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六年級(jí)數(shù)學(xué)第五單元正比例和反比例的教案 本單元在學(xué)生具有比和比例的知識(shí),認(rèn)識(shí)常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系的基礎(chǔ)上編排,通過(guò)對(duì)兩個(gè)數(shù)量保持商一定或積一定的變化,理解正比例關(guān)系和反比例關(guān)系,滲透初步的函數(shù)思想。正比例和反比例歷來(lái)是小學(xué)數(shù)學(xué)里的重要內(nèi)容之一,與過(guò)去的教材相比,本單元進(jìn)一步加強(qiáng)正、反比例的概念教學(xué),突出正比例關(guān)系的圖像及簡(jiǎn)單應(yīng)用,重視正、反比例與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系,淡化脫離現(xiàn)實(shí)背景判斷比例關(guān)系,不安排應(yīng)用正、反比例關(guān)系解決實(shí)際問(wèn)題。全單元編排三道例題和一個(gè)練習(xí),前兩道例題都是關(guān)于正比例的,分別教學(xué)正比例的意義和圖像,后一道例題教學(xué)反比例的知識(shí)。 1抽象實(shí)際事例中的數(shù)量變化規(guī)律,形成正比例的概念。 例1讓學(xué)生初步感知兩種相關(guān)聯(lián)的量以及成正比例的量的含義。列表呈現(xiàn)了一輛汽車行駛的路程和時(shí)間,通過(guò)寫(xiě)出幾組對(duì)應(yīng)的路程和時(shí)間的比并求比值,發(fā)現(xiàn)各個(gè)比的比值都是80,理解80是這輛汽車每小時(shí)行駛的千米數(shù),由此得出數(shù)量關(guān)系路程/時(shí)間=速度(一定)。在數(shù)量關(guān)系中,路程比時(shí)間等于速度是舊知識(shí),速度一定是這個(gè)問(wèn)題情境里的規(guī)律,是正比例概念的生長(zhǎng)點(diǎn)。教材先指出路程和時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量,用時(shí)間變化,路程也隨著變化具體解釋兩種量的相關(guān)聯(lián)。再指出這輛汽車行駛的路程和時(shí)間的比的比值總是一定,可以說(shuō)路程和時(shí)間成正比例,它們是成正比例的量,學(xué)生在這里首次感知了正比例關(guān)系。 試一試在另一組數(shù)量關(guān)系中繼續(xù)感知正比例關(guān)系,購(gòu)買鉛筆數(shù)量和總價(jià)的表格里有三個(gè)空格,先計(jì)算買4枝、5枝、6枝這種鉛筆的總價(jià),讓學(xué)生體會(huì)鉛筆的單價(jià)每枝0。3元是不變的,總價(jià)是隨著數(shù)量變化而變化的,總價(jià)與數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量。然后依次回答其他三個(gè)問(wèn)題,得出鉛筆總價(jià)和數(shù)量成正比例的結(jié)論,并用式子總價(jià)/數(shù)量=單價(jià)(一定)作出解釋。試一試的認(rèn)知線索與例1相似,留給學(xué)生自主活動(dòng)的空間比例1大,使學(xué)生對(duì)正比例關(guān)系的體驗(yàn)更深刻。 學(xué)生在上面兩個(gè)實(shí)例中感知了正比例的具體含義,教材第63頁(yè)要形成正比例的概念。抽象概括正比例的意義是概念形成的重要環(huán)節(jié),也是發(fā)展數(shù)學(xué)思考的極好機(jī)會(huì)。首先用字母表示數(shù)量,每個(gè)實(shí)例里都有兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量,分別是路程和時(shí)間或者總價(jià)與數(shù)量,兩個(gè)量的比的比值分別是速度和單價(jià),因而用字母x和y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量,用k表示它們的比值;然后把路程/時(shí)間=速度(一定)、總價(jià)/數(shù)量=單價(jià)(一定)表示成y/x=k(一定),并指出正比例關(guān)系可以用這個(gè)字母式子表示。用抽象的字母組成的式子表示正比例關(guān)系是認(rèn)知難點(diǎn),教學(xué)要聯(lián)系兩個(gè)實(shí)例,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷字母表示具體的數(shù)量?字母式子表示常見(jiàn)數(shù)量關(guān)系?字母式子表示正比例關(guān)系的過(guò)程,加強(qiáng)對(duì)式子y/x=k(一定)的理解。 練一練判斷生產(chǎn)零件的數(shù)量和時(shí)間成不成正比例,是把正比例概念具體化,利用概念進(jìn)行演繹推理。具體地說(shuō),是分析這個(gè)情境里的生產(chǎn)零件數(shù)量和所用時(shí)間的比的比值是否始終保持一定,如果具備y/x=k(一定)這種關(guān)系,兩種相關(guān)聯(lián)的量成正比例,否則就不成正比例。學(xué)生在第62頁(yè)試一試?yán)镆呀?jīng)進(jìn)行過(guò)這樣的分析和判斷,那時(shí)是依據(jù)連續(xù)的四個(gè)問(wèn)題進(jìn)行的,現(xiàn)在要求他們獨(dú)立開(kāi)展有條理的推理活動(dòng),進(jìn)一步理解正比例的意義,掌握判斷兩種量成不成正比例的方法。練習(xí)十三第13題配合例1的教學(xué),第3題判斷正方形的周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)、面積與邊長(zhǎng)成不成正比例。可以根據(jù)表格里填的數(shù)據(jù)進(jìn)行推理,因?yàn)橹荛L(zhǎng)與邊長(zhǎng)的比4/1、8/2、12/3、16/4的比值都是4,面積與邊長(zhǎng)的比1/1、4/2、9/3、16/4的比值不相等,所以正方形的周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)成正比例,面積與邊長(zhǎng)不成正比例。也可以根據(jù)正方形的周長(zhǎng)公式和面積公式推理,從邊長(zhǎng)4=周長(zhǎng)可以得到周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)的比的比值是確定的數(shù)4,即周長(zhǎng)/邊長(zhǎng)=4(一定),所以正方形的周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)成正比例。從邊長(zhǎng)邊長(zhǎng)=面積可以知道,面積雖然隨著邊長(zhǎng)的變化而變化,但是面積與邊長(zhǎng)的比的比值是變化的量,即面積/邊長(zhǎng)=邊長(zhǎng),所以正方形的面積與邊長(zhǎng)不成正比例。前一種思考對(duì)問(wèn)題進(jìn)行具體的分析,適宜大多數(shù)學(xué)生的實(shí)際水平,也符合標(biāo)準(zhǔn)的要求。后一種思考沒(méi)有利用數(shù)據(jù)信息,推理的難度較大,不必對(duì)學(xué)生提出這樣的要求。教材設(shè)計(jì)這道題的意圖是進(jìn)一步使學(xué)生理解正比例的意義,突出正比例概念的內(nèi)涵:兩種相關(guān)聯(lián)量的比的比值保持一定。 2用圖像直觀表達(dá)正比例關(guān)系。 例2是按照標(biāo)準(zhǔn)的要求根據(jù)給出的有正比例關(guān)系的數(shù)據(jù)在有坐標(biāo)系的方格紙上畫(huà)圖,并根據(jù)其中一個(gè)量的值估計(jì)另一個(gè)量的值編排的,設(shè)計(jì)的三個(gè)問(wèn)題體現(xiàn)了教學(xué)正比例圖像的三個(gè)步驟。第一步認(rèn)識(shí)圖像上的點(diǎn),按照A點(diǎn)表示1小時(shí)行80千米B點(diǎn)表示5小時(shí)行400千米說(shuō)出其他各點(diǎn)的具體含義,體會(huì)各個(gè)點(diǎn)都表示汽車在某段時(shí)間所行駛的路程,也體會(huì)這些點(diǎn)是根據(jù)對(duì)應(yīng)的時(shí)間與路程的數(shù)據(jù)在方格紙上畫(huà)出來(lái)的。第二步認(rèn)識(shí)圖像的形狀,從圖中描出的點(diǎn)在一條直線上,體會(huì)正比例關(guān)系的圖像是一條直線。了解正比例圖像是直線對(duì)以后畫(huà)圖能起兩點(diǎn)作用:一是畫(huà)正比例關(guān)系的圖像(如第64頁(yè)練一練),可以根據(jù)提供的各組數(shù)據(jù)描出圖像的許多個(gè)點(diǎn),再依次連成直線;二是如果按正比例關(guān)系畫(huà)出的點(diǎn)不在同一條直線上,表明畫(huà)點(diǎn)出現(xiàn)了錯(cuò)誤,應(yīng)及時(shí)糾正。第三步應(yīng)用圖像,估計(jì)行駛時(shí)間所對(duì)應(yīng)的路程或者行駛路程所用的時(shí)間。要指導(dǎo)學(xué)生利用畫(huà)垂線或畫(huà)平行線的技能,盡量使得數(shù)準(zhǔn)確些。如估計(jì)2。5小時(shí)行駛的千米數(shù),要在橫軸上找到表示2。5小時(shí)的點(diǎn),過(guò)這點(diǎn)畫(huà)橫軸的垂線,得到垂線與圖像的交點(diǎn),再過(guò)交點(diǎn)作縱軸的垂線,根據(jù)垂足在縱軸上的位置估計(jì)行駛的路程。 練習(xí)十三第4、5題配合例2的教學(xué)。判斷實(shí)際問(wèn)題里相關(guān)聯(lián)的兩種量成不成正比例有兩種思路,一種是看畫(huà)成的圖像,如果圖像是一條直線,那么兩種量成正比例;如果圖像不是一條直線,那么兩種量不成正比例。另一種是根據(jù)正比例的意義,利用各組對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)寫(xiě)出比、求比值,從比值是否相等作出成不成正比例的判斷。教學(xué)時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用后一種思路,在判斷活動(dòng)中加強(qiáng)對(duì)概念的理解。 3調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性與數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),教學(xué)成反比例的量。 例3教學(xué)反比例的意義,安排的教學(xué)活動(dòng)線索和例1十分相似。在表格里可以看到筆記本的單價(jià)在變化,購(gòu)買的數(shù)量也在變化,而且每組相對(duì)應(yīng)的單價(jià)和數(shù)量的乘積都是60,這不僅是算得的,還和題目里的用60元買筆記本相一致,因此用數(shù)量關(guān)系式單價(jià)數(shù)量=總價(jià)(一定)表示這個(gè)問(wèn)題情境里兩個(gè)變量的變化規(guī)律。在此基礎(chǔ)上指出單價(jià)和數(shù)量是兩種相關(guān)聯(lián)的量,它們成反比例,是兩個(gè)成反比例的量。試一試先把表格填寫(xiě)完整,在填表時(shí)體會(huì)工地要運(yùn)的72噸水泥是確定的。然后思考三個(gè)問(wèn)題,抓住每天運(yùn)的噸數(shù)與需要的天數(shù)的乘積是多少,乘積表示什么數(shù)量以及問(wèn)題情境的數(shù)量關(guān)系式,從每天運(yùn)的噸數(shù)天數(shù)=運(yùn)水泥的總噸數(shù)(一定),理解每天運(yùn)的噸數(shù)和需要的天數(shù)成反比例。通過(guò)上面四個(gè)實(shí)例的研究,學(xué)生初步感知了反比例的含義,于是用字母x、y表示兩種相關(guān)聯(lián)的量,用k表示兩個(gè)量的乘積,把反比例關(guān)系表示成xy=k(一定),形成反比例的概念。 學(xué)生認(rèn)識(shí)正比例意義時(shí)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)可以遷移到反比例意義的學(xué)習(xí)中來(lái),教學(xué)時(shí)要給學(xué)生多提供一些獨(dú)立思考和合作交流的機(jī)會(huì)。如讓學(xué)生觀察例3的表格、填寫(xiě)試一試的表格,發(fā)現(xiàn)表格里的變量,解釋兩個(gè)變量的相關(guān)聯(lián);讓學(xué)生聯(lián)系已有的數(shù)量關(guān)系,研究總價(jià)與數(shù)量、每天運(yùn)的噸數(shù)與需要的天數(shù)的變化,通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)總價(jià)總是60元,一共運(yùn)水泥的噸數(shù)總是72;讓學(xué)生寫(xiě)出單價(jià)、數(shù)量和總價(jià),每天運(yùn)的噸數(shù)、需要的天數(shù)和運(yùn)水泥總數(shù)的數(shù)量關(guān)系式,說(shuō)說(shuō)總價(jià)一定、運(yùn)水泥的總噸數(shù)一定的理由;讓學(xué)生閱讀教材第65頁(yè)關(guān)于單價(jià)和數(shù)量成反比例的那段話,交流自己的理解和體會(huì);讓學(xué)生試著用字母x、y、k表示反比例關(guān)系 練習(xí)十三第68題配合例3的教學(xué),重溫認(rèn)識(shí)反比例的過(guò)程,應(yīng)用概念進(jìn)行判斷,從而加強(qiáng)對(duì)反比例的理解。第8題在方格紙上分別呈現(xiàn)了三個(gè)面積都是12平方厘米的長(zhǎng)方形、三個(gè)周長(zhǎng)都是14厘米的長(zhǎng)方形,看圖在表格里填出各個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬。前三個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)乘寬分別是121=12、62=12、43=12,即長(zhǎng)寬=面積(一定),得到的結(jié)論是長(zhǎng)方形的面積一定,長(zhǎng)與寬成反比例。后三個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)乘寬分別是61=6、52=10、43=12,這些周長(zhǎng)相等的長(zhǎng)方形,長(zhǎng)與寬的乘積不相等,所以長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一定,長(zhǎng)與寬不成反比例。教學(xué)這道題要讓學(xué)生經(jīng)歷得出結(jié)論的過(guò)程,強(qiáng)化對(duì)反比例概念的理解。第913題是綜合練習(xí)
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