人教版小學五年級數(shù)學下冊教案

目錄 目錄 義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學五年級下冊說明 .1 一、教學內(nèi)容和教學目標 .1 二、教材的編寫特點 .4 三、教學中需要準備的教具和學具 .14 四、課時安排 .15 各單元的教材說明和教學建議 .17 一、圖形的變換 .17 （一）教學目標 .17 （二）教材說明和教學建議 .17 （三）具體內(nèi)容的說明和教學建議 .19 二、因數(shù)與倍數(shù) .28 （一）教學目標 .28 （二）教材說明和教學建議 .28 （三）各小節(jié)的教材說明和教學建議 .31 1. 因數(shù)和倍數(shù) .31 2. 2、 5、 3 的倍數(shù)的特征 .36 3. 質(zhì)數(shù)和合數(shù) .41 （四）參考資料 .44 1. 2、 5、 3 的倍數(shù)的特征 .44 2. 質(zhì)數(shù)表 .45 3. 篩法 .46 三、長方體和正方體 .47 （一）教學目標 .47 （二） 教材說明和教學建議 .47 （三）各小節(jié)的教材說明和教學建議 .50 1. 長方體和正方體的認識 .50 2. 長方體和正方體的表面積 .56 3. 長方體和正方體的體積 .61 （四）參考教案 .78 課題一：長方體的認識（片斷） .78 課題二：體積和體積單位 .81 綜合應用：粉刷圍墻 .86 四、分數(shù)的意義和性質(zhì) .89 （一）教學目標 .89 （二）教材說明和教學建議 .89 （三）各小節(jié)的教材說明和教學建議 .95 1. 分數(shù)的意義 .95 2. 真分數(shù)和假分數(shù) .106 3. 分數(shù)的基本性質(zhì) .114 4. 約分 .120 5. 通分 .130 6. 分數(shù)和小數(shù)的互化 .144 （四）參考教案 .152 課題一：分數(shù)的意義 .152 課題二：最小公倍數(shù) .155 （五）參考資料 .159 1. 輾轉(zhuǎn)相除法 .159 2. 利用最大公因數(shù)求最小公倍數(shù) .160 3. 數(shù)的擴充 .161 4. 無限循環(huán)小數(shù)化成分數(shù) .162 五、分數(shù)的加法和減法 .164 （一）教學目標 .164 （二）教材說明和教學建議 .164 （三）各小節(jié)的教材說明和教學建議 .169 1. 同分母分數(shù)加、減法 .169 2. 異分母分數(shù)加、減法 .178 3. 分數(shù)加減混合運算 .185 （四）參考教案 .192 課題：異分母分數(shù)加減法 .192 六、統(tǒng)計 .198 （一）教學目標 .198 （二）教材說明和教學建議 .198 （三）具體內(nèi)容的說明和教學建議 .200 綜合應用：打電話 .206 七、數(shù)學廣角 .212 （一）教學目標 .212 （二）教材說明和教學建議 .212 （三）具體內(nèi)容的說明和教學建議 .214 八、總復習 .219 （一）教學目標 .219 （二 ）教材說明 .219 （三）教學建議 .221 五年級下冊說明 義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學五年級下冊說明 人民教育出版社小學數(shù)學室、課程教材研究所小學數(shù)學課程教材研究開發(fā)中心編寫的義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學五年級下冊，是以全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）（以下簡稱標準）的基本理念和所規(guī)定的教學內(nèi)容為依據(jù)，在總結(jié)現(xiàn)行九年義務教育小學數(shù)學教材研究和使用經(jīng)驗的基礎(chǔ)上編寫的。編者一方面努力體現(xiàn)新的教材觀、教學觀和學習觀 ，同時注意所采用措施的可行性，使實驗教材具有創(chuàng)新、實用、開放的特點。另一方面注意處理好繼承與發(fā)展的關(guān)系，既注意反映數(shù)學教育改革的新理念，又注意保持我國數(shù)學教育的優(yōu)良傳統(tǒng)，使教材具有基礎(chǔ)性、豐富性和發(fā)展性。 下面就這冊教材中幾個主要問題作一簡要說明，以供教師參考。 一、教學內(nèi)容和教學目標 這一冊教材包括下面一些內(nèi)容：圖形的變換，因數(shù)與倍數(shù)，長方體和正方體，分數(shù)的意義和性質(zhì)，分數(shù)的加法和減法，統(tǒng)計，數(shù)學廣角和綜合應用等。 因數(shù)與倍數(shù)，長方體和正方體，分數(shù)的意義和性質(zhì)，分數(shù)的加法和 減法，統(tǒng)計等是本冊教材的重點教學內(nèi)容。 在數(shù)與代數(shù)方面，這一冊教材安排了因數(shù)與倍數(shù)、分數(shù)的意義和性質(zhì)，分數(shù)的加法和減法。因數(shù)與倍數(shù)，在前面學習整數(shù)及其四則運算的基礎(chǔ)上教學初等數(shù)論的一些基礎(chǔ)知識，包括因數(shù)和倍數(shù)的意義， 2、 5、 3 的倍數(shù)的特征，質(zhì)數(shù)和合數(shù)。教材在三年級上冊分數(shù)的初步認識的基礎(chǔ)上教學分數(shù)的意義和性質(zhì)以及分數(shù)的加法、減法，結(jié)合約分教學最大公因數(shù)，結(jié)合通分教學最小公倍數(shù)。 在空間與圖形方面，這一冊教材安排了圖形的變換、長方體和正方體兩個單元。在已有知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，通過豐富的現(xiàn)實的數(shù) 學活動，讓學生獲得探究學習的經(jīng)歷，認識圖形的軸對稱和旋轉(zhuǎn)變換；探索并體會長方體和正方體的特征、圖形之間的關(guān)系，及圖形之間的轉(zhuǎn)化，掌握長方體、正方體的體積及表面積公式，探索某些實物體積的測量方法，促進學生空間觀念的進一步發(fā)展。 在統(tǒng)計方面，本冊教材讓學生學習有關(guān)眾數(shù)和復式折線統(tǒng)計圖的知識。在學習平均數(shù)和中位數(shù)的基礎(chǔ)上，本冊教材教學眾數(shù)。平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)都是反映一組數(shù)據(jù)集中趨勢的特征數(shù)。平均數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，比較穩(wěn)定、可靠，但易受極端數(shù)據(jù)的影響；中位數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，可靠性比較差，但不受極端 數(shù)據(jù)的影響；眾數(shù)作為一組數(shù)據(jù)的代表，也不受極端數(shù)據(jù)的影響。當一組數(shù)據(jù)中個別數(shù)據(jù)變動較大時，適宜選擇眾數(shù)或中位數(shù)來表示這組數(shù)據(jù)的集中趨勢。 在用數(shù)學解決問題方面，教材一方面結(jié)合分數(shù)的加法和減法、長方體和正方體兩個單元，教學用所學的知識解決生活中的簡單問題；另一方面，安排了 “ 數(shù)學廣角 ”的教學內(nèi)容，引導學生通過觀察、猜測、實驗、推理等活動向?qū)W生滲透優(yōu)化的數(shù)學思想方法，體會解決問題策略的多樣性及運用優(yōu)化的方法解決問題的有效性，感受數(shù)學的魅力。 本冊教材根據(jù)學生所學習的數(shù)學知識和生活經(jīng)驗，安排了兩個數(shù) 學綜合應用活動，讓學生通過小組合作的探究活動或有現(xiàn)實背景的活動，運用所學知識解決問題，體會探索的樂趣和數(shù)學的實際應用，感受用數(shù)學的愉悅，培養(yǎng)學生的數(shù)學意識和實踐能力。 這一冊教材的教學目標是，使學生： 1. 理解分數(shù)的意義和基本性質(zhì)，會比較分數(shù)的大小，會把假分數(shù)化成帶分數(shù)或整數(shù)，會進行整數(shù)、小數(shù)的互化，能夠比較熟練地進行約分和通分。 2. 掌握因數(shù)和倍數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)、奇數(shù)和偶數(shù)等概念，以及 2、 3、 5 的倍數(shù)的特征；會求 100 以內(nèi)的兩個數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。 3. 理解分數(shù)加、減法的意義，掌握分數(shù)加、減法 的計算方法，比較熟練地計算簡單的分數(shù)加、減法，會解決有關(guān)分數(shù)加、減法的簡單實際問題。 4. 知道體積和容積的意義及度量單位，會進行單位之間的換算，感受有關(guān)體積和容積單位的實際意義。 5. 結(jié)合具體情境，探索并掌握長方體和正方體的體積和表面積的計算方法，探索某些實物體積的測量方法。 6. 能在方格紙上畫出一個圖形的軸對稱圖形，以及將簡單圖形旋轉(zhuǎn) 90 ；欣賞生活中的圖案，靈活運用平移、對稱和旋轉(zhuǎn)在方格紙上設(shè)計圖案。 7. 通過豐富的實例，理解眾數(shù)的意義，會求一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，并解釋結(jié)果的實際意義；根據(jù)具體的問題， 能選擇適當?shù)慕y(tǒng)計量表示數(shù)據(jù)的不同特征。 8. 認識復式折線統(tǒng)計圖，能根據(jù)需要選擇合適的統(tǒng)計圖表示數(shù)據(jù)。 9. 經(jīng)歷從實際生活中發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的過程，體會數(shù)學在日常生活中的作用，初步形成綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力。 10. 體會解決問題策略的多樣性及運用優(yōu)化的數(shù)學思想方法解決問題的有效性，感受數(shù)學的魅力。形成發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學的意識，初步形成觀察、分析及推理的能力。 11. 體會學習數(shù)學的樂趣，提高學習數(shù)學的興趣，建立學好數(shù)學的信心。 12. 養(yǎng)成認真作業(yè)、書寫整潔的良好習慣。 二、教 材的編寫特點 本冊教材對于教學內(nèi)容的編排和處理，是以整套實驗教材的編寫思想、編寫原則等為指導，力求使教材的結(jié)構(gòu)符合教育學、心理學的原理和學生的年齡特征，繼續(xù)體現(xiàn)前幾冊實驗教材中的風格與特點。本冊教材仍然具有內(nèi)容豐富、關(guān)注學生的經(jīng)驗與體驗、體現(xiàn)知識的形成過程、鼓勵算法及解決問題的策略多樣化、改變學生的學習方式，體現(xiàn)開放性的教學方法等特點。同時，由于教學內(nèi)容的不同，本冊教材還具有下面幾個明顯的特點。 1. 改進因數(shù)與倍數(shù)教學的編排，體現(xiàn)數(shù)學教學改革的新理念，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)。 在小學階 段，有關(guān)因數(shù)與倍數(shù)的知識是傳統(tǒng)的教學內(nèi)容，以往人們認為，它既是小學生應該掌握的重要的基礎(chǔ)知識，又是發(fā)展小學生邏輯思維的良好素材。同時，人們普遍認為，這部分內(nèi)容概念集中，比較抽象，概念之間的聯(lián)系緊密，學生理解起來比較困難。也由于以往對這部分內(nèi)容的編排，聯(lián)系實際的素材不多，學習這部分內(nèi)容，既需要學生理解并記憶一些概念，又要求能夠運用這些概念進行一定的推理、判斷。所以，學習過程顯得比較枯燥。因此，這部分內(nèi)容向來是小學數(shù)學教學的難點內(nèi)容。 本套教材對這部分內(nèi)容的處理，主要的依據(jù)是標準的要求和所提倡的理念 ?！?在標準中這部分內(nèi)容的要求有所降低，明確在 1 100 的自然數(shù)中認識有關(guān)的概念和性質(zhì)，并且這部分內(nèi)容不作為一個獨立的領(lǐng)域出現(xiàn)，在教材的編排中可以將這部分內(nèi)容分散到數(shù)的認識和計算中去。 ” （劉兼孫曉天主編全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）解讀第 204 頁，北京師范大學出版社 2002 年 5 月第 1版。） 本冊教材的編排既注意體現(xiàn)標準中關(guān)于因數(shù)與倍數(shù)教學與教材編排的要求，同時注意體現(xiàn)近年來有關(guān)這部分內(nèi)容教學改革的經(jīng)驗。首先，將以往教材 “ 因數(shù)與倍數(shù) ” 的教學內(nèi)容分散編排，安排在本冊的兩個單元里教學。第二 單元 “ 因數(shù)與倍數(shù) ” 包括因數(shù)和倍數(shù)的意義， 2、 5、 3 的倍數(shù)的特征，質(zhì)數(shù)和合數(shù)的含義等，重點是讓學生了解和掌握這些重要的概念；在第四單元 “ 分數(shù)的意義和性質(zhì) ” 中，結(jié)合約分教學最大公因數(shù)的概念和求法，結(jié)合通分教學最小公倍數(shù)的概念和求法。其次，注意所涉及的數(shù)的范圍在 1 100 的自然數(shù)內(nèi)，避免題目中的數(shù)目過大。此外，在例題的安排、素材的選取、習題的設(shè)計等方面都采取了新的措施，使得上述兩單元中相關(guān)內(nèi)容的編排與以往的教材相比有下面幾個特點： （ 1）精簡教學內(nèi)容，突出基本概念教學。 不再以整除概念為基礎(chǔ)引出因數(shù)與倍數(shù) ，而是在直觀的基礎(chǔ)上，通過乘法算式得出因數(shù)與倍數(shù)的概念。由于學生已經(jīng)積累了豐富的區(qū)分整除與有余數(shù)除法的知識和經(jīng)驗，對整除的含義能夠清晰的理解，不出現(xiàn)整除的定義不會對學生理解其他概念產(chǎn)生影響。因此，本套教材中不再出現(xiàn) “ 整除 ” 的數(shù)學化定義，而是借助整除的模式 na b直接引出因數(shù)和倍數(shù)的概念。 “ 分解質(zhì)因數(shù) ”和 “ 用短除法分解質(zhì)因數(shù) ” 不作為正式教學內(nèi)容。在以往的教材中， “ 分解質(zhì)因數(shù) ” 及“ 用短除法分解質(zhì)因數(shù) ” 是作為求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)的基礎(chǔ)知識和技能安排的，因此， “ 分解質(zhì)因數(shù) ” 一直作為必學內(nèi)容編排。而在本冊教材中 ，由于允許學生采用多種方法求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)， “ 分解質(zhì)因數(shù) ” 失去了其基礎(chǔ)知識的作用，因此不再作為正式教學內(nèi)容，而只作為一個補充知識，安排在 “ 你知道嗎？ ” 中介紹。 （ 2）增加了直觀和聯(lián)系實際。以往人們普遍認為，這部分內(nèi)容的教學過于形式化，一系列的概念引出，似乎都與現(xiàn)實生活無關(guān)；從概念到概念，似乎都難以直觀。而小學數(shù)學的大多數(shù)教學內(nèi)容的引出都注意從實際引入，注重提供直觀支柱。因此，本套教材對這部分內(nèi)容的編排，盡量聯(lián)系實際，內(nèi)容的呈現(xiàn)、展開注意貼近學生的認知特點。例如， 2、 5、 3 的倍數(shù)的特征的教學， 例題和習題，都增加了聯(lián)系學生生活實際的素材和插圖；用鋪地磚的問題情境引出最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的概念等。這樣的處理便于揭示數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，有利于學生理解有關(guān)概念的現(xiàn)實意義，也有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力。 （ 3）增加探索性和開放性。例如， “3 的倍數(shù)的特征 ” 的得出， “ 做 100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表 ” ，找出最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)的過程，等等，都體現(xiàn)了放手讓學生探究，鼓勵用多種方法解決問題，培養(yǎng)學生的探索意識和解決問題的能力。 （ 4）加強了拓展性和知識性。內(nèi)容精簡之后，出于拓展學生知識面的考慮，教材在 相關(guān)教學內(nèi)容之后，利用 “ 你知道嗎？ ”“ 生活中的數(shù)學 ” 等欄目，安排較多的拓展性知識作為閱讀資料提供給學生。例如，介紹完全數(shù)（第 14 頁）、互質(zhì)數(shù)（第 83 頁）的概念，奇數(shù)和偶數(shù)在日常生活中的應用，哥德巴赫猜想，以及怎樣利用分解質(zhì)因數(shù)的方法求兩個數(shù)的最大公因數(shù)（第 81 頁）等，以豐富學生的數(shù)論知識，激發(fā)繼續(xù)探求的欲望，培養(yǎng)學生對學習數(shù)學、探索數(shù)學持久而穩(wěn)定的興趣。 綜上所述可以看出，這樣的編排使因數(shù)與倍數(shù)教學的教育價值得到擴充與提高。通過這樣的教學，不僅可以使學生很好的掌握與數(shù)論相關(guān)的最基礎(chǔ)的知識，體會數(shù)學學習的樂趣和實際價值，同時可使學生獲得邏輯思維的訓練，自主探索意識和能力的培養(yǎng)，從而逐步提高數(shù)學素養(yǎng)。 2. 改進認識分數(shù)的編排，注重溝通知識間的相互聯(lián)系，加強學生對分數(shù)意義的理解。 從本學期開始，學生將要系統(tǒng)地學習分數(shù)的意義和性質(zhì)、分數(shù)的四則運算。同整數(shù)、小數(shù)知識一樣，分數(shù)知識也是小學數(shù)學教學的重要內(nèi)容，是進一步學習數(shù)學和其他學科所必需的基礎(chǔ)知識。分數(shù)的概念比較難理解，計算起來也比較復雜。為了便于學生理解和掌握分數(shù)，本套教材仍然采用了以往教材的編排體系，把分數(shù)劃分為兩個階段教學。第一段安排在 三年級上冊，借助操作直觀，使學生對分數(shù)有初步的認識，雖然也出現(xiàn)了簡單的分數(shù)大小比較和同分母分數(shù)加、減法，目的是為了幫助學生更好地理解分數(shù)的初步概念，給學生積累一些感性知識。在系統(tǒng)認識了小數(shù)和初步認識了分數(shù)的基礎(chǔ)上，本冊將引導學生由感性認識上升到理性認識，概括出分數(shù)的意義，比較完整地從分數(shù)的產(chǎn)生、分數(shù)與除法的關(guān)系等方面加深對分數(shù)意義的理解，進而學習并理解與分數(shù)有關(guān)的基本概念，掌握必要的約分、通分、分數(shù)與小數(shù)互化等技能，以及分數(shù)的加、減法計算。在具體安排上，本套教材一方面注意體現(xiàn)標準所提倡的教學理念，提供豐 富的學習素材，在學生已有知識和經(jīng)驗的基礎(chǔ)上闡述新的內(nèi)容，給學生創(chuàng)設(shè)自主探索的空間，同時，還注意采取下面幾個方面的措施： （ 1）加強直觀，加深學生對分數(shù)意義的理解。 在小學數(shù)學里，引進分數(shù)概念是小學生數(shù)概念的一次重要擴展。對于小學生而言，分數(shù)比較抽象，學生在實際生活中遇到分數(shù)也比較少，因此理解和掌握是比較困難的。教材的編排比以往更重視用直觀的手段幫助學生體會、理解有關(guān)知識。例如， “ 分數(shù)的產(chǎn)生 ” 提供古人測量與孩子分物的兩幅直觀圖，幫助學生感悟分數(shù)是怎樣產(chǎn)生的，促進對分數(shù)意義的理解； “ 分數(shù)的意義 ” 則通過直觀插圖，從兩個方面說明 1/4 的含義（可以表示一個物體的 1/4，也可以表示一些物體的 1/4），在此基礎(chǔ)上給出分數(shù)單位的概念，揭示分數(shù)表示部分與整體的關(guān)系，加深學生對分數(shù)概念的理解。 （ 2）對部分教學內(nèi)容作了適當?shù)恼{(diào)整或精簡。其一，分數(shù)大小比較與通分結(jié)合在一起教學。其二，將以往 “ 約數(shù)與倍數(shù) ” 的部分內(nèi)容與分數(shù)的相關(guān)知識結(jié)合起來教學。即：將公因數(shù)、最大公因數(shù)與約分編為一節(jié)，同樣，將公倍數(shù)、最小公倍數(shù)與通分編為一節(jié)。這樣的調(diào)整，分散了教學的難點，充分利用學生已有知識的遷移，降低了學習的難度，有利于學 生認識的螺旋上升。 （ 3）加強開放性，培養(yǎng)學生靈活的思維和解決問題的能力。例如，教學求兩個數(shù)的最大公因數(shù)或最小公倍數(shù)，不再采用唯一的、固定的短除法分解質(zhì)因數(shù)的方法，而是引導學生采用多種方法 “ 找 ” 最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)。教學分數(shù)化成小數(shù)的方法，改進了過去只介紹單一的一般算法的做法，還介紹了把分母不是 10， 100， 1000， 的分數(shù)，利用分數(shù)的基本性質(zhì)改寫成分母是 10， 100， 1000， 的分數(shù)，再改寫成小數(shù)的方法。這樣的編排體現(xiàn)了算法多樣化、尊重學生個性化的選擇，培養(yǎng)學生善于從不同的角度思考和解決問題 的意識和能力。 （ 4）加強聯(lián)系實際，從現(xiàn)實問題情境引出數(shù)學問題，得出數(shù)學知識。如前所述，有關(guān)分數(shù)、整除的知識都比較抽象，本套教材特別注意聯(lián)系實際，從解決實際問題的角度入手探討新知識。例如，無論是公因數(shù)與最大公因數(shù)、公倍數(shù)與最小公倍數(shù)的引入，還是約分、通分的給出，教材都創(chuàng)設(shè)了適當?shù)默F(xiàn)實問題情境，進而在解決實際問題中，抽象出數(shù)學概念，得出數(shù)學方法，揭示數(shù)學與現(xiàn)實世界的聯(lián)系。這樣編排既有利于學生理解公因數(shù)、最大公因數(shù)概念的現(xiàn)實意義，也有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力，還有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識和解決實際問 題的能力。 3. 提供豐富的空間與圖形的教學內(nèi)容，注重動手實踐與自主探索，促進學生空間觀念的發(fā)展。 小學階段空間與圖形教學的主要目標是發(fā)展學生的空間觀念，與前幾冊一樣，本冊教材繼續(xù)把促進學生空間觀念的發(fā)展作為空間與圖形內(nèi)容編排的研究重點。在教學內(nèi)容方面安排了 “ 圖形的變換 ”“ 長方體和正方體 ” 兩個單元。 “ 圖形的變換 ” 的內(nèi)容是在第一學段學習基礎(chǔ)上的進一步擴展和提高。在以前的學習中，學生初步感知了生活中的對稱、平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象 ,初步認識了軸對稱圖形 ,能在方格紙上畫簡單的軸對稱圖形或畫出一個簡 單圖形沿水平或垂直方向平移后的圖形。本冊在此基礎(chǔ)上 ,讓學生進一步認識圖形的軸對稱，探索圖形成軸對稱的特征和性質(zhì)，學習在方格紙上畫出一個圖形的軸對稱圖形和畫出一個簡單圖形旋轉(zhuǎn) 90 后的圖形 ,發(fā)展空間觀念。教材的編排，首先注意利用學生已有知識引導學生探索新知識。例如，探索圖形成軸對稱的特征和性質(zhì)，先讓學生復習軸對稱圖形和畫對稱軸，再讓學生觀察軸對稱圖形的特征和畫出一個軸對稱圖形的另一半 ,從而使學生在已有知識的基礎(chǔ)上加深對軸對稱圖形特征的認識。其次，加強直觀教學圖形的特征。例如，圖形的旋轉(zhuǎn)的教學 ,讓學生觀察鐘表表 針和風車旋轉(zhuǎn)的過程 ,認識它們是怎樣按照順時針或逆時針方向旋轉(zhuǎn)的，明確旋轉(zhuǎn)的含義，探索圖形的旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)。第三，設(shè)計大量的活動，幫助學生理解圖形的性質(zhì)和變換，發(fā)展空間觀念。不僅設(shè)計了畫一畫、剪一剪等操作活動，而且還設(shè)計了需要學生想像、猜測和推理進行的探究活動。例如，讓學生判斷某個圖案分別是由哪種方法剪出來的，這就需要學生根據(jù)圖案的特征，在頭腦中對這個圖案進行“ 折疊 ” 和 “ 剪開 ” ，從而使學生的空間想像力和思維能力得到鍛煉的機會。 “ 長方體和正方體 ” 單元，則是學生系統(tǒng)認識立體圖形特征的開始。從認識平面圖 形擴展到認識立體圖形，是學生發(fā)展空間觀念的一次飛躍。長方體和正方體是最基本的立體圖形。通過教學不僅可以使學生掌握有關(guān)立體圖形方面的最基礎(chǔ)的知識，而且可以使學生對自己周圍的空間和空間中的物體形成初步的觀念，為進一步學習與發(fā)展打下基礎(chǔ)。在以往的教材中，這些部分內(nèi)容的編排往往側(cè)重于理解和掌握立體圖形的特征和表面積、體積的計算方法，而對于促進學生空間觀念的發(fā)展在學習素材和實踐操作方面都顯不夠。本套教材在編排上突出的變化是，加強動手實踐、自主探索，讓學生經(jīng)歷知識的形成過程，使學生得到較多的有關(guān)空間觀念的訓練機會。例如 ，每種圖形的特征，均采用讓學生動手實驗，自主探索得到；通過 “ 烏鴉喝水 ” 的故事，石頭放在盛水的杯子里的實驗等，以形象、生動的方式，為學生感知物體占有空間，理解體積概念提供豐富的感性經(jīng)驗。又如，長方體體積的計算方法，先讓學生用方木塊拼擺長方體，通過對擺法不同的長方體的相關(guān)數(shù)據(jù)的觀察、分析和歸納，自己發(fā)現(xiàn)長方體的體積與它的長、寬、高之間的內(nèi)在聯(lián)系，再總結(jié)出長方體體積的計算公式。教材編排還加強了聯(lián)系實際。例如，從現(xiàn)實生活素材抽象出長方體和正方體的幾何圖形；在介紹了容積概念后，還介紹了用排水法求不規(guī)則物體體積的方法； 在練習中適當增加了解決實際問題的題目（如第 32 頁第 6、 7 題）；等等。這些新的變化使以往知識容量大且比較抽象的這一單元，為學生的學習和教師的教學，都提供了更為豐富的學習素材和開放的教學空間。 4. 加強統(tǒng)計知識的教學，發(fā)展學生的統(tǒng)計觀念，逐步形成從數(shù)學的角度進行思考問題的思維習慣。 通過四年多的數(shù)學學習，在統(tǒng)計與概率方面，學生已經(jīng)掌握了一定的知識，形成了一定的能力，積累了一定的經(jīng)驗。本冊教材關(guān)于統(tǒng)計的教學主要有兩部分，其一，教學新的統(tǒng)計知識 眾數(shù)，了解眾數(shù)的含義，學會找出數(shù)據(jù)的眾數(shù)，在統(tǒng)計分 析中能根據(jù)實際情況選擇適當?shù)慕y(tǒng)計量來描述數(shù)據(jù)的特征；其二，教學復式折線統(tǒng)計圖，使學生更好地理解統(tǒng)計知識在解決問題中的作用，形成良好的統(tǒng)計觀念。 在教材的具體編排上，一是注意與先前學習過的統(tǒng)計知識的聯(lián)系，幫助學生理解所學的新內(nèi)容。例如，眾數(shù)的含義是通過與平均數(shù)、中位數(shù)的對比得到的；復式折線統(tǒng)計圖也是由單式折線統(tǒng)計圖引出的。這樣既有助于加深對前面所學統(tǒng)計知識的理解，也便于對新知識的領(lǐng)悟。二是注意提供豐富的現(xiàn)實生活素材，凸現(xiàn)統(tǒng)計知識和方法的價值。 本冊教材所選素材涉及到體育、氣象、消費等方面，擴大了學生處 理信息的范圍，更好地體會統(tǒng)計知識和方法在實際生活中的作用，有利于發(fā)展學生的統(tǒng)計觀念，形成從數(shù)學的角度思考問題的良好習慣。 5. 有步驟地滲透數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生數(shù)學思維能力和解決問題的能力。 數(shù)學學習不僅可以使學生獲得參與社會生活必不可少的知識和能力，而且還能有效地提高學生的邏輯推理能力，進而奠定發(fā)展更高素質(zhì)的基礎(chǔ)。因此，培養(yǎng)學生良好的數(shù)學思維能力是數(shù)學教學要達到的重要目標之一。本套教材總體設(shè)想之一是：系統(tǒng)而有步驟地滲透數(shù)學思想方法，嘗試把重要的數(shù)學思想方法通過學生可以理解的簡單形式，采用 生動有趣的事例呈現(xiàn)出來。通過教學使學生受到數(shù)學思想方法的熏陶，形成探索數(shù)學問題的興趣與欲望，逐步發(fā)展數(shù)學思維能力。據(jù)此，在本冊教材的 “ 數(shù)學廣角 ”單元，安排了 “ 找次品 ” 的教學，旨在通過 “ 找次品 ” 滲透優(yōu)化思想，讓學生充分感受到數(shù)學與日常生活的密切聯(lián)系。優(yōu)化是一種重要的數(shù)學思想方法，運用之可有效地分析和解決問題。教材以 “ 找次品 ” 這一探索性操作活動為載體，讓學生通過觀察、猜測、試驗等方式感受解決問題策略的多樣性，再通過歸納、推理的方法體會運用優(yōu)化策略解決問題的有效性，感受數(shù)學的魅力，培養(yǎng)觀察、分析、推理以及解決問題 的能力。 用數(shù)學解決問題能力的培養(yǎng)是義務教育階段數(shù)學課程的重要目標之一，因此解決問題教學在數(shù)學教學中有著重要的作用。它既是發(fā)展學生數(shù)學思維的過程，又是培養(yǎng)學生應用意識、創(chuàng)新意識的重要途徑。與前面幾冊教材一樣，本冊教材仍然注意將解決問題的教學融合于各部分內(nèi)容的教學中，通過各部分內(nèi)容的教學培養(yǎng)學生用數(shù)學解決問題的能力。同時在 “ 數(shù)學廣角 ” 單元以及數(shù)學綜合運用活動中，加強了綜合運用知識解決問題和解決問題策略多樣化的教學，使學生逐步提高數(shù)學思維能力和解決問題的能力。本冊教材設(shè)計了 “ 粉刷圍墻 ” 和 “ 打電話 ” 兩個數(shù) 學綜合運用活動，讓學生通過小組合作的探究性活動，綜合運用所學的數(shù)學知識和方法（如簡單的優(yōu)化思想方法、通過畫圖的方式發(fā)現(xiàn)事物隱含的規(guī)律等），動手實踐、解決問題，體會數(shù)學在日常生活中的應用價值，增強學生應用數(shù)學的意識，不斷提高學生的實踐能力和解決問題的能力。 6. 情感、態(tài)度、價值觀的培養(yǎng)滲透于數(shù)學教學中，用數(shù)學的魅力和學習的收獲激發(fā)學生的學習興趣與內(nèi)在動機。 本次數(shù)學課程改革強調(diào)了對學生情感、態(tài)度和價值觀的培養(yǎng)，全面提高學生的素質(zhì)。小學高年級學生已經(jīng)具有了一定的知識和生活經(jīng)驗，對自然與社會現(xiàn)象 有了一定的探求欲望，此時需要教育者進行有目的的啟發(fā)與引導。在數(shù)學教學中，就是要通過數(shù)學學習活動，使學生形成豐富的情感、積極的態(tài)度和正確的價值觀，這同樣是學生學習、生存和發(fā)展的重要基礎(chǔ)。本冊教材不僅內(nèi)容涉及數(shù)學教學內(nèi)容的各個領(lǐng)域，為學生探索奇妙的數(shù)學世界提供了豐富素材，而且注意結(jié)合教學內(nèi)容安排了許多體現(xiàn)數(shù)學文化的閱讀材料、數(shù)學史實等，使學生的數(shù)學學習活動豐富多彩、充滿魅力。這些都有助于學生初步認識數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系，了解數(shù)學的價值，激發(fā)學生學習數(shù)學的欲望。 （ 1）提供豐富的培養(yǎng)學習數(shù)學興趣愛好的 素材。 考慮到學生年齡的增長、視野的擴大等因素，本套教材注意選擇知識內(nèi)容深刻、內(nèi)涵更豐富的教學素材，使學生在學習數(shù)學的同時，受到情感、態(tài)度、價值觀的熏陶。例如， “ 圖形的變換 ” 單元 ,呈現(xiàn)了大量現(xiàn)實生活中利用對稱、平移和旋轉(zhuǎn)設(shè)計出的美麗的事物和圖案；數(shù)學綜合應用 “ 打電話 ” 、數(shù)學廣角 “ 找次品 ” 等，都蘊涵了優(yōu)化的思想方法，這些簡潔、巧妙的解決問題策略體現(xiàn)的是數(shù)學方法。 “ 數(shù)學在使人賞心悅目和提供審美價值方面，至少可與其他任何一種文化門類媲美 ” 。（ M. 克萊因）這些都有利于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，形成穩(wěn)定的探索 數(shù)學的愛好。 （ 2）注意反映數(shù)學與人類生活的密切聯(lián)系以及數(shù)學的文化價值。 與前幾冊教材一樣，本冊教材仍然注意采用閱讀材料的形式，結(jié)合教學內(nèi)容編排一些有關(guān)的數(shù)學史料，豐富學生對數(shù)學發(fā)展的整體認識，培養(yǎng)學生探索數(shù)學、學習數(shù)學的興趣與欲望。如安排了 14 個 “ 你知道嗎？ ”6 個 “ 生活中的數(shù)學 ” 。介紹了現(xiàn)實生活中數(shù)學知識的應用、數(shù)學家的故事等等。這些內(nèi)容不僅可以使學生對數(shù)學本身產(chǎn)生濃厚的興趣，激勵他們擴大知識面和進一步探索研究的欲望，而且對學生的情感、態(tài)度、價值觀的形成與發(fā)展也能起到潛移默化的作用。 （ 3）通過自主探索的活動，讓學生獲得學習成功的體驗，增進學好數(shù)學的信心。 結(jié)合學生的年齡特點和教學內(nèi)容，本冊教材設(shè)計了很多需要學生自主探索的活動。例如，教學質(zhì)數(shù)與合數(shù)概念，教材設(shè)計了讓學生自主探索 1 20 各數(shù)的因數(shù)個數(shù)有什么規(guī)律的活動，從而為理解質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念獲得豐富的感性經(jīng)驗；再如，找出 100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，讓學生自主探索，體驗找質(zhì)數(shù)的一般方法 “ 篩法 ” 。長方體體積計算公式的推出，讓學生小組合作探索出長方體中所含體積單位的數(shù)量與它的長、寬、高的關(guān)系，再總結(jié)出長方體體積的計算公式。求最大公因數(shù)和最 小公倍數(shù)的教學，教材展示了學生自主探索出多種方法，具有較強的自主性和開放性，等等。讓學生有更多的機會應用數(shù)學知識，進行自主探索的實踐，并通過這些活動獲得自己成功、能力增強等良好體驗，從而逐步增強學好數(shù)學、會用數(shù)學的信心。 三、教學中需要準備的教具和學具 在前面幾冊的教師教學用書中，已經(jīng)介紹了許多教具和學具，其中的一些仍可繼續(xù)使用。本冊結(jié)合教學內(nèi)容，介紹一些新教具和學具，供參考。 1. 長方體和正方體實物及模型 教師和學生收集一些長方體和正方體形的實物，如藥盒、牙膏盒、火柴盒、化妝品盒、積木等。教科 書第 145、 147 頁還印有長方體和正方體的展開圖，可讓學生剪下來貼在厚紙上，然后制成長方體和正方體。 2. 演示分數(shù)用的教具 教師可以自制演示分數(shù)用的教具，制作的方法是：用硬紙板做兩個大小相同而顏色不同的圓，順著一條半徑分別剪開，將兩個圓從剪開的地方互相交叉放在一起 ，并使它們重合（如下圖）。教學時，教師轉(zhuǎn)動一個圓，可以演示不同的分數(shù)。在圓周上，可以畫出刻度，表示 1/2， 1/3， 1/4， 3. 其他教具 教師還可以根據(jù)各部分教學內(nèi)容的需要自己準備或設(shè)計制作一些教具和學具。如教學體積時制備 1 m3、 1 dm3 模型，容納 1 L、 100 ml 液體的量杯；教學因數(shù)與倍數(shù)時，可根據(jù)教科書上的圖制成教具等。教師還可以根據(jù)需要自己制作其他適用的教具。 四、課時安排 根據(jù)義務教育階段國家數(shù)學課程標準（征求意見稿）中的 “ 各學段課程內(nèi)容參考教學時間一覽表 ” ，實驗教材的編者為 五年級下學期數(shù)學教學安排了 60 課時的教學內(nèi)容。各部分教學內(nèi)容教學課時大致安排如下，教師教學時可以根據(jù)本班具體情況適當靈活掌握。 一、圖形的變換（ 4 課時） 二、因數(shù)與倍數(shù)（ 6 課時） 1 因數(shù)和倍數(shù) 2 課時左右 2 2、 5、 3 的倍數(shù)的特征 .3 課時左右 3 質(zhì)數(shù)和合數(shù) .1 課時左右 三、長方體和正方體（ 12 課時） 1 長方體和正方體的 認識 .2課時左右 2 長方體和正方體的表面積 .2課時左右 3 長方體和正方體的體積 .7課時左右 整理和復習 1 課時 粉刷圍墻 1 課時 四、分數(shù)的意義和性質(zhì)（ 20 課時） 1 分數(shù)的意義 .4 課時左右 2 真分數(shù)和假分數(shù) .3 課時左右 3 分數(shù)的基本性質(zhì) .2 課時左右 4 約分 .4 課時左右 5 通分 .4 課時左右 6 分數(shù)與小數(shù)的互化 .2課時左右 整理和復習 1 課時 五、分數(shù)的加法和減法 （ 7 課時） 1 同分母分數(shù)加、減法 .2 課時左右 2 異分母分數(shù)加、減法 .3 課時左右 3 分數(shù)加減混合運算 .2課時左右 六、統(tǒng)計（ 3 課時） 打電話 .1 課時 七、數(shù)學廣角（ 2 課時） 八、總復習（ 4 課時） 一、圖形的變換 （一）教學目標 1. 使學生進一步認識圖形的軸對稱，探索圖形成軸對稱的特征和性質(zhì)，能在方格紙上畫出一個圖形的軸對稱圖形。 2. 進一步認識圖形的旋轉(zhuǎn) ,探索圖形旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)，能在方格紙上把簡單圖形旋轉(zhuǎn)90 。 3. 初步學會運 用對稱、平移和旋轉(zhuǎn)的方法在方格紙上設(shè)計圖案 ,進一步增強空間觀念。 4. 讓學生在上述活動中，欣賞圖形變換所創(chuàng)造出的美 ,進一步感受對稱、平移和旋轉(zhuǎn)在生活中的應用，體會數(shù)學的價值。 （二）教材說明和教學建議 教材說明 學生在二年級已經(jīng)初步感知了生活中的對稱、平移和旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象 ,初步認識了軸對稱圖形 ,能在方格紙上畫簡單的軸對稱圖形 ,也能在方格紙上畫出一個簡單圖形沿水平或垂直方向平移后的圖形。在此基礎(chǔ)上 ,本單元讓學生進一步認識圖形的軸對稱，探索圖形成軸對稱的特征和性質(zhì)，學習在方格紙上畫出一個圖形的軸對稱圖形和畫 出一個簡單圖形旋轉(zhuǎn) 90 后的圖形 ,發(fā)展空間觀念。結(jié)合本單元的學習 , 還安排了數(shù)學游戲 “ 設(shè)計鑲嵌圖案 ” 。 本單元教材在編排上有以下幾個特點。 1. 重視學生已有的知識基礎(chǔ)，探索兩個圖形成軸對稱的特征和性質(zhì)。 在二年級學生已經(jīng)認識了日常生活中的對稱現(xiàn)象，有了軸對稱圖形的概念，并能畫出一個軸對稱圖形的對稱軸和它的另一半 ,這里是進一步認識兩個圖形成軸對稱的概念，探索圖形成軸對稱的特征和性質(zhì)，并學習在方格紙上畫出一個圖形的軸對稱圖形。本單元教材先設(shè)計了畫對稱軸，觀察軸對稱圖形的特征和畫出一個軸對稱圖形 的另一半的活動 ,加深對軸對稱圖形特征的認識，從而讓學生在已有的知識基礎(chǔ)上探索新知識。 2. 注重聯(lián)系生活實際，讓學生在具體情境中認識圖形的旋轉(zhuǎn)。 本單元聯(lián)系具體情境 ,讓學生觀察鐘表的表針和風車旋轉(zhuǎn)的過程 ,分別認識這些實物怎樣按照順時針和逆時針方向旋轉(zhuǎn)，明確旋轉(zhuǎn)的含義，探索圖形的旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì) ,再讓學生學會在方格紙上把簡單圖形旋轉(zhuǎn) 90 。 3. 通過大量的活動，幫助學生理解圖形的對稱和旋轉(zhuǎn)變換，增強空間觀念。 本單元不僅設(shè)計了看一看、畫一畫、剪一剪等操作活動，而且注意設(shè)計需要 學生進行想像、猜測和推理進行探究的活動，培養(yǎng)學生的空間想像力和思維能力。例如，讓學生判斷幾個圖案分別是由哪種方法剪出來的。這就要求學生要根據(jù)圖案的特征，不斷在頭腦中對這個圖案進行 “ 折疊 ” ，并將最后的結(jié)果與下面的剪法對應起來。而且還讓學生思考 “ 還有什么剪法 ” ，從而使學生的空間想像力和思維能力得到充分的鍛煉。 教學建議 1. 注意讓學生真正地、充分地進行活動和探究。 由于本單元知識是在學生已有的關(guān)于對稱和旋轉(zhuǎn)的知識基礎(chǔ)上，并結(jié)合學生熟悉的生活情境進行安排的，學生完全可以通過觀察、想像、分析和推理 等過程，獨立探究出來。因此，教師要切實組織好學生的課堂活動，為學生創(chuàng)造進行探究的時間和空間。不要讓教師的演示或少數(shù)學生的活動和回答代替每一位學生的親自動手、親自體驗和獨立思考。這樣學生的空間想像力和思維能力才能得以鍛煉，空間觀念才能得到發(fā)展。 2. 本單元內(nèi)容可以用 4 課時進行教學。 （三）具體內(nèi)容的說明和教學建議 （第 2 11頁） 1. 主題圖。 教科書第 2 頁，呈現(xiàn)了現(xiàn)實生活中利用對稱、平移和旋轉(zhuǎn)設(shè)計出的許多美麗的事物和圖案，引出本單元內(nèi)容的學習。目的是從現(xiàn)實生活的事物引入，讓學生在欣賞圖形變換所創(chuàng)造出的美好事物的過程中 ,進一步感受對稱、平移和旋轉(zhuǎn)在生活中的應用，體會數(shù)學的價值。 教學時，教師可以先讓學生觀察，說一說這些圖形有什么特征。學生可能會根據(jù)圖形的變換把這些圖形分成幾類，教師可從此處引出本單元內(nèi)容的學習。 到本單元內(nèi)容學習結(jié)束后， 還可以再讓學生觀察這幅主題圖，用所學的圖形變換的知識對這些圖形的設(shè)計進行分析，體會所學知識的作用和價值。 2. 例 1 上面的內(nèi)容及例 1。 教材通過例 1 上面的內(nèi)容，讓學生畫對稱軸的活動，幫助學生復習已有的關(guān)于軸對稱圖形的知識，在此基礎(chǔ)上教學例 1。在 “ 例 1” 中，首先 通過看一看、數(shù)一數(shù)的活動，使學生由觀察 “ 松樹 ” 這個軸對稱圖形，進一步觀察兩個 “ 小草 ” 圖形成軸對稱 ,從而引出兩個圖形成軸對稱的概念，并引導學生從整體上概括出軸對稱的特征。接下來，再引導學生觀察軸對稱圖形（松樹）及成軸對稱的兩個圖形（小草）的對應點與對稱軸之間有什么關(guān)系，使學生探索、發(fā)現(xiàn)圖形成軸對稱的性質(zhì)，并為例 2 教學 “ 在方格紙上畫出一個圖形的軸對稱圖形 ” 做準備。 教學時，可以分三步進行。 （ 1）復習舊知。 讓學生獨立畫出例 1 上面圖形的對稱軸，幫助學生回憶軸對稱圖形的知識，以便在此基礎(chǔ)上 教學例 1。 （ 2）進一步認識圖形的軸對稱。 先讓學生觀察圖中的 “ 松樹 ” 和 “ 小草 ” 圖案有什么特征。根據(jù)已有的知識，學生很容易判斷出 “ 松樹 ” 圖案是軸對稱圖形，圖中的虛線是它的對稱軸（教師也可以先不出示這條虛線，讓學生畫出它的對稱軸。）進一步學生會發(fā)現(xiàn)，如果沿虛線折疊，兩個 “ 小草 ” 圖案，也將完全重合。這時教師可以適時的引出兩個圖形成軸對稱的概念，并引導學生從整體上概括出軸對稱的特征。 （ 3）探索圖形成軸對稱的基本性質(zhì)?？梢砸龑W生分別觀察 “ 小樹 ” 這個軸對稱圖形和成軸對稱的兩個 “ 小草 ” 圖案的 各對應點（ A 與 A 、 B 與 B 、 C 與 C ）與對稱軸之間有什么關(guān)系，使學生探索、發(fā)現(xiàn)圖形成軸對稱的基本性質(zhì)。 這一部分內(nèi)容教學需要特殊注意的是，我們不要求學生說出準確的數(shù)學語言，只要學生能用自己的語言描述出他發(fā)現(xiàn)的特征和性質(zhì)就可以了。 例如，兩個圖形成軸對稱的數(shù)學概念是 “ 如果平面到其自身的一一變換的每對對應點 A、 A ，都垂直于同一直線 l,且被直線 l 平分，則這種變換叫做關(guān)于直線 l 的軸對稱。直線 l 叫做對稱軸，對應點 A 和 A 叫做關(guān)于軸 l 的對稱點，在直線反射下的對應圖形叫做關(guān)于軸 l 的對稱圖形 。 ” （馬忠林，幾何學，吉林人民出版社， 1984年 4 月第 1 版。）在初中數(shù)學中，概括成 “ 把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形 關(guān)于這條直線對稱 ，這條直線叫對稱軸，折疊后重合的點是對應點，叫做 對稱點 。 ” （義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學八年級上冊，人民教育出版社， 2004 年 12 月第 1 版。）在小學階段，我們不要求學生說得這么準確，只要學生能用自己的語言把 “ 折疊 ”“ 重合 ” 這些基本特征概括出來就可以。 再如，圖形成軸對稱的基本性質(zhì)，在初中數(shù)學中概括成 “ 如果兩個圖形關(guān)于 某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應點所連線段的垂直平分線。 ” （義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學八年級上冊，人民教育出版社， 2004 年 12 月第 1 版。）我們不要求學生概括出這樣的結(jié)論，只要學生能像書上的學生那樣直觀描述就可以了，使學生知道 “ 對應點到對稱軸的距離相等 ” 。 3. 例 2 及 “ 做一做 ” 。 （ 1）例 2。 教材通過讓學生畫小房子的另一半的活動，借助學生已經(jīng)掌握的關(guān)于軸對稱的知識，使學生在能夠畫出軸對稱圖形另一半（屋頂、房體及大門）的基礎(chǔ)上，進一步能在方格紙上畫出一個圖形（窗戶）的軸對稱圖形。教材中的小精靈提問 “ 怎樣畫得又好又快？ ” 就是提示學生在動手之前，先思考好畫的步驟和方法。 教學時，完全可以放手讓學生獨立完成。如果學生有困難，教師可以提示學生只要找到左邊圖形的幾個關(guān)鍵點的對稱點，再連線就可以了；可以利用已經(jīng)掌握的圖形成軸對稱的特征 和性質(zhì)方面的知識來找到關(guān)鍵點的對稱點。 （ 2）做一做。 教材讓學生判斷把一張紙連續(xù)對折三次，畫上一個圖形，剪出的是什么圖案。學生根據(jù)書上的折法，在頭腦中將彩紙展開，對這個圖形先做一次軸對稱變換，再對得到的圖形做一次軸對稱變換，得出最后的結(jié)果。在這個活動中，要讓學生進行空間想像，進一步體會軸對稱變換的特點。如果學生想像對折四次后剪出的圖案有困難，教師可以讓學生按書上的方法實際折一折、剪一剪，幫助學生進行想像。 4. 例 3 及相應的 “ 做一做 ” 。 （ 1）教材先通過讓學生觀察鐘表的表針和風車旋轉(zhuǎn)的過程 ,分別認識這些實物怎樣按照順時針和逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90 ，明確旋轉(zhuǎn)的含義。再通過小精靈提問 “ 風車旋轉(zhuǎn)后，每個三角形有什么變化？ ” 引導學生從圖形到線段再到點的角度，來觀察、探索圖形旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)，并為例 4 教學 “ 在方格紙上把一個圖形按順時針或逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90” 做準備。 教學時，可以分兩步進行。 明確旋轉(zhuǎn)的含義。 由于學生已經(jīng)對生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象有所認識，可以先讓學生觀察鐘表的指針，獨立思考如何描述出 “ 指針從 12 到 1 是怎樣旋轉(zhuǎn)的 ” 。然后再通過交流，使學生弄清順時針旋轉(zhuǎn)和逆時針旋轉(zhuǎn)的含義，明確要想表述清楚指針的旋轉(zhuǎn)，一定要說清“ 指針是繞哪個點旋轉(zhuǎn) ”“ 是向什么方向旋轉(zhuǎn) ”“ 轉(zhuǎn)動了多少度 ” 這幾點。 探索圖形旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)。 可以先讓學生說一說，在風的吹動下，風車是如何旋轉(zhuǎn)的。學生利用剛剛掌握的旋轉(zhuǎn)的含義，可以說清楚風車發(fā) 生了怎樣的變換。 再讓學生思考小精靈提出的問題 “ 風車旋轉(zhuǎn)后，每個三角形有什么變化 ” ，探索圖形旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)。學生會發(fā)現(xiàn)風車上的每個三角形都繞 O點逆時針旋轉(zhuǎn)了 90 ；旋轉(zhuǎn)后的三角形的形狀、大小都沒有發(fā)生變化，只是位置變了。教師還可以引導學生進一步觀察，學生可能會發(fā)現(xiàn)每個三角形的邊都繞 O 點逆時針旋轉(zhuǎn)了 90 ；每個頂點都繞O 點逆時針旋轉(zhuǎn)了 90 ；對應點到 O 點的距離都相等；對應點與 O 點所連線段的夾角都是 90 等。必要時，可借助學具操作幫助學生理解。 這一部分內(nèi)容的教學與例 1 類似，不要求學生用準確的 數(shù)學語言進行總結(jié)和概括。例如，旋轉(zhuǎn)的概念是 “ 如果平面到其自身的一一變換，使任意一對對應點 A 、 A與平面上一個定點 O 距離相等， AOA 等于指定的有向角 ，而 O 和自身對應，則這樣的變換叫做 關(guān)于點 O 的旋轉(zhuǎn) 。定點 O 叫做 旋轉(zhuǎn)中心 ，定角 叫做 旋轉(zhuǎn)角 ，相同的指定方向叫做 旋轉(zhuǎn)方向 。 ” （馬忠林，幾何學，吉林人民出版社， 1984年 4 月第 1 版。）在初中數(shù)學中概括成 “ 把一個圖形繞著某一點 O 轉(zhuǎn)動一個角度的圖形變換叫做 旋轉(zhuǎn) 。點O 叫做 旋轉(zhuǎn)中心 ，轉(zhuǎn)動的角叫做 旋轉(zhuǎn)角 ，如果圖形上的點 P 經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c P ，那么這兩個點叫做這個 旋轉(zhuǎn)的對 應點 。 ” （義務教育課程標準實驗教科書數(shù)學九年級上冊，人民教育出版社。）在小學階段，我們不要求學生這樣說，只要學生能概括出 “ 繞一個點旋轉(zhuǎn) ”“ 向什么方向旋轉(zhuǎn) ”“ 轉(zhuǎn)動多少度 ” 這幾點就可以了。像 “ 旋轉(zhuǎn)中心 ”“ 旋轉(zhuǎn)角 ” 這些名詞也不必要求學生掌握。 （ 2）第 6 頁 “ 做一做 ” 第 1 題。 教材呈現(xiàn)了幾個圖案，讓學生判斷分別是由哪一個圖形旋轉(zhuǎn)而成的。在判斷的過程中，要讓學生說清 “ 是哪個圖形繞哪個點旋轉(zhuǎn) ”“ 是向什么方向旋轉(zhuǎn) ” 。并讓學生感受數(shù)學的美，進一步理解圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，體會旋轉(zhuǎn)變換的特點。 5. 例 4 及相應 的 “ 做一做 ” 。 （ 1）例 4。 教材通過讓學生畫一畫的活動，借助學生已經(jīng)掌握的圖形旋轉(zhuǎn)的知識，使學生學會在方格紙上把一個圖形按順時針或逆時針方向旋轉(zhuǎn) 90 。 教學時，可以讓學生小組合作完成。如果學生有困難，教師可以提示學生只要找到三角形 AOB 的幾個頂點的 對應點，再連線就可以了；在確定對應點的位置的時候，可以利用已經(jīng)掌握的圖形旋轉(zhuǎn)的特征和性質(zhì)方面的知識。如 “ 對應點與 O 點所連線段的夾角都是90 ；對應點到 O 點的距離都相等 ” 等，再借助方格紙、三角板等，來確定頂點的對應點的位置。無論學生用哪種方法，只要能按要求畫出旋轉(zhuǎn)后的圖形，都是可以的。必要時，可借助學具操作幫助學生理解。 （ 2）第 6 頁 “ 做一做 ” 第 2 題。 教材給出一個基本圖形和旋轉(zhuǎn)中心 O，讓學生利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計一朵小花。這時，學生已經(jīng)掌握了在方格紙上把一個圖形旋轉(zhuǎn) 90 的方法，雖然題中沒有給出旋轉(zhuǎn)的 角度和方向，學生完全可以根據(jù)所設(shè)計圖案的需要自行確定。 教學時，可以放手讓學生設(shè)計，再進行交流。在設(shè)計圖案的過程中，要讓學生在動手實踐中，進一步理解旋轉(zhuǎn)的特點和性質(zhì)，體會旋轉(zhuǎn)所創(chuàng)造的美。 6. 欣賞設(shè)計。 教材先讓學生觀察從主題中抽取出來的兩幅 美麗圖案 ,感受圖形變換創(chuàng)造的美 ,體會平移、旋轉(zhuǎn)在圖案設(shè)計中的應用。接著讓學生應用對稱、平移或旋轉(zhuǎn)的方法設(shè)計圖案并進行交流 ,使學生進一步感受數(shù)學美和數(shù)學方法的價值。 這是一個實踐與綜合應用數(shù)學知識與方法的活動，教學時可以分兩步完成。 （ 1）指導學生在欣賞美麗的圖案的同時 ,分析對稱、平移或旋轉(zhuǎn)在其中的應用 ,從而加深對圖形變換的基本特征和方法的理解 ,為接下來的自主設(shè)計做準備。 （ 2）通過前面的學習，學生已經(jīng)掌握了在方格紙上將圖形平移、對稱和旋轉(zhuǎn)的方法。此時，教師應鼓勵獨立完成設(shè)計圖案的任 務，再在全班展示交流。學生可能分別運用平移、對稱和旋轉(zhuǎn)變換設(shè)計圖案；也可能綜合運用不同方法設(shè)計圖案。教師不必作統(tǒng)一要求，同時注意對學生的設(shè)計要多給予肯定和贊賞。 7. 有關(guān)練習一中一些習題的說明和教學建議。 第 1 題，讓學生利用軸對稱設(shè)計美麗的圖案。這時，學生已經(jīng)掌握了畫一個簡單圖形的軸對稱圖形。 作簡單圖形的軸對稱圖形的方法，可以放手讓學生設(shè)計，再進行交流。在設(shè)計圖案的過程中，要讓學生在動手實踐中進一步理解圖形成軸對稱的性質(zhì)，體會軸對稱變換的特點。 第 2 題，教科書呈現(xiàn)了幾個剪 好的圖案，讓學生判斷分別是由哪種方法剪出來的，進一步培養(yǎng)學生的空間想像力和思維能力。 學生要根據(jù)圖案的特征，不斷在頭腦中對這個圖案進行 “ 折疊 ”“ 重合 ” ，再將最后的結(jié)果與下面的剪法對應起來，而且還讓學生思考 “ 還有什么剪法 ” 。這個活動比 “ 判斷兩個圖形是不是成軸對稱 ” 所要求的想像、猜測和推理等思維活動更多，在這個活動中學生的空間想像力和思維能力能夠得以鍛煉，空間觀念會得到發(fā)展。 如果學生有困難，教師可以調(diào)整題目的設(shè)計，反過來，讓學生根據(jù)剪法，選擇剪出的結(jié)果。學生根據(jù)每一種剪法，在頭腦中將彩紙展開， 對 “ 半棵小芽 ” 這個圖案連續(xù)做軸對稱變換，得出結(jié)果，再與上面剪出的圖案對照。如果學生還有困難，教師可以讓學生按書上的方法實際折一折、剪一剪，再幫助學生進行想像。 第 3 題，是讓學生綜合運用所學的有關(guān)對稱、平移和旋轉(zhuǎn)變換的知識進行判斷。注意讓學生感受數(shù)學的美，體會圖形變換在現(xiàn)實生活中的應用。 第 4 題，可仿照第 6 頁 “ 做一做 ” 第 2題進行教學。 第 5 題，可仿照第 4 頁的 “ 做一做 ” 和第 2題進行教學。 第 6 題，讓學生通過實驗發(fā)現(xiàn)另一類圖形 “ 旋轉(zhuǎn)對稱圖形 ” 的特點。這些圖形繞它們的中心旋轉(zhuǎn)一定的角 度，還與原來圖形重合。這里不必讓學生了解 “ 旋轉(zhuǎn)對稱圖形 ” 這個概念，只要學生能用自己的語言描述出圖形的這一特征就可以了。在教學時，可以先讓學生畫出每個圖形的兩條對稱軸，確定中心 O，再讓學生想像這個圖形在旋轉(zhuǎn)過程中會出現(xiàn)什么現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)這些 “ 旋轉(zhuǎn)對稱圖形 ” 的特點。如果學生有困難，教師可以通過操作幫助學生直觀的看到這些現(xiàn)象?？梢允孪葹閷W生準備一張底卡（印有這些圖形的硬紙卡）和這些圖形卡片，讓學生畫或折出兩條對稱軸后確定這些圖形的中心 O，再用大頭針穿過圖形卡片和底卡上相應圖形的中心 O，再進行旋轉(zhuǎn)。 8. 數(shù)學 游戲：設(shè)計鑲嵌圖案。 四年級學生初步了解了圖形的密鋪（鑲嵌）現(xiàn)象，本單元在此基礎(chǔ)上，通過數(shù)學游戲拓展鑲嵌圖形的范圍，讓學生用圖形變換設(shè)計鑲嵌圖案，進一步感受圖形變換帶來的美感以及在生活中的應用。 本活動可放手讓學生獨立設(shè)計，再進行交流。分析交流豐富多彩的鑲嵌圖案時，不管運用了什么變換，其本質(zhì)都是把可鑲嵌的基本幾何圖形進行分割后再經(jīng)過圖形變換拼組而成的鑲嵌圖形。 教師小結(jié)時對科學性問題要糾正，同時以表揚為主。 二、因數(shù)與倍數(shù) （一）教學目標 1. 使學生 掌握因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等概念，知道有關(guān)概念之間的聯(lián)系和區(qū)別。 2. 使學生通過自主探索，掌握 2、 5、 3 的倍數(shù)的特征。 3. 逐步培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力。 （二）教材說明和教學建議 教材說明 通過四年多的數(shù)學學習，學生已經(jīng)掌握了大量的整數(shù)知識（包括整數(shù)的認識、整數(shù)四則運算），本單元讓學生在前面所學的整數(shù)知識基礎(chǔ)上，進一步探索整數(shù)的性質(zhì)。本單元涉及到的因數(shù)、倍數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)以及第四單元中的最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)都屬于初等數(shù)論的基本內(nèi)容。數(shù)論是一個歷史悠久的數(shù)學分支，它是研究整數(shù)的性質(zhì)的一門學問，以嚴 格、簡潔、抽象著稱。數(shù)學一直被認為是 “ 科學的皇后 ” ，而數(shù)論則更被譽為 “ 數(shù)學的皇后 ” ，可見數(shù)論在數(shù)學中的地位。本單元的知識作為數(shù)論知識的初步，一直是小學數(shù)學教材中的重要內(nèi)容。通過這部分內(nèi)容的學習，可以使學生獲得一些有關(guān)整數(shù)的知識，另一方面，有助于發(fā)展他們的抽象思維。 在數(shù)論中，數(shù)的整除性理論又是最為基本的理論，本單元的所有概念都是建立在數(shù)的整除性的基礎(chǔ)之上。對于任意整數(shù) a、 b，都存在整數(shù) n、 r，使 b na r（其中r a），當 r 0 時，我們就說 b 能被 a 整除（或 a 能整除 b），此時， b na。其他的一些概 念，如因數(shù)、倍數(shù)等，都是以此為基礎(chǔ)的。 在以往的數(shù)學教材中，也一直把 “ 數(shù)的整除 ” 概念編排在這一單元的起始位置，再把因數(shù)（以往的教材中稱為約數(shù)），倍數(shù)， 2、 5、 3 的倍數(shù)的特征（以往的教材稱為能被 2、 5、 3 整除的數(shù)的特征），質(zhì)數(shù)，合數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)，最大公因數(shù)（以往的教材中稱為最大公約數(shù)），最小公倍數(shù)等內(nèi)容共同編排在后面，合為一個單元。這樣編排，雖然突顯了以上這些概念的緊密邏輯關(guān)系，但也形成了同一單元內(nèi)概念多而集中、抽象程度過高的現(xiàn)象，學生在學習時經(jīng)常出現(xiàn)概念混淆、理解困難的問題。因此，與以往教材相比，本 套實驗教材在編寫時，對這部分內(nèi)容進行了以下幾方面的調(diào)整。 1. 我們在本單元研究的都是整除現(xiàn)象，因此，可以說整除概念是貫穿這部分教材的一條主線。但 “ 整除 ” 這一詞匯是否必須出現(xiàn)呢？讓學生大量敘述 “ 能被 整除 ”“ 能整除 ” 是否必要？簽于學生在前面已經(jīng)具備了大量的區(qū)分整除與有余數(shù)除法的知識基礎(chǔ)，對整除的含義已經(jīng)有了比較清楚的認識，不出現(xiàn)整除的定義并不會對學生理解其他概念產(chǎn)生任何影響。因此，本套教材中刪去了 “ 整除 ” 的數(shù)學化定義，而是借助整除的模式 na b 直接引出因數(shù)和倍數(shù)的概念。 2. 在以往的 教材中，由于求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)時，采用的方法是唯一的、固定的，也就是用短除法分解質(zhì)因數(shù)的方法。因此，作為求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)的必要基礎(chǔ)， “ 分解質(zhì)因數(shù) ” 一直作為必學內(nèi)容編排。而在本冊教材中，由于允許學生采用多樣的方法求最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)，分解質(zhì)因數(shù)也失去了其不可或缺的作用，同時，也是為了減少這一單元的理論概念，教材不再把它作為正式教學內(nèi)容，而是作為一個補充知識，安排在 “ 你知道嗎？ ” 中進行介紹。 3. 公因數(shù)、最大公因數(shù)和公倍數(shù)、最小公倍數(shù)概念的建立是以因數(shù)、倍數(shù)的概念為基礎(chǔ)的，也是為后面 學習約分（需要盡快找出分子、分母的公因數(shù)）、通分（需要盡快找出兩個分數(shù)分母的公倍數(shù)）做準備的，在整個知識鏈中起著承上啟下的作用。這兩個內(nèi)容可以集中編排在本單元，也可以分散編排在約分、通分的前面?？紤]到本單元概念較多，抽象程度高，本套教材把這兩部分內(nèi)容分散編排在第四單元，也更加突出了它們的應用性。 教學建議 1. 由于這部分內(nèi)容較為抽象，很難結(jié)合生活實例或具體情境來進行教學，學生理解起來有一定的難度。在過去的教學中，一些教師往往忽視概念的本質(zhì)，而是讓學生死記硬背相關(guān)概念或結(jié)論，學生無法理清各概念間的前 后承接關(guān)系，達不到融會貫通的程度。再加上有些教師在考核時使用一些偏題、難題，導致學生在學習這部分知識時覺得枯燥乏味，體會不到初等數(shù)論的抽象性、嚴密性和邏輯性，感受不到數(shù)學的魅力。為了克服以上教學中出現(xiàn)的問題，應注意以下兩點。 （ 1）加強對概念間相互關(guān)系的梳理，引導學生從本質(zhì)上理解概念，避免死記硬背。本單元中因數(shù)和倍數(shù)是最基本的兩個概念，理解了因數(shù)和倍數(shù)的含義，對于一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的、倍數(shù)的個數(shù)是無限的等結(jié)論自然也就掌握了，對于后面的公因數(shù)、公倍數(shù)等概念的理解也是水到渠成。要引導學生用聯(lián)系的觀 點去掌握這些知識，而不是機械地記憶一堆支離破碎、毫無關(guān)聯(lián)的概念和結(jié)論。 （ 2）由于本單元知識特有的抽象性，教學時要注意培養(yǎng)學生的抽象思維能力。雖然我們強調(diào)從生活的角度引出數(shù)學知識，但數(shù)論本身就是研究整數(shù)性質(zhì)的一門學科，有時不太容易與具體情境結(jié)合起來，如質(zhì)數(shù)、合數(shù)等概念，很難從生活實際中引入。而學生到了五年級，抽象能力已經(jīng)有了進一步發(fā)展，有意識地培養(yǎng)他們的抽象概括能力也是很有必要的，如讓學生通過幾個特殊的例子，自行總結(jié)出任何一個數(shù)的倍數(shù)個數(shù)都是無限的，逐步形成從特殊到一般的歸納推理能力，等等。 2. 這部分內(nèi)容可以用 6 課時進行教學。 （三）各小節(jié)的教材說明和教學建議 1. 因數(shù)和倍數(shù) （第 12 16頁） 教材說明 這部分教材首先介紹了因數(shù)和倍數(shù)的概念，然后在例 1 和例 2 分別介紹了求一個數(shù)的因數(shù)和倍數(shù)的方法。 1. 因數(shù)和倍數(shù)。 編寫意圖 本單元在引入因數(shù)和倍數(shù)的概念時與以往的教材有所不同。在以往的教材中，都是通過除法算式來引出整除的概念，每個除法算式對應著一對有整除關(guān)系的數(shù)，如ba n 表示 b 能被 a 整除， bn a 表示 b 能被 n 整除。在此基礎(chǔ)上再引出因數(shù)和倍數(shù)的概念。實際上，如前所述，由于乘除法本身就存在著互逆關(guān)系，用乘法算式（如 b na）同樣可以表示整除的含義。因此，本套教材中沒有用數(shù)學化的語言給 “ 整除 ” 下定義，而是利用一個簡單的實物圖（ 2 行飛機，每行 6 架）引出一個乘法算式 26 12，通過這個乘法算式直接給出因數(shù)和倍數(shù)的概念。這樣，學 生不必通過 122 6 得出 12能被 2 整除，進而 2 是 12 的因數(shù)， 12 是 2 的倍數(shù)。再通過 126 2 得出 12 能被 6 整除，進而 6 是 12 的因數(shù)， 12 是 6 的倍數(shù)，大大簡化了敘述和記憶的過程。在這兒，用一個乘法算式 26 12 可以同時說明 “2 和 6 都是 12 的因數(shù)， 12 是 2 的倍數(shù)，也是 6的倍數(shù)。 ” 接著，通過 34 12，進一步鞏固因數(shù)和倍數(shù)的概念。在學生熟練掌握了因數(shù)和倍數(shù)的概念以后，教材讓學生試著找出 12 的其他因數(shù)，引導學生寫出兩個數(shù)的積等于 12 的另一個乘法算式 112 12，從而得出 1 和 12 也是 12 的因數(shù)。 最后，教材對整數(shù) 0 進行特殊說明，以明確本單元中數(shù)的研究范圍。因為數(shù)論只研究整數(shù)的性質(zhì)，所以，本單元中涉及到的數(shù)都是整數(shù)。由于學生還沒有學習負整數(shù)，因此，本單元的整數(shù)與自然數(shù)同義。根據(jù)因數(shù)和倍數(shù)的定義， 0 是任何非零自然數(shù)的倍數(shù)，任何非零自然數(shù)都是 0 的因數(shù)。但是考慮到以后研究最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)時，如果不排除 0，很多問題無從討論，如討論 0 和 5 的最大公因數(shù)既沒有實際意義，也沒有數(shù)學意義，再如，如果把 0 考慮在內(nèi)，任意兩個自然數(shù)的最小公倍數(shù)就是 0，這樣的研究沒有任何價值。因此，教材指出本單元研究的內(nèi)容一般不 包括 0，這樣就避免了一些不必要的麻煩。 教學建議 教學因數(shù)和倍數(shù)概念時，可以結(jié)合教材上的直觀圖（ 2 行飛機，每行 6 架）引導學生列出乘法算式 26=12 或 62=12 ，再根據(jù)所列的乘法算式直接給出因數(shù)和倍數(shù)的概念。接下來，再結(jié)合直觀圖（ 3 行飛機，每行 4 架）進一步鞏固因數(shù)和倍數(shù)的概念。最后，讓學生脫離情境圖，想一想 12 還有哪些因數(shù)，引導學生列出乘法算式 112=12或 121=12 ，概括出 “1 和 12 都是 12 的因數(shù)， 12 是 1 和它本身的倍數(shù) ” 。在此基礎(chǔ)上，教師可以引導學生利用一般的乘法算式 ab=c 歸納出因數(shù) 和倍數(shù)的概念： a、 b 都是 c的因數(shù)， c 是 a 和 b 的倍數(shù)。 教學時，應注意以下四點：（ 1）雖然本套教材不是從過去的整除定義（形式上是除法算式）出發(fā)，而是通過一個乘法算式來引出因數(shù)和倍數(shù)概念，但在本質(zhì)上仍是以“ 整除 ” 為基礎(chǔ)，只是略去了許多中間描述。因此，要注意，只有在這個乘法算式中的因數(shù)和積都是整數(shù)的情況下才能討論因數(shù)和倍數(shù)的概念。教學時，教師也可以舉出一些反例加以說明，如 50.8 4，雖然等式成立，但不能說 5 和 0.8 是 4 的因數(shù)，或 4 是5 和 0.8 的倍數(shù)。（ 2）因數(shù)和倍數(shù)是一對相互依存的概念，不能單獨存在。 a是 b 的因數(shù)，反過來 b 就是 a 的倍數(shù)，因此，描述因數(shù)或倍數(shù)時必須說清楚誰是誰的因數(shù)（或倍數(shù)），要引導學生使用比較規(guī)范的語言，如 “2 是 12 的因數(shù)， 12 是 2 的倍數(shù) ” 而不是“2 是因數(shù)， 12 是倍數(shù) ” ，在課堂上或練習中學生如果出現(xiàn)類似的錯誤要及時加以糾正。（ 3）要注意區(qū)分乘法算式各部分名稱中的 “ 因數(shù) ” 和本單元中的 “ 因數(shù) ” 的聯(lián)系和區(qū)別。在同一個乘法算式中，兩者都是指乘號兩邊的整數(shù)，但前者是相對于 “ 積 ” 而言的，與 “ 乘數(shù) ” 同義，可以是小數(shù)，而后者是相對于 “ 倍數(shù) ” 而言的，與以前所說的 “ 約數(shù) ”同義，說 “ 是 的因數(shù) ” 時，兩者都只 能是整數(shù)。（ 4）要注意區(qū)分 “ 倍數(shù) ” 與前面學過的 “ 倍 ” 的聯(lián)系與區(qū)別。 “ 倍 ” 的概念比 “ 倍數(shù) ” 要廣，如我們可以說 “15 是 3 的5 倍 ” ，也可以說 “1.5 是 0.3 的 5 倍 ” ，但我們只能說 “15 是 3 的倍數(shù) ” ，卻不能說“1.5 是 0.3 的倍數(shù) ” 。我們在求一個數(shù)的倍數(shù)時，運用的方法與 “ 求一個數(shù)的幾倍是多少 ” 是相同的，只是這里的 “ 幾倍 ” 都是指整數(shù)倍。 2. 例 1。 編寫意圖 例 1 是教學一個數(shù)的因數(shù)的求法。教材直接提出問題 “18 可以由哪兩個數(shù)相乘得到？ ” 引導學生利用因數(shù)的概念來求 18 的因數(shù)。在這里，每列出一個乘法算式，就可以求出 18 的一對因數(shù)，只要學生有序地寫出兩個數(shù)的乘積是 18 的所有乘法算式，就可以把因數(shù)找全。在此基礎(chǔ)上，再用集合圖表示出一個數(shù)的全部因數(shù)，為后面用交集形式表示兩個數(shù)的公因數(shù)打下基礎(chǔ)，使學生初步體會到一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的。 接下來，通過 “ 做一做 ” 進一步鞏固求 一個數(shù)的因數(shù)的方法。 最后，以例 1 和 “ 做一做 ” 為基礎(chǔ)，引導學生抽象地概括出一個數(shù)的最小因數(shù)和最大因數(shù)分別是什么，總結(jié)出一個數(shù)的因數(shù)的個數(shù)是有限的結(jié)論，向?qū)W生滲透從個別到全體、從具體到一般的抽象歸納的思想方法。 教學建議 教學例 1 時，要引導學生從因數(shù)的概念出發(fā)去求 18 的因數(shù)，也就是想：哪兩個整數(shù)相乘的積是 18？從每個滿足條件的乘法算式中可以找出 18 的一對因數(shù)。找的時候，要引導學生有序地思考。教學時，如果學生用除法思考，固定被除數(shù) 18，改變除數(shù)，看除得的商是不是整數(shù)，如果是，則除數(shù)和商都是被除數(shù) 的因數(shù)，這樣的思考方法也是應該鼓勵的。等學生把 18 的所有因數(shù)都寫出來，再讓他們用集合的形式表示出來，為后面求兩個數(shù)的公因數(shù)做準備。 然后，讓學生做 “ 做一做 ” 的題目。通過例 1 和 “ 做一做 ” 的練習，引導學生觀察到每個數(shù)的最小因數(shù)是 1，而最大因數(shù)是它本身，因此，它的因數(shù)的個數(shù)是有限的。 3. 例 2。 編寫意圖 例 2 是教學一個數(shù)的倍數(shù)的求法。根據(jù)一個數(shù)的倍數(shù)的定義，可知該數(shù)和任意非零自然數(shù)之積都是該數(shù)的倍數(shù)。因此， 2 的倍數(shù)也就是 2 和任意非零自然數(shù)的乘積，學生在列乘法算式時就會發(fā)現(xiàn)這樣的算式是列不完的，因此， 2 的倍數(shù)的個數(shù)是無限的。接下來，也用集合圖表示出 2 的倍數(shù)，為后面學習用交集表示兩個數(shù)的公倍數(shù)打下基礎(chǔ)。 “ 做一做 ” 中分別安排了讓學生求 3、 5 的倍數(shù)的練習，一方面鞏固了對倍數(shù)概念的理解，另一方面，結(jié)合例 2 中 2 的倍數(shù)，為后面學習 2、 3、 5 的倍數(shù)的特征做準備。 最后，與例 1 的編排相類似，教材通過求以上幾個數(shù)的倍數(shù)，使學生總結(jié)出：一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，只有最小的倍數(shù)，沒有最大的倍數(shù)，為后面學習最小公倍數(shù)打下基礎(chǔ)。 教材還用 “ 你知道嗎？ ” 介紹了完全數(shù)的概念，以豐富學生的數(shù)論知識，引導學生在課余時間探索完全數(shù)的性質(zhì)，也可以先求出教材上提供的幾個數(shù)的因數(shù)，然后驗證是否符合完全數(shù)的定義。 教學建議 教學例 2 時，可以參照例 1 的方法進行教學。在找一個數(shù)的倍數(shù)時，要引導學生從 “ 這個數(shù)的整數(shù)倍 ” 考慮，因此，可以從最小的倍數(shù)找起。學生找出了幾個 2 的倍數(shù) 以后，教師可以提問 2 的倍數(shù)有多少個，引導學生通過想自然數(shù)的個數(shù)是無限的，進而想到 2 的自然數(shù)倍也是無限的，無法一一羅列，可以用省略號表示。在用集合圖表示2 的倍數(shù)時，也要注意提醒學生在集合圈里寫出省略號。然后在完成 “ 做一做 ” 的基礎(chǔ)上，引導學生觀察并思考：一個數(shù)的最小倍數(shù)是幾？有沒有最大的倍數(shù)？引導學生自主得出結(jié)論。 4. 關(guān)于練習二中一些習題的說明和教學建議。 第 2 題，讓學生分別找出 36 和 60 的因數(shù)，在學生完成題目后，教師可以有意識地讓學生觀察一下有哪些數(shù)是這兩個數(shù)共同的因數(shù)，這些共同因數(shù)中最大 的是什么，為后面學習 “ 公因數(shù) ” 和 “ 最大公因數(shù) ” 做準備。 第 3 題，讓學生分別找出 8 和 9 的倍數(shù)，在學生完成題目后，教師可以有意識地讓學生觀察一下有哪些數(shù)是這兩個數(shù)共同的倍數(shù)，這些共同倍數(shù)中最小的是什么，為后面學習 “ 公倍數(shù) ”“ 最小公倍數(shù) ”“ 互質(zhì)的兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是它們的乘積 ” 等知識做準備。 第 5 題，幫助學生辨析某些概念。如說因數(shù)和倍數(shù)時，必須說清楚誰是誰的因數(shù)（或倍數(shù)）。再如，任何一個非零自然數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)都是無限的，任何非零自然數(shù)都有因數(shù) 1，等等。 第 6 題，通過猜數(shù)游戲鞏固因數(shù)和倍數(shù)的 概念，第（ 1）題，使學生認識到，隨著限制條件的增多，符合條件的數(shù)越來越少。實際上，題目中共有四個限制條件，先看42 的因數(shù)有 1、 2、 3、 6、 7、 14、 21、 42，其中只有 7、 14、 21、 42是 7 的倍數(shù)，這四個數(shù)中只有 14 和 42 是 2 的倍數(shù)，其中只有 42 才是 3 的倍數(shù)，所以，符合條件的數(shù)只有 42。第（ 2）、（ 3）題，都使學生進一步理解一個數(shù)的最大因數(shù)和最小倍數(shù)都是它本身。 第 16 頁的思考題，是通過兩個特殊的例子，引導學生通過不完全歸納，總結(jié)出以下的結(jié)論：如果兩個數(shù)都是一個數(shù)的倍數(shù)，那么這兩個數(shù)的和也是這個數(shù) 的倍數(shù)。還可以引導學生用數(shù)學化的方式對這個結(jié)論加以證明：如果 B是 A 的倍數(shù)，那么必然存在一個整數(shù) m，使 B Am，如果 C 也是 A 的倍數(shù)，那么必然存在一個整數(shù) n，使 C An，那么 B C Am An A（ m n），因此， B C 也是 A 的倍數(shù)。這個結(jié)論還可以進一步擴展：如果有 n 個數(shù)都是一個數(shù)的倍數(shù)，那么這 n 個數(shù)的和也是這個數(shù)的倍數(shù)。 2. 2、 5、 3 的倍數(shù)的特征 （第 17 22頁） 這部分內(nèi)容是在因數(shù)、倍數(shù)的基礎(chǔ)上進行教學的，是求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)的重要基礎(chǔ)，從而也是學習約分和通分的必要前提。學生的分數(shù)運算是 否熟練，取決于約分和通分掌握得是否熟練，而約分和通分是否熟練，在很大程度上取決于能不能很快地根據(jù)分子、分母的特征看出分子和分母有什么公因數(shù)，能不能很快地求出幾個分數(shù)的分母的公倍數(shù)。因此，熟練掌握 2、 5、 3 的倍數(shù)的特征，具有十分重要的意義。 教材先教學 2、 5 的倍數(shù)的特征，再教學 3 的倍數(shù)的特征。因為 2、 5 的倍數(shù)的特征僅僅體現(xiàn)在個位上的數(shù)，比較明顯，容易理解。而 3 的倍數(shù)的特征，不能只從個位上的數(shù)來判定，必須把其各位上的數(shù)相加，看所得的和是否為 3 的倍數(shù)來判定，學生理解起來有一定的困難，因此把它放在 2、 5 的倍 數(shù)的特征后面教學。 1. 2 的倍數(shù)的特征。 編寫意圖 教材從學生已有的生活經(jīng)驗和知識基礎(chǔ)出發(fā)，通過電影院里 “ 雙號 ” 的概念，使學生利用因數(shù)和倍數(shù)的概念，判斷出這些 “ 雙數(shù) ” 都是 2 的倍數(shù)。然后引導學生觀察這些座位號的個位上的數(shù)的特點，進而概括出 2 的倍數(shù)的特征。 在學生總結(jié)了 2 的倍數(shù)的特征的基礎(chǔ)上，教材又介紹了偶數(shù)和奇數(shù)的概念。 教學建議 教學時，可以先讓學生觀察情境圖，并聯(lián)想在生活中哪兒還見過雙數(shù)、單數(shù)，如街道或胡同一邊的門牌號是雙數(shù)，另一邊是單數(shù)。接下來，讓學生思考：為什么這些數(shù)稱為雙數(shù)？它們和 2 有什么聯(lián)系？（學生在生活中已經(jīng)具備了 “ 雙 ” 即為 “2 個 ” 的經(jīng)驗。）引導學生列出它們與 2 的倍數(shù)關(guān)系，說明這些數(shù)都是 2 的倍數(shù)。也可以讓學生聯(lián)系前面學過的 2 的倍數(shù)的求法，說出若干個 2 的倍數(shù)。在此基礎(chǔ)上，引導學生通過觀察，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)的個位上都是 0、 2、 4、 6、 8，從而 形成猜想：所有 2 的倍數(shù)的個位上都是 0、 2、 4、 6、 8。因此，判斷一個數(shù)是不是 2 的倍數(shù)，只要看這個數(shù)的個位上是什么數(shù)就可以了。接下來，可以讓學生舉出一些數(shù)（包括比較大的數(shù)，如 1045、 8394）進行驗證。由于 2 的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，無法一一驗證，在這兒，只要學生通過觀察有限個 2 的倍數(shù)的特征，總結(jié)出所有 2 的倍數(shù)的特征就可以了，不要求嚴格的數(shù)學證明（見參考資料）。 接下來，介紹偶數(shù)和奇數(shù)的概念。我們在這個單元中一般不考慮 0，在這兒需要作一個特殊說明，因為 0 也是 2 的倍數(shù)，因此 0 也是偶數(shù)。學生掌握了偶數(shù)和奇數(shù) 的定義后，教師可以給出一些數(shù)，讓學生判斷它們是奇數(shù)還是偶數(shù)，也可以讓學生再舉出一些偶數(shù)和奇數(shù)。在此基礎(chǔ)上，可以引導學生將 2 的倍數(shù)的特征表示為 “ 個位上是偶數(shù)的都是 2 的倍數(shù) ” 。 2. 5 的倍數(shù)的特征。 編寫意圖 編排方式與 2 的倍數(shù)的特征相似，也是通過實際情境引入， 讓學生在觀察 5 的倍數(shù)的個位上的數(shù)的特點基礎(chǔ)上概括出 5 的倍數(shù)的特征。 教學建議 教學時，可以參照 2 的倍數(shù)的特征的教法進行。完成 “ 做一做 ” 的題目時，可以使學生初步感受公倍數(shù)的概念，并引導學生總結(jié)出：如果一個數(shù)既是 2 的倍數(shù)又是 5的倍數(shù)，那它必定是 10 的倍數(shù)，也就是末尾有 0 的數(shù)（ 0 除外）。 3. 3 的倍數(shù)的特征。 編寫意圖 更加突出學生的自主探索，使學生在觀察 猜想 推翻猜想 再觀察 再猜想 驗證的過程中，概括出 3 的倍數(shù)的特征。教材上通過逐步增加提示的方式，減緩學生在概括時的思考難度。 教學建議 教學時，要引導學生經(jīng)歷觀察、猜測、驗證的完整過程。由于學生在概括 2 和 5的倍數(shù)的特征時，只注意到了個位數(shù)，因此，學生在概括 3 的倍數(shù)時，也會很自然地尋找個位上的數(shù)的特征。但通過觀察，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)的個位上的數(shù)有的是 3 的倍數(shù)，有的不是，于是產(chǎn)生認知沖突。接下來， 經(jīng)過進一步提示，引導學生觀察各位上數(shù)的和，發(fā)現(xiàn)各位上數(shù)的和是 3 的倍數(shù)。于是，形成新的猜想：一個數(shù)如果是 3 的倍數(shù)，那么它各位上數(shù)的和也是 3 的倍數(shù)。為了驗證這一猜想，可以補充一些其他的數(shù)，如 493 147，1663 498 等，使學生進一步確認這一結(jié)論的正確性。還可以任意寫一個數(shù)，利用這一結(jié)論來驗證，如 3697， 3 6 9 7 25， 25 不是 3 的倍數(shù)，而 36973 也不能得到整數(shù)商，因此，它不是 3 的倍數(shù)。通過這樣的方式也使學生認識到：找出某個規(guī)律后，還要找出一些正面的、反面的例子進行檢驗，看是不是普遍適用。 為了使學生更好地掌握 3 的倍數(shù)的特征，進行課堂練習時，還可以把一些數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)經(jīng)過不同的排列，再讓學生判斷，以加深對 “ 各位上數(shù)的和是 3 的倍數(shù) ”的理解。如完成 “ 做一做 ” 第 1 題時，學生判斷完 45 是 3 的倍數(shù)后，教師可以再讓學生判斷一下 54 是不是 3 的倍數(shù)。 完成 “ 做一做 ” 第 2 題時，要引導學生有序地思考問題。第 18 頁的 “ 做一做 ”已經(jīng)有所鋪墊，學生已經(jīng)知道只有末尾是 0 的數(shù)才能同時是 2和 5 的倍數(shù)，而此題中所求的數(shù)又是一個三位數(shù)，所以，就要從幾百幾十中找這樣的數(shù)，這樣，每增加一個條件，符合條件的數(shù)的范圍就 縮小一些，通過層層 “ 篩選 ” ，求出符合條件的數(shù)是 120。 利用 2、 5、 3 的倍數(shù)的特征來判斷一個數(shù)是不是 2、 5或 3 的倍數(shù)，其方法是比較容易掌握的，但要形成較好的數(shù)感，達到熟練判斷的程度，也不是一、兩節(jié)課所能解決的，還需要進行較多的練習進行鞏固。 4. 關(guān)于練習三中一些習題的說明和教學建議。 第 2 題，是讓學生尋找生活中的奇數(shù)和偶數(shù)，應鼓勵學生盡量多地發(fā)現(xiàn)身邊的數(shù)學信息，如住幾號樓，公共汽車是幾路的，全村有幾戶人家，全班有多少人，等等。有了這些數(shù)據(jù)后，還可以在后面的練習中進一步判斷它們是不是 2、 5、 3 的倍數(shù)。 第 5 題，是一個解決實際問題的題目。由于媽媽買的是一些馬蹄蓮和郁金香，馬蹄蓮 10 元 1 枝，所以它的總價是 10 的倍數(shù)，也就是整十數(shù)，而郁金香是 5 元 1 枝，所以它的總價是 5 的倍數(shù)，個位上是 0 或 5，兩者合起來的總價一定是幾十元或幾十五元，因此，服務員找的錢數(shù)不對。 第 7 題是開放題，要運用 3 的倍數(shù)的特征來解決。如想 “7 是 3 的倍數(shù) ” ，就要想 “ 7 是 3 的倍數(shù) ” ， 中符合條件的數(shù)有 2、 5、 8。 第 8 題也是開放題，要找出一個偶數(shù)，同時又是 3 的倍數(shù)，可以先確定該數(shù)的個位上的數(shù)，再根據(jù) 3 的倍數(shù)的特征來確定其他位的數(shù)。而要找一個奇數(shù)，同時又是 5的倍數(shù)，也是先確定個位上的數(shù)必須是 5，其他數(shù)位上可以取任意數(shù)。 第 10 題，可以先把從 4 張卡片里取 3 張所能組成的所有三位數(shù)列出來： 430、403、 340、 304， 450、 405、 540、 504， 350、 305、 530、 503， 435、 453、 345、 354、534、 543。羅列的時候，要引導學生采用有序的思考方式，保證不重復、不遺漏。然后再分別看這些數(shù)屬于下面的哪一類。也可以先根據(jù)下面各類數(shù)的特點確定范圍，如這些數(shù)字能組成的偶數(shù)，個位數(shù)只能是 0和 4，那么相應的數(shù)就有 430、 340、 350、 530、 450、540， 304、 504、 354、 534。再如，由于這 4 張卡片中的 3 個數(shù)相加之和是 3 的倍數(shù)的情況有 4 5 0 9， 4+3+5=12，因此能組成的 3 的倍數(shù)有 450、 405、 540、 504； 345、354、 435、 453、 534、 543。教學時，還可以把本題進一步拓展，如讓學生思考用這 4張卡片能組成的 3 的倍數(shù)中，一位數(shù)有哪些，兩位數(shù)、四位數(shù)呢？ 第 11*題，是讓學生進一步探索偶數(shù)和奇數(shù)的性質(zhì)。練習時，可以讓學生結(jié)合具體的數(shù)來理解。 3. 質(zhì)數(shù)和 合數(shù) （第 23 26頁） 在數(shù)論中，有關(guān)質(zhì)數(shù)和合數(shù)的理論一直吸引著數(shù)學家們不斷探索。例如，我們已經(jīng)知道質(zhì)數(shù)的個數(shù)是無限的，但人們?nèi)栽诓粩嗟貙ふ腋蟮馁|(zhì)數(shù)， 1996 年 9 月初美國的科學家找到了一個新的最大質(zhì)數(shù)（ 21257787-1）。再比如， 1742 年，德國數(shù)學家哥德巴赫提出了著名的 “ 哥德巴赫猜想 ” ：任何大于 2 的偶數(shù)，都可以寫成兩個質(zhì)數(shù)之和，這一數(shù)學王冠上的明珠至今仍吸引著無數(shù)人孜孜以求。因此，在質(zhì)數(shù)和合數(shù)的世界里充滿了神奇的數(shù)學魅力。 在小學階段，只是讓學生在因數(shù)、倍數(shù)的基礎(chǔ)上初步掌握質(zhì)數(shù)、合 數(shù)的概念，為后面學習求最大公因數(shù)、最小公倍數(shù)以及約分、通分打下基礎(chǔ)。在本單元，要求學生能用自己的方法找出 100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，并熟練判斷 20 以內(nèi)的數(shù)哪個是質(zhì)數(shù)，哪個是合數(shù)。 1. 質(zhì)數(shù)和合數(shù)。 編寫意圖 教材首先讓學生找出 1 20 各數(shù)的全部因數(shù)，然后按照每個數(shù)的因 數(shù)的個數(shù)進行分類。在此基礎(chǔ)上給出質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念。同時說明 1 既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，以加深學生對某些特殊數(shù)的認識。 教學建議 教學時，可以先復習因數(shù)的概念，然后再讓學生找出 1 20 各數(shù)的所有因數(shù)，并引導學生觀察這些數(shù)的因數(shù)有什么不同，可以怎樣分類。學生通過自主探索，會自覺地把這些數(shù)分成三類：只有因數(shù) 1 的；只有 1 和它本身這兩個因數(shù)的；除了 1 和本身之外還有其他因數(shù)的。在分類的基礎(chǔ)上，再引出質(zhì)數(shù)、合數(shù)的概念，說明只有 1 和它本身兩個因數(shù)的數(shù)叫質(zhì)數(shù)，有兩個以上因數(shù)的數(shù)叫合數(shù)， 1 既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。學生掌握 了質(zhì)數(shù)和合數(shù)的概念以后，教師可以出示幾個數(shù)，讓學生判斷是質(zhì)數(shù)還是合數(shù)，也可以由學生自己分別寫出幾個質(zhì)數(shù)和幾個合數(shù)。 2. 例 1。 編寫意圖 本例讓學生運用質(zhì)數(shù)的概念找出 100 以內(nèi)的所有質(zhì)數(shù)。學生通過此例可以學會找質(zhì)數(shù)的一般方法 “ 篩法 ” ，即劃掉每個質(zhì)數(shù)的所有倍數(shù)（它本身除外），剩下的都是質(zhì)數(shù)。由于小學用到的質(zhì)數(shù)比較少，所以教材中只要求學生找出 100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)。這些質(zhì)數(shù)不必要求學生都背熟，但是熟悉 20 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)還是有必要的。 分解質(zhì)因數(shù)的內(nèi)容雖然不作為正式教學內(nèi)容，但作為一種重要的方法技能，教材 還是把它安排在 “ 你知道嗎？ ” 中進行介紹，供學生閱讀參考。 教學建議 教學時，盡量采取讓學生自己完成任務的教學方式。學生在找 100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)時，所用的方法可能是多樣化的。例如，有的學生是先找每個數(shù)分別有幾個因數(shù)，然后再根據(jù)質(zhì)數(shù)和合數(shù)的意義進行判斷。還有的學生采用的是 “ 排除法 ” ，因為質(zhì)數(shù)只有因數(shù) 1 和它本身，所以，每個質(zhì)數(shù)后面該質(zhì)數(shù)的所有倍數(shù)都是合數(shù)，如 2 是質(zhì)數(shù)，但是 2的倍數(shù)（ 2 本身除外）如 4， 6， 8， 10， 都是合數(shù)， 3 是質(zhì)數(shù)，它的倍數(shù)（ 3 本身除外）如 6， 9， 12， 15， 也都是合數(shù)。因此，只要把所有質(zhì) 數(shù)后面的倍數(shù)都劃去，剩下的就都是質(zhì)數(shù)了。劃完后，還可以讓學生體會一下劃到幾的倍數(shù)就可以了。由于自然數(shù)是無限的，所以質(zhì)數(shù)和合數(shù)也是無限的。本例中只要求學生列出 100 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)表，這是因為較大的質(zhì)數(shù)不常用。但 20 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)用得較多，最好應提醒學生逐步記住。 到本節(jié)教材為止，已經(jīng)出現(xiàn)了因數(shù)、倍數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)等概念，有些概念學生容易混淆，如學生往往把質(zhì)數(shù)和奇數(shù)、合數(shù)和偶數(shù)混同起來，因此教學時應注意讓學生辨析這些概念。例如，可讓學生按照不同的標準對自然數(shù)進行分類，按是不是 2 的倍數(shù)可以把整數(shù)分成偶數(shù) 和奇數(shù)兩類，按約數(shù)的多少把非零自然數(shù)分成質(zhì)數(shù)、合數(shù)和 1 三類。也可以結(jié)合學生自行整理的質(zhì)數(shù)表，讓學生觀察和思考：是不是所有的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)？引導學生舉出反例，如 2 是質(zhì)數(shù)，但它不是奇數(shù)；也不是所有的奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)，如 9、 35 都是奇數(shù)，但都不是質(zhì)數(shù)；也不是所有的偶數(shù)都是合數(shù)，如偶數(shù) 2 就不是合數(shù)。 3. 關(guān)于練習四中一些習題的說明和教學建議。 第 1 題，主要是讓學生對一些概念進一步加以區(qū)別。判斷時，要引導學生說明理由或舉出反例。如第（ 3）小題，使學生進一步記住 1 既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。第（ 4）小題，因為偶數(shù) 2 是質(zhì) 數(shù)，它和其他質(zhì)數(shù)的和都是奇數(shù)，因此，題中的說法不正確。 第 3 題，讓學生根據(jù)條件求數(shù)，要求學生對 20 以內(nèi)的質(zhì)數(shù)比較熟悉。如第 1 小題，可以先通過 “ 兩個數(shù)的積是 21” 知道這兩個數(shù)是 21 的一對因數(shù)，這樣的因數(shù)只有3 和 7或 1和 21，而前者正好滿足 3 7=10 且都是質(zhì)數(shù)。再如第 2 小題，滿足 “ 兩個質(zhì)數(shù)之和是 20” 的有兩對質(zhì)數(shù)： 3 和 17、 7 和 13，而后者又同時滿足 713=91 。 第 4 題，是帶著練習 2、 5、 3 的倍數(shù)的特征。 第 5 題，是用游戲的形式引出 “ 哥德巴赫猜想 ” ，使學生通過舉例的方式看到：大于 2 的偶數(shù)，可以表示為兩個質(zhì)數(shù)之和。但舉例只能舉出有限個，是不是所有大于 2的偶數(shù)都滿足這一結(jié)論呢？從而引起學生繼續(xù)探求的興趣，也很自然地引出下面的閱讀材料。 因數(shù)與倍數(shù)參考資料 1 2、 5、 3的倍數(shù)的特征 1. 2 或 5 的倍數(shù)的特征：一個數(shù)的個位上的數(shù)是 2 或 5 的倍數(shù)，這個數(shù)就是 2 或 5 的倍數(shù)。 假設(shè)有一個數(shù) anan-1a 1a0，那么， anan-1a 1a1=an10 n+an-110 n-1+a 110+a n =（ an10 n-1+an-110 n-2+a 1） 10+a 0 因此，可以把這個數(shù)看成是兩個數(shù)的和，第一個加數(shù)（ an10 n-1+an-110 n-2+a 1） 10 必定是 2 或 5 的倍數(shù)，所以只需看個位上的數(shù) a0 是不是 2或 5的倍數(shù)就可以了。 例如， 4567 410 3 510 2 610 7 （ 410 2 510 6） 10 7 因為 7 不是 2 或 5 的倍數(shù)，因此， 4567 也不是 2 或 5 的倍數(shù)。 2. 3 或 9 的倍數(shù)的特征：一個數(shù)各位上的數(shù)之和是 3 或 9 的倍數(shù)，這個數(shù)就是 3 或 9 的倍數(shù)。 因此，可以把這個數(shù)看成是兩個數(shù)的和，第一個加數(shù) 必定是 3 或 9 的倍數(shù)，所以只需看第二個加數(shù)（ an+an-1+a 1+a0）是否是 3 或 9 的倍數(shù)就可以了。 例如， 8325 81000 3100 210 5 8 （ 1000-1） 3 （ 100-1） 2 （ 10-1） （ 8 3 2 5） （ 8999 399 29 ）（ 8 3 2 5） （ 8111 311 21 ） 9 （ 8 3 2 5） 因為（ 8111 311 21 ） 9 必定是 3 或 9 的倍數(shù)，所以只需看（ 8 3 2 5）是否是 3 或 9 的倍數(shù)就可以了。 2. 質(zhì)數(shù)表 判定一個數(shù)是不是質(zhì)數(shù)，要根據(jù)質(zhì)數(shù)的定義。一個較大的數(shù)，要 判定它是不是質(zhì)數(shù)，往往要進行復雜計算，有時計算量是很大的。因此，人們把已經(jīng)判定的一定范圍的質(zhì)數(shù)，編制成表（如 1000 以內(nèi)質(zhì)數(shù)表、 4000 以內(nèi)質(zhì)數(shù)表等），以備查用。質(zhì)數(shù)表通常是用篩法制成的。 3. 篩法 篩法，是求不超過自然數(shù) n（ n1）的所有質(zhì)數(shù)的一種方法。據(jù)說是古希臘的埃拉托斯特尼（ Eratosthenes，約公元前 274前 194 年）發(fā)明的，又稱埃拉托斯特尼篩子。 具體做法是：先把 n 個自然數(shù)按次序排列起來。 1 不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，要劃去。第二個數(shù) 2 是質(zhì)數(shù)，留下來，而把 2 后面所有 2 的倍數(shù)都劃去。 2 后面第一 個沒劃去的數(shù)是 3，把3 留下，再把 3 后面所有 3 的倍數(shù)都劃去。 3 后面第一個沒劃去的數(shù)是 5，把 5 留下，再把5 后面所有 5 的倍數(shù)都劃去。這樣一直做下去，就會把不超過 n 的全部合數(shù)都篩掉，留下的就是不超過 n 的全部質(zhì)數(shù)。因為希臘人是把數(shù)寫在涂蠟的板上，每劃去一個數(shù)，就在上面記以小點，尋求質(zhì)數(shù)的工作完畢后，這許多小點就像一個篩子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做 “ 埃拉托斯特尼篩 ” ，簡稱 “ 篩法 ” 。（另一種解釋是當時的數(shù)寫在紙草上，每劃去一個數(shù)，就把這個數(shù)挖去，尋求質(zhì)數(shù)的工作完畢后，這許多小洞就像一個篩子。） 例如，用篩法找出不超 過 30 的一切質(zhì)數(shù)： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 因此，不超過 30 的質(zhì)數(shù)有： 2， 3， 5， 7， 11， 13， 17， 19， 23， 29，共 10 個。 三、長方體和正方體 （一）教學目標 1. 通過觀察和操作，認識長方體和正方體的特征以及它們的展開圖。 2. 通過實例，了解體積（包括容積 ）的意義及度量單位（立方米、立方分米、立方厘米、升、毫升），會進行單位之間的換算，感受 1 m3、 1 dm3、 1 cm3以及 1 L、 1 ml 的實際意義。 3. 結(jié)合具體情境，探索并掌握長方體和正方體的體積和表面積的計算方法，并能運用所學知識解決一些簡單的實際問題。 4. 探索某些實物體積的測量方法。 （二）教材說明和教學建議 教材說明 1. 本單位的內(nèi)容及地位和作用。 學生在第一學段已經(jīng)初步認識了一些簡單的立體圖形，已經(jīng)能夠識別出長方體、正方體、圓柱和球，本單元在此基礎(chǔ)上系統(tǒng)教 學長方體和正方體的有關(guān)知識。長方體和正方體是最基本的立體圖形。通過學習長方體和正方體，可以使學生對自己周圍的空間和空間中的物體形成初步的空間觀念，是進一步學習其他立體幾何圖形的基礎(chǔ)。另外，長方體和正方體體積的計算，也是學生形成體積的概念、掌握體積的計量單位和計算各種幾何形體體積的基礎(chǔ)。 本單元分三小節(jié)編排：長方體和正方體的認識，長方體和正方體的表面積，長方體和正方體的體積。在長方體和正方體的體積一節(jié)中，還介紹了容積的概念。同時，按照標準的要求，新增加了探索某些實物體積的測量方法。具體內(nèi)容安排如下 ： 2. 本單元教材的編排特點。 （ 1）注意聯(lián)系生活實際。 本單元非常重視與實際生活的聯(lián)系，主要體現(xiàn)在以下幾方面。（ 1）圖形和概念的認識，結(jié)合學生所熟悉的事物進行。如長方體、正方體特征的認識，安排了讓學生說出紙巾盒、數(shù)學課本、粉筆盒等的形狀、長 、寬、高等練習。（ 2）注意用所學的知識解決實際問題。本單元在各部分知識的學習中，都注意學以致用。如在長方體、正方體認識時，安排了計算俱樂部四周要安多長的彩燈線等練習；在學習表面積時，安排了大量的根據(jù)具體情況計算物體表面積的內(nèi)容。（ 3）選取具有鮮明時代特征的素材。如計算拼插奧運墻所用積木的體積，為 “ 神舟五號 ” 載人航天飛船返回艙的容積選取合適的容積單位等。即鞏固了所學數(shù)學知識，又激發(fā)了學生的民族自豪感。 （ 2）更加重視對概念的理解。 體積對學生來說是一個新概念，物體占有一定的空間對學生來說理解有 一定的困難。為此，教材先通過學生熟悉的 “ 烏鴉喝水 ” 的故事，以形象、生動的方式，讓學生初步感知物體占有空間。然后通過把石頭放入有水的玻璃杯里的實驗，讓學生進一步體驗物體確實占有空間，為引出體積概念做充分的感知準備。在學習容積時，計算不規(guī)則物體的體積，讓學生利用已建立的體積概念想到可以用排水法求得不規(guī)則物體的體積，加深對體積概念的認識。 （ 3）加強動手實踐、自主探索，讓學生經(jīng)歷知識的形成過程。 本單元一些概念和計算方法都是通過學生動手操作、自主探索來學習的。如，體積單位，就是通過讓學生回顧舊知、 遷移類推引出來的。教材通過比較兩個不容易看出大小的長方體的體積，讓學生由比較物體的長度有統(tǒng)一的長度單位，比較物體的面積有統(tǒng)一的面積單位，想到比較物體的體積應有統(tǒng)一的體積單位，由此引出體積單位。又如，長方體體積的計算方法，先讓學生用 1 cm3 的正方體拼擺出不同的長方體，通過對這些長方體的相關(guān)數(shù)據(jù)的觀察、分析和歸納，自己發(fā)現(xiàn)長方體的體積與它的長、寬、高之間的內(nèi)在關(guān)系，從而總結(jié)出長方體體積的計算公式。 （ 4）對一些內(nèi)容進行了調(diào)整。 這部分教材根據(jù)以往教學實踐的情況，對一些內(nèi)容進行了調(diào)整。如長方體、 正方體的引出，直接從實物中抽象出相應的圖形，不再從與平面圖形的對比中引出。再如，由于體積和表面積等概念注意從各方面來進行認識，所以體積和表面積不再安排例題