（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 第30課 正弦定理與解三角形要點(diǎn)導(dǎo)學(xué).doc

【南方鳳凰臺】（江蘇專用）2016屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 第30課 正弦定理與解三角形要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)要點(diǎn)導(dǎo)學(xué)各個(gè)擊破正弦定理的直接應(yīng)用在abc中,已知a=3,b=2,b=2a.(1) 求cosa的值;(2) 求c的值.思維引導(dǎo)(1) 結(jié)合已知條件,利用正弦定理構(gòu)造關(guān)系式,解決問題的關(guān)鍵在于條件“b=2a”的運(yùn)用;(2) 求出sina,sinc,結(jié)合正弦定理即可求得c.解答(1) 因?yàn)閍=3,b=2,b=2a,所以在abc中,由正弦定理得=,所以=,故cosa=.(2) 由(1)知cosa=,所以sina=.又因?yàn)閎=2a,所以cosb=cos2a=2cos2a-1=,所以sinb=.在abc中,sinc=sin(a+b)=sinacosb+cosasinb=.由正弦定理得c=5.精要點(diǎn)評解三角形時(shí),正弦定理是一個(gè)重要的工具.在結(jié)合正弦定理解三角形時(shí),要注意:其一,什么條件下用;其二,怎么用;其三,如何靈活恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用.特別是在邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化時(shí)對定理的熟練應(yīng)用.(2014廣東卷)在abc中,角a,b,c所對的邊分別為a,b,c.若bcosc+ccosb=2b,則=.答案2解析由正弦定理及bcosc+ccosb=2b,得sinbcosc+sinccosb=2sinb,即sin(b+c)=2sinb.因?yàn)閟in(b+c)=sina,所以sina=2sinb,利用正弦定理得a=2b,故=2.利用正弦定理判斷三角形的形狀在abc中,已知(a2+b2)sin(a-b)=(a2-b2)sin c,試判斷abc的形狀.思維引導(dǎo)從條件我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)角c可以寫成-(a+b),另外注意到兩邊都是關(guān)于邊的二次齊次式,因此可以利用正弦定理將邊化為角處理.解答由已知(a2+b2)sin(a-b)=(a2-b2)sinc,得b2sin(a-b)+sin(a+b)=a2sin(a+b)-sin(a-b),即b2sinacosb=a2cosasinb,即sin2bsinacosb=sin2acosasinb,所以sin2b=sin2a.由于a,b是三角形的內(nèi)角,故02a2,02b2,所以2a=2b或2a=-2b,即a=b或a+b=.故abc為等腰三角形或直角三角形.精要點(diǎn)評正弦定理的一個(gè)重要作用就是將邊化為角處理,借助三角恒等變換得到問題的解.若acosa=bcosb,試判斷abc的形狀.解答因?yàn)閍cosa=bcosb,所以sinacosa=sinbcosb,所以sin2a=sin2b.又因?yàn)閍,b(0,),所以2a,2b(0,2),所以2a=2b或2a+2b=,所以a=b或a+b=,所以abc為等腰三角形或直角三角形.正弦定理及面積公式的綜合應(yīng)用(2014重慶卷改編)在abc中,內(nèi)角a,b,c所對的邊分別為a,b,c,滿足a+b+c=8,sinacos2+sinbcos2=2sinc,且abc的面積s=sinc,求a和b的值.思維引導(dǎo)利用降冪公式化簡sinacos2+sinbcos2=2sinc,再利用正弦定理將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系,最后結(jié)合三角形面積公式,即可通過解方程組得出a和b的值.解答由sinacos2+sinbcos2=2sinc,得sina+sinb=2sinc,化簡得sina+sinacosb+sinb+sinbcosa=4sinc.因?yàn)閟inacosb+cosasinb=sin(a+b)=sinc,所以sina+sinb=3sinc,由正弦定理可知a+b=3c.又a+b+c=8,所以a+b=6.由于s=absinc=sinc,所以ab=9,結(jié)合解得a=b=3.精要點(diǎn)評(1) 解決此類問題,要根據(jù)已知條件,靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理及其推論,求邊角或?qū)⑦吔腔セ?同時(shí)還要注意整體思想、方程思想在解題過程中的運(yùn)用.(2) 注意降冪公式和升冪公式在化簡過程中的靈活運(yùn)用.(2014德州模擬)已知a,b,c分別為abc的三個(gè)內(nèi)角a,b,c的對邊,向量m=(sina,1),n=(cosa,),且mn.(1) 求角a的大小;(2) 若a=2,b=2,求abc的面積.思維引導(dǎo)(1)由mn,得sina=cosa,即tana=.又a(0,),得到a=.(2)首先由正弦定理可得sinb=,通過討論ab,得到ab,從而b=或.從而進(jìn)一步確定abc的面積.解答(1) 因?yàn)閙n,所以sina-cosa=0,即tana=.因?yàn)閍(0,),所以a=.(2) 由正弦定理可得sinb=,因?yàn)閍b,所以absinasinb是準(zhǔn)確判斷并取舍解的情況的工具.(3) 利用正弦定理將邊化為角或者將角化為邊處理,這是正弦定理的一種重要作用,正弦定理在此承擔(dān)了邊與角之間互化的橋梁作用.在abc中,角a,b,c所對的邊分別為a,b,c,且滿足ccos b+bcos c=4acos a.(1) 求cos a的值; (2) 若abc的面積是,求的值.規(guī)范答題(1) 利用正弦定理=,得sin ccos b+sin bcos c=4sin acos a,sin(b+c)=4sin acos a,即sin a=4cos asin a,所以cos a=.(7分)(2) 由(1)得sin a=,由題意得sabc=bcsin a=,所以bc=8,所以=bccos a=2.(14分)1. 在abc中,已知b=4,c=8,b=30,那么a=.答案4解析由正弦定理得sin c=1,所以c=90,a=60.又由正弦定理得a=4.2. 在銳角三角形abc中,角a,b所對的邊分別為a,b.若2asinb=b,則a=.答案解析由2asin b=b及正弦定理得sin a=,因?yàn)閍bc是銳角三角形,所以a,所以a=.3. 已知=,那么abc的形狀是.答案等腰直角三角形解析由正弦定理及=得tan b=tan c=1,注意到角a,b,c是abc的內(nèi)角,所以b=c=,從而a=,abc是等腰直角三角形.4. (2014福建卷)在abc中,a=60