相似圖形知識點(diǎn)和題型分析.doc

_相似圖形的知識與題型知識點(diǎn)1：比例線段的相關(guān)概念1.比例線段：對于四條線段，如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即（或）那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段。注意： 在求線段比時(shí)，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應(yīng)先化成同一單位 當(dāng)兩個(gè)比例式的每一項(xiàng)都對應(yīng)相同，兩個(gè)比例式才是同一比例式 比例線段是有順序的，如果說是的第四比例項(xiàng)，那么應(yīng)得比例式為：2.比例中項(xiàng)：如果（或），則b叫做a、c的比例中項(xiàng)。知識點(diǎn)2：比例的性質(zhì)基本性質(zhì)：(1)；(2)反比性質(zhì)（把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換）：合比性質(zhì)：發(fā)生同樣和差變化比例仍成立。等比性質(zhì)：若，則.注意：由一個(gè)比例式只可化成一個(gè)等積式，而一個(gè)等積式共可化成八個(gè)比例式，如，除了可化為，還可化為，說明：比例的基本性質(zhì)是比例變形的重要依據(jù)比例的基本性質(zhì)的互逆關(guān)系的變形，可引用比值k的方法，設(shè) k，那么akb，ckd，adkbdbkdbc知識點(diǎn)3：比例線段的有關(guān)定理平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。推論1：經(jīng)過三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊（即三角形中位線定理的逆定理）。推論2：經(jīng)過梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰（即梯形中位線定理的逆定理）。平行線等分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。推論：(1)平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊延長線)所得的對應(yīng)線段成比例。(2)平行于三角形一邊并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例。定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形第三邊。知識點(diǎn)4：黃金分割點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC（ACBC），且，叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比。 注：黃金三角形：頂角是36的等腰三角形。黃金矩形：寬與長的比等于黃金數(shù)的矩形。知識點(diǎn)5：相似圖形1、相似圖形的定義：把形狀相同的圖形叫做相似圖形。相似三角形的定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似三角形對應(yīng)邊的比值叫做相似比（或相似系數(shù)）。注意：（1）相似三角形是相似多邊形中的一種；（2）應(yīng)結(jié)合相似多邊形的性質(zhì)來理解相似三角形；（3）相似三角形應(yīng)滿足形狀一樣，但大小可以不同；（4）相似三角形的對應(yīng)邊之比叫做相似比。2、相似三角形的判定方法預(yù)備定理：平行于三角形一邊并且和其它兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對應(yīng)成比例。判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角分別與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似簡述為：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似。判定定理2：如果一個(gè)三角的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似簡述為：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似。判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊分別與另一個(gè)三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似簡述為：三邊對應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似。判定定理4：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形都相似。三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下：類型斜三角形直角三角形全等三角形的判定SASSSSAAS（ASA）HL相似三角形的判定兩邊對應(yīng)成比例夾角相等三邊對應(yīng)成比例兩角對應(yīng)相等一條直角邊與斜邊對應(yīng)成比例從表中可以看出只要將全等三角形判定定理中的“對應(yīng)邊相等”的條件改為“對應(yīng)邊成比例”就可得到相似三角形的判定定理，這就是我們數(shù)學(xué)中的用類比的方法，在舊知識的基礎(chǔ)上找出新知識并從中探究新知識掌握的方法。3、相似三角形的性質(zhì)定理：（1）相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比；（2）相似三角形的周長比等于相似比；（3）相似三角形的面積比等于相似比的平方；（4）相似三角形內(nèi)切圓與外接圓的直徑比、周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。4、相似三角形的等價(jià)關(guān)系(1)反身性：對于任一有 (2)對稱性：若，則 (3)傳遞性：若，且，則5、相似直角三角形引理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的線段成比例，那么這兩條直線平行于三角形的第三邊。定理：如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)直角三角形相似。定理：如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。定理：如果兩個(gè)直角三角形的斜邊和一直邊對應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。6、直角三角形的射影定理直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是它們在斜邊上的射影與斜邊的比例中項(xiàng)。推論：直角三角形中其中一條直角邊是該直角邊在斜邊上的射影與斜邊的比例中項(xiàng)。經(jīng)過歸納和總結(jié)，相似三角形有以下幾種基本類型平行線型（兩種）：DEBC，則ADEABC 相交線型（四種）：如圖，已知1=B，則由公共角A得，ADEABC如下左圖，已知1=B，則由公共角A得，ADCACB；如下右圖，已知B=D，則由對頂角1=2得，ADEABC 旋轉(zhuǎn)型：已知BAD=CAE，B=D，則ADEABC 母子型：已知ACB=90，ABCD，則CBDABCACD 解決相似三角形問題，關(guān)鍵是要善于從復(fù)雜圖形中分解（構(gòu)造）出上述基本圖形。知識點(diǎn)6：與位似圖形有關(guān)的概念1、如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)頂點(diǎn)的連線都交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形.這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比。（1）位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)。（2）位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形。（3）位似圖形的對應(yīng)邊互相平行或共線。2、位似圖形的性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比。關(guān)于相似的證明（一）證明比例式或等積式（三點(diǎn)定形法）：1橫向定型法欲證，橫向觀察，比例式中的分子是AB和BC，三個(gè)字母A、B、C恰為ABC的頂點(diǎn)；分母是BE和BF，三個(gè)字母B、E、F恰為BEF的三個(gè)頂點(diǎn)。因此只需證ABCEBF2縱向定型法欲證，縱向觀察，比例式左邊的比AB和BC中的三個(gè)字母A、B、C恰為ABC的頂點(diǎn)；右邊的比是DE和EF中的三個(gè)字母D、E、F恰為DEF的三個(gè)頂點(diǎn)因此只需證ABCDEF3中間比法由于運(yùn)用三點(diǎn)定形法時(shí)常會(huì)碰到三點(diǎn)共線或四點(diǎn)中沒有相同點(diǎn)的情況，此時(shí)可考慮運(yùn)用等線、等比或等積進(jìn)行變換后，再考慮運(yùn)用三點(diǎn)定形法尋找相似三角形。這種方法就是等量代換法。在證明比例式時(shí)，常用到中間比。方法：將等式左右兩邊的比表示出來。（二）比例中項(xiàng)式的證明：比例中項(xiàng)式的證明，通常涉及到與公共邊有關(guān)的相似問題。這類問題的典型模型是射影定理模型，模型的特征和結(jié)論要熟練掌握和透徹理解。（三）倒數(shù)式的證明：倒數(shù)式的證明，往往需要先進(jìn)行變形，將等式的一邊化為1，另一邊化為幾個(gè)比值和的形式，然后對比值進(jìn)行等量代換，進(jìn)而證明之。（四）復(fù)合式的證明：復(fù)合式的證明比較復(fù)雜。通常需要進(jìn)行對線段進(jìn)行等量代換、等比代換、等積代換，將復(fù)合式轉(zhuǎn)化為基本的比例式（或等積式），然后進(jìn)行證明。（五）相似證明中常見輔助線的作法：1、在相似的證明中，常見的輔助線的作法是做平行線構(gòu)造成比例線段或相似三角形，再結(jié)合等量代換得到要證明的結(jié)論。2、常見的等量代換包括等線代換、等比代換、等積代換等。如圖：平分交于，求證： 證法一：過作，交的延長線于，點(diǎn)評：做平行線構(gòu)造成比例線段，利用了“A”型圖的基本模型。證法二：過作的平行線，交的延長線于，點(diǎn)評：做平行線構(gòu)造成比例線段，利用了“X”型圖的基本模型。3、相似證明中常用的面積法基本模型如下： 4、相似證明中的基本模型相似三角形的幾種基本圖形歸納：(1)如圖：稱為“平行線型”的相似三角形（有“A型”與“X型”圖）若DEBC（A型和X型）則ADEABC (2)如圖：其中1=2，則ADEABC稱為“斜交型”的相似三角形。（有“反A共角型”、 “反A共角共邊型”、 “蝶型”） (3)如圖：1=2，B=D，則ADEABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。(4)如圖：稱為“垂直型”（有“雙垂直共角型”、“雙垂直共角共邊型也稱射影定理型”、“三垂直型”） 射影定理型：1、如圖，若CD為RtABC斜邊上的高（雙直角圖形） 則RtABCRtACDRtCBD且AC2=ADAB，CD2=ADBD，BC2=BDAB；2、滿足1）AC2=ADAB，2）ACD=B，3）ACB=ADC，都可判定ADCACB例題精講（一）1、以長為2的線段AB為邊作正方形ABCD，取AB的中點(diǎn)P，連接PD，在BA的延長線上取點(diǎn)F，使PFPD，以AF為邊作正方形AMEF，點(diǎn)M在AD上，如圖所示，（1）求AM、DM的長， （2）試說明AM2=ADDM （3）根據(jù)（2）的結(jié)論，你能找出圖中的黃金分割點(diǎn)嗎？解：（1）因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長是2，P是AB中點(diǎn)，所以ADAB2，AP1，BAD90，所以PD 因?yàn)镻FPD，所以AF，在正方形ABCD中，AMAF，MDADAM3（2）由（1）得ADDM2（3）62，所以AM2=ADDM （3）如圖中的M點(diǎn)是線段AD的黃金分割點(diǎn)。2、已知：如圖5126(a)，在梯形ABCD中，ADBC，對角線交于O點(diǎn)，過O作EFBC，分別交AB，DC于E，F(xiàn).求證：(1)OE=OF； (2)；(3)若MN為梯形中位線，求證AFMC.分析：(1)利用比例證明兩線段相等的方法。(2)證明時(shí)，可將其轉(zhuǎn)化為“”類型：再化為，直接求出各比值，或用中間比求出各比值再相加，證明比值的和為1；直接通分或移項(xiàng)，轉(zhuǎn)化為證明四條線段成比例。(3)可用分析法證明第(3)題，并延長兩腰將梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題。延長BA，CD交于S，AFMC AFMC成立.(4)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)將問題進(jìn)行推廣：若直線EF平行移動(dòng)后不過點(diǎn)O，分別交AB、BD、AC、CD于E、O1、O2、F，如圖5126(b)，O1F與O2F是否相等? 為什么?3、已知：如圖5127，在ABC中，AB=AC，D為BC中點(diǎn)，DEAC于E，F(xiàn)為DE中點(diǎn)，BE交AD于N，AF交BE于M. 求證：AFBE.分析：(1)分解基本圖形探求解題思路。(2)總結(jié)利用相似三角形的性質(zhì)來證明兩角相等，進(jìn)一步證明兩直線位置關(guān)系（平行、垂直等）的方法，利用ADEDCE ，得到；結(jié)合中點(diǎn)定義得到；結(jié)合3=C；從而得到BECAFD，因此1=2. 進(jìn)一步可得到AFBE.(3)總結(jié)證明四條線段成比例的常用方法： 比例的定義； 平行線分線段成比例定理； 三角形相似的預(yù)備定理； 直接利用相似三角形的性質(zhì)； 利用中間比等量代換； 利用面積關(guān)系。4、已知：如圖，ABC中，ABAC，BDAC于D求證：BC22CDAC分析：欲證 BC22CDAC，只需證但因?yàn)榻Y(jié)論中有“2”，無法直接找到它們所在的相似三角形，因此需要結(jié)合圖形特點(diǎn)及結(jié)論形式，通過添加輔助線，對其中某一線段進(jìn)行倍、分變形，構(gòu)造出單一線段后，再證明三角形相似。由“2”所放的位置不同，證法也不同證法一（構(gòu)造2CD）：如圖，在AC截取DEDC， BDAC于D， BD是線段CE的垂直平分線，BC=BE，C=BEC，又ABAC， C=ABCBEC=ABC BCEACB ， BC22CDAC證法二（構(gòu)造2AC）：在CA的延長線上截取AEAC，連結(jié)BE， ABAC， ABAC=AE EBC=90，又 BDAC EBC=BDC=EDB=90， E=DBC， EBCBDC即，BC22CDAC證法三（構(gòu)造）：取BC中點(diǎn)E，連結(jié)AE，則EC=又AB=AC， AEBC，ACE=CAEC=BDC=90 ACEBCD 即 BC22CDAC證法四（構(gòu)造）：取BC中點(diǎn)E，連結(jié)DE，則CE= BDAC，BE=EC=EB， EDC=C又AB=AC，ABC=C，ABCEDC， 即 BC22CDAC 說明：此題充分展示了添加輔助線，構(gòu)造相似形的方法和技巧。在解題中方法要靈活，思路要開闊。例題精講（二）一、證明三角形相似例1、如圖：點(diǎn)G在平行四邊形ABCD的邊DC的延長線上,AG交BC、BD于點(diǎn)E、F，則AGD 。分析：關(guān)鍵在找“角相等”，除已知條件中已明確給出的以外，還應(yīng)結(jié)合具體的圖形，利用公共角、對頂角及由平行線產(chǎn)生的一系列相等的角。本例除公共角G外,由BCAD可得1=2，所以AGDEGC。再1=3（對頂角），由ABDG可得4=G，所以EGCEAB。例2、已知ABC中，AB=AC，A=36，BD是角平分線，求證：ABCBCD 分析：證明相似三角形應(yīng)先找相等的角，顯然C是公共角，而另一組相等的角則可以通過計(jì)算來求得。借助于計(jì)算也是一種常用的方法。證明：A=36，ABC是等腰三角形，ABC=C=72又BD平分ABC，則DBC=36在ABC和BCD中，C為公共角，A=DBC=36ABCBCD （例2圖） （例3圖）例3、已知，如圖，D為ABC內(nèi)一點(diǎn)連結(jié)ED、AD，以BC為邊在ABC外作CBE=ABD，BCE=BAD 求證：DBEABC分析：由已知條件ABD=CBE，DBC公用。所以DBE=ABC，要證的DBE和ABC，有一對角相等，要證兩個(gè)三角形相似，或者再找一對角相等，或者找夾這個(gè)角的兩邊對應(yīng)成比例。從已知條件中可看到CBEABD，這樣既有相等的角，又有成比例的線段，問題就可以得到解決。證明：在CBE和ABD中，CBE=ABD, BCE=BAD CBEABD =即：=DBE和ABC中，CBE=ABD, DBC公用 CBE+DBC=ABD+DBCDBE=ABC且= DBEABC 例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC邊的三等分點(diǎn)，連結(jié)AE、AF、AC，問圖中是否存在非全等的相似三角形？請證明你的結(jié)論。分析：本題要找出相似三角形，那么如何尋找相似三角形呢？下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形：（1）如圖：稱為“平行線型”的相似三角形（2）如圖：其中1=2，則ADEABC稱為“相交線型”的相似三角形。（2） （3）（3）如圖：1=2，B=D，則ADEABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。觀察本題的圖形，如果存在相似三角形只可能是“相交線型”的相似三角形，及EAF與ECA 解：設(shè)AB=a，則BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得AE=， 在EAF與ECA中，AEF為公共角，且，所以EAFECA二、證明比例式和乘積式例5、ABC中，在AC上截取AD，在CB延長線上截取BE，使AD=BE，求證：DFAC=BCFE分析：證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行線性質(zhì)進(jìn)行證明：證明：過D點(diǎn)作DKAB，交BC于K，DKAB，DF：FE=BK：BE ， 又AD=BE， DF：FE=BK：AD，而由DKAB，得BK：KC=AD：DC，BK：BC=AD：AC ，BK：AD=BC：AC因此DF：FE= BC：AC， DFAC=BCFE 例6：已知：如圖，在ABC中，BAC=900，M是BC的中點(diǎn)，DMBC于點(diǎn)E，交BA的延長線于點(diǎn)D。求證：（1）MA2=MDME；（2） 證明：（1）BAC=900，M是BC的中點(diǎn)，MA=MC，1=C，DMBC，C=D=900-B，1=D，2=2，MAEMDA，MA2=MDME，（2）MAEMDA，評注：命題1 如圖，如果1=2，那么ABDACB，AB2=ADAC。命題2 如圖，如果AB2=ADAC，那么ABDACB，1=2。例7：如圖ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E，交AB于F，求證：AE：ED=2AF：FB。分析：圖中沒有現(xiàn)成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考慮作平行線構(gòu)造相似形。怎樣作？觀察要證明的結(jié)論，緊緊扣住結(jié)論中“AE：ED”的特征，作DGBA交CF于G，得AEFDEG，則。與結(jié)論相比較，顯然問題轉(zhuǎn)化為證 證明：過D點(diǎn)作DGAB交FC于G，則AEFDEG，得 （1）D為BC的中點(diǎn)，且DGBF G為FC的中點(diǎn)， DG為CBF的中位線， （2）將（2）代入（1）得：三、證明兩角相等、兩線平行和線段相等。例8：已知：如圖E、F分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點(diǎn)，且。 求證：AEF=FBD 分析：要證角相等，一般來說可通過全等三角形、相似三角形，等邊對等角等方法來實(shí)現(xiàn)，本題要證的兩個(gè)角分別在兩個(gè)三角形中，可考慮用相似三角形來證，但要證的兩個(gè)角所在的三角形顯然不可能相似（一個(gè)在直角三角形中，另一個(gè)在斜三角形中），所以證明本題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形。證明：作FGBD，垂足為G。設(shè)AB=AD=3k，則BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=ADB=45， FGD=90， DFG=45， DG =FG =BG=， 又A=FGB=90， AEFGBF AEF=FBD 例9、在平行四邊形ABCD內(nèi)，AR、BR、CP、DP各為四角的平分線， 求證：SQAB，RPBC分析：要證明兩線平行較多采用平行線的判定定理，但本例不具備這樣的條件，故可考慮用比例線段去證明。利用比例線段證明平行線最關(guān)鍵的一點(diǎn)就是要明確目標(biāo)，選擇適當(dāng)?shù)谋壤€段。要證明SQAB，只需證明AR：AS=BR：DS 。證明：在ADS和ARB中，DAR=RAB=DAB，DCP=PCB=ABCADSABR 但ADSCBQ，DS=BQ，SQAB，同理可證，RPBC 例10、已知A、C、E和B、F、D分別是O的兩邊上的點(diǎn)，且ABED，BCFE，求證：AFCD 分析：要證明AFCD，已知