求得全部未知量的解。三、物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題常見(jiàn)的物體系統(tǒng)的平衡問(wèn)題有三類(lèi)，即構(gòu)架；多跨靜定梁；三鉸拱。這三類(lèi)問(wèn)題都有其相應(yīng)的求解特點(diǎn)，在求解過(guò)程中能總結(jié)歸納。在求解這三類(lèi)問(wèn)題時(shí)通常要注意以下情況，如固定端約束、鉸上受力、分布荷載計(jì)算、二力構(gòu)件等。例1圖3-1-1-1所示結(jié)構(gòu)由AB、CD、DE三個(gè)桿件鉸結(jié)組成。已知a2m，q500N/m，F(xiàn)2000N。求鉸鏈B的約束反力。圖3-1-1-1 解：取整體為研究對(duì)象，其受力如圖3-1-1-2所示。圖3-1-1-2 列平衡方程，有 F y =0, F Ay Fqa=0 得F Ay =300N M C (F)=0,3a F Ay a F Ax +aF+1.5aqa=0 得F Ax =5500N 分析AEB桿，受力圖如圖3-1-1-3所示。圖3-1-1-3 F x =0, F Ax + F Bx =0 故F Bx = F Ax =5500N M E ( F )=0, F By a+ F Bx a+ F Bx a F Ay a=0 則得F By = F Ay F Bx =2500N 例2求圖3-1-1-4所示多跨靜定梁的支座反力。梁重及摩擦均不計(jì)。圖3-1-1-4 解：研究EG梁，受力分析如圖3-1-1-5。圖3-1-1-5 Fx =0 F Ex =0 由對(duì)稱(chēng)關(guān)系得F Ey = F GN = 1 2 (24.5)=4.5kN() 研究CE梁，如圖3-1-1-6圖3-1-1-6 有 Fx =0 F Cx F CE =0, F Cx = F CE =0 M C ( F )=0 F DN 4.5102 F Ey 6=0 F DN =10.44kN 研究AC梁，如圖3-1-1-7圖3-1-1-7 Fx =0 F Ax F Cx =0 F Ax = F Cx =0 M A ( F )=0 F BN 6203 F Cy 7.5=0 F BN =15.08kN Fy =0 F Ay 20+ F BN F Cy =0 F Ay =8.98kN 例3如圖3-1-1-8所示三鉸拱上，作用著均勻分布于左半跨內(nèi)的鉛直荷載，其集度為 q(kN/m)，拱重及摩擦均不計(jì)。求鉸鏈A、B處的反力。圖3-1-1-8 解：研究整體，受力圖如圖3-1-1-9所示圖3-1-1-9 有 M B ( F )=0 F Ay l+q l 2 3l 4 =0 F Ay = 3ql 8 () M A ( F )=0 F By lq l 2 l 4 =0 F By = ql 8 () 研究AC梁，受力圖如圖3-1-1-10所示圖3-1-1-10 有 M C ( F )=0 F Ax hq 3l 8 l 2 + ql 2 l 4 =0 得F Ax = q l 2 16h () F Bx = q l 2 16h () 第2節(jié) 平面簡(jiǎn)單桁架的內(nèi)力計(jì)算一、桁架的概念(1)桁架是由一些桿件彼此在兩端用鉸鏈連接幾何形狀不變的結(jié)構(gòu)。工程上很多結(jié)構(gòu)采用桁架這種結(jié)構(gòu)形式，如桁梁橋、大空間屋架結(jié)構(gòu)、石油鉆井平臺(tái)等。(2)特點(diǎn)：桿系結(jié)構(gòu)、端部連接、受載后不變形。(3)工程上把幾根直桿連接的地方稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)。(4)桁架分析的目的：截面形狀及尺寸設(shè)計(jì)、材料選取、強(qiáng)度校核。(5)理想桁架的幾個(gè)假設(shè)：桁架中各桿為剛性直桿；各桿在節(jié)點(diǎn)處系用光滑的鉸鏈連接；所有外力作用在節(jié)點(diǎn)上。(6)平面簡(jiǎn)單桁架的構(gòu)成。以基本三角形為基礎(chǔ)，每增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)，需要增加不在同一直線(xiàn)兩根桿件，依次類(lèi)推可得桁架稱(chēng)為平面簡(jiǎn)單桁架。二、平面簡(jiǎn)單桁架的內(nèi)力計(jì)算桁架的計(jì)算就是二力桿內(nèi)力的計(jì)算。平面簡(jiǎn)單桁架的計(jì)算有兩種方法：節(jié)點(diǎn)法、截面法。1. 節(jié)點(diǎn)法假想將某節(jié)點(diǎn)周?chē)臈U件割斷，取該節(jié)點(diǎn)為考察對(duì)象，建立其平衡方程，以求解桿件內(nèi)力的一種方法。例1如圖3-2-1-1所示平面桁架，求AF、AC、FC、FE桿的內(nèi)力。已知鉛垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。圖3-2-1-1 解：先取整體為研究對(duì)象，受力如圖3-2-1-2所示。圖3-2-1-2 由平衡方程 F x =0, F Ax + F E =0 F y =0, F Ay + F B F C =0 M A (F) =0,a F E +3a F B a F C =0 解得F Ax =2kN, F Ay =2kN, F B =2kN 取A節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，如圖3-2-1-3所示。圖3-2-1-3 有 F x =0, F Ax + F Ac + F AF cos45=0 F y =0, F Ay + F AF sin45=0 解得F AF =2.83kN, F AC =4kN 取F節(jié)點(diǎn)為研究對(duì)象，受力圖如圖3-2-1-4所示。圖3-2-1-4 F x =0, F FE F FA cos45 =0 F y =0, F FC + F FA sin45 =0 解得F FC =2kN, F FE =2kN 2. 截面法用適當(dāng)?shù)慕孛鎸㈣旒芙亻_(kāi)，取其中一部分為研究對(duì)象，建立平衡方程，求解被切斷桿件內(nèi)力的一種方法。例2如圖2-3-1-5所示平面桁架，求FE、CE、CD桿內(nèi)力。已知鉛垂力FC=4kN，水平力FE=2kN。圖3-2-1-5 解：整體分析，作受力分析，如圖2-3-1-6所示。圖3-2-1-6 列平衡方程，有 F x =0, F x + F E =0 F y =0, F B + F Ay F C =0 M A (F)=0, F C a F E a+ F B 3a=0 聯(lián)立求解得F Ax =2kN F Ay =2kN F B =2kN 作一截面m-m將三桿截?cái)?，取左部分為分離體，受力分析如圖3-2-1-7。圖3-2-1-7 由平衡方程 F x =0, F CD + F Ax + F FE + F CE cos45=0 F y =0, F Ay F C + F CE cos45 =0 M C (F)=0, F FE a F Ay a=0 聯(lián)立求解得 F CE =2 2 kN, F CD =2kN, F FE =2kN 3. 零桿的判別BC、AC桿為零桿，如圖3-2-1-8圖3-2-1-8 BA、BF、FC桿為零桿，如圖3-2-1-9圖3-2-1-9 第3節(jié) 摩擦與考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題1、 滑動(dòng)摩擦與滾動(dòng)摩阻一、滑動(dòng)摩擦兩個(gè)相互接觸的物體，當(dāng)它們發(fā)生沿接觸面的相互滑動(dòng)或有相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，彼此間產(chǎn)生阻礙這個(gè)運(yùn)動(dòng)或運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的力，稱(chēng)為滑動(dòng)摩擦力。1. 靜滑動(dòng)摩擦力(1)方向與兩物體間相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)方向相反。(2)大小由靜力平衡方程確定，且有 0 F s F max ，其中 F max 為最大靜滑動(dòng)摩擦力。2. 最大靜滑動(dòng)摩擦力當(dāng)物塊處于臨界平衡狀態(tài)時(shí)，靜滑動(dòng)摩擦力達(dá)到最大值。最大靜滑動(dòng)摩擦力與物體對(duì)支承面的正壓力 F N 成正比，即 F max = F N f s ，其中 f s 稱(chēng)為靜滑動(dòng)摩擦因數(shù)，為無(wú)量綱常數(shù)，其值與相互接觸表面的材料、粗糙度、濕度、溫度等有關(guān)，一般由實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)定。3. 摩擦角與自鎖現(xiàn)象(1)全反力支承面的反力包括了兩個(gè)分量，即法向反力 F N 與靜滑動(dòng)摩擦力 F s ，這兩個(gè)力的合力稱(chēng)為全反力，如圖3-3-1-1所示。即 F R = F N + F s 圖3-3-1-1 (2)摩擦角在臨界狀態(tài)下，全反力達(dá)到極值，該狀態(tài)下的全反力與支承面在接觸點(diǎn)的法線(xiàn)間的夾角 m 稱(chēng)為摩擦角，并且有tan m = F max F N = f s 此式說(shuō)明，摩擦角的正切等于靜摩擦因數(shù)。(3)自鎖現(xiàn)象如果作用于物體的主動(dòng)力的合力作用線(xiàn)在摩擦角以?xún)?nèi)，則不論這個(gè)力多大，物體總能保持靜止?fàn)顟B(tài)，這種現(xiàn)象稱(chēng)為自鎖。4. 動(dòng)滑動(dòng)摩擦當(dāng)兩物體接觸表面有相對(duì)滑動(dòng)時(shí)的摩擦力稱(chēng)為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力 F ，簡(jiǎn)稱(chēng)動(dòng)摩擦力。(1)動(dòng)摩擦力的方向。與相對(duì)滑動(dòng)的速度方向相反。(2)動(dòng)摩擦力的大小。與兩物體接觸間的正壓力 F N 成正比，即 F = F N f ，其中 f 稱(chēng)為動(dòng)滑動(dòng)摩擦因數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)動(dòng)摩擦因數(shù)。在一般情況下，動(dòng)摩擦因數(shù)小于靜摩擦因數(shù)，即 f f s 二、滾動(dòng)摩阻當(dāng)一物體沿另一物體表面滾動(dòng)或具有滾動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，除可能受到滑動(dòng)摩擦力外，還要受到一個(gè)阻力偶的作用，這個(gè)阻力偶稱(chēng)為滾動(dòng)摩阻。如圖3-3-1-2所示。圖3-3-1-2 1. 滾動(dòng)摩阻(1)方向與相對(duì)滾動(dòng)方向或相對(duì)滾動(dòng)趨勢(shì)方向相反。(2)大小由平衡方程式確定，且滾阻力偶矩 M f 滿(mǎn)足 0 M f M max ，其中 M max 為滾阻力偶矩的最大值。2. 滾阻力偶矩的最大值 M max 當(dāng)物體處于滾動(dòng)平衡的臨界狀態(tài)時(shí)，滾阻力偶矩將將達(dá)到最大值。滾阻力偶矩的最大值與兩物體間的法向正壓力成正比，即 M max = F N ，其中 稱(chēng)為滾阻系數(shù)，具有長(zhǎng)度的量綱，其值可由實(shí)驗(yàn)的方法測(cè)定。2、 考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題在具有摩擦的情況下，由靜力平衡方程和摩擦的物理方程聯(lián)合求解。一般說(shuō)來(lái)有以下三種類(lèi)型：1. 判斷物體所處的狀態(tài)它是處于靜止、臨界或是滑動(dòng)情況中的哪一種。當(dāng)它們處于靜止或臨界平衡狀態(tài)時(shí)，還必須分析其運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)，滑動(dòng)摩擦力和滾阻力偶必須與相對(duì)滑動(dòng)或相對(duì)滾動(dòng)的趨勢(shì)方向相反。(1)若物體處于靜止?fàn)顟B(tài)，則由靜力平衡方程來(lái)確定摩擦力。(2)若物體處于臨界平衡狀態(tài)，則由靜力平衡方程和庫(kù)侖摩擦定律聯(lián)立求解，但必須正確分析摩擦力（包括滾阻力偶）的方向。(3)若物體處于運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，則當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，其滑動(dòng)摩擦力為動(dòng)滑動(dòng)摩擦力。2. 求具有摩擦?xí)r物體能保持靜止的條件由于靜滑動(dòng)摩擦力的大小可以在一定范圍內(nèi)變化，所以物體有一平衡范圍，這個(gè)平衡范圍有時(shí)是用幾何位置、幾何尺寸來(lái)表示的，有時(shí)是用力來(lái)表示的。3. 求解物體處于臨界狀態(tài)時(shí)的平衡問(wèn)題摩擦力由庫(kù)侖摩擦定律確定，結(jié)合靜力平衡方程式，可得到唯一解答。在求解方法上，一般有解析法和幾何法兩種，或者兩種方法的混合使用。例1物塊重為P，與水平面間靜摩擦系數(shù)為fs，用同樣大小的力F使物塊向右滑動(dòng)，圖3-3-2-1的施力方法與圖3-3-2-2相比較，哪一種更有力? 圖3-3-2-1圖3-3-2-2 解：進(jìn)行受力分析，如圖3-3-2-3和圖3-3-2-4所示。 圖3-3-2-3圖3-3-2-4 N=P+ F 1 sin, F max =(P+ F 1 sin)fS N=P F 2 sin, F max =(P F 2 sin)fS 可見(jiàn)圖3-3-2-4更省力。例2圓柱體重P ，支承于A、B兩物體上如圖3-3-2-5所示，已知A、B兩物體各重P/2，其它們于圓柱體之間的摩擦不計(jì)，又它們于地面的摩擦相同。設(shè)當(dāng) = 30 ，系統(tǒng)處于臨界平衡狀態(tài)，求A、B兩物體與地面的摩擦系數(shù)。圖3-3-2-5 (1)以圓柱體為研究對(duì)象，其受力圖如圖3-3-2-6所示。圖3-