2017北京市高一數(shù)學(xué)初賽試題及解答.docx

2017年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽高中一年級(jí)初賽試題參考解答（2017年4月9日）選擇題答案123456AABDCD填空題答案123456782489.52504101一、選擇題1集合A=2, 0, 1, 7，B=x| x22A, x2A，則集合B的所有元素之積為（A）36 （B）54 （C）72 （D）108答：A解：由x22A，可得x2=4，2，3，9，即x=2，3又因?yàn)閤2A，所以x2，x3，故x= 2，3因此，集合B=2, , , , ，3所以，集合B的所有元素的乘積等于(2)()()()()(3)=362已知銳角ABC的頂點(diǎn)A到它的垂心與外心的距離相等，則tan()=（A） （B） （C）1 （D）答：AABCDOHKE解：作銳角ABC的外接圓，這個(gè)圓的圓心O在形內(nèi)，高AD，CE相交于點(diǎn)H，銳角ABC的垂心H也在形內(nèi)連接BO交O于K，BK為的直徑. 連接AK，CK因?yàn)锳D，CE是ABC的高，KAB，KCB是直徑BK上的圓周角，所以KAB=KCB=90于是KA/CE，KC/AD，因此AKCH是平行四邊形所以KC=AH=AO=BK在直角KCB中，由KC=BK，得BKC=60，所以BAC=BKC=60故tan()= tan30=3將正奇數(shù)的集合1, 3, 5, 7, 從小到大按第n組2n1個(gè)數(shù)進(jìn)行分組：1，3, 5, 7，9, 11, 13, 15, 17，數(shù)2017位于第k組中，則k為（A）31 （B）32 （C）33 （D）34答：B.解：數(shù)2017是數(shù)列an= 2n 1的第1009項(xiàng)設(shè)2017位于第k組，則1+3+5+(2k1)1009，且1+3+5+(2k3)1009即k是不等式組的正整數(shù)解，解得k =32，所以2017在第32組中ABOyxy =4如圖，平面直角坐標(biāo)系x-O-y中，A, B是函數(shù)y =在第I象限的圖象上兩點(diǎn)，滿足OAB=90且AO = AB，則等腰直角OAB的面積等于（A） （B） （C） （D）答：DABOyxy =DC解：依題意，OAB=90且AO = AB，AOB=ABO=45過(guò)點(diǎn)A做y軸垂線交y軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)B做y軸平行線，交直線CA于點(diǎn)D易見(jiàn)COADAB設(shè)點(diǎn)A(a, )，則點(diǎn)B(a +, a)因?yàn)辄c(diǎn)B在函數(shù)y =的圖象上，所以(a +)( a)=1，即 a2=1因此SABC =OA2=(+ a2) =5已知f (x) = x5 + a1x4 + a2x3 + a3x2 + a4x + a5，且當(dāng)m =1, 2, 3, 4時(shí)，f (m)=2017m，則f (10)f (5)=（A）71655 （B）75156 （C）75615 （D）76515答：C解：因?yàn)?當(dāng)m =1, 2, 3, 4時(shí)，f (m)=2017m，所以1, 2, 3, 4是方程f (x)2017x=0的四個(gè)實(shí)根，由于5次多項(xiàng)式f (x)2017x有5個(gè)根，設(shè)第5個(gè)根為p，則f (x)2017x = (x1)(x2)(x3)(x4)(xp)即 f (x) = (x1)(x2)(x3)(x4)(xp)+2017x所以f (10)=9876(10p)+201710，f (5)=6789(5+p)20175，因此f (10) f (5)=15(9876+2017)=756156已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)m，使得關(guān)于x的方程f (x)=m有四個(gè)不同的實(shí)根，則a的取值范圍是（A） （B） （C） （D）答：D解：要使方程f (x)=m有四個(gè)不同的實(shí)根，必須使得y=m的圖像與y=f(x)的圖像有4個(gè)不同的交點(diǎn)而直線與y=|x|的圖像及二次函數(shù)的圖像交點(diǎn)都是最多為兩個(gè)，所以y=m與函數(shù)y=|x|, xa的圖像和y=x24ax+2a, xa的圖像的交點(diǎn)分別都是2個(gè)而存在實(shí)數(shù)m，使y=m與y=|x|, xa的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，需要a0，此時(shí)0ma；又因?yàn)閥=x24ax+2a, xa頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以，要y=m與y=x24ax+2a, xa的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)，需要m因此y=m的圖像與y=f(x)的圖像有4個(gè)不同的交點(diǎn)需要滿足：0ma且m，解得二、填空題1. 用x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，設(shè)，求的值答：24解：因?yàn)?21, 2, 322，所以1, , 2，因此，共3個(gè)1；同理，224, 5, 6, 7, 832，因此，共5個(gè)2；又329, 10, 11, 12, 13, 14, 1542，因此，共7個(gè)3；依次類推，共9個(gè)4；，共11個(gè)5；，共13個(gè)6；，共15個(gè)7；，共17個(gè)8；，共19個(gè)9. S = ()+()+()= 13+25+37+49+511+613+715+817+919=615因?yàn)?42=576615=S625=252，即2425，所以，=242確定(20172017201720172017)的值答：8解：原式=(20172017201720172017) =(2481632)= (2122232425)=(21+2+3+4+5)=(215)=23=83已知ABC的邊AB=厘米，BC=厘米，CA=厘米，求ABC的面積NAM BCP答：9.5平方厘米解：注意到13=32+22，29=52+22，34=52+32，作邊長(zhǎng)為5厘米的正方形AMNP，分成25個(gè)1平方厘米的正方形網(wǎng)格，如圖根據(jù)勾股定理，可知，AB=厘米，BC=厘米，CA=厘米，因此ABC的面積可求ABC的面積=55352523=9.5（平方厘米）4. 設(shè)函數(shù)的最大值為M，最小值為N，試確定M+N的值答：2解：由已知得因?yàn)?，所以，因此，是奇函數(shù)進(jìn)而可判定，函數(shù)為奇函數(shù)則g(x)的最大值M1和最小值N1滿足M1+N1= 0因?yàn)镸 =M1+1，N = N1+1，所以 M + N = 25設(shè)A是數(shù)集1, 2, , 2017的n元子集，且A中的任意兩個(gè)數(shù)既不互質(zhì)，又不存在整除關(guān)系，確定n的最大值答：504解：在數(shù)集1, 2, , 2017中選取子集，使得子集中任意兩個(gè)數(shù)不互質(zhì)，最大的子集是偶數(shù)集2, 4, , 2016共1008個(gè)元素，但其中，有的元素滿足整除關(guān)系，由于1010的2倍是2020，所以集合A=1010, 1012, 1014, , 2016中，任意兩個(gè)數(shù)既不互質(zhì)，又不存在整除關(guān)系，A中恰有504個(gè)元素事實(shí)上504是n的最大值因?yàn)槿魪?009, 1011, , 2017中任取一個(gè)奇數(shù)，會(huì)與A中的與它相鄰的偶數(shù)互質(zhì)；若從1, 2, 3, , 1008中任取一數(shù)，則它的2倍在A中，存在整除關(guān)系BFADCEO6如圖，以長(zhǎng)為4厘米的線段AB的中點(diǎn)O為圓心、2厘米為半徑畫(huà)圓，交AB的中垂線于點(diǎn)E和F. 再分別以A、B為圓心，4厘米為半徑畫(huà)圓弧交射線AE于點(diǎn)C，交射線BE于點(diǎn)D. 再以E為圓心DE為半徑畫(huà)圓弧，求這4條實(shí)曲線弧連接成的“卵形”的面積（圓周率用表示，不取近似值）答：(124)4平方厘米解：半圓(O, 2)的面積=22=2因?yàn)锳O=OB=2，所以AB=AC=BD=4，AE=BE=2，ED=EC=42又AEB=CED=90，EAB =EBA=45，因此，扇形BAD的面積=扇形ACB的面積=42=2，AEB的面積=42=4，直角扇形的面積=(42)2= 64，卵形的面積 = 半圓(O, 2)的面積+扇形BAD的面積+扇形ACB的面積AEB的面積+直角扇形的面積 = 2+224+64 = (124)4（平方厘米）7. 已知，求f (1)+f (2)+f (100)的值答：101解：設(shè)g(x) = x2100x+5000，則g(100x) = (100x)2100(100x)+5000=1002200x+x21002+100x+5000= x2100x+5000= g(x)，即 g(k) = g(100k)所以 f (k) + f (100k) = =2，又 f (50) = f (100)所以， f (1)+ f (2)+ f (100) = (f (1)+ f (99)+ (f (2)+ f (98)+ (f (49)+ f (51)+ f (50)+ f (100) = 249+1+2=1018如圖，在銳角ABC中，AC = BC = 10，D是邊AB上一點(diǎn)，ACD的內(nèi)切圓和BCD的與BD邊相切的旁切圓的半徑都等于2，求AB的長(zhǎng)DACB答：解：線段AB被兩圓與AB的切點(diǎn)及點(diǎn)D分成四段，由于兩圓半徑相等，再根據(jù)切線長(zhǎng)定理，可知中間兩段相等，于是可將這四段線段長(zhǎng)度分別記為a, b, b, c，由于圓O2的切線長(zhǎng)CE = CG，所以BC+a = CD+b = (ACc+b)+b，而AC = BC，所以a+c = 2bDACBEGFO1O2abbc由等角關(guān)系可得AO1FO2BE，得，即，由此推出ac = 4分別計(jì)算BCD和ACD的