（材料學專業(yè)論文）固體“類流態(tài)”現(xiàn)象的混沌動力學特征及機理研究.pdf

中文摘要 本文在的人研究的基礎上 采j 舄金相顯微鏡 透射及環(huán)境掃描電子顯微鏡 原子力顯微鏡和x 劓線衍射儀等觀測儀器 對純金屬 合金和非金屬材料糜棱 狀石英巖 輝長巖等進行觀察 驗證了在常溫常壓下 這些材料中存在著一種未 被人們認知的 具有類似流體特征的非線性振蕩現(xiàn)象 類流態(tài) 現(xiàn)象 是一 種非極端條件下新的物質(zhì)存在狀態(tài) 其普遍存在j 二各類固體物質(zhì)中 當外界條件 達到類流態(tài)胞區(qū)出現(xiàn)的臨界值時 固體中就會出現(xiàn)這種狀態(tài) 類流態(tài)的宏觀表現(xiàn) 為材料表面觀察到動態(tài)的運動并可測量到某些性能的變化 微觀表現(xiàn)為用高倍數(shù) 的儀器進行測量時可以發(fā)現(xiàn)點陣結(jié)構(gòu)的變化和x 射線衍射譜線的細微波動 將 小尺度和大尺度范圍內(nèi)的測量結(jié)果進行比較 發(fā)現(xiàn)類流態(tài)現(xiàn)象呈現(xiàn)出典型的分形 特征 即局部上顯示出無規(guī)律性 隨機性 而在眶體上呈現(xiàn)自相似性 應力作為 可以提供能量的外場 可以誘發(fā)出類流態(tài)胞區(qū) 固體類流態(tài)的振蕩過程是一種典型的非線性動力學過程 由于其運動的復雜 性 在不了解運動產(chǎn)生的物理機理時 只能采用唯象的方法 對其表象進行研究 本文在實驗觀察的基礎上 通過對的類流態(tài)胞區(qū)振蕩運動錄像資料的處理 對胞 區(qū)振蕩時 b j 序列進行了系統(tǒng)的混沌動力學分析 重構(gòu)了動力系統(tǒng)的相空問 計算 了分形維數(shù) l y a p u n o v 指數(shù) 足熵 h u r s t 指數(shù) 從多方面證明類流態(tài)在常溫常 壓下是一種非常復雜的 具有正的塌大l y a p u n o v 指數(shù)的混沌運動狀態(tài) 發(fā)現(xiàn)并 證實在c u z n a l 合金的類流態(tài)運動過程當中 由 f 胞區(qū)原子的活性和高能量 可 以產(chǎn)生合金納米管 即存在混沌到有序的過程 從固體類流態(tài)隨時間振蕩的時間 序列數(shù)據(jù)出發(fā) 建立了n l a r 非線性模型 預測結(jié)果表明 該模型具有較高的 短期預測精度 相對誤差在1 0 以內(nèi) 固體類流態(tài)的振蕩時陽j 序列是 k e e 天然的 非方程迭代產(chǎn)生的時f n j 序列 具 有深刻的材料物理內(nèi)涵 關(guān)鍵詞 類流態(tài) 合金 混沌動力學 相空間重構(gòu) 非線1 生模型 a b s t r a c t a nu n k n o w nu a t u r a tn o n l i n e a ro s c i l l a t i o np h e n o m e n o n n a m e d q u a s i f l u i ds t a t e i si n t r o d u c e di nt h i sp a p e r t h i sp h e n o m e n o nw h i c hi ss i m i l a rt o l i q u i di sv a l i d a t e d u n d e rn o r m a lt e m p e r a t u r ea n dp r e s s u r eo nt h es u r f a c eo f p u r em e t a l a l l o y m y l o n i t i c q u a r t z i t e g a b b r o se ta lu s i n gm e t a l l o g r a p h i cm i c r o s c o p e t e m s e m a f ma n dx r a y d i f f r a c t o m e t e rb a s e do n p r e c e d i n gr e s e a r c h e r s t h e p h e n o m e n o nr e v e a l sa n e v vm a t t e r e x i s t e n c es t a t ei nn o n e x t r e m ea r d u o u sc o n d i t i o n s b e s i d e st 1 1 ew e l l k n o w n s t a t e s g a s 1 i q u i d s o l i d a n d l i q u i dc r y s t a l t h e u b i q u i t y i so n eo fi t sm o s t i m p o r t a n t c h a r a c t e r i s t i c s w h e nt h ee x t e r n a lc o n d i t i o nr e a c h e s t 1 1 ec r i t i c a iv a l h e t h e p h e n o m e n o n w i l la p p e a ri ns o l i d s i n m a c r o s c o p i c s c a l e t h e d y n a m i c a l m o t i o nc a nb eo b s e r v e da n ds o m e p e r f o r m a n c ec h a n g e sc a nb em e a s u r e di nq u a s i f l u i ds t a t ec e l l u n d e rh i g hp o w e r m i c r o s c o p e t h e l a t t i c es t r u c t u r e c h a n g e s c a i lb e o b s e r v e d t h ex r a yd i f f r a c t i o n s p e c t r a ll i n e se x h i b i tf i n ef l u c t u a t i o n c o m p a r i n gt h es m a l l s c a l er e s u l t sw i t ht h eg r e a t o n e s t h ei r r e g u l a r i t ya n dr a n d o m i c i t ya p p e a ri nl o c a l a n dt h es e l f c o m p a r a b i l i t yi s s h o w e da sa w h o l e i e q u a s i f l u i ds t a t e p r e s e n t sat y p i c a lf r a c t a lc h a r a c t e r t h es t r e s sa sa ne x t e m a lf i e l dw h i c hc a n p r o v i d ee n e r g y c a r li n d u c et h eo s c i l l a t i o n o f t h e q u a s i f l u i ds t a t e c e l l q u a s i f l u i ds t a t e i sat y p i c a ln o n l i n e a rd y n a m i c a ls y s t e m s i n c et h ec o m p l e x i t y o ft h em o t i o na n dt h em e c h a n i s mi ss t i l l u n k n o w n t h er e s e a r c hm e t h o d sa r em o s t l y p h e n o m e n o l o g i c a lt h e o r y i n t h i s p a p e r a c c o r d i n g t ot h e e x p e r i m e n t a l d a t a t h e c h a o t i cd y n a m i c so ft h eq u a s i f l u i dc e l lo s c i l l a t i o nt i m es e r i e si ns o l i di s a n a l y z e d t h ed y n a m i c a l s y s t e mp h a s es p a c e i s r e c o n s t r u c t e d t h es y s t e mp a r a m e t e r sa r e c a l c u l a t e d s u c ha sf r a c t a ld i m e n s i o n s l y a p u n o ve x p o n e n t s k o l m o g o r o ve n t r o p ya n d h u r s t e x p o n e n t t h er e s u l t sp r o v e d t h a tt h eq u a s i f l u i di sa v e r yc o m p l e x c h a o t i cs t a t e h a v i n gt h ep o s i t i v el a r g e s tl y a p u n o ve x p o n e n t d u et ot h eq u a s i f l u i dc e l l sa c t i v i t y a n dh i g he n e r g y t h eo s c i l l a t i o no fc u z n a ia l l o yc a nb r i n gu pt h en a n o t u b e i ti sa l l o b v i o u sp r o c e s sf r o mc h a o t i ci n t oo r d e r t h en l a rm o d e lo ft h et i m es e r i e si s c o n s t r u c t e d t h em o d e lh a su p p e r p r e d i c t e dp r e c i s i o nw i t h i n1 0p e r c e n t t h eq u a s i f l u i dc e l lo s c i l l a t i o nt i m es e r i e si ns o l i di san a t u r a l n o n i t e r a t i o no f e q u a t i o n st i m es e r i e s i th a sp r o f o u n d c o n n o t a t i v em e a n i n go fm a t e r i a l s p h y s i c s k e yw o r d s q u a s i f l u i ds t a t e a l l o y c h a o t i cd y n a m i c s p h a s es p a c er e c o n s t r u c t i o n n o r l i n e a rm o d e l i i 獨創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學位論文是本人在導師指導下進行的研究工作和取得的 研究成果 除了文中特別加以標注和致謝之處外 論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表 或撰寫過的研究成果 也不包含為獲得墨鲞盤鱟或其他教育機構(gòu)的學位或證 書而使用過的材料 與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻均已在論文中 作了明確的說明并表示了謝意 學位論文作者簽名 琴長馕蔓 簽字日期 p 夠年 月印目 學位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學位論文作者完全了解鑫姿盤堂有關(guān)保留 使用學位論文的規(guī)定 特授權(quán)垂壅盤鱟可以將學位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢 索 并采用影印 縮印或掃描等復制手段保存 匯編以供查閱和借閱 同意學校 向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的復印件和磁盤 保密的學位論文在解密后適用本授權(quán)說明 學位論文作者簽名 寫畏爰羔 簽字日期 刪年 月糾日 7 l 色互萬釓 高川 氟 肌 稚 耕 副 秘 第一章緒論 1 1 引言 第一章緒論 物質(zhì)的運動是永恒的 大至宇宙天體的運動 小到微觀粒子的熱振動 運動 無處不在 運動導致物質(zhì)存在狀態(tài)的變化 如普通條件下的氣態(tài) 液態(tài) 固態(tài) 極端條件下的等離子態(tài)和玻色一愛因斯坦凝聚態(tài)等等 但這些劃分也不是嚴格 的 在一些特殊條件下 可以實現(xiàn)如氣液不分的超臨界態(tài) 液體中的晶體一液晶 以及本文中所研究的固體 類流態(tài) 等等 1 2 固體物質(zhì)的結(jié)構(gòu) 在日常生活中 我們最?？吹降南嘧兪俏镔|(zhì)三態(tài)的變化 物質(zhì)氣一液一固三 態(tài)之間的相變是系統(tǒng)中大量分子之間相互作用的勢能與分子熱運動的動能的相 對大小決定的 當束縛分子熱運動的勢能逐漸占主導地位時 分子之間的協(xié)同作 用在系統(tǒng)中占支配地位 從而決定了系統(tǒng)的有序程度和狀態(tài) l 對自然界中的各種物質(zhì) 如果不以其宏觀性質(zhì)為標準 而單純考慮組成物質(zhì) 的原子排列方式 即幾何結(jié)構(gòu) 就能以不同的物理狀態(tài)將物質(zhì)分為兩大類 一 類稱為有序結(jié)構(gòu) 另一類稱為無序結(jié)構(gòu) 晶體為典型的有序結(jié)構(gòu) 而氣體 液體 和非晶態(tài)固體都屬于無序結(jié)構(gòu) 氣體相當于物質(zhì)的稀釋態(tài) 液體和非晶態(tài)固體相 當于凝聚態(tài)1 3 4 l 在稀薄的氣體中 分子間幾乎沒有任何相互作用 各個分子的空間位置各不 相關(guān) 分子處于完全的無序狀態(tài) 氣體密度越小 其組成分子越接近理想的無序 態(tài) 氣體也就越接近理想氣體 實際上也只有理想氣體的分子才處于理想的無序 態(tài) 液體呈現(xiàn)另一種無序狀態(tài) 其分子緊密地堆積在一起 形成無序的排列 而 且分子間很容易相互滑動 隨著單位體積內(nèi)分子數(shù)的逐漸增加 氣態(tài)和液態(tài)之削 存在著一系列連續(xù)的中間態(tài) 因此 可以把液體和氣體列為無序結(jié)構(gòu)的同一種類 型 通過連續(xù)的轉(zhuǎn)變 可以從氣態(tài)或液態(tài)獲得非晶態(tài) 也稱為無定形或玻璃態(tài) 的固體 非晶態(tài)固體的分子仍象在液體中一樣以相同的緊密程度無序地堆積著 天津大學博士學位論文 只是不再能相互滑動了 囡此非晶態(tài)固體具有固有的形狀和很大的硬度 還有一些物質(zhì)的幾何結(jié)構(gòu)是介于有序和無序之間 這類物質(zhì)可看成是結(jié)晶不 好或部分結(jié)構(gòu)有序 許多高聚物 液晶以及組成人體的主要生命物質(zhì)都屬于這一 范疇 5 9 l 作為近似 許多現(xiàn)象都可用有序和無序這兩種不同的狀態(tài)來描述 但兩者之 間的界限又不是絕對的 在液體和非晶態(tài)固體中的無序并不是單純的 混亂 而是破壞了有序體系的某些對稱性 形成某種有缺陷的 不完整的有序 存在著 短程有序 是液體和非晶態(tài)固體的基本特征之一 晶態(tài)固體 即晶體 是由原子 分子或離子在空間有規(guī)則 有序 的排列而 形成的固體 金屬 巖鹽和冰等都是晶體 在顯微鏡下 可觀察到金屬是由許多 小晶粒 線度為微米量級 組成的 用x 射線衍射方法對晶粒進行分析表明 晶粒內(nèi)部是有序排列的 在晶體中 至少在微米量級的范圍內(nèi)是有序排列的 是 長程有序 1 3 平衡相變和非平衡相變 相變是有序和無序兩種傾向矛盾斗爭的表現(xiàn) 相互作用是有序的起因 熱運 動是無序的來源 人們把具有相同成分及相同物理 化學性質(zhì)的均勻物質(zhì)部分稱之為 相 物質(zhì)系統(tǒng)各相之間的相互轉(zhuǎn)變稱為 相變 相變明顯的表現(xiàn)是 外觀上 和 宏 觀性質(zhì)上 的質(zhì)變 平衡相變則有系統(tǒng)內(nèi)部各處的溫度相等 熱平衡 壓強相 等 力學平衡 化學勢相等 化學反應平衡 等特征 氣態(tài) 液態(tài)和固態(tài)之間的相變 伴隨著潛熱效應 汽化熱 液化熱 和宏觀 體積 即分子間平均距離 的變化 在這類相變時的一對主要矛盾是 分子的獨 立運動和分子之間由于關(guān)聯(lián)而形成的協(xié)同運動的對抗 獨立運動或日自由運動是 廣泛存在于我們這個世界本底之中的一種隨機運動 分子的熱運動就是這樣的 類運動 分子的熱運動是完全無規(guī)則的 從統(tǒng)計的觀點來看 分子熱運動的平均 動能與絕對溫度t 成正比 溫度越高分子無規(guī)則熱運動的動能就越大 在這里 分子之間的關(guān)聯(lián)是由分子之間相互作用力引起的 從能量的觀點看 子系統(tǒng)之間 的相互關(guān)聯(lián)力圖使系統(tǒng)處于最低的勢能狀態(tài) 使系統(tǒng)處在有一定組織結(jié)構(gòu)的有序 狀態(tài) 如果分子熱運動的動能遠大于分子關(guān)聯(lián)運動的勢能 比如氣態(tài) 則分予 的無規(guī)則的獨立的熱運動占主導地位 系統(tǒng)表現(xiàn)為完全的無序狀態(tài) 氣體可以充 第一章緒論 滿任意形狀和大小的容器 如果由分子的關(guān)聯(lián)產(chǎn)生的協(xié)同 運動 步調(diào)一致 的能量遠大于分子獨立運動的能量 則該 運動 占主導地位 l p 蟲h 固態(tài) 系 統(tǒng)呈現(xiàn)有序狀態(tài) 此時 分子的獨立運動只不過是迭加在協(xié)同 運動 上的一個 小的擾動 它并不影響系統(tǒng)在整體上的規(guī)則 或規(guī)律 性和有序性 i l 女n 按照一 定的隊形在操場上作廣播操的人群 雖然每個人的動作并非完全一致 但隨著廣 播的節(jié)奏仍能感受到整體的一致性 兩種趨向相互競爭 都力圖使整個系統(tǒng)統(tǒng)一 在自己的狀態(tài)中 由于分子熱運動分布的隨機性 所以這種局域的表現(xiàn)并非固定 的 各種可能結(jié)合的狀態(tài)在系統(tǒng)中各處相當活躍地涌現(xiàn)著 人們通過激光散射實 驗 尤其在臨界乳光實驗中 己經(jīng)觀察到了出現(xiàn)各種可能密度的小漲落 但是 只有那些符合系統(tǒng)發(fā)展趨勢的密度漲落才能得到其它子系統(tǒng)的響應 發(fā)展為巨漲 落 最終波及整個系統(tǒng) 使系統(tǒng)完成相變過程 總之 相互作用力導致有序和組 織 熱運動引起無序和混亂 兩種傾向相互矛盾 當一方勝過另一方時則發(fā)生相 變 這是相變理論的一個基本的論點 雖然人們對這類相變的研究最早 很早就得到了一些實驗規(guī)律 并用分子運 動論的觀點闡述它 然而深刻地認識相變過程的實質(zhì) 比如臨界漲落等問題 則是人們在研究二類相變 尤其非平衡相變的過程中才體會到的 非平衡相變是指在遠離平衡的非平衡區(qū)中實現(xiàn)的相變 在近平衡的非平衡區(qū) 是不可能實現(xiàn)的 非平衡相變有一個相變點 而不是一個相變區(qū)域 也就是說 非平衡相變是突變式的 它是量的隨機漲落瞬間達到質(zhì)變點而引發(fā)的物質(zhì)結(jié)構(gòu)的 飛躍 而不是由量變的逐漸積累所引起的質(zhì)變 非平衡相變都是在同一物態(tài)中的 相轉(zhuǎn)變 而不涉及物態(tài)間的轉(zhuǎn)變 也沒有物態(tài)轉(zhuǎn)變時潛熱的釋放和吸收 非平衡 相變點兩側(cè)的性質(zhì) 與平衡態(tài)二級相變兩側(cè)的性質(zhì)相似 非平衡態(tài)相變后形成穩(wěn) 定無序的耗散結(jié)構(gòu)本身 必須隨時有外界的能量和物質(zhì)的補充 以有助于維持耗 散結(jié)構(gòu)本身的穩(wěn)定 若一旦不能充分的供給外界的能量和物質(zhì) 耗散結(jié)構(gòu)立即瓦 解 這是與平衡相變完全不同的 平衡相變后的新結(jié)構(gòu)是不需要外界供給能量和 物質(zhì)來維持其穩(wěn)定性的 總而言之 非平衡相變是耗散結(jié)構(gòu)在特定條件下出現(xiàn)的 一種現(xiàn)象 與平衡相變相比有著更復雜的突變機制 2 1 0 1 4 從各種可能狀態(tài)分布上看 有序程度的改變是相變的共同特征 而且往往伴 隨著對稱性的破缺 因此 通過尋找對稱性破缺所出現(xiàn)的對應序參量是描述相變 特征的關(guān)鍵 通常 低溫相的對稱性較低 有序度較高 高溫相的對稱性較高 但有序度較低 序參量反映了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài) 只要序參量是非零值 就意味著對 天津大學博士學位論文 稱性起了質(zhì)的改變 出現(xiàn)了有序 在不同的相變過程中 序參量的結(jié)構(gòu)和含義也 不相同 但是 一旦找到了序參量 其描述方法就基本相同了 表1 1 列舉了幾 種物理系統(tǒng)的序參量 對偶場 破缺的對稱和恢復對稱的模式 表1 1 幾種連續(xù)相變的類比 1 4 t a b l e1 1a n a l o g yo f s e v e r a lc o n t i n u o u sp h a s et r a n s i t i o n s 1 4 非線性與復雜性 1 4 1 非線性動力學的發(fā)展歷程 人們對線性物理系統(tǒng)的動力學行為研究由來已久 而且已很成熟 對非線性 物理系統(tǒng)的動力學行為的研究 是近兩個世紀才逐漸由數(shù)學家 物理學家和化學 家等發(fā)展起來 1 8 8 0 年之前 主要是研究系統(tǒng)運動方程的解析解 用微擾法和運 動積分 在物理學方面 研究經(jīng)典力學 天體力學 流體力學和氣體動力學 在 數(shù)學方面 提出相應的抽象數(shù)學概念 如非歐幾何 集合論 康托爾集 超窮數(shù) 等 1 8 8 0 1 9 1 0 年這3 0 年間得到了非線性偏微分方程積分的一般原理 體問 題運動的唯一獨立積分 l y a p u n o v 運動穩(wěn)定性 l y a p u n o v 指數(shù) 由于孤立波的 發(fā)現(xiàn) 德國科學家d j k o r t e w e g 和gd e v r i e s 提出了著名的k d v 方程 吼一6 口 妒 妒 0 第一章緒論 其中第二項為非線性項 第三項為色散項 由于該方程求解方面的困難而擱置多 年 直到1 9 6 5 年才由n j z a b u s k y 和m d k r u s k a l 用電子計算機求出它的解 即通常所稱的孤立子解 p o i n c a r 6 發(fā)展了拓撲分析 推廣了分岔概念 引入了狀態(tài)空間內(nèi)的映射 差 分方程 和p o i n c a r 6 指數(shù) 速度場內(nèi)閉曲線的指數(shù) 之后的2 0 年間 在數(shù)學上 發(fā)展了維的理論 不動點理論 拓撲學和微分幾何 b i r k h o f f 研究了漸近集合 的各種范疇 在物理學上 v a nd e rp o l 提出了奇異攝動理論 他和v a i ld e rm a r k 在1 9 2 7 年觀察到了非線性系統(tǒng)的重要物理現(xiàn)象 分諧的產(chǎn)生 滯后 參數(shù)空間 內(nèi)的有噪?yún)^(qū)域和各種分岔現(xiàn)象 在2 0 世紀3 0 年代 誕生了嵌入概念 發(fā)現(xiàn)了液體中均勻湍流的k o l m o g o r o v 譜 第二次世界大戰(zhàn)結(jié)束后 b i r k h o f f 抽象不連續(xù)動力學的例子首次闡明了混沌 吸引子 v o n n o u m a 證明了普適性 自復制自動機的存在 f e r m i p a s t a 和u l a m 找到了非單純的張弛是近乎周期的行為 即f p u 現(xiàn)象 在這期間 k o l m o g o r o v a m o l d 和m o s e r 證明了對一特定的系統(tǒng)解族 其h a m i l t o n 量滿足p o i n c a r 6 理論 當h a m i l t o n 量被稍作微擾時 正則變換存在新的作用 角度變量 在微擾趨 向于零時 此族包括大部分的解 大多數(shù)環(huán)面產(chǎn)生畸變而又不被破壞 這些環(huán)面 保持在相空間中 被保持的環(huán)面 叫k a m 面 到了6 0 年代 重新發(fā)現(xiàn)非線性色散介質(zhì)中的孤立子 研究了多個孤立子構(gòu) 形中的孤立子穩(wěn)定性 非線性基礎集合 在化學中 發(fā)現(xiàn)了b e l o u s o v z h a b o t i n s k i 相干 周期振蕩 高維空間中的低維吸引子 l o r e n z 作了對b e n a r d 問題的n a v i e r s t o k e s 常微分方程的近似處理 研究了方程解的分岔到混沌動力學 自治系統(tǒng) 中的奇異吸引子 b b m a n d e l b r o t 提出分維集概念 引入了拓撲熵 1 9 7 0 1 9 8 0 年 f e i g e n b a u m 發(fā)現(xiàn)了l o g i s t i c 映射和相似映射的分岔序列中的定量普適性 得 到了f e i g e n b a u m 常數(shù) 近2 0 年問 研究人員從許多新的方面進行了大量的工作 促進了非線性科 學的發(fā)展 如無限維吸引子 均勻化學振蕩器中的分岔實驗 吸引子的嵌入維 高維空間中孤立子的共振相互作用 元胞自動機的空間圖形生長比普適型簡單但 非尋常的自復制 固體器件中分岔的普適行為 標準映射的混沌區(qū)域中的非擴散 行為 粘性島 效應 l o r e n z 方程中同宿分岔的拓撲特性 空間一時間熵 量子混沌等 天津大學博士學位論文 1 4 2 非線性系統(tǒng)的復雜性 自從人們對非線性動力系統(tǒng)開展研究以來 人們逐漸發(fā)現(xiàn)了復雜非線性系統(tǒng) 的多解 跳躍 幅頻依賴 極限環(huán) 分叉現(xiàn)象 間歇 激變 及其混沌運動等特 性 表明非線性動力學行為是極其復雜的 圖1 1 人們甚至預言除混沌運動外 還存在比混沌更復雜的動力學行為 超混沌運動 因此系統(tǒng)地開展對這種復雜 行為的研究會有利于對自然科學 社會科學和生物系統(tǒng)中與時間有關(guān)過程的詳盡 了解 有利于揭示非線性動力學中的一些奇怪現(xiàn)象 因而世界各國都很重視對非 線性動力學的研究 o l n t w 州l n aa 二 f 二 d a缸融 置 十 jr s f s f 置 c 圖1 1復雜的物理系統(tǒng)與模型 a 實在世界的動力學過程 b 包舍了理論學家企圖描述實在現(xiàn)象的物理洞察力 c 變量相空間中的非線性動力學 f i g 1 一lc o m p l e xp h y s i c ss y s t e m sa n dm o d e l s a d y n a m i c s i n t h er e a l w o r l d b t h i sp r o c e s sc o n t a i n t h e p h y s i c s i n s i g h to f t h e t h e o r i s t i na t t e m p t i n g t o d e s c r i b er e a lp h e n o m e n a c n o n l i n e a rd y n a m i c si nt h ep h a s es p a c e o f t h ep h y s i c sv a r i a b l e s 國外 9 8 4 年 在諾貝爾獎獲得者g e l l m a m 等人的發(fā)起下 一批物理學家 理論生物學家 計算機專家和經(jīng)濟學家等 聚集于美國新墨西哥洲s a n t af e 組 織了一個s f i s a n t af ei n s t i t u t e 研究所 由g a c o w a n 負責 其主要研究目 第一章緒論 標就是復雜系統(tǒng) 他們分別在自己從事的領(lǐng)域中開展對不同復雜系統(tǒng)的研究 這 是因為他們在實踐中遇到了復雜性困難 明白了分解還原論方法己行不通了 s f i 是國際上公認的復雜性問題的研究機構(gòu) 1 9 9 1 年該所舉辦了 c o m p l e x s y s t e m s u m m e rs c h o o l 在此會上復雜問題研究專家a s w e i g e n d 和 n a g e r s h e r d t l t 1 提出對復雜問題要基于以下兩方面的主要考慮 1 如何理解復雜行為 2 用何種技術(shù)實現(xiàn)這種認識 在實際問題中往往給出的是一個時間序列 因而后一問題很大部分就歸結(jié)為 對時間序列的分析 時間序列分析是一門古老學科 近年來由于受到非線性科學 影響 有了很快發(fā)展 提出了各種觀點 也有很多理論不能解決的問題 經(jīng)典的時間序列方法是以時間序列為隨機過程作為討論的基礎 因而整個理 論是以隨機過程作為基礎的 隨著混沌現(xiàn)象的發(fā)現(xiàn) 人們逐漸地認識到在確定性 系統(tǒng)內(nèi)部也存在著隨機性 但時間序列中的本質(zhì)特征往往不是隨機原因而是非線 性動力學的原因 所以在此基礎上產(chǎn)生了時間序列的非線性動力學方法 從目前的研究結(jié)果來看 時間序列的非線性動力學方法 適用于低維非線性 動力系統(tǒng)所產(chǎn)生的時間序列 對于由高維或無窮維動力系統(tǒng)所產(chǎn)生的行為和由隨 機因素為主所產(chǎn)生的序列需要排除 如果一旦排除了上述兩種情況 我們就可用 非線性動力學方法來處理時間序列 這樣就把一個時間序列看成一個確定性動力 系統(tǒng)產(chǎn)生的結(jié)果 對于實際的物理問題 我們常常獲得的是關(guān)于系統(tǒng)某一參量的時間序列數(shù) 據(jù) 這里有一個非常重要的反問題 即如何由時間序列來恢復原動力系統(tǒng) 然后 在此基礎上來完成時序的預測 目前這個問題正處于探索和研究階段 還有大量 的重要的問題需要解決 總的來說要想恢復原來的非線性動力學系統(tǒng) 要解決如 下幾個問題 1 確定時序所在動力系統(tǒng)的維數(shù) 2 如何建立這個動力系統(tǒng)的坐標框架 3 如何在這個框架下描述這個動力系統(tǒng) 天津大學博士學位論文 1 5 分形與分維 1 5 1 分形的含義 在經(jīng)典歐幾里德幾何中 我們可以用直線 圓錐 球等這一類規(guī)則的形狀去 描述諸如墻 車輪 道路 建筑物等人造物體 然而在自然界中卻存在著許許多 多極其復雜的形狀 如山不是錐 云不是球 閃電不是折線 雪花邊緣也不是圓 等等 再如宇宙中點點繁星所構(gòu)成的集合更非經(jīng)典幾何所能描述的 它們不再具 有我們早己熟知的數(shù)學分析中的連續(xù) 光滑這些基本性質(zhì) 這類奇形怪狀長期以 來被認為是 不可名狀的 或 病態(tài)的 1 9 7 5 年 美國i b m 公司的數(shù)學家b b m a n d e l b r o t l is i 首次引入 分形 f r a c t a l 這個新術(shù)語 它的原義是 不規(guī)則的 分數(shù)的 支離破碎的 物體 到了今天 事實表明 分形在自然界中廣泛存在著 分形已成為數(shù)學園地的一朵奇葩 大量 它所涉及的領(lǐng)域遍及數(shù)學 物理 化學 材料科學 表面科學 生物等等各個領(lǐng)域 由于分形具有廣泛而巨大的實用價值 和重大的理論意義 對它的研究越來越受到廣泛重視 分形理論已經(jīng)成了一門描 述自然界中許多不規(guī)則事物的規(guī)律性的科學 分形幾何是一門幾何學 它研究的對象是歐氏空間的一類子集 這類子集結(jié) 構(gòu)比較復雜 其創(chuàng)始人b b m a n d e l b r o t 曾定義分形為組成部分與其整體以某種 方式相似的 形 但經(jīng)過理論和應用的檢驗 人們發(fā)現(xiàn)這種簡單的定義難以包 括分形如此豐富的內(nèi)容 原則上晚 分形是一些簡單空間上 如r 4 c c 上 的一些復雜的點的集合 這種集合具有某些特殊性質(zhì) 首先它是所在空間的緊子 集 并且具有以下典型的幾何性質(zhì) 1 9 2 1 l 1 分形集都具有任意小尺度下的比例細節(jié) 或者說它具有精細結(jié)構(gòu) 2 分形集不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述 它既不是滿足某些條件的點的 軌跡 也不是某些簡單方程的解集 3 分形集具有某種自相似的形式 可能是近似的自相似或者統(tǒng)計的自相 似 4 一般按該方式的定義 分形集的分形維數(shù)嚴格大于它相應的拓撲維數(shù) 5 在大多數(shù)情形下 分形集由非常簡單的方法定義 可以用變換的迭代 形式產(chǎn)生 對于各種不同的分形 有的可能同時具有上述的全部性質(zhì) 有的可能只有 1 一 5 中的大部分性質(zhì) 而對某個性質(zhì)有例外 但這并不影響我們把這個集合 第一章緒論 稱為分形 自然界和各門應用科學中涉及的分形絕大多數(shù)都是近似的 分形的例 子如圖1 2 至圖1 4 所示 2 2 ol 32 3 圖1 2 三分c a n t o r 集 f i g 1 2 t r i s e c t i o nc a n t o rs e t 圖1 3v o n k o c h 曲線 f i g 1 3v o nk o c hc u r v e 昂 b b e 4 b 圖1 4z 2 一a 的j u l i a 集 口 五 一f b 五 1 c 五 0 8 一o 7 i d 丑 0 3 2 0 7 4 j f i g 1 4 j u l i as e to f22 一五 d 五 一f b 旯 1 c 五 0 8 0 7 f d a 一0 3 2 0 7 4 l 9 天津大學博士學位論文 分形給人們展示了一類具有標度不變性的新世界 在此世界中可能有著新的 物理規(guī)律和特征 1 5 2 產(chǎn)生分形的物理機制 過去 人們往往研究封閉系統(tǒng)與守恒系統(tǒng) 按照唯物辯證法的觀點 任一事 物與周圍的其它事物總是相互制約而存在 相互斗爭而發(fā)展 從這個意義上來說 自然界中所有系統(tǒng)均是復雜系統(tǒng) 按唯物主義認識論 人們認識自然的規(guī)律性 總是由低級到高級 由簡單到復雜 t h o r n 的突變論 h a k e n 的協(xié)同學 p r i g o g i n e 的耗散結(jié)構(gòu)新三論誕生以后 人們可以從封閉系統(tǒng)轉(zhuǎn)向認識開放系統(tǒng) 從守恒系 統(tǒng)轉(zhuǎn)向認識耗散系統(tǒng) 從平衡態(tài)過程轉(zhuǎn)向認識非平衡態(tài)過程 從而 非線性系統(tǒng) 耗散系統(tǒng)與隨機系統(tǒng)便成為當今人們最感興趣的研究領(lǐng)域 2 引 至今為止 人們在非線性耗散系統(tǒng) 隨機耗散系統(tǒng)與具有隨機外力約束的守 恒系統(tǒng)中發(fā)現(xiàn)過相空間具有分形結(jié)構(gòu) 因此 非線性 隨機性與耗散性應該是產(chǎn) 生分形的物理機制 一個系統(tǒng)所表現(xiàn)出來的非線性主要來自兩個方面 其一是來自系統(tǒng)內(nèi)部的交 互作用 這是系統(tǒng)非線性的主要機制 又稱為系統(tǒng)的內(nèi)稟非線性 其二是來自我 們所選擇的時空表象 內(nèi)稟非線性的物理本質(zhì)是耗散性 而耗散性又是隨機性的 后果 所以 系統(tǒng)相空間的分形結(jié)構(gòu)是系統(tǒng)具有耗散性的幾何表現(xiàn) 產(chǎn)生分形結(jié) 構(gòu)的物理機制歸結(jié)到系統(tǒng)的耗散性 或者說耗散性是產(chǎn)生分形的必要條件 1 5 3 分形維數(shù) 分形集的 不規(guī)則 性使它區(qū)別于經(jīng)典的光滑點集 分形維數(shù)提供了一種比 較分形 不規(guī)則 程度的客觀工具 分形維數(shù)能夠用數(shù)據(jù)定義 并且能通過實驗 手段近似的計算 它已突破一般拓撲集的整數(shù)維的界限 引進了分數(shù)維 由分形的定義可知 在分形中使用了h a u s d o r f f 測度 這要求描述分形結(jié)構(gòu) 的物理的或力學的量必須具有分數(shù)量綱 或簡稱分形量綱 這是分形中產(chǎn)生的測 度觀轉(zhuǎn)變的飛躍 通常所用的整數(shù)維概念已不足于用來描述分形集的復雜程度 或者說 不能 很好地用來說明各種集合充滿空間程度的不同 也不能很好地對比兩個集合不同 的粗糙程度 那么引進分數(shù)維就是自然而然的了 但應當注意 分形維數(shù)不一定 就是分數(shù)維 也有整數(shù)維的分形集 目前 常用的分數(shù)維的定義主要有 自相似 維數(shù)d h a u s d o r f f 維數(shù)d 計盒維數(shù)d 0 廣義維數(shù)d 信息維數(shù)d 1 關(guān)聯(lián) 第一章緒論 維數(shù)d 等 2 4 2 6 1 自相似維數(shù) 設a 是忙 幾 上的有界子集 如果a 可以分成 1 個相等的且與a 相似 的部分 則稱a 為自相似集 且如果每部分與a 的相似比為r 1 n 1 他 則稱伊 為自相似集a 的自相似維數(shù) 即 d 嘗 1 1 5 l g a r 一 2 h a u s d o f f 維數(shù) 對忸4 既 中的集合4 首先定義彳的廠一覆蓋 若爿 0 占 且 42 8 b 鞏d h 1 2 其中 d 為h a u s d o r f f 維數(shù) 集合a 的h a u s d o r f f 維d h 定義為 刑 引 l 呷i mi n f 莩p 小 3 3 計盒維數(shù) 由于計算嬲 掣比較困難 一般采用固定尺寸的 覆蓋4 計盒維數(shù)的 基本思想是 取邊長為 的盒子來覆蓋位于相空f 司r 中的集合4 設完全覆蓋 集合a 所需要的最小盒子數(shù)目總共n 個 則該集合的計盒維數(shù)d 定義為 d i n f d 姆廠乜 d r l i m n r o l 1 4 可得 玩2 磐粉 天津人學博士學位論文 計盒維數(shù)又稱容積維數(shù) 是最早度量分數(shù)維的方法之一 由其計算公式可見 其僅考慮了各格柵中有無彳中的點 它實際反映了均勻分形的情形 不能用來正 確刻劃點在相空間中不均勻分布的情況 研究表明 當奇怪吸引子的分數(shù)維大于 2 時 很難從標量時序來有效地t t i f 盒維數(shù)的定義來計算分數(shù)維 為了克服定義 中的缺陷和計算上的困難 g r a s s b e r g e r 和p r o c a c c i a 于1 9 8 3 年將其作了推廣 用 廣義維數(shù)d 來計算分數(shù)維 4 廣義維數(shù) i n f d j l i m l 1 5 口一1 一u i n 其中 p 鬻 為月中的點落在第t 個盒子e 中的概率 g 為連續(xù) 變化的指標 一 q c 5 信息維數(shù) 對于廣義維數(shù)d 當q 0 時 d d 當q 1 時 可得信息維數(shù) 尸i n p d l i m 一 6 j r r 0 i n r 6 關(guān)聯(lián)維數(shù) 當口 2 時 可得關(guān)聯(lián)維數(shù) i n y 尸2 d l i m l 卜7 r o i n 廣義維數(shù)d 較全面地包括了各種分數(shù)維的定義方法 關(guān)聯(lián)維數(shù)d 有著較有 效的數(shù)字計算方法 因而常用關(guān)聯(lián)維數(shù)作為分數(shù)維的估計 計盒維數(shù)d 信息 維數(shù)d 關(guān)聯(lián)維數(shù)d 三者間存在關(guān)系d d d 2 1 6 混沌動力學 現(xiàn)實世界的絕大部分系統(tǒng)不是有序的 穩(wěn)定的和平衡的 而是無序的 變化 的和漲落起伏的 一切系統(tǒng)都含有不斷起伏著的子系統(tǒng) 有時一個小小的起伏或 第一章緒論 漲落可能會由于正反饋而演變成巨大的波瀾 使原系統(tǒng)遭受破壞 在這個奇異的 時刻 即分叉點 根本無法預知變化將向何方發(fā)展 是分解形成混沌狀態(tài) 還是 躍變到一個新的更加細分的有序態(tài) 1 6 1 混沌的歷史 2 7 有非線性的相互作用 狀態(tài)的轉(zhuǎn)變則要通過漲落來實現(xiàn)等等 據(jù)此 p r i g o g i n e 指 l i 一a x y 歲 一x z 雕一y 1 8 i j x y b z 天津大學博士學位論文 k a m 定理 k a m 定理討論的是保守系統(tǒng) 而l o r e n z 方程討論的是耗散系統(tǒng) 它們分別從不同的角度說明 兩種不同類型的動態(tài)系統(tǒng) 在長期的演化過程中是 怎樣出現(xiàn)混沌態(tài)的 1 9 6 4 年法國天文學家h e n o n 從研究球狀星團以及l(fā) o r e n z 吸引子中得到啟發(fā) 給出了下列的h e n o n 映射 r 矗 12 l 魄一 1 9 l y x 該方程組本是一個自由度為2 的不可積的h a m i l t o n 系統(tǒng) 當參數(shù)b o 3 且改變參數(shù)a 時 就發(fā)現(xiàn)其系統(tǒng)運動軌道在相空間分布越來越隨機 h e n o n 得到 了一種最簡單的吸引子 并用他建立的 熱引力崩坍 理論解釋了幾個世紀以來 一直遺留下來的太陽系的穩(wěn)定問題 1 9 7 1 年法國物理學家r u e l l e 和荷蘭數(shù)學家t a k e n s 為耗散系統(tǒng)引入了 奇怪 吸引子 s t r a n g e a t t r a c t o r 這一概念 提出了一個新的湍流發(fā)生機制 對揭示湍 流有很大啟發(fā) 1 9 7 5 年美國華人學者李天巖和美國數(shù)學家y o r k e 在美國 數(shù)學月刊 發(fā)表 了 周期3 意味著混沌 的著名文章 深刻地揭示了從有序到混沌的演化過程 文章標題中的 混沌 一詞便在現(xiàn)代意義下正式出現(xiàn)在科學語匯中 1 9 7 6 年美國生態(tài)學者m a y 在美國 自然 雜志上發(fā)表了 具有極復雜的動 力學的簡單的數(shù)學模型 一文 指出在生態(tài)學中一些非常簡單的確定性的數(shù)學模 型卻能產(chǎn)生看似隨機的行為 如 x 以 1 一x 1 一l o 稱之為人口 或蟲口 方程 即著名的l o g i s t i c 模型 該模型參數(shù)五在一定范圍 變化時 它卻具有極為復雜的動力學行為 其中包括了分岔和混沌 向人們表明 了混沌理論的驚人信息 如圖1 5 所示 1 9 7 8 年和1 9 7 9 年f e i g e n b a u m 等人在m a y 的基礎上獨立地發(fā)現(xiàn)了倍周期分 翁現(xiàn)象中的標度性和普適常數(shù) 為混沌在現(xiàn)代科學中奠定堅實的理論基礎 2 0 世紀8 0 年代以來 人們著重研究系統(tǒng)如何從有序進入新的混沌及其混沌 的性質(zhì)和特點 除此以外 進一步對混沌結(jié)構(gòu)進行了研究和理論上的總結(jié) 通過 計算機還可描繪混沌圖像 如m a n d e l b r o t 于1 9 8 0 年用計算機繪出了世界上第一 張混沌圖像 對于這種動力學特性的結(jié)構(gòu) 分數(shù)維雖能描述自然界中很多現(xiàn)象在 第一章緒論 幾何上的不規(guī)則性 但它不能完全揭示出產(chǎn)生的相應結(jié)構(gòu)的動力學特性 故 g r a s s b e r g e r 等人在1 9 8 7 年提出重構(gòu)動力系統(tǒng)的理論方法 人們開始由時間序列 中提取分數(shù)維 l y a p u n o v 指數(shù)等混沌特征量 混沌理論進入實際應用階段 圖1 5 x a x 1 一 的迭代結(jié)果 4 1 f i g1 5 i t e r a t i v er e s u l to f t h ee q u a t i o n x 2 x h 1 一工月 進入9 0 年代 基于混沌運動是存在于自然界中的一種普遍運動形式 混沌 與其他學科相互交錯 滲透 促進 綜合發(fā)展 無論是在生物學 生理學 一t l 理 學 數(shù)學 物理學 化學 電子學 信息科學 還是在天文學 氣象學 經(jīng)濟學 甚至在音樂 藝術(shù)等領(lǐng)域 得到了廣泛的應用 1 6 2 混沌的例子 首先看一下流體動力學中的典型例子 其中之一就是t a y l o r 不穩(wěn)定性 因為 一種新模式的出現(xiàn)標志著原來的狀態(tài)不能再維持下去了 也就是原來的狀態(tài)變?yōu)?不穩(wěn)定的了 因此常稱為不穩(wěn)定性 t a y l o r 不穩(wěn)定性的實驗裝置由一個內(nèi)圓柱體 和一個同軸的外圓筒組成 當我們把外圓筒固定而調(diào)節(jié)內(nèi)圓柱體的轉(zhuǎn)速時 便從 外圓筒的透明窗觀察到如下現(xiàn)象 內(nèi)圓柱體的轉(zhuǎn)速較低時 流體形成同軸的流線 當轉(zhuǎn)速達到臨界值時 一般用無量綱的t a y l o r 數(shù)表示 便出現(xiàn)了一種新型的運 動形式 沿著軸線方向的橫向?qū)又?流體周期地趨向和離開軸線 形成滾動形式 天津大學博士學位論文 圖1 6 當t a y l o r 數(shù)增加到第二個臨界值時 滾動以一種基頻開始振蕩 當 t a y l o r 數(shù)增加到新的臨界值時 滾動形式以兩種頻率振蕩 在更高的t a y l o r 數(shù)時 觀察到了更為復雜的頻率模式 t a y l o r 數(shù)繼續(xù)增高的最終結(jié)果便出現(xiàn)了無規(guī)則的 混沌運動 當人們通過激光散射測量它的速度分布和f o u r i e r 譜時發(fā)現(xiàn) 隨著 t a y l o r 數(shù)增加時新出現(xiàn)的頻率 其順序恰好是基頻的1 2 1 4 1 8 1 1 6 由 于頻率減半就是周期增加一倍 因此人們往往稱它是倍周期現(xiàn)象 2 1 a b 圖1 6c o u e t t e t a y l o r 不穩(wěn)定性 a 實驗裝置示意圖 b 滾動結(jié)構(gòu) f i g 1 6i n s t a b i l i t yo f c o u e t t e t a y l o rs y s t e m a s c h e m a t i cd i a g r a mo f e x p e r i m e n t a lf a c i l i t y b r o l l i n gs t r u c t u r e 流體動力學中另一個典型的例子是b e n a r d 不穩(wěn)定性 從下面加熱的流體層 中 當上下兩表面間的溫度差 或溫度梯度 不大時 熱量靠熱傳導傳遞 即靠 分子無規(guī)則熱運動的碰撞形式傳遞 液體中分子的運動并沒有明顯關(guān)聯(lián) 這時觀 察不到流體的宏觀運動 當溫度梯度 即單位長度上的溫度差 增加到臨界值時 在液體中便出現(xiàn)了宏觀運動 這時在液體的上表面觀察到六角形的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu) 如 圖1 7 所示 液體分子有組織的從六角形元胞的中心向上運動 然后沿六角形的 邊緣向下 或者相反 液體中的熱量傳遞靠這種規(guī)則的宏觀的對流進行 整個液 體中的分子呈現(xiàn)為有規(guī)則的協(xié)同運動 如果進一步增加溫度梯度時 運動形式開 始振蕩以至以幾種頻率的振蕩 在最終也出現(xiàn)了完全無規(guī)則的混沌運動或湍流 在固體物理學中 也出現(xiàn)了多重不穩(wěn)定性 脈沖以至混沌狀態(tài) 在耿氏振蕩 器中 當加在砷化鎵二極管上的電壓不高時 通過管子的電流和所加的電壓成正 比 遵從著歐姆定律 當所加電壓達到臨界值時 電流就變成了規(guī)則的脈沖 在 第一章緒論 更高的電壓下還會出現(xiàn)無規(guī)則的電流脈沖 即混沌運動 圖1 7 貝納德對流 f i g1 7 b e n a r dc o n v e c t i o n 熱彈性不穩(wěn)定性 當固體形變時 如果形變參數(shù)超過了彈性區(qū)域的臨界值 便會出現(xiàn)新的現(xiàn)象 比如發(fā)出了聲音 整個系統(tǒng)的宏觀狀態(tài)發(fā)生了突變 晶體的生長 可以從微觀和宏觀兩個層次上觀察到