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文檔簡介

三維旋轉矩陣的計算旋轉矩陣（Rotation matrix）是在乘以一個向量的時候有改變向量的方向但不改變大小的效果的矩陣。旋轉矩陣不包括反演，它可以把右手坐標系改變成左手坐標系或反之。所有旋轉加上反演形成了正交矩陣的集合。在三維空間中，旋轉變換是最基本的變換類型之一，有多種描述方式，如Euler角、旋轉矩陣、旋轉軸/旋轉角度、四元數(shù)等。本文將介紹各種描述方式以及它們之間的轉換。1.旋轉矩陣用一個3階正交矩陣來表示旋轉變換，是一種最常用的表示方法。容易證明，3階正交陣的自由度為3。注意，它的行列式必須等于1，當?shù)扔?1的時候相當于還做了一個鏡像變換。2.Euler角根據(jù)Euler定理，在三維空間中，任意一種旋轉變換都可以歸結為若干個沿著坐標軸旋轉的組合，組合的個數(shù)不超過三個并且兩個相鄰的旋轉必須沿著不同的坐標軸。因此，可以用三個沿著坐標軸旋轉的角度來表示一個變換，稱為Euler角。旋轉變換是不可交換的，根據(jù)旋轉順序的不同，有12種表示方式，分別為：XYZ、XZY、XYX、XZX、YXZ、YZX、YXY、YZY、ZXY、ZYX、ZXZ、ZYZ，可以自由選擇其中的一種。對于同一個變換，旋轉順序不同，Euler角也不同，在指定Euler角時應當首先約定旋轉順序。2.1Euler角轉化為旋轉矩陣不妨設先繞Z軸旋轉，再繞Y軸旋轉，最后繞X軸旋轉，即旋轉順序為XYZ，旋轉矩陣3.旋轉軸/旋轉角度用旋轉軸的方向向量n和旋轉角度來表示一個旋轉，其中0表示逆時針旋轉。3.1旋轉軸/旋轉角度轉化為旋轉矩陣設v是任意一個向量，定義如下圖所示這樣，我們建立了一個直角坐標系。設u為v繞軸旋轉后得到的向量，則有R即為旋轉矩陣。進一步可表示為4.單位四元數(shù)(Unitquaternions)四元數(shù)由Hamilton于1843年提出，實際上是在四維向量集合上定義了通常的向量加法和新的乘法運算，從而形成了一個環(huán)。q稱為單位四元數(shù)，如果|q|=1。一個單位四元數(shù)可以表示三維旋轉。用單位四元數(shù)表示旋轉可以保持一個光滑移動的相機的軌跡，適合動畫生成。4.1旋轉軸/旋轉角度轉化為單位四元數(shù)根據(jù)旋轉軸n和旋轉角度，得到單位四元數(shù)q4.2單位四元數(shù)轉化為旋轉軸/旋轉角度4.3單位四元數(shù)轉化為旋轉矩陣4.4四元數(shù)的性質定義四元數(shù)的逆、乘法和除法，如下所示根據(jù)該性質，我們可以對兩個旋轉變換q

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