數(shù)學(xué)中的類比思想.doc

小議數(shù)學(xué)中的類比思想王 安 平關(guān)鍵字：類比的思想 數(shù)形之間、數(shù)數(shù)之間的類比所謂類比，是指兩種事物之間存在著相互類似的性質(zhì)或特點(diǎn)。這個(gè)詞來(lái)源于希臘文“analogia” 原意為比例，后來(lái)引申為某種類似的事物。類比的思想方法在科學(xué)發(fā)展中占有著十分重要的地位。例如，著名科學(xué)家牛頓的萬(wàn)有引力定律就是把天體運(yùn)動(dòng)與自由落體運(yùn)動(dòng)做類比而發(fā)現(xiàn)的；著名的生物學(xué)家達(dá)爾文把植物的自花受精與人類的近親結(jié)婚相類比，從而發(fā)現(xiàn)了自己子女體弱多病的原因。類比的思想涉及了對(duì)知識(shí)的遷移。所謂遷移就是一種學(xué)習(xí)對(duì)另一種學(xué)習(xí)的影響。在教學(xué)中我們應(yīng)當(dāng)注意對(duì)學(xué)生遷移意識(shí)的培養(yǎng)，也就是說(shuō)要注重運(yùn)用類比的思想。在我們平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，經(jīng)常發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)中有一些相類似的概念，可以利用類比法進(jìn)行學(xué)習(xí)；另外，在教學(xué)中也可以利用類比的思想進(jìn)行教學(xué)。的確，類比法是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種常用方法。數(shù)學(xué)的類比主要體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面： 幾何圖形之間的類比（1） 幾何形體數(shù)量關(guān)系的類比平面圖形立體圖形三角形面積公式：三棱錐體積公式：梯形的面積公式：棱臺(tái)的體積公式：在以往的高考題目中，也出現(xiàn)了類似題目。例如：在某年上海的高考模擬題中的一道題：已知：在平面幾何有勾股定理：“假設(shè)的兩邊、互相垂直，則有關(guān)系：?！碑?dāng)我們拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理并研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積的關(guān)系時(shí)，我們可得到相應(yīng)結(jié)論：假設(shè)三棱錐的三個(gè)側(cè)面、兩兩垂直，則（2） 幾何性質(zhì)之間的類比例如，幾何體中的橢圓與雙曲線就有很多的相似之處：焦點(diǎn)類型在軸或在軸上焦點(diǎn)坐標(biāo)（1）在軸上（2）在軸上離心率準(zhǔn)線（1） 在軸上（2） 在軸上在平面幾何與立體幾何中也存在性質(zhì)之間的類比，例如：三角形存在唯一的外接圓和內(nèi)切圓三棱錐存在唯一的外接球和內(nèi)切球三角形的三條中線交于一點(diǎn)，且該點(diǎn)分每條中線的比為三棱錐的四條中線相交于一點(diǎn)，且該點(diǎn)分每條中線的比為 三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)是三角形內(nèi)切圓的圓心。三棱錐的六個(gè)二面角的平分面相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)是三棱錐內(nèi)切球的球心。同樣是在某年上海的高考模擬題中的一道題：已知：在三角形中存在余弦定理：，那么，在三棱柱中存在關(guān)系（假設(shè)表示平面與平面所成的二面角）： 數(shù)與形之間的類比眾所周知，初等數(shù)學(xué)可分為代數(shù)與幾何。在數(shù)學(xué)發(fā)展的初期，代數(shù)與幾何是相互獨(dú)立的兩個(gè)學(xué)科,但隨著解析幾何的產(chǎn)生，代數(shù)與幾何實(shí)現(xiàn)了統(tǒng)一。數(shù)形結(jié)合的思想也是我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)過(guò)程中需重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生所具備的一種數(shù)學(xué)思想。下面我們看幾道例題：例1：求函數(shù)的最值分析：這道題如果我們按照代數(shù)運(yùn)算的常規(guī)解法，只能作出如下解答： 但是本題，我們?nèi)衾脭?shù)形結(jié)合的思想，則會(huì)使解答過(guò)程大幅度簡(jiǎn)化。當(dāng)我們考慮到題目所給形式與直線的斜率公式有些類似時(shí)，我們可以認(rèn)為原題為：過(guò)動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的連線的斜率的最值，很明顯，點(diǎn)是單位圓上的點(diǎn)。假設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線方程為，則求原題的最值就轉(zhuǎn)化為求上面這條直線與單位圓相切時(shí)的值。由原點(diǎn)到直線的距離為1，所以通過(guò)點(diǎn)到直線的距離可得，。所以，原題。例2 求函數(shù)的最小值。分析：對(duì)于這道求函數(shù)最值的問(wèn)題，我們可以利用判別式的方法或其它一些代數(shù)方法進(jìn)行求解，但是它們的計(jì)算量都較大。當(dāng)我們觀察到題目中只含有二次根式，并且在二次根式中含有二次式，同學(xué)們可以聯(lián)想一下，在高中階段我們所學(xué)的公式中，兩點(diǎn)間的距離公式是滿足這種形式的。所以，可以將原函數(shù)配湊成兩點(diǎn)間距離公式的形式?？梢?jiàn)，這里面包含著三個(gè)點(diǎn)(,0),(2,3)和(5,-1)。依次設(shè)三點(diǎn)為A,B,C，其實(shí)本題就是在求的最小值。在坐標(biāo)系內(nèi)畫出這三點(diǎn)，其中A點(diǎn)在軸上移動(dòng)，當(dāng)這三點(diǎn)共線時(shí)；當(dāng)A點(diǎn)不在BC上時(shí)，這三點(diǎn)構(gòu)成三角形，由三角形的知識(shí)我們知道。不難看出，只有當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)有最小值。所以，通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可知，這時(shí)。在各個(gè)省市的高考模擬題中經(jīng)常出現(xiàn)類似于這樣的題目：例3：方程：的解所在的區(qū)間是（ ）A (0,1) B (1,2) C (2,3) D (3,4)從表面上看，這是一道解方程的題，然而這種題如果利用解方程的常規(guī)方法，也只有利用逐步逼近的最小二乘法才能解決，但是這種數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用要求同學(xué)們有高等數(shù)學(xué)的知識(shí)，這只有到了大學(xué)才能學(xué)到，那么這道題對(duì)于高中階段的同學(xué)們就無(wú)從下手了嗎？我們先來(lái)回顧一下有關(guān)方程的一些表示的幾何意義。例如：方程表示的就是一個(gè)二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)，也可以說(shuō)成一個(gè)二次函數(shù)與一個(gè)常量函數(shù)的交點(diǎn)，所以由此可知原題的解實(shí)際上就是一個(gè)在求對(duì)數(shù)函數(shù)和一個(gè)一次函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)。可見(jiàn)，我們只要在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)畫出和的圖像，然后觀察交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在區(qū)間就可以了。通過(guò)畫圖像可明顯得到交點(diǎn)的橫坐標(biāo)所在的區(qū)間為（2,3），選C。應(yīng)該講數(shù)與形的類比中蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，這是高職、高考中的一個(gè)重點(diǎn)，應(yīng)該引起足夠的重視。 數(shù)與數(shù)之間的類比 在代數(shù)中有一些概念是存在類比關(guān)系的，例如均值不等式中 二元均值不等式三元均值不等式 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”并且我們?cè)诮庖恍┐鷶?shù)題目時(shí)，如果有著較強(qiáng)的類比能力的話往往題目就會(huì)得到很大簡(jiǎn)化。例1：在三角函數(shù)中有著這樣的一道習(xí)題 化簡(jiǎn)下面的式子：分析：此題讓人眼花繚亂，深感無(wú)從下手，如果利用兩角和的正弦公式以及二倍角的正弦公式去進(jìn)行化簡(jiǎn)則工作量是十分巨大。但我們觀察到，題目是一個(gè)六項(xiàng)的代數(shù)和，前三項(xiàng)是正的，后三項(xiàng)是負(fù)的，且每一項(xiàng)都是三個(gè)正弦的乘積形式，我們可以與三階行列式的展開(kāi)式相類比，可以進(jìn)行如下的解法：例2：（1）解方程： （2）求證：分析：同學(xué)們一看肯定就會(huì)問(wèn)，為什么例2包括了兩道題目，而且，這兩道題目表面上似乎沒(méi)有什么聯(lián)系，可謂是風(fēng)馬牛不相及，但是，同學(xué)們還是先看一看這兩道題目的解題過(guò)程吧。解（1）：觀察到題目中 令 設(shè)一個(gè)函數(shù)，則所以，又由于這個(gè)函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)，所以，由于，函數(shù)是在整個(gè)定義域區(qū)間內(nèi)單調(diào)的函數(shù)，所以所以原方程的解為解（2）：設(shè)一個(gè)函數(shù)，通過(guò)判斷可以知道，這個(gè)函數(shù)是一個(gè)奇函數(shù)。所以函數(shù)的展開(kāi)式中一定只含有的奇數(shù)次項(xiàng)，那么在函數(shù)的展開(kāi)式中一定只含有的偶數(shù)次項(xiàng)，所以將展開(kāi)后，在上一定就只有偶數(shù)次，也就是說(shuō)，在展開(kāi)式中將不再含有有關(guān)的因式，而是一些整數(shù)的乘加運(yùn)算，綜上所述，我們可以推斷出結(jié)論： 總結(jié)：以上就是這兩道題目的解題過(guò)程，通過(guò)觀察我們不難發(fā)現(xiàn)，這兩道表面上似乎沒(méi)有什么聯(lián)系的題目，在解題過(guò)程中，存在著很多共同之處。首先，兩道題目都設(shè)了一個(gè)函數(shù)，其次，對(duì)所設(shè)的函數(shù)的奇偶性題目都進(jìn)行了討論，并且通過(guò)函數(shù)的奇偶性，我們解決了題目。如果我們?cè)诮猓?）時(shí)，同學(xué)們還沿用常規(guī)方法（等式兩邊開(kāi)立方），那么題目的運(yùn)算量可想而知；如果，我們?cè)诮猓?）時(shí)，采用二項(xiàng)式定理將原式展開(kāi)，那么它的運(yùn)算量也是不小的?？梢?jiàn)，在解題過(guò)程中，合理的運(yùn)用我們所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行類比，有時(shí)往往能使我們一籌莫展或運(yùn)算量很大的題目柳暗花明，這就叫巧解。當(dāng)然我們?cè)谶M(jìn)行類比時(shí)也有可能出現(xiàn)諸如此類的錯(cuò)誤：例如：由于這個(gè)乘法的分配律，則錯(cuò)誤正確我們對(duì)于這些從外形上看相似的概念，如果也利用類比的思想去處理有關(guān)的問(wèn)題，那么我們就會(huì)得到錯(cuò)誤的結(jié)論，這也可以稱為類比的思想在數(shù)學(xué)中的局限性，我們