（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 6.5 數(shù)列通項(xiàng)公式的求法 文.doc

【步步高】（江蘇專用）2017版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 6.5 數(shù)列通項(xiàng)公式的求法 文1等差數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)若等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，則其通項(xiàng)ana1(n1)d.(2)等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推廣：在等差數(shù)列an中，已知a1，d，am，an (mn)，則d，從而有anam(nm)d.(3)an的公差為d，則d0an為遞增數(shù)列；d0，c1)是等比數(shù)列an是正項(xiàng)等比數(shù)列l(wèi)ogcan (c0，c1)是等差數(shù)列an既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列an是各項(xiàng)不為零的常數(shù)列【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)如果數(shù)列an的通項(xiàng)公式an3n2，則數(shù)列an是遞增數(shù)列()(2)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為snn21，則其通項(xiàng)公式為ansnsn12n1.()(3)若已知數(shù)列an的遞推公式為an1，且a21，則可以寫出數(shù)列an的任何一項(xiàng)()(4)若三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，那么這三個(gè)數(shù)可以設(shè)為，a，aq (a0)()(5)指數(shù)函數(shù)f(x)2x圖象上一系列點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列xn，對應(yīng)的縱坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列yn若數(shù)列xn是等差數(shù)列，則數(shù)列yn是等比數(shù)列()(6)數(shù)列1,0,1,0,1,0，的通項(xiàng)公式只能是an.()1數(shù)列1，的一個(gè)通項(xiàng)公式是an_.答案2已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an，若am32，則m_.答案8解析an，am32.m8.3(教材改編)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和snn22n1 (nn*)，則an_.答案4數(shù)列an是公差不為零的等差數(shù)列，且a7，a10，a15是等比數(shù)列bn的連續(xù)三項(xiàng)，若該等比數(shù)列的首項(xiàng)b13，則bn_.答案3n1解析aa7a15，(a19d)2(a16d)(a114d)，a1d，ana1(n1)dd，q，bn3n1.5數(shù)列an的前20項(xiàng)由如圖所示的流程圖依次輸出的a值構(gòu)成，則數(shù)列an的一個(gè)通項(xiàng)公式an_(nn*，n20)答案解析由流程圖，知a1011，a2a1212，a3a23123，anan1n，即an123(n1)n，題型一利用觀察法求通項(xiàng)公式例1寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)2，；(2)，2，；(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9，.解(1)原數(shù)列可改寫成1，2，3，4，.故其通項(xiàng)公式為ann.(2)這個(gè)分?jǐn)?shù)數(shù)列中分子、分母的規(guī)律都不明顯，不妨把分子變成4，然后看分母，從而有，分母正好構(gòu)成等差數(shù)列，從而原數(shù)列的通項(xiàng)公式為an.(3)注意到此數(shù)列的特點(diǎn)：奇數(shù)項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)相等，偶數(shù)項(xiàng)比項(xiàng)數(shù)大1.故它可改寫成10,21,30,41,50,61，所以原數(shù)列的通項(xiàng)公式為ann.思維升華(1)觀察是歸納的前提，合理的轉(zhuǎn)換是完成歸納的關(guān)鍵(2)由數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出的通項(xiàng)公式不一定唯一如數(shù)列5,0，5,0,5，的通項(xiàng)公式可為an1(1)n(1)(nn*)，也可為an5sin (nn*)(3)已知數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，要熟記一些特殊數(shù)列，如(1)n，n，2n1，2n，2n1，n2，等，觀察所給數(shù)列與這些特殊數(shù)列的關(guān)系，從而寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式(1)1，；(2)，3，3，；(3)1，；(4)3,5,3,5，.解(1)不看符號(hào)，數(shù)列可看作自然數(shù)列的倒數(shù)，正負(fù)相間隔用(1)的n次冪進(jìn)行調(diào)整，通項(xiàng)公式an(1)n.(2)數(shù)列可化為，即，.每個(gè)根號(hào)內(nèi)可看作3與2n1的乘積通項(xiàng)公式an.(3)數(shù)列的每項(xiàng)可看成兩數(shù)之差，前一數(shù)是自然數(shù)的倒數(shù)，后一數(shù)為，通項(xiàng)公式an.(4)數(shù)列中的奇數(shù)項(xiàng)為3，偶數(shù)項(xiàng)為5.通項(xiàng)公式an此數(shù)列還可以這樣考慮，3與5的算術(shù)平均數(shù)為4,4加1便是5,4減1便是3，而加1與減1也就是(1)n.因此數(shù)列的通項(xiàng)公式還可以寫成an(1)n4(1)n.題型二利用遞推關(guān)系式求an命題點(diǎn)1利用迭加法求an例2已知數(shù)列an滿足a11，an3n1an1 (n2)求an的通項(xiàng)公式an.解由已知anan13n1，令n分別取2,3,4，n得a2a131，a3a232，a4a333，anan13n1，以上n1個(gè)式子相加，得ana131323n1，an.n1時(shí)，a11.an.命題點(diǎn)2利用迭乘法求an例3在數(shù)列an中，a12，an1an，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an.解由a12，an1an，.取n1,2,3，n1得，.把上述各式兩邊分別相乘，得，ana1，即ann(n1)當(dāng)n1時(shí)，a12適合上式故ann(n1) (nn*)命題點(diǎn)3利用構(gòu)造法求an例4(2014大綱全國)數(shù)列an滿足a11，a22，an22an1an2.(1)設(shè)bnan1an，證明bn是等差數(shù)列；(2)求an的通項(xiàng)公式(1)證明由an22an1an2得an2an1an1an2，即bn1bn2.又b1a2a11，所以bn是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列(2)解由(1)得bn12(n1)2n1，即an1an2n1.于是(ak1ak)(2k1)，所以an1a1n2，即an1n2a1.又a11，所以an的通項(xiàng)公式為ann22n2.思維升華(1)如果給出數(shù)列an的遞推公式為anan1f(n)型時(shí)，并且f(n)容易求和，這時(shí)可采用迭加法(2)如果數(shù)列an的遞推公式為f(n)型時(shí)，并且f(n)容易求前n項(xiàng)的積，這時(shí)可采用迭乘法迭乘的目的是出現(xiàn)分子、分母相抵消的情況(3)若an1cand，可構(gòu)造等比數(shù)列an1xc(anx)，從而求an.若an1，可構(gòu)造為等差數(shù)列，從而求an.(1)數(shù)列an中，a12，an1an3n (nn*)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_答案ann2n2解析由題意得anan13(n1)，an1an23(n2)，an2an33(n3)，a3a232，a2a131.把以上各式相加得ana1312(n1).ana12n2n2.(2)在數(shù)列an中，已知a14，an15nan，求an.解由題意知5n，所以5，52，53，5n1 (n2)，把上述各式兩邊分別相乘，得5525n1，an45123n14.又a14適合上式，an4.(3)(2015鎮(zhèn)江模擬)在數(shù)列an中，已知a11，an12an1，求其通項(xiàng)公式an.解由題意知an112(an1)，又a1120，數(shù)列an1是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，an12n，an2n1.題型三利用an求an例5設(shè)sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)的和，且sn(an1) (nn*)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解sn(an1)，當(dāng)n1時(shí)，s1a1(a11)，解得a13.當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1(an1)(an11)，得3，當(dāng)n2時(shí)，數(shù)列an是以3為公比的等比數(shù)列，且首項(xiàng)a23a19.n2時(shí)，an93n23n.顯然n1時(shí)也成立故數(shù)列的通項(xiàng)公式為an3n (nn*)思維升華已知數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，其方法是ansnsn1(n2)這里常常因?yàn)楹雎粤薾2的條件而出錯(cuò)，即由ansnsn1求得an時(shí)的n是從2開始的自然數(shù)，否則會(huì)出現(xiàn)當(dāng)n1時(shí)，sn1s0，而與前n項(xiàng)和定義矛盾可見ansnsn1所確定的an，當(dāng)n1時(shí)的a1與s1相等時(shí)，才是通項(xiàng)公式，否則要用分段函數(shù)表示為an已知：數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，滿足sn2an2n (nn*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；(2)若數(shù)列bn滿足bnlog2(an2)，而tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求tn.解(1)當(dāng)nn*時(shí)，sn2an2n，則當(dāng)n2，nn*時(shí)，sn12an12(n1)，得an2an2an12，即an2an12，an22(an12)，2.當(dāng)n1時(shí)，s12a12，則a12，當(dāng)n2時(shí)，a26，an2是以a12為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列an242n1，an2n12.(2)由bnlog2(an2)log22n1n1，得，則tn，tn，得tn，tn.13用函數(shù)的思想解決數(shù)列問題典例(14分)數(shù)列an的通項(xiàng)公式是ann2kn4.(1)若k5，則數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值；(2)若對于任意nn*，都有an1an，求實(shí)數(shù)k的取值范圍思維點(diǎn)撥(1)求使an0的n值；從二次函數(shù)看an的最小值(2)數(shù)列是一類特殊函數(shù)，通項(xiàng)公式可以看作相應(yīng)的解析式f(n)n2kn4.f(n)在n*上單調(diào)遞增，可利用二次函數(shù)的對稱軸研究單調(diào)性，但應(yīng)注意數(shù)列通項(xiàng)中n的取值規(guī)范解答解(1)由n25n40，解得1nan知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式ann2kn4，可以看作是關(guān)于n的二次函數(shù)，考慮到nn*，所以3.14分溫馨提醒(1)本題給出的數(shù)列通項(xiàng)公式可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集n*上的二次函數(shù)，因此可以利用二次函數(shù)的對稱軸來研究其單調(diào)性，得到實(shí)數(shù)k的取值范圍，使問題得到解決(2)在利用二次函數(shù)的觀點(diǎn)解決該題時(shí)，一定要注意二次函數(shù)對稱軸位置的選取(3)易錯(cuò)分析：本題易錯(cuò)答案為k2.原因是忽略了數(shù)列作為函數(shù)的特殊性，即自變量是正整數(shù)方法與技巧1若遞推關(guān)系為an1anf(n)或an1f(n)an，則可以分別通過累加、累乘法求得通項(xiàng)公式，累加即利用恒等式bnb1(b2b1)(b3b2)(bnbn1)，通過求和求通項(xiàng)；累乘是利用恒等式ana1求通項(xiàng)2數(shù)列與函數(shù)、an與sn的關(guān)系(1)數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此，在研究數(shù)列問題時(shí)，既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性(2)an失誤與防范1數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在利用函數(shù)觀點(diǎn)研究數(shù)列時(shí)，一定要注意自變量的取值，如數(shù)列anf(n)和函數(shù)yf(x)的單調(diào)性是不同的2數(shù)列的通項(xiàng)公式不一定唯一3在利用數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)時(shí)，往往容易忽略先求出a1，而是直接把數(shù)列的通項(xiàng)公式寫成ansnsn1的形式，但它只適用于n2的情形a組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：45分鐘)1設(shè)數(shù)列，2，則2是這個(gè)數(shù)列的第_項(xiàng)答案7解析數(shù)列可變?yōu)椋释?xiàng)公式an.令2，得n7.2設(shè)函數(shù)f(x)滿足f(n1) (nn*)，且f(1)2，則f(20)_.答案97解析由f(n1)知，f(n1)f(n)，f(2)f(1)1，f(3)f(2)2，f(4)f(3)3，f(n)f(n1)(n1) (n2)以上各式相加得f(n)f(1)12(n1) (n2)，f(n)2 (n2)，f(20)297.3如果數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn2an1，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式an_.答案2n1解析當(dāng)n1時(shí)，s12a11，a12a11，a11.當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1(2an1)(2an11)，an2an1，an是等比數(shù)列，經(jīng)檢驗(yàn)n1也符合an2n1，nn*.4已知數(shù)列an，bn滿足a1b13，an1an3，nn*，若數(shù)列cn滿足cnban，則c2 015_.答案272 015解析由已知條件知an是首項(xiàng)為3，公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列bn是首項(xiàng)為3，公比為3的等比數(shù)列，an3n，bn3n，又cnban33n，c2 015332 015272 015.5已知每項(xiàng)均大于零的數(shù)列an中，首項(xiàng)a11且前n項(xiàng)和sn滿足snsn12 (nn*且n2)，則a81_.答案640解析由已知snsn12可得，2，是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，故2n1，sn(2n1)2，a81s81s8016121592640.6若a11，an1，則an的通項(xiàng)公式an_.答案解析由已知3，3，13(n1)3n2，an.7數(shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù)，且滿足sn (nn*)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解方法一(消sn)：由sn (nn*)，得4an14(sn1sn)(an11)2(an1)2，化簡得(an1an)(an1an2)0，因?yàn)閍n0，所以an1an2，又4s14a1(a11)2，得a11，故an是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以an2n1.方法二(消an)：由上可知2an1，所以2snsn11 (n2)，化簡可得(1)2sn1，(1)(1)0，又s11，an的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以1.所以n，從而snn2，所以ansnsn12n1 (n2)，a11也適合，故an2n1.8設(shè)數(shù)列an滿足a12，an1an322n1.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)令bnnan，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和sn.解(1)由已知，當(dāng)n1時(shí)，an1(an1an)(anan1)(a2a1)a13(22n122n32)222(n1)1.而a12，符合上式，所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an22n1.(2)由bnnann22n1知sn12223325n22n1，從而22sn123225327n22n1.得(122)sn2232522n1n22n1，即sn(3n1)22n129在數(shù)列an中，a11，an12an2n.(1)設(shè)bn.證明：數(shù)列bn是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn.(1)證明an12an2n，又bn，bn，bn1bn，bn1bn1，bn是等差數(shù)列(2)解bnb1n1n.ann2n1.sn1221322n2n1，兩邊乘以2得：2sn121222(n1)2n1n2n，兩式相減得：sn121222n1n2n2n1n2n(1n)2n1，sn(n1)2n1.b組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘)10設(shè)數(shù)列an滿足a10且1.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，記snb1b2bn，證明sn1.(1)解由題設(shè)1知，是公差為1的等差數(shù)列，又1，故n，an1.(2)證明由(1)得bn，sn112 (nn*)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍(1)證明由3anan1anan10 (n2)，得3 (n2)，數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列(2)解由(1)可得，13(n1)3n2.an.(3)解an對任意n2 (nn*)恒成立，即3n1對任意n2 (nn*)恒成立整理得 (