高等數(shù)學講義之積分表公式推導.pdf

Daniel Lau 高等數(shù)學高等數(shù)學高等數(shù)學高等數(shù)學 積積積積 分分分分 表表表表 公公公公 式式式式 推推推推 導導導導 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 目目目目錄錄錄錄 一 含有 一 含有 一 含有 一 含有bax 的積分的積分的積分的積分 1 9 1 1 二 含有 二 含有 二 含有 二 含有bax 的積分的積分的積分的積分 10 18 5 5 三 含有 三 含有 三 含有 三 含有 22 ax 的積分的積分的積分的積分 19 21 9 9 四 含有 四 含有 四 含有 四 含有 0 2 abax 的積分的積分的積分的積分 22 28 1111 五 含有 五 含有 五 含有 五 含有 0 2 acbxax的積分的積分的積分的積分 29 30 1414 六 含有 六 含有 六 含有 六 含有 0 22 aax的積分的積分的積分的積分 31 44 1515 七 含有 七 含有 七 含有 七 含有 0 22 aax的積分的積分的積分的積分 45 58 2424 八 含有 八 含有 八 含有 八 含有 0 22 axa的積分的積分的積分的積分 59 72 3737 九 含有 九 含有 九 含有 九 含有 0 2 acbxa的積分的積分的積分的積分 73 78 4848 十 含有 十 含有 十 含有 十 含有或或或或 xbax 的積分的積分的積分的積分 79 82 5151 十一 含有三角函數(shù)的積分 十一 含有三角函數(shù)的積分 十一 含有三角函數(shù)的積分 十一 含有三角函數(shù)的積分 83 112 5555 十二 含有反三角函數(shù)的積分 其中 十二 含有反三角函數(shù)的積分 其中 十二 含有反三角函數(shù)的積分 其中 十二 含有反三角函數(shù)的積分 其中0 a 113 121 6868 十三 含有指數(shù)函數(shù)的積分 十三 含有指數(shù)函數(shù)的積分 十三 含有指數(shù)函數(shù)的積分 十三 含有指數(shù)函數(shù)的積分 122 131 7373 十四 含有對數(shù)函數(shù)的積分 十四 含有對數(shù)函數(shù)的積分 十四 含有對數(shù)函數(shù)的積分 十四 含有對數(shù)函數(shù)的積分 132 136 7878 十五 含有雙曲函數(shù)的積分 十五 含有雙曲函數(shù)的積分 十五 含有雙曲函數(shù)的積分 十五 含有雙曲函數(shù)的積分 137 141 8080 十六 定積分 十六 定積分 十六 定積分 十六 定積分 142 147 8181 附錄 常數(shù)和基本初等函數(shù)導數(shù)公式附錄 常數(shù)和基本初等函數(shù)導數(shù)公式附錄 常數(shù)和基本初等函數(shù)導數(shù)公式附錄 常數(shù)和基本初等函數(shù)導數(shù)公式 8585 說明說明說明說明 8686 團隊人員團隊人員團隊人員團隊人員 8787 bx ax 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 1 一 含有 一 含有 一 含有 一 含有bax 的積分的積分的積分的積分 1 9 Cbaxln abax dx baxt C t ln a dt tabax dx dt a dx adxdtttb ax a b xx bax x f Cbaxln abax dx 1 1 11 1 0 1 1 1 代入上式得 將 則令 的定義域為被積函數(shù)證明 Cbax a dxbaxbaxt C t a dtt a dxbax dt a dx adxdttbax Cbax a dxbax 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 代入上式得 將 則令證明 C bax lnbbax a dx bax x baxt C t lnbt a C t ln a b a t dt t b a dt a dt t b 1 a dt a t bt a dx bax x dt a dx bt a x t tbax a b x x bax x x f C bax lnbbax a dx bax x 2 2 22 22 2 2 1 1 11 11 1 11 0 1 3 代入上式得 將 則令 的定義域為被積函數(shù)證明 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 2 Cbaxlnbbaxbbax a dx bax x Cbaxln a b baxd baxa b dx bax b a Cbaxln a b x a b baxd baxa b dx a b axd bax bbax a b dx bax abx a Cbax a dxbax a dx bax b a dx bax abx a dxbax a dx bax babxbax a dx bax x Cbaxlnbbaxbbax a dx bax x 2 2 11 11 22 122 221 2 1 1 121 1 2 1 2 2 11 4 22 3 2 3 3 2 3 22 2 2 3 2 3 3 2 3 32 1 2 32 2 222 22 2 2 22 3 2 由以上各式整理得 證明 C x bax ln b C bax x ln b Cbaxln b xln b bax d baxb dx xb dx baxb a dx xb dx bax b a bxbaxx dx b a b Ab BAa bxaxbax bax B xbaxx a b x x baxx x f C x bax ln bbaxx dx 1 1 1 1 1111 111 1 B 1 A 1 0 AB AB A 1 A 1 1 1 5 于是 有 則設(shè) 的定義域為被積函數(shù)證明 blogblog aa 1 提示 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 3 C x bax ln b a bx Cbaxln b a bx xln b a baxd baxb a dx xb dx xb a dx baxb a dx xb dx xb a baxx dx b a C b b a Bb aBAb CAa baBAbxax Cxbaxbaxx bax C x B xbaxx a b xx baxx xf C x bax ln b a bxbaxx dx 1 1 1111 1111 1 B A 1 0 0 1B C A B A1 A 1 1 1 6 2 22 222 2 2 222 2 2 2 2 2 22 2 22 于是 有 即 則設(shè) 的定義域為被積函數(shù)證明 C bax b baxln a C baxa b baxln a baxd baxa b baxd baxa dx baxa b dx baxa dx bax x a b B a BAb Aa xBAbax baxx bax B bax A bax x a b x x bax x x f C bax b baxln a dx bax x 1 1 1 11 1 11 1 A 0 1 A B A 1 7 2 22 222 22 22 2 22 于是 有 即 則設(shè) 的定義域為被積函數(shù)證明 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 4 C bax b b ax lnbbax a dx bax x baxt C t b t lnbt a C t ln a b t ata b dt ta b dt a dt ta b dt ta bttb dx bax x ta bttb ta tb bax x dt a dx bt a x t tbax a b x x bax x x f C bax b b ax lnbbax a dx bax x 2 32 2 2 3 333 2 3323 2 23 22 2 2 22 22 22 2 2 2 2 2 2 32 2 2 1 2 1 21 12112 2 11 0 2 1 8 代入上式得 將 則令 的定義域為被積函數(shù)證明 C x bax ln bbaxb C bax b b axln b x ln b dx baxb a dx baxb a dx xbbaxx dx b a D b a B b A 1Ab 0DBbAab2 0BaAa AbDBbAab2xBaAax DxBbxBaxAabx2AbxAa DxbaxBxbaxA1 bax D bax B x A baxx a b x x baxx x f C x bax ln bbaxbbaxx dx 2 2 2 22 2222 2 2 2 22 222 2 2 2 2 22 1 1 1111 1111 1 1 1 1 1 9 于是 有 則 設(shè) 的定義域為證明 被積函數(shù) 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 5 二 含有 二 含有 二 含有 二 含有bax 的積分的積分的積分的積分 10 18 Cbax a Cbax a baxdbax a dxbax Cbax a dxbax 3 1 2 1 2 1 3 3 2 2 1 1 11 1 3 2 10 證明 Cbaxbax a Cbaxbbax a dxbaxxbaxt Cbt a t Ct a b t a dt a b dt a dtbtt a dt a t t a bt dxbaxx t a bt baxxdt a t dx a bt xttbax Cbaxbax a dxbaxx 3 2 3 2 2 2 3 3 2 5 2 3 2 5 2 24 2 2 22 3 2 23 15 2 5 3 15 2 53 15 2 3 2 5 2 3 2 5 2 22 2 0 23 15 2 11 代入上式得 將 則令證明 Cbaxbabxxa a baxbbabxbxabax a dxbaxx baxt Cbtbt a t Ct a b t a b t a Ct a b t a b t a dtt a b dtt a b dtt a dtbttbtt a dxbaxx a bttbt t a bt baxx dt a t dx a bt xttbax Cbaxbabxxa a dxbaxx 3222 3 22223 3 2 224 3 3 5 3 3 3 2 7 3 14 3 21 3 2 16 3 4 3 2 3 2 6 3 325 3 2 2 325 2 22 2 2 3222 3 2 81215 105 2 4235301515 105 2 423515 105 2 5 4 3 2 7 2 41 14 21 12 61 12 422 2 2 2 2 0 81215 105 2 12 代入上式得 將 則令證明 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 6 Cbaxbax a Cbax a b baxbax a dx bax x baxt Ct a b t a Ct a b t a bdt a dtt a dt a t at bt dx bax x dt a t dx a bt xttbax Cbaxbax a dx bax x 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 21 12 22 2 2 0 2 3 2 13 2 22 2 3 2 2 12 2 2 2 2 2 2 2 代入上式得 將 則令證明 Cbaxbabxxa a Cbaxbaxbbabxbxabax a dx bax x baxt Cbtbt a t Ct b tbt a dtt a b dtb a dtt a dtbtbt a dt a t ta bt dx bax x dt a t dx a bt xttbax Cbaxbabxxa a dx bax x 843 15 2 1015 2 3 15 2 10153 15 2 3 2 5 1 2 422 2 2 21 2 0 843 15 2 14 222 3 2222 3 2 224 3 325 3 2 3 2 3 4 3 224 3 2 22 2 222 3 2 代入上式得 將 則令證明 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 7 0 2 0 1 2 1 2 t 2 1 2 2 0 2 1 1 1 2 2 0b 1 2 21 2 0 0 2 0 1 15 22 2 22 2 2 2 2 bC b bax arctan b bC bbax bbax ln b baxx dx C b bax arctan bbaxx dx baxt C b arctan b dt bt dt bt b C bbax bbax ln bbaxx dx baxt C bt bt ln b dt bt dt bt dt bt dt a t t a btbaxx dx dt a t dx a bt xttbax bC b bax arctan b bC bbax bbax ln b baxx dx 得 綜合討論 代入上式得 將 時當 代入上式得 將 時當 則令證明 C ax ax ln aax dx 2 1 21 22 公式 C a x arctan aax dx 1 19 22 公式 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 8 baxx dx b a bx bax dx baxxb a bx bax dx baxxb a dxbax a xbbx bax dx baxxb a baxd xbbx bax dx baxxb a x dbax b dx baxxb a dx x bax b dx baxx b a baxx dx b b a Bb BaA baxx x baxB baxxbaxx baxx dx b a bx bax baxx dx 2 1 2 1 2 111 111 1 11 11 1 B A 1 0 B A1 A1 2 16 2 1 2 2 2 2 2 于是 有 則設(shè)證明 2 2 1 2 2 2 1 22 1 22 1 1 22 1 22 2 2 2 2 0 2 17 2 2 2 2 22 222 2 2 2 2 baxx dx bbax dx bax a bbax bbaxdx x bax baxt dx t a bt bt dt bt btdx x bax dt bt Rb dt bt bt dt bt bdtdt bt bbt dt bt t dt a t bt at dx x bax dt a t dx a bt xttbax baxx dx bbaxdx x bax 代入上式得 將 不能明確積分符號可正可負取值為 則令證明 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 9 三 含有 三 含有 三 含有 三 含有 22 ax 的積分的積分的積分的積分 19 21 2 2 1 1 1 2 18 2 1 2 2 baxx dxa x bax dx a bax xx bax baxd xx bax x dbaxdx x bax baxx dxa x bax dx x bax 證明 C a x arctan aax dx a x arctant a x arctan ttanta x Ct a dt a t dtseca tsecaax dx tsecattana dx ax t dtsecatantaddx t tantax C a x arctan aax dx 2 22 222 2 abax 的積分的積分的積分的積分 22 28 0 2 1 0 1 2 1 2 1 1 2 1 11 1 11 11 0 2 1 C 1 11 1 1111 0b 1 0 2 1 0 1 22 2 22 2 22 2 2 22 2 22 2 2 2 bC bxa bxa ln ab bCx b a arctan ab bax dx C bxa bxa ln ab C a b x a b x ln a a b dx a b x abax dx a a b x a a b x bax b Cx b a arctan ab x b a arctan b a a dx a b x abax dx a a b x a a b x bax 0a bC bxa bxa ln ab bCx b a arctan ab bax dx 得 綜合討論 時當 時當 證明 Cb axln a baxd baxa dx bax dx bax x aCbaxln a dx bax x 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 0 2 1 23 2 2 2 22 2 證明 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 12 bax dx a b a x dx baxa b dx ba b dx baxba b dx bbax ax a b dx bax x a bax dx a b a x dx bax x 2 2 2 2 2 2 2 22 2 11 11 1 0 24 證明 C 2 1 2 1 2 1 1 2 11 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 C 2 1 25 2 2 22 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 bax x ln b Cbax ln b xln b baxd baxb dx xb dx baxb a dx xb dx baxb a bxbaxx dx b a B b A Ab 0BAa AbBAax BxbaxA bax B x A baxx dx baxx dx baxx x baxx dx 0a bax x ln bbaxx dx 2 2 22 222 222 2 22 2 于是 有 則 設(shè) 證明 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 13 bax dx b a bx dx baxb a dx xb dx baxb a bxbaxx dx b a B b A Ab 0BAa AbBAax BxbaxA bax B x A baxx a bax dx b a bxbaxx dx 2 2 22 222 222 22 1 111 1 1 1 1 1 0 1 26 2 22 2 2 于是 有 則 設(shè) 證明 C bxx bax ln b a Cbax ln b a bx xln b a dx baxb a dx xb dx xb a baxx dx b a C b a A b B Bb BaAb CAa BbxBaAbxCAa CxbaxBbaxAx bax C x B x A baxx dx baxx dx baxx x baxx dx 0aC bxx bax ln b a baxx dx 22 2 22 222 2 22 2 22 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 4 2 223 2 2 2 4 42 44 2 4 43 22 2 23 2 1 2 22 1 2 1 2 1 2 11 2 1 1 0 0 1 1 1 2 1 2 1 2 27 于是 有 則 設(shè) 證明 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 14 五 含有 五 含有 五 含有 五 含有 0 2 acbxax的積分的積分的積分的積分 29 30 bax dx bbaxb x dx baxbbbaxabx bbax dx baxbbabxbaxax dx baxbb dx xabbaxax dx baxbabxbaxax b B b A Ab BaAa Abx BaAa BaxbaxA bax B ax A baxax dx axbaxbaxax ax d baxbaxaxbax d axbax dx 0a bax dx bbaxb x bax dx 22 22 2 22 222 222 22 222 22 2222 222 上式于是 有 則設(shè) 證明 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 15 六 含有 六 含有 六 含有 六 含有 0 22 aax的積分的積分的積分的積分 31 44 cbxax dx a b cbxaxln a dx cbxaxa b cbxaxd cbxaxa dx cbxax b a dx cbxax bax a dx cbxax bbax a dx cbxax x a cbxax dx a b cbxaxln a dx cbxax x 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 12 2 1 2 2 1 0 2 2 1 30 證明 C 1 AB AC BRt 1 0 1 22 22 1 0 C 31 22 22 22 3 22 2 22 2 22 2 22 22 22 2 22 22 22 22 22 1 22 axxln ax dx 0 xax C xax ln Clna xax ln C a xax ln C tant sect ln ax dx a x tant a ax cost sect axx a BC tABC C tant sect ln dtsect dtt seca secta ax dx sectaax cost sect t sectaaxtdt secatanta ddx t tantax Rx x ax x f aaxxlnC a x arsh ax dx 2 2 則中 設(shè)在 則可令 的定義域為被積函數(shù)證明 Cttantseclntdtsec 87 公式 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 16 1 AB AC sint AB AC BRt 1 cos 1 11 1 0 1 22 22 1 0 32 222 2 322 22 22 22 2 322 322 322 322 222322 C axa x Csint a ax dx ax x axxaBCtABC Csint a tdt a dt secta dtt seca t seca ax dx t secaax cost sect t t secaaxtdt secatantaddx t tantax Rxx ax xf aC axa x ax dx 2 33 33 332 則中 設(shè)在 則可令 的定義域為被積函數(shù)證明 Caxdx ax x axt Ctdt dt at t t at dx ax x dt at t tdtatdx atxttax aCaxdx ax x 22 22 22 22 22 22 22 2 1 22 2222 22 22 2 2 1 0 0 33 代入上式得 將 則令證明 C ax Cax axdax dxaxdxaxxdx ax x aC ax dx ax x 22 2 3 1 22 22 2 3 22 2 2 3 22 2 3 22 322 22322 1 2 3 1 1 2 1 2 1 2 1 0 1 34 證明 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 17 C 22 C 22 31 C 1 39 C 22 1 0 C 22 35 22 2 22 22222 2 22 22 2 22 22 22 2 2222 22 222 22 222 22 2 22 2 22 22 2 axxln a ax x axxlnaaxxln a ax x dx ax x axxlnxd ax axxln a ax x dxax xd ax adxax dx ax aax dx ax x aaxxln a ax x dx ax x 公式 公式 證明 C 1 AB AC BRt cos 1 1 0 1 22 22 0 C 36 22 22322 2 22 22 22 22 22 322 2 22 22 22 322 2 322 2 322 2 322 2 22 22322 2 axxln ax x dx ax x 0 xax Clna ax x xax ln C ax x a xax ln Csint tant sectlndx ax x a ax cost sect a x tant ax x sint axxaBCtABC Csint tant sectln dttdtsectdt sect dtsect dt sect tsec dt sect ttan tdt seca t seca ttan dx ax x t seca ttan ax x cost sect t t seca ttana ax x tdt secatantaddx t tantax Rxx ax x xf aaxxln ax x dx ax x 1 1 1 1 22 2 3 2 3 2 33 22 2 則中 設(shè)在 則可令 的定義域為被積函數(shù)證明 Ctantsectlndtt sec 87 公式 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 18 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 0 0 1 37 22 2 222 222 222 22 22 22 2 22 222222 22 2 1 22 2222 22 22 C x aax ln a C x aax ln a C aax aax ln a axx dx axt C at at ln a C at at ln a dt at dt at t attaxx dx dt at t tdtatdx atxttax aC x aax ln a axx dx 代入上式得 將 則令證明 C 2 1 21 22 ax ax ln aax dx 公式 bnlogblog a n a 提示 1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 1 1 111 1 0 1 11 0 38 2 22 222 22 2 2 1 1 22 2 22 22 2 22 2 2 22 2 2 22 22222 2 22 222 C xa ax axx dx x t Cta a Cta a tad ta a dt ta ta a dt ta t dt a t x d ax t xt x t x d axaxx dx aC xa ax axx dx 代入上式得 將 則令 證明 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 19 Caxxln 2 a ax 2 x dxax axxlnaaxxdxax Caxxlna dx ax a dx ax x dxax axxdx ax x dxax dx ax x axx axdxaxxdxax a Caxxln 2 a ax 2 x dxax 22 2 2222 2222222 222 22 2 22 2 22 22 22 2 22 22 2 22 222222 22 2 2222 2 1 0 39 1 即 得 由 又 證法 Caxxln 2 a ax 2 x dxax lna 2 a axxln 2 a ax 2 x a axx ln 2 a ax 2 x tantsect lnatantsecta a x tant a xa cost sect xa AB x tanta AC a BC tBABC tantax C tantsect lna 2 tantsecta 2 dtantsecta C tantsect lnsectdt sectdtatantsecta 2 dtantsecta sectdtdtantsect dt cost dt tcoscost dt tcos tcos dt tcos tsin tantdtsecttant tantdsect tantdsect atantsecta dtantsectatantasectdadxax sectaax tcos tsec 2 t 2 sectattanaax 2 t 2 tantax 0a Caxxln 2 a ax 2 x dxax 22 2 2222 2 22 2 22 222 2222 22 22 2 222 1 222 23 2 3 2 22 222 22 222 22 2 2222 2 1 2 1 1 Rt 11 87 1 1111 0 1 1 2 39 綜合 得 則 中 可設(shè)在 聯(lián)立 有 公式又 聯(lián)立 有 又 則令 證法 tsecttan 22 1 提示 0 1 31 a Caxxlndx ax 22 22 公式 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 20 Caxxlnaaxax x dxax Cxaxln 8 3a ax 8 xa3 axax x C a xax lna 8 3 a x a ax 8 a3 ax a ax a xa tantdtseca a ax t sect a x tant axxaBCtABC Ctantsectlna 8 3 tantsecta 8 3 tanttsecatantdtseca Ctantsectlntantsect dtsecttantsecttantdtseca dttsectantdsect dtsectdttsectantsect sectdttsectantsect sectdtttantantsect sectdtanttantsecttantdsect tantdsectatanttsecatantdtseca tantdsectatantdtsecatanttseca tantdsecttsecatanttseca tantdsectttanatanttseca dttsecttanatanttseca dttantsecttsectantatanttseca tsecdtantatanttseca tantdtsecatantadtsecadxax tsecaax cost sect t t secaax t tantax Rxxaxxf aCaxxlnaaxax x dxax 4 3 33 3 3 3 2 2 33 33 23 23 323 23 33 333 33 33 8 3 52 8 4 4 cos 1 AB AC BRt 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 3 4 1 3 3 1 3 3 3 3 0 1 22 22 0 8 3 52 8 40 2242222322 2222 2 2222 1 22 4 224 22 3 224 4 22 22 1 4444 1 4 444 444 44 44 44 44 44 4322 322 322 322 2242222322 則中 設(shè)在 聯(lián)立 得 聯(lián)立 得 又 移項并整理的 則可令 的定義域為被積函數(shù)證明 Ctantsectlndtt sec 87 公式 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 21 Cax Cax axdax dxaxdxaxx aCaxdxaxx 322 2 1 1 22 22 2 1 22 2 2 1 2222 32222 3 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 0 3 1 41 證明 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 22 Caxxln a axax x dxaxx axxln a xaxln a xax Cxaxln a axax x Cax x xaxln a ax xa C a ax a xa a xax ln a a ax a xa tdsectsectanta a ax t sect a x tant axxaBCtABC Csectttan a tantsectln a tantsect a tdsectsectanta Ctantsectlntantsect dtsecttantsectsectdtant sectdtant dtsecttantsect dtsectttan dtsecttantsect sectdtttantantsect tdtsectantsecttantdsecttantsectsectdtant tsecttan a tdsectant a tsecttanatdsectantatdsectsectanta dsecttanttsecatsecttanatdsectanta dtttantsecatsecttanatdsectanta tdtantsecatsecttanatdsectanta tdsecttanatdsectantatdsecttantanta tdsectsectanta tdtsecttanatantdsectttanatantadsectttanadxaxx sectttanaaxx cost sect t sectattanaaxx t tantax Rxxaxxxf aCaxxln a axax x dxaxx 2 32 2 2 3 3 32 3 23 33 32 2 3222 2 2 8 2 8 8 8 0 8 2 8 4 88 4 88 cos 1 AB AC BRt 4 88 2 1 2 1 2 1 2 1 1 4 4 4 1 3 3 1 0 1 22 22 0 8 2 8 42 22 4 2222222 22 4 22 4 22 22 4 2222 2 22 3 22 4 22 4 1 22 3 34224224 4 22 22 1 444 4 1 44 444 2444 3444 444 444 4 443222 3222 2222 222 22 4 2222222 則中 設(shè)在 聯(lián)立 得 移項并整理得 移項并整理的 則可令 的定義域為被積函數(shù)證明 Ctantsectlndtt sec 87 公式 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 23 2 2 2 1 1 2 2 1 0 0 0 43 22 22 22 22 222 222 22 22 22 22 2 2 22 2 22 222 22 2 2222 22 22 2 1 22 2222 22 22 22 22 C x aax lnaax C x aax lnaax C aax aax ln a axdx x ax axt C at at ln a tC at at ln a at dt at adtdt at aat dt at t dt at t at t dx x ax dt at t tdtatdx atxatttax xx x ax xf aC x aax lnaaxdx x ax 代入上式得 將 則且令 的定義域為被積函數(shù)證明 C 2 1 C 0 2 C 0 1 AB AC BRt 1 1 1 1 0 1 2 0 2 0 0 1 0 0 C 44 22 22 2 22 22 22 2 22 22 22 2 22 22 22 22 2222 2 22 22 22 22 2 22 2 22 2 22 2 22 22 22 2 22 xaxln x ax dx x ax xaxln x ax dx x ax x xaxln x ax dx x ax xax Clna xax ln x ax C x ax a xax lndx x ax a ax cost sect a x tant ax x sint axxaBCtABC C sint tant sectln dsint tsin dtsectdt tsin cost dtsect dt tsin tcos cost dtsectdt ttan sect dtsect dtttan ttan sect tdt seca ttan a sect dx x ax ttan a sect x ax cost sect t ttan a secta x ax tdt secatantaddx ttantaxx xx x ax xf aaxxln x ax dx x ax 1 1 1 22 2 2 2 2 2 2 2 222 2 得 綜合討論 同理可證得 時當 則中 設(shè)在 則可令時當 的定義域為被積函數(shù)證明 Ctantsectlndtt sec 87 公式 C 2 1 21 22 ax ax ln aax dx 公式 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 24 七 含有 七 含有 七 含有 七 含有 0 22 aax的積分的積分的積分的積分 45 58 2 1 1 1 2 1 Rt 2 0 2 0 1 1 1 0 45 3 C axx lnC a x arsh x x ax dx Caxxln C a axx ln C axx ln Caxxln Ca ln a d ax dx x x ax ax C axx ln a axx ln ttantsec ln ax dx a ax BC AC ttan a x tcos tsec ax AC x AB a BC tBABC C tantsect ln sectdtdt tanta tantsecta ax dx tantaax t tanta1tsecaax tantdtsectadx tsectax ax axax x ax f x a C axx lnC a x arsh x x ax dx 22 1 22 5 22 4 2 22 4 22 4 22 4 22 2222 22 22 22 22 22 2 22 22222 22 22 1 22 可寫成綜合討論 可知由討論 即時 令即當 則 中 可設(shè)在 則 可設(shè)時當 或的定義域為被積函數(shù) 證法 Cttantseclntdtsec 87 公式 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 25 2 1 1 1 2 1 1 2 0 45 C axx lnC a x arsh x x ax dx Caxxln C a axx ln C axx ln Caxxln Ca ln a d ax dx x x ax ax Caxxln C1 a x a x lnC a x arch Ctdtdt shta shta ax dx shtdtadx shtaatchaax a x archt0 tchtax ax axax x ax f x a C axx lnC a x arsh x x ax dx 22 1 22 5 22 4 2 22 4 22 4 22 4 22 2222 3 22 2 2 1 22 22222 22 22 1 22 可寫成綜合討論 可知由討論 即時 令即當 則 可設(shè)時當 或的定義域為被積函數(shù) 證法 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 26 C axa x ax dx C axa x ax dx x C a a a d a d ax dx x x ax ax C axa x ax dx x ax tsin ax AC x AB a BC tBABC C tsina sintd tsina dt tsin tcos a dt tsin tcos tcosa dt ttan sect a dt ttana tantsecta ax dx ttanaaxtant t ttanaax tantdtsectadx tsectax ax axax x ax f x a C axa x ax dx 2222 2222 2222 2222 2222 22 22 22 2222 22 2222 23 23 23 33 23 2 22 222 2 2 3233 3 333333 3 23 2 1 1 2 Rt 1 11 111 1 0 2 0 2 0 1 1 0 46 得 綜合討論 代入得 將 可知由討論 即時 令即當 則 中 可設(shè)在 則 可設(shè)時當 或的定義域為被積函數(shù) 證明 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 0 47 2 1 1 22 22 2 1 2 2 1 Cax Cax axdax dxaxdx ax x aCaxdx ax x 22 22 22 22 22 22 證明 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 27 1 2 1 1 1 1 2 11 Rt 11 11 1 2 0 2 0 1 0 1 48 3 3 3 33 3 2 22 2 32 3 32 3 33 3 3 3 C ax dx ax x C ax dx ax x x C a d a d a dx ax x x x ax ax C ax C ax a a dx ax x ax a tcot ax AC x AB a BC tBABC Ctcot a tdtcsc a dt tsina dt ttan tsec a dttantsecta ttana sect dx ax x ttana sect ax x t ttana secta ax x tantdtsectadx tsectax ax axax x ax x f x a C ax dx ax x 2222 2222 2222 2222 222222 22 22 22 2222 22 2222 得 綜合討論 代入得 將 可知由討論 即時 令即當 則 中 可設(shè)在 則 可設(shè)時當 或的定義域為被積函數(shù) 證明 Caxxln a ax x dx ax x Caxxlna ax dx a Caxxln a ax x dxax dx ax adxax dx ax a ax dx ax aax dx ax x a Caxxln a ax x dx ax x 2222 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 2222 22 22 45 53 22 1 0 22 49 22 22 2 2222 2 2 22 22 得 由 公式 公式 證明 高等數(shù)學講義 積分公式 By D a n i e l La u Daniel Lau 28 Caxxln ax x dx ax x Caxxln ax x C xax lnaln ax x C xax xax ln ax x C xax xaxxax ln ax x dx ax x Caxxln ax x dx ax x x Ca ln a d a d a dx ax x x x ax ax Caxxln ax x C a axx ln ax x dx ax x a x tsec a ax ttan x ax tsin ax AC x AB a BC tBABC Ctsecttanln tsin C tcos tsin ln tsin C tsin tsin ln tsin C tsin tsin ln tsin Ctsinlntsinln tsin