材料力學(xué)第07章(彎曲變形)-06

71 工程中的彎曲變形問題 72 撓曲線的微分方程 73 用積分法求 彎曲變形 74 用疊加 法求 彎曲變形 75 簡單超靜定 梁 76 提高彎曲剛度的一些措施 第七章 彎曲變形 71 工程中的彎曲變形問題 P l F 橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動的角度。 1.撓度 w ： 2.轉(zhuǎn)角 ： 二、撓曲線：變形后，軸線由直線變?yōu)楣饣€，該曲線稱為撓 曲線。其方程為： w =f (x) 三、轉(zhuǎn)角與撓曲線的關(guān)系： 一、度量梁變形的兩個基本位移量 ta n 條件：小變形 F x w w C C1 與 w坐標(biāo)同向為正，反之為負(fù)。 ddxw橫截面形心在垂直于 x軸方向的線位移。 反時針轉(zhuǎn)動為正。 72 撓曲線的微分方程 zEIM 1在純彎曲時 EIz 梁的抗彎剛度。 M M d23)1(12ww 由 72 撓曲線的微分方程 zEIxM)(1 在橫力彎曲時， 忽略剪力對梁位移的影響 或： 23)1(12ww zEIM 1在純彎曲時 F x x w w x 0w撓曲線近似微分方程 11 2 wzEIxMw )( zEIxMww )()1( 232 在小變形的條件下， zEIxMw)(0w取“ +” 取“ +” w x 0M0MM M M M )( xMwEI 對于等截面直梁，撓曲線近似微分方程可寫成如下形式： xxMwEI d)(E Iw 73 用積分法求 彎曲變形 積分常數(shù) C、 D由邊界條件確定。 CCx D xxxM d)d)(撓曲線近似微分方程 zEIxMw)( 求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。 （ 1） 建立坐標(biāo)系并寫出彎矩方程 )()( xlFxM （ 2） 寫出 微分方程并積分 （ 3） 應(yīng)用位移邊界條件 求積分常數(shù) )( xMwEI wEI361 Fx，0 D 0C解： 例 1 當(dāng) x =0時， wA=0， x w x F l A B wA= A= 0 FxFl FxFl 221 FxFlx CEIw Cx D221 F lx(4)寫出撓曲線方程并畫出曲線 )3(6 32 xlxEIFw )2(2 2xlxEIF )3(6 32 xlxEIFw )( 33m a x EIFlw(5)最大撓度及最大轉(zhuǎn)角 x w F l )2(2 2xlxEIF A B max wmax x=l 時， ) ( 22m a x EIFl例 2 222)( xqxqlxM 解： )( xMwEI 24 xqlwEI 312 xqlE I w 邊界條件 : 當(dāng) x=0 時， wA= 0 (1) 當(dāng) x=l 時， wB= 0 (2) 由（ 1）得 D= 0 由（ 2）得 Cllqql 4424120243qlC 求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。 q A B x x w 2qlFFBA FA FB 222 xqxql 36xq C424xq CxDl 24641 332 qlxqxqlEI xqlxqxqlEIw2424121 343時，和當(dāng) lxx 0時，當(dāng) 2lx )( 3845 4m a xEIqlwEIql243m a x 最大撓度及最大轉(zhuǎn)角 x q A B w B A wmax l 例 3 11 )( xFxM A解： )( 11 xMwEI 211 2 xFwEI A1131 16 xCxFE I w A 22 )( xFxM A)( 22 xMwEI 222 2 xFwEI A22232322 )(66 DxCaxFxFE I w A FlbF A l F A B D a b FA FB x x1 x2 求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。 1xF A)( 22 axFxF A 22 )(2 axF 2Cw )( 2 axF 1C1Dl F A B D a b w x x1 x2 邊界條件 : 當(dāng) x1=x2=a 時， w1=w2 (3) 當(dāng) x2=l時， w2=0 (2) 連續(xù)條件 : 當(dāng) x1=0時， w1=0 (1) 光滑條件 : 當(dāng) x1=x2=a 時， w1=w2 (4) A B D a b D A B a b F F 1211 2 CxFwEI A 11131 16 DxCxFE I w A 222 2 xFwEI A22232322 )(66 DxCaxFxFE I w A 22 )(2 axF 2Cl F A B D a b w x x1 x2 當(dāng) x1=x2=a 時， w1=w2 (3) 連續(xù)條件 : 光滑條件 : 當(dāng) x1=x2=a 時， w1=w2 (4) 由（ 4）得： C1=C2 由（ 3）得： D1=D2 1211 2 CxFwEI A 11131 16 DxCxFE I w A 222 2 xFwEI A22232322 )(66 DxCaxFxFE I w A 22 )(2 axF 2Cl F A B D a b w x x1 x2 由（ 4）得： C1=C2 由（ 3）得： D1=D2 邊界條件 : 當(dāng) x2=l時， w2=0 (2) 當(dāng) x1=0時， w1=0 (1) 由（ 1）得： D1=0， 由（ 2）得： 0)(66 2332 lCalFlFE I w A)(6 2212 bllFbCC D2=D1=0 確定 最大轉(zhuǎn)角 當(dāng) x1=0時， A= )(6 blE I lF b a 當(dāng) x2=l時， B= )(6 alE I lF a b Bba m a x l F A B D a b w x x1 x2 0, 0 BA )(3 baEI lFb a D 最大撓度發(fā)生在 AD段。 確定 最大撓度 0, 01 w令3220blx 得322 )(39blE I lFbw m a x 得)43(48 222 blEIFbw l 確定 最大轉(zhuǎn)角 當(dāng) x1=0時， A= )(6 blE I lF b a 當(dāng) x2=l時， B= )(6 alE I lF a b Bba m a x l F A B D a b w x x1 x2 0, 0 BA )(3 baEI lFb a D 最大撓度發(fā)生在 AD段。 確定 最大撓度 0, 01 w令3220blx 得322 )(39blE I lFbw m a x 得)43(48 222 blEIFbw l l F A B D a b w x x1 x2 , 01 w令3220blx 得322 )(39blE I lFbw m a x 得)43(48 222 blEIFbw l llxb 577.03 , 0 0 EIF b lw39 2m a x EIF b lwl 483 22 %65.222m a x llwww A B F l/2 w x l/2 , 時當(dāng) ba EIFl w wl/ 4832m a x EIFl162 m a x maxw w m ax F l 其中 稱為許可轉(zhuǎn)角； 稱為許可撓度。 wF 梁的剛度條件 F A B l 橋梁 )1 0 0 02 5 0(llw l 橋式起重機(jī) )750500(llw 一般用途的軸 )100005100003( llw 齒輪或軸承處 r a d 001.0 q A B 74 用疊加 法求 彎曲變形 疊加原理 :多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形等于每個載荷單獨作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和。 疊加原理的使用條件： 小變形、材料在線彈性范圍內(nèi)工作。 = q F A C B + F A B 按疊加原理求 C點撓度 和 A點轉(zhuǎn)角。 解、 (1)載荷分解如圖 (2)查表計算簡單載荷引起的變形。 EIaFwFC 48)2()( 3EIaqwqC 384)2(5)( 4 + = EIFa63EIqa245 4qCFCC www )()( EIFa63 )(例 1 EIqa245 4B q F A C a a (wC)q A B q (wC)F F B A qAFAA )()( )43(12 2qaFEIa EIFa42EIqa33EIaFFA 16)2()( 2EIaqqA 24)2()( 3+ A B q F B A (A)q (A)F 利用 變形表 求 B點撓度。 例 5 B F F A C a a 變形表： EIFlwB 33EIFlB 22B F A l wB B B F A C B F A C a a w1 w2 C 1 變形表： EIFlwB 33EIFlB 22B F A l wB B B F F A C a a 解 : 1wEIaFw3)2( 32 EIFa65 3EIFa65 321 www B EIFa611 3 )(EIFa38 3EIFa3 3aw CC 11 21 www B EIFa38 3aEIFa 2 2B F A C B F A C a a w1 w2 C 1 變形表： EIFlwB 33EIFlB 22B F A l wB B F A a a a C EIFawG 1211 321 ww 22 ww G )(例 6 按疊加原理求跨中 G點撓度。 F A C F E D G a a a w1 w2 12 ww G 解： 查第 190頁第 9欄 EIFa2423 348 )4)3(3( 222EIaaFa 22 wA C F a a a A B C l a C w2 F A B C l a 用 逐段剛化法 求 B點撓度。 = + F l a A B C 等價 等價 21 www B F B l a A C 剛化 AC段 剛化 BC 段 F M=Fa 例 7 w1 B C F a w1 w2 EIFaw3 31 aw C 2 aEIMl 3EIF la3221 www B EIFa33EIF la32aEI lFa 3 )()(解： F l a A B C B C F a w1 M=Fa C A B C l a w2 例 求跨中 C點撓度。 F A C a D B a a a F/2 wB C D B a a F/2 wB2 C D B a a Fa/2 F/2 wB2 C D B a a F/2 wB C D B a a F/2 wB1 C D B a a 例 F A C B 2a a 求 C點的水平和垂直位移。 F A C B 2a a F A C B 2a M=Fa A B M=Fa A q l B 75 簡單超靜定 梁 A l B 靜定 梁 超靜定 梁 一次靜不定 靜定 梁 超靜定 梁 一次靜不定 A A q A l 解題步驟： (4)比較原系統(tǒng)和相當(dāng)系統(tǒng)的變形，解出多余約束反力。 FB 用 比較變形法 解超靜定 梁 （ 1）去掉 多余約束得到靜定基。 A B （ 2）加上原載荷。 （ 3）加上多余約束反力，得到相當(dāng)系統(tǒng)。 （ 5）在相當(dāng)系統(tǒng)上求其他量。 已知： q、 EI、 l 試畫出梁的彎矩圖 q 0Bw= 比較變形法 EIlFw BF B 3303 834 EIlFEIql BqlF B 83 q A B qw+ FB A B BFw EIqlw q 8 4方向假設(shè)正確，向上 解： BFqB www 0變形協(xié)調(diào)方程： FB A B q A B q 85 qlFA 8 2qlM A 85qlFS圖 83ql+ M圖 82ql1289 2ql + 畫剪力圖和彎矩圖 FA MA FB ql83A B q 85qlFS圖 83ql+ FA MA FB ql83l A B q M圖 22ql qlFS圖 + M圖 82ql1289 2ql + 最大彎矩將增加 3倍 3 88 2222qlqlql若沒有支座 B，則梁內(nèi)最大彎矩將增加： l A B q A l q M圖 22ql M圖 82ql1289 2ql + 變形協(xié)調(diào)方程： 0 MqA 靜定基的另一種取法： MA A l q A B l q lw B 結(jié)構(gòu)如圖，求 BC 桿拉力。 FN = + l1 EAq l A B C EIl B 解： NFqB www EIlFEIql3 83N4變形協(xié)調(diào)方程 q A B wB EAlFEIlFEIql 1N3N43 8 例 10 EAlFl 1Nq A B FN A B )3(8314NEIlAlIqlF解得：例 6 已知： EI=5 103 kNm 2。繪梁的剪力圖和彎矩圖 FB 30kN A B 4m 3m 2m 20kN/m C D 30kN A B 4m 3m 2m 20kN/m C D 30kN 20kN/m 例 6 MB 已知： EI=