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文檔簡介
遼寧省協(xié)作校2014-2015學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(文科)一、選擇題(共12小題,每小題5分,滿分60分)1(5分)下列不等式一定成立的是()alg(x2+)lgx(x0)bsinx+2(xkx,kz)cx2+12|x|(xr)d(xr)2(5分)存在實數(shù)x使得x2+6mx+9m0成立,則實數(shù)m的取值范圍是()a(0,1)b0,1c(,0(1,+)d(,01,+)3(5分)2+和2的等比中項是()a1b1c1d24(5分)等差數(shù)列an中,“a1a3”是“anan+1”的()a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件5(5分)函數(shù)y=4x2+的單調(diào)增區(qū)間為()a(0,+)bc(,1)d6(5分)已知f(x)=x2+2xf+2014lnx,則f=()a2015b2015c2014d20147(5分)定義在r上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)f(x)恒成立,若x1x2,則f(x2)與ef(x1)的大小關(guān)系為()af(x2)ef(x1)bf(x2)ef(x1)cf(x2)=ef(x1)df(x2)與ef(x1)的大小關(guān)系不確定8(5分)過點(0,1)的直線與拋物線y2=4x僅有一個公共點,則滿足條件的直線共有()條a0b1c2d39(5分)已知橢圓與雙曲線共焦點,則橢圓c1的離心率e的取值范圍為()abc(0,1)d10(5分)如圖,有公共左頂點和公共左焦點f的橢圓與的長半軸的長分別為a1和a2,半焦距分別為c1和c2,橢圓的右頂點為橢圓的中心,則下列結(jié)論不正確的是()aa1c1=a2c2ba1+c1a2+c2ca1c2a2c1da1c2a2c111(5分)已知雙曲線的左右焦點分別為f1,f2,點o為坐標(biāo)原點,點p在雙曲線右支上,pf1f2內(nèi)切圓的圓心為q,圓q與x軸相切于點a,過f2作直線pq的垂線,垂足為b,則|oa|與|ob|的長度依次為()aa,aba,cd12(5分)方程+=1的曲線即為函數(shù)y=f(x)的圖象,對于函數(shù)y=f(x),有如下結(jié)論:f(x)在r上單調(diào)遞減;函數(shù)f(x)=4f(x)+3x不存在零點;函數(shù)y=f(x)的值域是r;若函數(shù)g(x)和f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,則函數(shù)y=g(x)的圖象就是方程+=1確定的曲線其中所有正確的命題序號是()abcd二、填空題(共4小題,每小題5分,滿分20分)13(5分)已知an為等差數(shù)列,sn為其前n項和,若,s2=a3,則sn=14(5分)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1時有極值為10,則a+b的值為15(5分)若橢圓的離心率為,則雙曲線的漸近線方程是 16(5分)已知過拋物線y2=x的焦點f的直線m的傾斜角是,m交拋物線于a,b兩點且a在x軸上方,則|fa|的取值范圍是三、解答題(共5小題,滿分58分)17(10分)(1)當(dāng)x時,求函數(shù)y=x+的最大值;(2)當(dāng)0x時,求函數(shù)y=x(12x)的最大值18(12分)已知數(shù)列an的前n項和為sn=n(n+1)(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若b1=1,2bnbn1=0,cn=anbn,數(shù)列cn的前n項和為tn,求tn19(12分)已知過拋物線y2=2px(p0)的焦點,斜率為的直線交拋物線于a(x1,y1)和b(x2,y2)(x1x2)兩點,且|ab|=9,(1)求該拋物線的方程;(2)o為坐標(biāo)原點,c為拋物線上一點,若,求的值20(12分)如圖,點f1(c,0),f2(c,0)分別是橢圓c:(ab0)的左右焦點,經(jīng)過f1做x軸的垂線交橢圓c的上半部分于點p,過點f2作直線pf2垂線交直線于點q()如果點q的坐標(biāo)是(4,4),求此時橢圓c的方程;()證明:直線pq與橢圓c只有一個交點21(12分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,且知當(dāng)x=1時取得極大值7,當(dāng)x=3取得極小值,試求f(x)的極小值,并求a、b、c的值遼寧省協(xié)作校2014-2015學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(文科)參考答案與試題解析一、選擇題(共12小題,每小題5分,滿分60分)1(5分)下列不等式一定成立的是()alg(x2+)lgx(x0)bsinx+2(xkx,kz)cx2+12|x|(xr)d(xr)考點:不等式比較大小 專題:探究型分析:由題意,可對四個選項逐一驗證,其中c選項用配方法驗證,a,b,d三個選項代入特殊值排除即可解答:解:a選項不成立,當(dāng)x=時,不等式兩邊相等;b選項不成立,這是因為正弦值可以是負(fù)的,故不一定能得出sinx+2;c選項是正確的,這是因為x2+12|x|(xr)(|x|1)20;d選項不正確,令x=0,則不等式左右兩邊都為1,不等式不成立綜上,c選項是正確的故選:c點評:本題考查不等式大小的比較,不等式大小比較是2015屆高考中的??碱},類型較多,根據(jù)題設(shè)選擇比較的方法是解題的關(guān)鍵2(5分)存在實數(shù)x使得x2+6mx+9m0成立,則實數(shù)m的取值范圍是()a(0,1)b0,1c(,0(1,+)d(,01,+)考點:二次函數(shù)的性質(zhì) 專題:函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用分析:首先把函數(shù)的一般式轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)式,進一步利用函數(shù)的存在性問題進行求解,最后確定參數(shù)的取值范圍解答:解:設(shè)f(x)=x2+6mx+9m=(x+3m)2+9m9m2,當(dāng)x=3m時,所以:存在實數(shù)x使得x2+6mx+9m0成立,只需滿足即可解得:m1或m0,即m的取值范圍為:m(,0)(1,+)故選:c點評:本題考查的知識要點:一元二次函數(shù)一般式與標(biāo)準(zhǔn)式的互化,存在性問題的應(yīng)用屬于基礎(chǔ)題型3(5分)2+和2的等比中項是()a1b1c1d2考點:等比數(shù)列的性質(zhì) 專題:計算題分析:設(shè)2+和2的等比中項是 x,則 x2=(2+)(2)=1,由此求得 x 的值解答:解:設(shè)2+和2的等比中項是 x,則 x2=(2+)(2)=1,x=1故選:c點評:本題主要考查等比數(shù)列的定義和性質(zhì),求得x2=(2+)(2)=1,是解題的關(guān)鍵4(5分)等差數(shù)列an中,“a1a3”是“anan+1”的()a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件考點:必要條件、充分條件與充要條件的判斷 專題:探究型分析:結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)和定義,利用充分條件和必要條件的定義進行判斷解答:解:則等差數(shù)列中由a1a3,得a1a1+2d,即d0,此時等差數(shù)列為遞增數(shù)列,所以anan+1成立若anan+1,則d0,數(shù)列為遞增數(shù)列,所以a1a3成立綜上,“a1a3”是“anan+1”的充要條件故選c點評:本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,利用等差數(shù)列的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵,比較基礎(chǔ)5(5分)函數(shù)y=4x2+的單調(diào)增區(qū)間為()a(0,+)bc(,1)d考點:二次函數(shù)的性質(zhì) 專題:導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用分析:先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),令導(dǎo)函數(shù)大于0,解不等式求出即可解答:解:y=8x,令y0,解得:x,函數(shù)的遞增區(qū)間是(,+),故選:b點評:本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,是一道基礎(chǔ)題6(5分)已知f(x)=x2+2xf+2014lnx,則f=()a2015b2015c2014d2014考點:導(dǎo)數(shù)的運算 專題:導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用分析:對函數(shù)f(x)的解析式求導(dǎo),得到其導(dǎo)函數(shù),把x=2014代入導(dǎo)函數(shù)中,列出關(guān)于f的方程,進而得到f的值解答:解:求導(dǎo)得:f(x)=x+2f+令x=2014,得到f=2014+2f+1,解得:f=2015,故選:b點評:本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算,以及函數(shù)的值運用求導(dǎo)法則得出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),屬于基礎(chǔ)題7(5分)定義在r上的函數(shù)f(x)滿足:f(x)f(x)恒成立,若x1x2,則f(x2)與ef(x1)的大小關(guān)系為()af(x2)ef(x1)bf(x2)ef(x1)cf(x2)=ef(x1)df(x2)與ef(x1)的大小關(guān)系不確定考點:指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 專題:導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用分析:構(gòu)造函數(shù)g(x)=,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論解答:解:構(gòu)造函數(shù)g(x)=,則,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增,若x1x2,g(x1)g(x2),即,f(x2)ef(x1),故選:a點評:本題主要考查函數(shù)值的大小比較,根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵8(5分)過點(0,1)的直線與拋物線y2=4x僅有一個公共點,則滿足條件的直線共有()條a0b1c2d3考點:拋物線的簡單性質(zhì) 專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析:(法一)先看當(dāng)直線斜率不存在時是否成立,再看直線斜率存在時設(shè)出直線方程,與拋物線方程聯(lián)立,對二次項的系數(shù)分類討論,再由判別式等于0時求k的值:(法二)判斷出點(0,1)在拋物線y2=4x的外部,則過(0,1)的直線與拋物線y2=4x相切的直線有兩條,此外還有一條與x軸平行的直線,與拋物線也有一個交點,即可得到滿足條件的直線的條數(shù)解答:解:(法一)當(dāng)直線斜率不存在時,直線的方程為x=0,與拋物線方程聯(lián)立求得x=0,y=0,此時直線與拋物線只有一個交點,當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)直線方程y=kx+1,與拋物線方程聯(lián)立得k2x2+(2k4)x+1=0,當(dāng)k=0時,y=1代入拋物線求得x=1,此時直線與拋物線有一個交點,當(dāng)k0,要使直線與拋物線只有一個交點需=(2k4)24k2=0,求得k=1,綜合可知要使直線與拋物線僅有個公共點,這樣的直線有3條,(法二)因為點(0,1)在拋物線y2=4x的外部,所以過(0,1)的直線與拋物線y2=4x相切的直線有兩條,此外還有一條與x軸平行的直線,與拋物線也有一個交點,所以滿足條件的直線的條數(shù)是3故選:d點評:本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系,直線和與拋物線相切的條件,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,設(shè)直線方程時,一定要考慮斜率不存在的情況9(5分)已知橢圓與雙曲線共焦點,則橢圓c1的離心率e的取值范圍為()abc(0,1)d考點:雙曲線的簡單性質(zhì);橢圓的簡單性質(zhì) 專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析:根據(jù)橢圓與雙曲線共焦點,確定n的值與m的范圍,進一步可求橢圓c1的離心率e的取值范圍解答:解:由題意,m+2n=m+n,n=1又m+2n,m0,m+22故選a點評:本題考查橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì),考查學(xué)生的計算能力,屬于基礎(chǔ)題10(5分)如圖,有公共左頂點和公共左焦點f的橢圓與的長半軸的長分別為a1和a2,半焦距分別為c1和c2,橢圓的右頂點為橢圓的中心,則下列結(jié)論不正確的是()aa1c1=a2c2ba1+c1a2+c2ca1c2a2c1da1c2a2c1考點:橢圓的應(yīng)用 專題:計算題分析:先根據(jù)題意和圖形可得到a1=2a2,c12c2,進而根據(jù)不等式的性質(zhì)可得到a1c2a2c1,即可得到答案解答:解:由題意知,a1=2a2,c12c2,a1c2a2c1不正確的為c故選c點評:本題主要考查橢圓的基本性質(zhì)的應(yīng)用圓錐曲線是2015屆高考的重點內(nèi)容,橢圓的基本性質(zhì)更是2015屆高考的重點,更要準(zhǔn)備充分11(5分)已知雙曲線的左右焦點分別為f1,f2,點o為坐標(biāo)原點,點p在雙曲線右支上,pf1f2內(nèi)切圓的圓心為q,圓q與x軸相切于點a,過f2作直線pq的垂線,垂足為b,則|oa|與|ob|的長度依次為()aa,aba,cd考點:雙曲線的簡單性質(zhì) 專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析:利用切線長定理,結(jié)合雙曲線的定義,把|pf1|pf2|=2a,轉(zhuǎn)化為|af1|af2|=2a,從而求得點a的橫坐標(biāo)再在三角形pcf2中,由題意得,它是一個等腰三角形,從而在f1cf2中,利用中位線定理得出ob,從而解決問題解答:解:根據(jù)題意得f1(c,0),f2(c,0),設(shè)pf1f2的內(nèi)切圓分別與pf1,pf2切于點a1,b1,與f1f2切于點a,則|pa1|=|pb1|,|f1a1|=|f1a|,|f2b1|=|f2a|,又點p在雙曲線右支上,|pf1|pf2|=2a,|f1a|f2a|=2a,而|f1a|+|f2a|=2c,設(shè)a點坐標(biāo)為(x,0),則由|f1a|f2a|=2a,得(x+c)(cx)=2a,解得x=a,|oa|=a,在f1cf2中,ob=cf1=(pf1pc)=(pf1pf2)=a,|oa|與|ob|的長度依次為a,a故選:a點評:本題考查兩條線段長的求法,是中檔題,解題時要熟練掌握雙曲線簡單性質(zhì)的靈活運用12(5分)方程+=1的曲線即為函數(shù)y=f(x)的圖象,對于函數(shù)y=f(x),有如下結(jié)論:f(x)在r上單調(diào)遞減;函數(shù)f(x)=4f(x)+3x不存在零點;函數(shù)y=f(x)的值域是r;若函數(shù)g(x)和f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,則函數(shù)y=g(x)的圖象就是方程+=1確定的曲線其中所有正確的命題序號是()abcd考點:命題的真假判斷與應(yīng)用 專題:計算題;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析:根據(jù)x、y的正負(fù)去絕對值,將方程+=1化簡,得到相應(yīng)函數(shù)在各個區(qū)間上的表達式,由此作出函數(shù)的圖象,再由圖象可知函數(shù)在r上單調(diào)遞減,且函數(shù)的值域為r,所以成立;根據(jù)f(x)=4f(x)+3x=0得f(x)=,再由函數(shù)圖象對應(yīng)的曲線以y=為漸近線,得到f(x)=沒有實數(shù)根,因此正確根據(jù)曲線關(guān)于原點對稱的曲線方程的公式,可得若函數(shù)g(x)和f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,則y=g(x)的圖象對應(yīng)的方程是+=1,說明錯誤由此可得本題的答案解答:解:對于,當(dāng)x0且y0時,方程為,此時方程不成立當(dāng)x0且y0時,方程為,此時y=3當(dāng)x0且y0時,方程為,此時y=3當(dāng)x0且y0時,方程為,即y=3因此作出函數(shù)的圖象,如圖所示由圖象可知函數(shù)在r上單調(diào)遞減,所以成立由f(x)=4f(x)+3x=0得f(x)=因為雙曲線和的漸近線為y=,所以函數(shù)y=f(x)與直線y=無公共點,因此f(x)=4f(x)+3x不存在零點,可得正確對于,根據(jù)所作的圖象可知函數(shù)的值域為r,所以正確對于,若函數(shù)y=g(x)和y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,則用x、y分別代替x、y,可得y=f(x)就是y=g(x)表達式,可得g(x)=f(x)函數(shù)y=g(x)的圖象是方程+=1確定的曲線,而不是方程+=1確定的曲線,所以錯誤故選:d點評:本題給出含有絕對值的二次曲線,要我們判斷并于曲線性質(zhì)的幾個命題的真假著重考查了含有絕對值的函數(shù)式的化簡、函數(shù)的圖象與性質(zhì)、直線與圓錐曲線位置關(guān)系等知識,屬于中檔題二、填空題(共4小題,每小題5分,滿分20分)13(5分)已知an為等差數(shù)列,sn為其前n項和,若,s2=a3,則sn=考點:等差數(shù)列的前n項和 專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列分析:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,利用,s2=a3,及通項公式可得d,再利用等差數(shù)列的前n項和公式即可得出解答:解:設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,s2=a3,a1+a1+d=a1+2d,化為=+=故答案為點評:本題考查了等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式,屬于基礎(chǔ)題14(5分)函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1時有極值為10,則a+b的值為7考點:函數(shù)在某點取得極值的條件 專題:計算題分析:首先對f(x)求導(dǎo),然后由題設(shè)在x=1時有極值10可得 ,解方程得出a,b的值,最后求它們的即可解答:解:對函數(shù)f(x)求導(dǎo)得 f(x)=3x2+2ax+b,又在x=1時f(x)有極值10,解得 或 ,驗證知,當(dāng)a=3,b=3時,在x=1無極值,故 a+b的值7故答案為:7點評:掌握函數(shù)極值存在的條件,考查利用函數(shù)的極值存在的條件求參數(shù)的能力15(5分)若橢圓的離心率為,則雙曲線的漸近線方程是y=x 考點:雙曲線的簡單性質(zhì) 專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析:由橢圓的離心率為,可得,解得即可得出雙曲線的漸近線方程是解答:解:橢圓的離心率為,化為,解得雙曲線的漸近線方程是故答案為:y=x點評:本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題16(5分)已知過拋物線y2=x的焦點f的直線m的傾斜角是,m交拋物線于a,b兩點且a在x軸上方,則|fa|的取值范圍是考點:直線與圓錐曲線的關(guān)系 專題:圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程分析:當(dāng)傾斜角時,直線m的方程為:,與拋物線方程聯(lián)立可得16x224x+1=0,取,由于,可得利用|fa|=xa+即可得出解答:解:當(dāng)傾斜角時,直線m的方程為:,聯(lián)立,化為16x224x+1=0,解得,取,|fa|=xa+故答案為:點評:本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、焦點弦公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題三、解答題(共5小題,滿分58分)17(10分)(1)當(dāng)x時,求函數(shù)y=x+的最大值;(2)當(dāng)0x時,求函數(shù)y=x(12x)的最大值考點:基本不等式 專題:不等式的解法及應(yīng)用分析:(1)由題意可得32x0,可得y=(+)+2+=,注意等號成立的條件即可;(2)由題意可得12x0,可得y=2x(12x)()2=,注意等號成立的條件即可解答:解:(1)x,2x30,即32x0y=x+=(2x3)+=(+)+2+=,當(dāng)且僅當(dāng)=即x=時取等號,當(dāng)x時,求函數(shù)y=x+的最大值為;(2)0x,12x0,y=x(12x)=2x(12x)()2=當(dāng)且即當(dāng)2x=12x即x=時取等號,當(dāng)0x時,求函數(shù)y=x(12x)的最大值為點評:本題考查基本不等式,湊出基本不等式的形式是解決問題的關(guān)鍵,屬中檔題18(12分)已知數(shù)列an的前n項和為sn=n(n+1)(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若b1=1,2bnbn1=0,cn=anbn,數(shù)列cn的前n項和為tn,求tn考點:數(shù)列的求和;數(shù)列遞推式 專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列分析:(1)當(dāng)n=1時,a1=s1=1,當(dāng)n2時,an=snsn1即可得出;(2)由b1=1,2bnbn1=0,利用等比數(shù)列的通項公式可得cn=anbn=再利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出解答:解:(1)當(dāng)n=1時,a1=s1=1,當(dāng)n2時,an=snsn1=n當(dāng)n=1時也成立an=n(2)b1=1,2bnbn1=0,數(shù)列bn為等比數(shù)列,cn=anbn=tn=+,=+(n1)+n,=1+=點評:本題考查了遞推式的應(yīng)用、“錯位相減法”、等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題19(12分)已知過拋物線y2=2px(p0)的焦點,斜率為的直線交拋物線于a(x1,y1)和b(x2,y2)(x1x2)兩點,且|ab|=9,(1)求該拋物線的方程;(2)o為坐標(biāo)原點,c為拋物線上一點,若,求的值考點:拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;直線與圓錐曲線的綜合問題 專題:計算題分析:(1)直線ab的方程與y2=2px聯(lián)立,有4x25px+p2=0,從而x1+x2=,再由拋物線定義得:|ab|=x1+x2+p=9,求得p,則拋物線方程可得(2)由p=4,4x25px+p2=0求得a(1,2),b(4,4)再求得設(shè)的坐標(biāo),最后代入拋物線方程即可解得解答:解:(1)直線ab的方程是y=2(x),與y2=2px聯(lián)立,有4x25px+p2=0,x1+x2=由拋物線定義得:|ab|=x1+x2+p=9p=4,拋物線方程是y2=8x(2)由p=4,4x25px+p2=0得:x25x+4=0,x1=1,x2=4,y1=2,y2=4,從而a(1,2),b(4,4)設(shè)=(x3,y3)=(1,2)+(4,4)=(4+1,42)又2(21)2=8(4+1),解得:=0,或=2點評:本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)直線與圓錐曲線的綜合問題考查了基本的分析問題的能力和基礎(chǔ)的運算
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