華師版初中數(shù)學教案+隨堂練習：第十九章_全等三角形

1第十 九章 全等 三角 形 1 9 .1 命題 與定理一 知識 點：1.命題：可以判斷它是正確的或是錯誤的句子叫做 命題 （ proposition） 正確的命題稱為真命題 ， 錯誤的命題稱為假命題 在數(shù)學中 ， 許多命題是由 題設 （ 或已知條件 ） 、 結論 兩部分組成的 題設是已知事項 ； 結論是由已知事項推出的事項2.公理：數(shù)學中有些命題的正確性是人們在長期實踐中總結出來的，并把它們作為判斷其他命題真假的 原始依據(jù) ，這樣的真命題叫做公理（ axioms） 。3.定理：數(shù)學中有些命題可以從公理或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法證明它們是正確的，并且 可以進一步作為判斷其他命題真假的依據(jù) ，這樣的真命題叫做定理（ theorem） 二 學習過 程：1 按教材的思路講解，并歸納相關的知識點。2. 和學生一起完成課后習題。三 例題及 習題：教材中的題目。 1 9.2 三角 形全等的 判定一 知識 點：1.全等三角形的判定條件：若兩個三角形的三條邊、三個角分別對應相等，則這兩個三角形全等 .2.邊角邊：如果兩個三角形有兩邊及其夾角分別對應相等，那么這兩個三角形全等簡記為 S.A.S.（或邊角邊 ） 3.角邊角：如果兩個三角形有兩個角及其夾邊分別對應相等，那么這兩個三角形全等簡記為 A.S.A.（或角邊角 ） 4.角角邊：如果兩個三角形有兩個角和其中一個角的對邊分別對應相等，那么這兩個三角形全等簡記為 A.A.S.（或角角邊 ） 5.邊邊邊：如果兩個三角形的三條邊分別對應相等，那么這兩個三角形全等簡記為 S S S （或邊邊邊） .6.斜邊直角邊：如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊分別對應相等，那么2這兩個直角三角形全等簡記為 H L （或斜邊直角邊 ） 二 學習過 程：1 按教材的思路講解，并歸納相關的知識點。2. 和學生一起完成課后習題。三 例題及 習題：教材中的題目。全等三角形判定練習（基礎題）1.如圖 ， ABC DEB， AB= DE， E = ABC，則 C 的對 應角 為 ， B D的對應邊為 .2.如圖 ， AD= AE， 1= 2 ， BD= CE， 則有 ABD ， 理由是 ， ABE ，理由是 .（第 1 題） （第 2 題） （第 4 題）3.已知 ABC DEF， BC= EF=6cm， ABC的面積 為 18 平方厘 米，則 EF 邊上的高是 cm.4.如圖 ， AD、 A D 分別是銳角 ABC和 A B C 中 BC 與 B C 邊上的高 ， 且 AB= A B ，AD= A D ，若使 ABC A B C ，請你補 充條件 （只需填 寫一個你認為適當?shù)臈l件）5. 若兩個圖形全等 ， 則其中一個圖形可通過平移 、 或 與另一個三角形完全重合 .6. 如圖 ， 有兩個長度相同的滑梯 （ 即 BC EF） ， 左邊滑梯的高度 AC 與右邊滑梯水平方向 的長度 DF 相等，則 ABC DFE _度（第 6 題） （第 7 題） （第 8 題） （第 9 題）7 已知 ： 如圖 ， 正方形 ABCD的邊長為 8 ， M 在 DC 上 ， 且 DM 2 ， N 是 AC 上的一BAEDC EDAB C1 2 DAB C B DA CMNDCBAFEDCB ADCBAED CBA3動點， 則 D N M N 的最小值為 _ 8 如圖 ， 在 ABC 中 ， B 90 o ， D 是斜邊 AC 的垂直平分線與 BC 的交點 ， 連 結AD ，若 DAC ： DAB 2 ： 5 ，則 DAC _ 9 等腰直角三角形 ABC 中 ， BAC 90 o ， BD 平分 ABC 交 AC 于點 D ， 若 AB AD 8cm ，則底邊 BC 上的高為 _ 10 銳角三角形 ABC 中 ， 高 AD 和 BE 交于點 H ， 且 BH AC ， 則 ABC _度11 已知在 ABC 中， AB = AC ， A =5 6 ，則高 BD 與 BC 的夾角為（ ）A 28 B 34 C 68 D 62 12 在 ABC 中， AB =3 ， AC =4 ，延長 BC 至 D ，使 CD = BC ，連接 AD ，則 AD 的長的取值范圍為（ ）A 1 A D 7 B 2 A D 14 C 2.5 A D 5.5 D 5 A D 1113 如圖，在 ABC 中， C =9 0 ， CA = CB ， AD 平分 CAB 交 BC 于 D ，D E AB 于點 E ，且 AB =6 ，則 DEB 的周長為（ ）A 4 B 6 C 8 D 1014. 對假命題 “ 任何一個角的補角都不小于這個角 ” 舉反例，正確的反例是（ ）A. =60 ， 的補角 =120 ， B. =90 ， 的補角 =900 ， = C. =100 ， 的補角 =80 ， B. =90 ， 的補角 =900 ， = C. =100 ， 的補角 =80 ， D. 兩個角互為鄰補角16. ABC 與 A B C 中，條件 AB = A B ， BC = B C ， AC = A C ， A= A ， B = B ， C = C ，則下列各組條件中不能保證 ABC A B C 的是（ ）A. B. C. D. 17 如圖 ， 在 ABC 中 ， AB = AC ， 高 BD ， CE 交于點 O ， AO 交 BC 于點 F ， 則圖中共有全等三角形（ ）A 7 對 B 6 對 C 5 對 D 4 對DCBA3018 如圖，在 ABC 中， C =9 0 ， AC = BC ， AD 平分 BAC 交 BC 于點 D ， D E A B于點 E ，若 DEB 的周長為 10cm ，則斜邊 AB 的長為（ ）A 8 cm B 10 cm C 12 cm D 20 cm19 如 圖， ABC 與 BDE 均為 等邊 三角形 ， A B BD ，若 ABC 不動 ，將 BD E繞點 B 旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中， AE 與 CD 的大小關系為（ ）A AE = CD B A E CD C A E CD D 無法確定20 已知 P =8 0 ， 過不在 P 上一點 Q 作 QM ， QN 分別垂直于 P 的兩邊 ， 垂足為 M ， N ，則 Q 的度數(shù)等于（ ）A 10 B 80 C 100 D 80 或 100 三、解答題（每小題 5 分，共 30 分）21. 如圖，點 E 在 AB 上， AC = AD ，請你添加一個條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明 . 所添條件為 ，你 得 到 的 一 對 全 等 三 角 形 是 .22. 如圖， EG AF ，請你從下面三個條件中再選兩個作為已知條件，另一個為結論， 推出一個 正確的命 題（只 需寫出一 種情況 ） ，并 給予證明 . AB = AC ， DE = DF ， BE = CF ，已知： EG AF ， = ， = ，求證： 證明：23. 如圖，在 ABC 和 DEF 中， B 、 E 、 C 、 F 在同一直線上，下面有四個條件 ，請你在其中選擇 3 個作為題設 ， 余下的 1 個作為結論 ， 寫一個真命題 ， 并加以證明 . AB = DE ， AC = DF ， ABC = DEF ， BE = CFECDBA31EABD FC24. 如圖 ， 四邊形 ABCD 中 ， 點 E 在邊 CD 上 . 連結 AE 、 BF ， 給出下列五個關系式 ： AD BC ； DE = CE . 1= 2 . 3= 4 . AD + BC = AB 將其中的三個關系式作為假設，另外兩個作為結論，構成一個命題 .(1) 用序號寫出一個真命題，書寫形式如：如果 ，那么 ，并給出證明；(2) 用序號再寫出三個真命題（不要求證明 ） ；（ 3 ）真命題不止以上四個，想一想就能夠多寫出幾個真命題 EDAC 432 1FB25. 已知，如圖， D 是 ABC 的邊 AB 上一點 , DF 交 AC 于點 E , DE = FE , AB FC . 問線段 AD 、 CF 的長度關系如何？請予以證明 .26. 如圖，已知 ABC 是等腰直角三角形， C =90 .（ 1 ） 操作并觀察 ， 如圖 ， 將三角板的 45 角的頂點與點 C 重合 ， 使這個角落在 ACB 的內(nèi)部 ， 兩邊分別與斜邊 AB 交于 E 、 F 兩點 ， 然后將這個角繞著點 C 在 ACB 的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，觀察在點 E 、 F 的位置發(fā)生變化時， AE 、 EF 、 FB 中最長線段是否始終是 EF ？寫出觀察結果 .（ 2 ） 探索 ： AE 、 EF 、 FB 這三條線段能否組成以 EF 為斜邊的直角三角形？如果能，試加以證明 .32四、探究題 （每題 10 分，共 20 分）27.如 圖 ， OP 是 MON的平分線 ， 請你利用該圖形畫一對以 OP 所在直線為對稱軸的全等三角 形 . 請你參考這個作 全等三角形的方法，解答下列問題：（ 1 ）如圖 ，在 ABC中， ACB是直角 ， B =60 ， AD、 CE 分別是 BAC、 BCA的平分 線， AD、 CE 相交于 點 F . 請 你判斷 并寫出 FE 與 FD 之間的 數(shù)量關系；（ 2 ）如圖 ，在 ABC中，如果 ACB不是直角，而 (1)中的其它條件不變 ， 請問，你在 (1)中所得結論是否仍 然成立？若成立，請證明；若不成 立，請說明理 由 .28.如圖 a ， ABC和 CEF是兩個大小不等的等邊三角形 ， 且有一個公共頂點 C ，連接 AF 和 BE.(1)線段 AF 和 BE 有怎樣的大小關系 ? 請證明你的結論；(2)將圖 a 中的 CEF繞點 C 旋轉(zhuǎn)一定的角度 ， 得到圖 b ， (1)中的結論還成立嗎 ?作出判斷并說明理由；(3)若將圖 a 中的 ABC繞點 C 旋轉(zhuǎn)一定的角度 ， 請你畫山一個變換后的圖形 ( 草圖即可 ) ， (1)中的結論還成立嗎 ? 作出判斷不必說明理由；(4)根據(jù)以上證明、說理、畫圖，歸納你的發(fā)現(xiàn)） . EACF B EACFB圖 a 圖 bO PAMNEBCDFA CE FBD圖 圖 圖 33參考答案一、 1. DBE， CA 2. ACE， SAS， ACD， ASA（ 或 SAS） 3. 64.CD= C D （ 或 AC= A C ， 或 C = C 或 CAD= C A D ） 5.平移 ， 翻折 6. 907. 10 8. 20 9. 248 10. 45二、 11. A 12. D 13. B 14.A 15.C 16.C 17.A18.B 19.A 20.D三、 21.可選 擇 B DBCDABCABDECE = 、 等條 件中的一 個 . 可得 到 ACE ADE或 ACB ADB等 .22.結合圖形，已知條件以及所供選擇的 3 個論斷，認真分析它們之間的內(nèi)在聯(lián)系可選 AB= AC， DE= DF，作為已知條件， BE= CF 作為結論；推理過程為： EG AF， GED= CFD， BGE= BCA， AB= AC， B = BCA， B = BGE BE= EG，在 DEG和 DFC中， GED= CFD， DE= DF， EDG= FDC， DEG DFC， EG= CF，而 EG= BE， BE= CF；若選 AB= AC， BE= CF 為條件，同樣可以推得 DE= DF，23.結合圖形，認真分析所供選擇的 4 個論斷之間的內(nèi)在聯(lián)系由 BE= CF 還可推得 BC= EF，根據(jù)三角形全等的判定方法，可選論斷： AB= DE， AC= DF， BE= CF 為條件，根據(jù)三邊對應相等的兩個三角形全等可以得到： ABC DEF，進而推得論斷 ABC= DEF，同樣可選 AB= DE， ABC= DEF， BE= CF 為條件，根據(jù)兩邊夾角對應相等的兩個三角形全等可以得到： ABC DEF，進而推得論斷 AC= DF.24. （ 1 ）如果 ，那么 證明：如圖，延長 AE 交 BC 的延長線于 F 因為 AD BC 所以 1= F又因為 AED = CEF ， DE= EC 所以 ADE FCE，所以 AD= CF, AE= EF因為 1= F , 1= 2 所以 2= F 所以 AB= BF. 所以 3= 4所以 AD+ BC= CF+ BC= BF= AB（ 2 ） 如果 ， 那么 ； 如果 ， 那么 ； 如果 ， 那么 .(3) 如果 ， 那么 ； 如果 ， 那么 ； 如果 ， 那么 .3425. （ （ （ （ 1 ） 觀察結果是 ： 當 45 角的頂點與點 C 重合 ， 并將這個角繞著點 C 在重合 ， 并將這個角繞著點 C 在 ACB 內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時 ， AE 、 EF 、 FB 中最長的線段始終 是EF .（ 2 ） AE 、 EF 、 FB 三條線段能構成以 EF 為斜邊的直角三角形，證明如下：在 ECF 的內(nèi)部作 ECG = ACE ， 使 CG = AC ， 連結 EG ， FG ， ACE GCE ， A = 1 ，同理 B = 2 ， A + B =90 ， 1+ 2=90 ， EGF =90 ， EF 為斜邊 .四、 27. （ 1 ） FE 與 FD 之間的數(shù)量關系為 FE = FD（ 2 ）答 ： （ 1 ）中的結論 FE=FD 仍然成立圖 圖 證法一：如圖 1 ，在 AC 上截取 AG = AE ，連接 FG 1 = 2 ， AF = AF ， AE = AG AEF AGF AFE = AFG ， FG = FE B=6 0 , 且 AD