高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例50篇_42_兩角和與差的.doc

42 兩角和與差的正弦 教材分析在這節(jié)內(nèi)容中，公式較多，一旦處理不當(dāng)，將成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一種負擔(dān)針對這個特點，應(yīng)充分揭示公式的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生理解公式的形成過程及其使用條件，在公式體系中掌握相關(guān)的公式同時，通過練習(xí)使學(xué)生能夠熟練地運用這些公式當(dāng)然，這些公式的基礎(chǔ)是兩角和差的余弦公式通過誘導(dǎo)公式sin（） sin，sin（ ）cos（為任意角），可以實現(xiàn)正、余弦函數(shù)間的轉(zhuǎn)換，也可推廣為sin（）（）cos（），sin（）（）cos（）.借助于C+和C-即可推導(dǎo)出公式S+和S-C+，C-，S+和S-四個公式的左邊均為兩角和與差的正、余弦，右邊均為單角，的正、余弦形式不同點為公式S+，S-兩邊的運算符號相同，C+與C-兩邊的運算符號相反S+與S-中右邊是兩單角異名三角函數(shù)的乘積，而C-與C+的右邊是兩單角同名三角函數(shù)的乘積任務(wù)分析這節(jié)課計劃采用啟發(fā)引導(dǎo)和講練結(jié)合的教學(xué)方式，對三角函數(shù)中的每一個公式要求學(xué)生會推導(dǎo)，會使用，要求不但掌握公式的原形，還應(yīng)掌握它們的變形公式，會把“asinbcos”類型的三角函數(shù)化成一個角的三角函數(shù)在課堂教學(xué)中，將采用循序漸進的原則，設(shè)計有一定梯度的題目，以利于培養(yǎng)學(xué)生通過觀察、類比的方法去分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣在教學(xué)中，及時提醒學(xué)生分析、探索、化歸、換元、類比等常用的基本方法在三角變換中的作用這節(jié)課的重點是準確、熟練、靈活地運用兩角和差的正、余弦公式進行三角函數(shù)式的求值、化簡和證明，難點是公式的變形使用和逆向使用教學(xué)目標1. 能用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的余弦公式，兩角和差的正弦公式，并了解各個公式之間的內(nèi)在聯(lián)系2. 能運用兩角和差的正、余弦公式進行三角函數(shù)式的化簡、求值和證明3. 通過公式的推導(dǎo)過程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，同時滲透數(shù)學(xué)中常用的換元、整體代換等思想方法教學(xué)過程一、問題情景如圖42-1，為了保持在道路拐彎處的電線桿OB的穩(wěn)固性，要加一根固定鋼絲繩，要求鋼絲繩與地面成75角已知電線桿的高度為5m，問：至少要準備多長的鋼絲繩？設(shè)電線桿與地面接觸點為B，頂端為O，鋼絲繩與地面接觸點為A在RtAOB中，如果能求出sin75的值，那么即可求出鋼絲繩的長度75角可表示成兩個特殊角45與30的和，那么sin75的值能否用這兩特殊角的三角函數(shù)值來表示呢？二、建立模型1. 探究已知cos（）coscossinsin，則sin（），sin（）中的角及函數(shù)名與cos（）和cos（）有何關(guān)系？通過誘導(dǎo)公式可實現(xiàn)正、余弦函數(shù)的轉(zhuǎn)換，即sin（）推導(dǎo)以上公式的方法并不是唯一的，其他推導(dǎo)方法由學(xué)生課后自己探索3. 分析公式的結(jié)構(gòu)特征S+與S-中兩邊的加減運算符號相同，右邊為與角的異名三角函數(shù)的乘積應(yīng)特別注意公式兩邊符號的差異三、解釋應(yīng)用例題一已知sin，且為第四象限角，求sin（）cos（）的值分析：本題主要訓(xùn)練公式S-與S+的使用由sin及為第四象限角，可求出cos，再代入公式求值練習(xí)一分析：1. （1）強調(diào)公式的直接運用，尋找所求角與已知角之間的關(guān)系，（30）30，再利用已知條件求出cos（30）2. 應(yīng)注意三角形的內(nèi)角之間的關(guān)系，C（AB），再由誘導(dǎo)公式cos（）cos，要求cos即轉(zhuǎn)化為求cos（AB）3. 應(yīng)注意分析角之間的關(guān)系，2（）（），因此，求cos2還應(yīng)求出sin（）和cos（）解此題時，先把與看成單角，然后把2用這兩個單角來表示4. 該題是在已有知識的基礎(chǔ)上進一步深化，引導(dǎo)學(xué)生分三步進行：（1）求出角的某個三角函數(shù)值（2）確定角的范圍（3）確定角的值其中，求的某個三角函數(shù)值時，應(yīng)分清是求cos（）還是求sin（）已知向量（3，4），若將其繞原點旋轉(zhuǎn)45到的位置，求點P（x，y）的坐標解：設(shè)OP，OP5，cos，sinx5cos（45）5（coscos45sinsin45），y5sin（45）5（sincos45cossin45），P ，已知向量（4，3），若將其繞原點旋轉(zhuǎn)60，135到1，2的位置，求點P1，P2的坐標例題三求下列函數(shù)的最大值和最小值（1）ycossinx（2）y3sinx4cosx（3）yasinxbcosx，（）注：（1），（2）為一般性問題，是為（3）作鋪墊，推導(dǎo)時，要關(guān)注解題過程，以便讓學(xué)生充分理解輔助角滿足的條件（3）解：考查以（，）為坐標的點P（，），設(shè)以O(shè)P為終邊的一個角為，則練習(xí)三求下列函數(shù)的最大值和最小值（1）ycosxsinx（2）ysinxsin（x）（3）已知兩個電流瞬時值函數(shù)式分別是I112sin（t45），I210sin（t30），求合成的正弦波II1I2的函數(shù)式四、拓展延伸出示兩道延伸性問題，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考，然后師生共同解決1. 已知三個電流瞬時值的函數(shù)式分別為I15sint，I26sin（t60），I310sin（t60），求它們合成后的電流瞬時值的函數(shù)式II1I2I3，并指出這個函數(shù)的振幅、初相和周期2. 已知點P（x，y），與原點的距離保持不變繞原點旋轉(zhuǎn)角到點P（x，y）（如圖42-2），求證：點評這篇案例設(shè)計完整，思路清晰案例首先通過問題情景闡述了兩角和、差正弦公式產(chǎn)生的背景，然后引導(dǎo)學(xué)生體會公式的形成過程，進一步理解和分析化歸、換元、類比等數(shù)學(xué)常用思想方法在三角變換中的作用例題的設(shè)計由淺入深，完整，全面“拓展延伸”的設(shè)計有新意，有一定深度