小學(xué)五年級(jí)數(shù)學(xué)精讀第11-20講（附答案+精彩講解）［媽媽身邊的貼心家教］

第 11講 計(jì)算問題第 06講 估算與比較 通分與裂頂（ 43） 1.除式 12345678910111213 31211101987654321 計(jì)算結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)后前三位數(shù)字是多少？ 解法一： A 大于 1234 3122=0.3952， A 小于 1235 3121=0.3957， 0.3952 小于 A 小于 0.3957 答：計(jì)算結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)后前三位數(shù)字是 395。 解法二： 1234 3121 0.3953 0.395 答：計(jì)算結(jié)果的小數(shù)點(diǎn)后前三位數(shù)字是 395。 2計(jì)算下式的值，其中小數(shù)部分 四舍五入，答案僅保留整數(shù)： 33.3332-3.1415926 0.618. 解： 33.3332-3.1415926 0.618（ 100/3） 2-5=10000/9-5 1111-5=1106 答：保留整數(shù)約等于 1106。 3.在 1,1/2,1/3,1/4,。 1/99， 1/100 中選出若干個(gè)數(shù)使它們的和大于 3，最少要選多少個(gè)數(shù)？ 解法一： 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/101+(1/2+1/3+1/6)+(1/4+1/8)+(1/5+1/10)+2/7=2+3/8+3/10+2/7=2+269/2801+(1/2+1/3+1/6)+(1/4+1/8)+(1/5+1/10)+1/8+(1/9+1/11) =1+1+(3/8+1/8)+3/10+20/99 =2+4/8+3/10+20/99 2+1/2+3/10+20/100 =3 答：最少要選出 11 個(gè)數(shù)。 解法二： 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6=1+（ 1/2+1/3+1/6） +1/4+1/5=2+1/4+1/5=2.453 1/7=0.142 ,1/8=0.125， 1/9=0.1（ 1 循環(huán)）， 1/10=0.1，所以 1/7+1/8+1/9+1/10=0.478， 1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6+1/7+1/8+1/9+1/10=2.9283 答：最少要選出 11 個(gè)數(shù)。 4數(shù) 1/（ 1/10+1/11+1/12+ +1/19）的整數(shù)部分是幾？ 解： 1/10+1/11+1/12+ +1/1910*1/20=1/2 所以 1/1 （ 2）請(qǐng)把 656/657， 52/53， 2679/2680， 8/9 這 4 個(gè)數(shù)從大到小排列。 解：（ 1） A 小于 1/2， B 小于 1/2， 1/2-A=1/（ 2 222222221）， 1/2-B=1/（ 2 888888887） 1/2-B 小于 1/2-A， B 大于 A （ 2） 656/657=1-1/657， 52/53=1-1/53， 2679/2680=1-1/2680,8/9=1-1/9 因?yàn)?1/9 大于 1/53 大于 1/657 大于 1/2680，所以 2679/2680 大于 656/657 大于 52/53 大于 8/9 答：（ 1） A 與 B 中較大的是 B； （ 2） 2679/2680 大于 656/657 大于 52/53 大于 8/9. 7 24/31 小于 80/ 0，所以（ 4）最小， 3/8+8/20=31/40 答：（ 4）式最小，（ 4） =31/40。 10.下面的 4 個(gè)算式中，哪個(gè)式子的得數(shù)最大？（ 1）（ 1/17+1/19） 20，（ 2）（ 1/24+1/29） 30，（ 3）（ 1/31+1/37） 40，（ 4）（ 1/41+1/47） 50。 解：（ 1）式 -2=3/17+1/19，（ 2）式 -2=6/24+1/29，（ 3）式 -2=9/31+3/37，（ 4）式 -2=9/41+3/47 因?yàn)?9/31+3/379/41+3/47， 9/31+3/379/36+3/89=6/24+1/29， 9/31+3/379/51+3/57=3/17+1/19，所以（ 3）式最大。 答：（ 3）式最大。 11.從所有分母小于 10 的真分?jǐn)?shù)中，找出一個(gè)最接近 0.618 的分?jǐn)?shù)。 解：分母小于 10 的真分?jǐn)?shù)分母可以是 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9。 分母是 1，罱詠 ?.618 的分?jǐn)?shù)是 1/1， 1-0.618=0.382； 分母是 2，最接近 0.618 的分?jǐn)?shù)是 1/2， 0.618-1/2=0.118； 分母是 3，最接近 0.618 的分?jǐn)?shù)是 2/3， 2/3-0.618=0.049； 分母是 4，最接近 0.618 的分?jǐn)?shù)是 3/4， 3/4-0.618=0.132； 分母是 5，最接近 0.618 的分?jǐn)?shù)是 3/5， 0.618-3/5=0.018； 分母是 6，最接近 0.618 的分?jǐn)?shù)是 4/6， 4/6-0.618=0.049； 分母是 7，最接近 0.618 的分?jǐn)?shù)是 4/7， 0.618-4/7=0.047； 分母是 8，最接近 0.618 的分?jǐn)?shù)是 5/8， 5/8-0.618=0.007； 分母是 9，最接近 0.618 的分?jǐn)?shù)是 6/9， 6/9-0.618=0.049。 0.007 最小，所以 5/8 最接近 0.618。 答：最接近 0.618 的是 5/8。 12.計(jì)算：（ 1+1/2）（ 1-1/2）（ 1+1/3）（ 1-1/3）（ 1+1/99）（ 1-1/99）。 解：（ 1+1/2）（ 1-1/3） =3/2 2/3=1，（ 1+1/3）（ 1-1/4） =4/3 3/4=1，（ 1+1/98）（ 1-1/99） =99/98 98/99=1 所以，（ 1+1/2）（ 1-1/2）（ 1+1/3）（ 1-1/3）（ 1+1/99）（ 1-1/99） =（ 1-1/2）（ 1+1/99） =1/2 100/99=50/99 答：計(jì)算結(jié)果是 50/99。 13.計(jì)算： 1+3（ 1/6） +5（ 1/12） +7（ 1/20） +9（ 1/30） +11（ 1/42） +13（ 1/56） +15（ 1/72） +17（ 1/90） 。 解： 1+3（ 1/6） +5（ 1/12） +7（ 1/20） +9（ 1/30） +11（ 1/42） +13（ 1/56） +15（ 1/72） +17（ 1/90） =（ 1+3+5+7+9+11+13+15+17） +（ 1/6+1/12+1/20+1/30+1/42+1/56+1/72+1/90） =81+（ 1/2-1/3） +（ 1/3-1/4） +（ 1/4-1/5） +（ 1/5-1/6） +（ 1/6-1/7） +（ 1/7-1/8） +（ 1/8-1/9） +（ 1/9-1/10） =81+1/2-1/10 =81（ 2/5） 此主題相關(guān) 圖片如下： 14計(jì)算：（ 1/8+1/24+1/48+1/80+1/120+1/168+1/224） 64。 解：（ 1/8+1/24+1/48+1/80+1/120+1/168+1/224） 64 =(1/4-1/8+)+(1/8-1/12)+(1/12-1/16)+(1/16-1/20)+(1/20-1/24)+(1/24-1/28)+(1/28-1/32) 64 =(1/4-1/32) 64 =7/32 64 =14 答：計(jì)算結(jié)果是 14。 15.計(jì)算： 1-2/（ 1（ 1+2） -3/（ 1+2）（ 1+2+3） -4/（ 1+2+3）（ 1+2+3+4） - -10/（ 1+2+9）（ 1+2+ +9+10） 解： 1-2/（ 1（ 1+2） -3/（ 1+2）（ 1+2+3） -4/（ 1+2+3）（ 1+2+3+4） - -10/（ 1+2+ +9）（ 1+2+ +9+10） =1-2/1 3-3/3 6-4/6 10- -10/45 55 =1-（ 1-1/3） -（ 1/3-1/6） -（ 1/6-1/10） - -（ 1/45-1/55） =1-（ 1-1/3+1/3-1/6+1/6-1/10+ +1/45-1/55） =1-（ 1-1/55） =1/55 答：計(jì)算結(jié)果是 1/55。 此主題相關(guān)圖片如下： 第 12 講 應(yīng)用題第 14 講 行程問題之四（ 47） 1.有一座時(shí)鐘現(xiàn)在顯示 10 時(shí)整。那么，經(jīng)過多少分鐘，分針與時(shí)針第一次重合；再經(jīng)過多少分鐘，分針與時(shí)針第二次重合？ 解： 10 時(shí)整，分針與時(shí)針距離是 10 格，需要追擊的距離是（ 60-10）格，分針走 60 格，時(shí)針走 5 格，即分針走 1 格，時(shí)針走 5/60=1/12 格。 第一次重合經(jīng)過 （ 60-10） /（ 1-1/12） =54（ 6/11）（分） 第二次重合再經(jīng)過 60/（ 1-1/12） =65（ 5/11）（分） 答：經(jīng)過 54（ 6/11）分鐘，分針與時(shí)針第一次重合；再經(jīng)過 65（ 5/11）分鐘，分針與時(shí)針第二次重合。 2. 8 時(shí)到 9時(shí)之間時(shí)針和分針在“ 8”的兩邊，并且兩針?biāo)纬傻纳渚€到“ 8”的距離相等。問這時(shí)是 8時(shí)多少分？ 解： 8 時(shí)到 9 時(shí)之間，時(shí)針和分針在“ 8”的兩邊，并且距離相等，說明時(shí)針和分針走過的距離之和時(shí) 40格，經(jīng)過的時(shí)間是 40/（ 1+1/12） =36（ 12/13）（分） 答：這時(shí)是 8 時(shí) 36（ 12/13）分。 3.某人下午六時(shí)多外出買東西，出門時(shí)看手表，發(fā)現(xiàn)表的時(shí)針和分針的夾角為 110，七時(shí)前回家時(shí)又看手表，發(fā)現(xiàn)時(shí)針和分針的夾角仍是 110。那么此人外出多少分鐘？ 解：分針從時(shí)針后 110到時(shí)針前 110，追上 了 220， 220 /360 *60=110/3 格，時(shí)間是 110/3/（ 1-1/12）=40（分） 答：此人外出 40 分鐘。 4.甲、乙兩車分別從 A,B 兩地同時(shí)相向而行， 6 小時(shí)后相遇在 C 點(diǎn)。如果甲車速度不變，乙車每小時(shí)多行5 千米，且兩車還從 A， B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距 C 點(diǎn) 12千米；如果乙車速度不變，甲車每小時(shí)多行 5 千米，且兩車還從 A， B 兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，則相遇地點(diǎn)距 C 點(diǎn) 16 千米。甲車原來每小時(shí)行多少千米？ 解：設(shè)一方加速后相遇時(shí)間是 X 小時(shí)，甲、乙如果都不加速距離將是（ 12+16）千米，這段距 離是速度差 5千米形成的。 X=28/5=28/5（小時(shí)），甲以原來的速度，用（ 6-28/5）小時(shí)行 12 千米，速度是每小時(shí) 12/（ 2/5） =30（千米） 答：甲車原來每小時(shí)行 30 千米。 5.甲、乙兩人同時(shí)從山腳開始爬山，到達(dá)山頂后就立即下山，他們兩人的下山速度都是各自上山速度的 1.5倍，而且甲比乙速度快。兩人出發(fā)后 1小時(shí)，甲與乙在離山頂 600米處相遇，當(dāng)乙到達(dá)山頂時(shí)，甲恰好到半山腰。那么甲回到出發(fā)點(diǎn)共用多少小時(shí)？ 解法一：甲如果用下山速度上山，乙到達(dá)山頂時(shí)，甲走過的路程應(yīng)該是一個(gè)單程的 1*1.5+1/2=2 倍，就是說甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。 兩人相遇時(shí)走了 1 小時(shí)，這時(shí)甲還要走一段下山路，這段下山路乙上山用了 1 小時(shí)，所以甲下山要用 1/2小時(shí)。 甲一共走了 1+1/2=1.5（小時(shí)） 答：甲回到出發(fā)點(diǎn)共用 1.5 小時(shí)。 解法二：相遇時(shí)甲已經(jīng)下山 600 米，走這 600 米的時(shí)間，如果甲用上山速度只能走 600/1.5=400 米，所以上山速度一小時(shí)甲比乙多走 600+400=1000 米。 乙到山頂時(shí)甲下到半山腰，甲走 1/2 下山路的時(shí)間，如果用來上山，只能走 1/2/1.5=1/3 的上山路，所以乙走完上山路的時(shí)間里，甲可 以走上山路的 1+1/3=4/3 倍，說明上山速度甲是乙的 4/3 倍。 甲上山速度是 1000/（ 4/3-1） =4000（米），下山速度是 4000*1.5=6000（米），上山路程是 4000-400=3600（米），出發(fā) 1 小時(shí)后，甲還有下山路 3600-600=3000（米），要走 6000/3000=0.5（小時(shí)） 一共要走 1+0.5=1.5（小時(shí)） 答：甲回到出發(fā)點(diǎn)共用 1.5 小時(shí)。 6.男、女兩名運(yùn)動(dòng)員在長 110米的斜坡上練習(xí)跑步（坡頂為 A，坡底為 B）。兩人同時(shí)從 A 點(diǎn)出發(fā)，在 A，B 之間不停地往返奔跑。已知男運(yùn)動(dòng)員 上坡速度是每秒 3米，下坡速度是每秒 5米，女運(yùn)動(dòng)員上坡速度是每秒 2 米，下坡速度是每秒 3 米。那么兩人第二次迎面相遇的地點(diǎn)離 A 點(diǎn)多少米？ 解：男下到 B 點(diǎn)時(shí)，女離 A 點(diǎn) 3/5 第一次迎面相遇時(shí)，兩人離 A 點(diǎn) 1-2/5*1/2=4/5 女下到 B 點(diǎn)時(shí)，男離 A 點(diǎn) 4/5-1/5=3/5 男回到 A 點(diǎn)時(shí)，女離 A 點(diǎn) 3/5 第二次迎面相遇時(shí)，兩人離 A 點(diǎn) 3/5*5/7=3/7 3/7*110=47（ 1/7）（米） 答：兩人第二次迎面相遇的地點(diǎn)離 A 點(diǎn) 47（ 1/7）米。 7.某人沿電車線路行走，每 12 分鐘有一輛電車從后面追上，每 4分鐘有一 輛電車迎面開來。假設(shè)兩個(gè)起點(diǎn)站的發(fā)車間隔是相同的，求這個(gè)發(fā)車間隔。 解：發(fā)車距離是 1， 12 分鐘追上行人，車和人速度差是 1/12 車 4 分鐘與行人迎面相遇，車和人速度和是 1/4 車的速度是（ 1/12+1/4） /2=1/6 發(fā)車間隔時(shí)間 =1/（ 1/6） =6（分） 答：這個(gè)發(fā)車間隔是 6 分鐘。 8.A， B 兩地相距 105千米，甲、乙兩人分別騎車從 A， B兩地同時(shí)出發(fā)，甲速度為每小時(shí) 40 千米，出發(fā)后 1 小時(shí) 45 分鐘相遇，然后甲、乙兩人繼續(xù)沿各自方向往前騎。在他們相遇 3 分鐘后，甲與迎面騎車而來的丙相遇，而丙在 C 地追上乙。若甲 以每小時(shí) 20 千米的速度，乙以每小時(shí)比原速快 2 千米的車速，兩人同時(shí)分別從 A， B 出發(fā)相向而行，則甲、乙二人在 C 點(diǎn)相遇，問丙的車速是多少？ 解：乙原來車速是每小時(shí) 105/1（ 45/60） -40=20（千米） 乙加速后與甲在 C 相遇， CA 距離是 20*105/（ 20+22） =50（千米） 乙原來速度到 C 點(diǎn)時(shí)間是（ 105-50） /20=11/4（小時(shí)） 甲、乙原來相遇地點(diǎn)與 C 點(diǎn)的距離是 40*1（ 48/60） -50=22（千米） 丙走這 22 千米用的時(shí)間是 11/4-1（ 48/60） =19/20（小時(shí)） 丙車速是每小時(shí) 22/（ 19/20） =23（ 3/19）（千米） 答：丙的車速是每小時(shí) 23（ 3/19）千米。 9.從甲市到乙市有一條公路，它分成三段。在第一段上，汽車速度是每小時(shí) 40千米；在第二段上，汽車速度是每小時(shí) 90千米；在第三段上，汽車速度是每小時(shí) 50千米。已知第一段公路的長恰好是第三段的 2倍，現(xiàn)有兩輛汽車分別從甲、乙兩市同時(shí)出發(fā)，相向而行， 1小時(shí) 20分后，在第二段從甲到乙方向的 1/3處相遇。那么，甲、乙兩市相距多少千米？ 解：從乙市出發(fā)車走完第三段時(shí)，從甲市出發(fā)車走完第一段的 1/2*40/50=2/5 路程，第一段還 剩 3/5。 兩車在第二段距離甲 1/3 地方相遇，說明甲走完第一段剩下的 3/5 路程，和乙走第二段 1/3 路程時(shí)間相同。 這段時(shí)間是 80/（ 2/3+1+1） =30（分鐘） 汽車走第一段時(shí)間是 30*（ 2/3+1） =50（分鐘） 汽車走第二段時(shí)間是 30*3=90（分鐘） 汽車走第三段時(shí)間是 30*（ 2/3） =20（分鐘） 甲、乙兩市相距 40*50/60+90*90/60+50*20/60=185（千米） 答：甲、乙兩市相距 185 千米。 10.甲、乙兩人在 400米圓形跑道上進(jìn)行 10000米比賽。兩人從起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，開始時(shí) 甲的速度為每秒 8米，乙的速度為每秒 6米。當(dāng)甲每次追上乙后，甲的速度減少 2米，乙的速度減少 0.5 米。這樣下去，直到甲發(fā)現(xiàn)乙第一次追上自己開始，兩人都把速度每秒增加 0.5 米，直到終點(diǎn)。那么領(lǐng)先者到達(dá)終點(diǎn)是，另一個(gè)人距終點(diǎn)多少米？ 解：甲第一次追上乙時(shí)跑的時(shí)間是 400/（ 8-6） =200（秒），甲跑 8*200=1600（米），乙跑 6*200=1200（米） 甲第二次追上乙時(shí)又跑的時(shí)間是 400/（ 6-5.5） =800（秒），甲又跑 6*800=4800（米），乙又跑 5.5*800=4400（米） 乙追上甲跑的時(shí)間是 400/（ 5-4） =400（秒），甲又跑 4*400=1600（米），乙又跑 5*400=2000（米） 甲還剩 10000-（ 1600+4800+1600） =2000（米），乙還剩 10000-（ 1200+4400+2000） =2400（米） 甲到終點(diǎn)還要跑 2000/4.5=444（ 4/9）（秒），乙還要跑 2400/5.5=436（ 4/11）（秒） 乙比甲先到 444（ 4/9） -436（ 4/11） =8（ 8/99）（秒） 乙到終點(diǎn)時(shí)甲距終點(diǎn)還有 4.5*8（ 8/99） =36（ 4/11）（米） 答：領(lǐng)先者到達(dá)終點(diǎn)是，另一個(gè) 人距終點(diǎn) 36（ 4/11）米。 11龜兔賽跑，全程 5.2千米，兔子每小時(shí)跑 20千米，烏龜每小時(shí)跑 3千米。烏龜不停地跑；但兔子卻邊跑邊玩它先跑了 1分鐘然后玩 15分鐘，又跑了 2分鐘然后玩 15分鐘，再跑了 3 分鐘然后玩 15分鐘，那么先到達(dá)終點(diǎn)的比后到達(dá)終點(diǎn)的快多少分鐘？ 解：兔子應(yīng)跑的時(shí)間是 5.2/20*60=15.6（分）， 1+2+3+4+5=15，兔子中間休息了 5 次，跑到終點(diǎn)實(shí)際用了15.6+15*5=90.6（分） 烏龜跑到終點(diǎn)用的時(shí)間是 5.2/3*60=104（分） 兔子先到 104-90.6=13.4（分） 答：先到達(dá)終點(diǎn)的比后到達(dá)終點(diǎn)的快 13.4 分鐘。 12 A， B 兩地相距 125 千米，甲、乙二人騎自行車分別從 A， B 兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。丙騎摩托車以每小時(shí) 63 千米的速度，與甲同時(shí)從 A 出發(fā)，在甲、乙二人間來回穿梭（胍蟻嚶雋捶禱兀?千米，且當(dāng)丙第二次回到甲處時(shí)（甲、丙同時(shí)出發(fā)的那一次為丙第零次回到甲處），甲、乙二人相距 45 千米。問：當(dāng)甲、乙二人相距 20 千米時(shí)，甲與丙相距多少千米？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解：設(shè)甲丙第一次相遇時(shí)甲走了 X，那么丙走了 63/9=7X， 7X 分為 2 段：甲走過的 X，丙又向前走再回到X 處共（ 7-1） =6X，所以丙比甲向前走了 6X/2=3X 的距離，在 4X 處與乙第一 次相遇。 設(shè)乙速度是甲速度的 V 倍，那么甲丙第一次相遇時(shí)乙走了 VX， VX 分為 2 段：丙走 4X 時(shí)與乙第一次相遇，乙走 4/7VX；丙返回與甲第一次相遇，乙又走了 3/7VX。 乙丙第一次相遇共走全程 S（就是 AB 的距離）， 4X+4/7*VX=S，得 X=7/（ 28+4V） S 假設(shè)甲丙第一次相遇時(shí)，甲乙的距離是 M， 3X-3/7VX=M， 得 3*7/（ 28+4V） S-3/7V*7/（ 28+4V） S=M 所以 M=（ 21-3V） /（ 28+4V） S，說明甲丙第一次相遇時(shí)，甲乙的距離是他們原來距離 S 的（ 21-3V） /（ 28+4V）倍 甲丙從距離 A 點(diǎn) X 處繼續(xù)向 B 走，乙從距離 B 點(diǎn) VX 處繼續(xù)向 A 走，也就是甲乙相距 M，過程和上面類似，甲丙第二次相遇時(shí)，甲乙的距離 N=（ 21-3V） /（ 28+4V） M=（ 21-3V） /（ 28+4V） *（ 21-3V） /（ 28+4V）S 題中給出 N=45， S=125，所以 45=（ 21-3V） /（ 28+4V） *（ 21-3V） /（ 28+4V） *125 得 9/25=（ 21-3V） /（ 28+4V） *（ 21-3V） /（ 28+4V） （ 21-3V） /（ 28+4V） =3/5，解得 V=7/9 所以乙的速度是 V*9=7 甲丙第三次相遇 時(shí)甲乙距離是 45*3/5=27，從這時(shí)到甲乙距離是 20 千米，還要走（ 27-20） /（ 9+7） =7/16小時(shí) 從甲丙第三次相遇到乙丙再次相遇需要時(shí)間 =27/（ 63+7） =27/70 小時(shí) 20 千米，丙還得往回走一點(diǎn)，需要時(shí)間是（ 729/35-20） /（ 9+7）小時(shí) 所以，當(dāng)甲乙距離是 20 千米時(shí)，甲丙的距離是甲丙第三次相遇時(shí)甲乙的距離減去這段時(shí)間里甲丙又走的距離： 729/35-（ 729/35-20） /（ 9+7） *（ 9+63） =171/10=17.1（千米） 答：甲與丙相距 17.1 千米。 13一輛小汽車與一輛大卡車在一段 9千米長的狹路上相遇，必須倒車，才能繼續(xù)通行。已知小汽車的速度是大卡車速度的 3 倍，兩車倒車的速度是各自速度的 1/5，小汽車需倒車的路程是大卡車需倒車的路程的 4 倍。如果小汽車的速度是每小時(shí) 50 千米，那么要通過這段狹路最少用多少小時(shí)？ 解：小汽車倒車通過狹路時(shí)間（ 9*4/5） /（ 50/5） +9/50=9/10（小時(shí)） 大卡車倒車通過狹路時(shí)間（ 9*1/5） /（ 50*1/3*1/5） +9/（ 50/3） =54/50（小時(shí)） 9/1054/50 答：要通過這段狹路最少用 9/10 小時(shí)。 14在一個(gè)沙漠地帶，汽車每天行駛 200 千米，每輛汽車載運(yùn)可行駛 24 天的汽油?，F(xiàn)有甲、乙兩輛汽車同時(shí)從某地出發(fā)，并在完成任務(wù)后，沿原路返回。為了讓甲車盡可能開出更遠(yuǎn)的距離，乙車在行駛一段路程后，僅留下自己返回出發(fā)地的汽油，將其他的油給甲車。求甲車所能開行的最遠(yuǎn)距離。 解：甲在乙折返點(diǎn)最多裝滿 24 天的油，乙的油相當(dāng)于用于自己往返和甲到折返點(diǎn)，所以折返點(diǎn)距起點(diǎn)的路程是 24/（ 2+1） =8（天）。 甲在乙折返點(diǎn)裝滿 24 天的油，繼續(xù)前進(jìn)還可以走（ 24-8） /2=8（天），甲最多行 8+8=16（天）的路程，距離是 200*16=3200（千米） 答：甲車所能開行的最遠(yuǎn)距離是 3200 千米。 15甲、乙兩班學(xué)生到離校 24 千米的飛機(jī)場參觀，但只有一輛汽車，一次只能乘坐一個(gè)班的學(xué)生。為了盡快到達(dá)飛機(jī)場，兩個(gè)班商定，由甲班先坐車，乙班步行，同時(shí)出發(fā)，甲班學(xué)生在途中某地下車后步行去飛機(jī)場，汽車則從某地立即返回接在途中步行的乙班學(xué)生。如果甲、乙兩班學(xué)生步行速度相同，汽車速度是他們步行速度的 7倍，那么汽車應(yīng)在距飛機(jī)場多少千米處返回接乙班學(xué)生，才能使兩班同時(shí)到達(dá)飛機(jī)場？ 解：甲班坐車路程 +AB=7*乙步， AB=（ 7-1） /2=3 倍乙步， AB=3 倍甲步 24/（ 3+1+1） =4.8（千米） 答：汽車應(yīng)在距飛機(jī)場 4.8 千米處返回接乙班學(xué)生，才能使兩班同時(shí)到達(dá)飛機(jī)場。 討論區(qū)： 此主題相關(guān)圖片如下： 5-12-07.某人沿電車線路行走，每 12分鐘有一輛電車從后面追上，每 4分鐘有一輛電車迎面開來。假設(shè)兩個(gè)起點(diǎn)站的發(fā)車間隔是相同的，求這個(gè)發(fā)車間隔。 另一解法： 相同間隔，速度和行 4分鐘，速度差行 12 分鐘， 12/4=3 倍，即從后面超過所行的路是迎面相遇所行路成的 3 倍，而從后面超過所行的路又是一個(gè)整間隔加上行人 12 分鐘所走的路，因此，電車 12-4=8 分鐘的行程等于行人 12+4=16 分鐘所走的路，即電車速度是行人速度的 16/8=2 倍； 所以，電車間隔 =4/2/（ 2+1） =6 分鐘。 以下是引用 abc 在 2004-10-7 13:54:23 的發(fā)言： 5-12-08.A， B 兩地相距 105千米，甲、乙兩人分別騎車從 A， B兩地同時(shí)出發(fā)，甲速度為每小時(shí) 40千米，出發(fā)后 1 小時(shí) 45 分鐘相遇，然后甲、乙兩人繼續(xù)沿各自方向往前騎。在他們 相遇 3 分鐘后，甲與迎面騎車而來的丙相遇，而丙在 C 地追上乙。若甲以每小時(shí) 20千米的速度，乙以每小時(shí)比原速快 2千米的車速，兩人同時(shí)分別從 A， B 出發(fā)相向而行，則甲、乙二人在 C 點(diǎn)相遇，問丙的車速是多少？ 解：乙原來車速是每小時(shí) 105/1（ 45/60） -40=20（千米） 乙加速后與甲在 C 相遇， CA 距離是 20*105/（ 20+22） =50（千米） 乙原來速度到 C 點(diǎn)時(shí)間是（ 105-50） /20=11/4（小時(shí)） 甲、乙原來相遇地點(diǎn)與 C 點(diǎn)的距離是 40*1（ 48/60） -50=22（千米） 丙走這 22 千米用的時(shí)間是 11/4-1（ 48/60） =19/20（小時(shí)） 丙車速是每小時(shí) 22/（ 19/20） =23（ 3/19）（千米） 答：丙的車速是每小時(shí) 23（ 3/19）千米。 補(bǔ)充一個(gè)圖形： 此主題相關(guān)圖片如下： 以下是引用 abc 在 2004-10-7 13:58:34 的發(fā)言： 5-12-13一輛小汽車與一輛大卡車在一段 9千米長的狹路上相遇，必須倒車，才能繼續(xù)通行。已知小汽車的速度是大卡車速度的 3 倍，兩車倒車的速度是各自速度的 1/5，小汽車需倒車的路程是大卡車需倒車的路程的 4 倍。如果小汽車的速度是每小時(shí) 50 千米，那么要通過這段狹路最少用多少小時(shí)？ 解：小汽車倒車通過狹路時(shí)間（ 9*4/5） /（ 50/5） +9/50=9/10（小時(shí)） 大卡車倒車通過狹路時(shí) 間（ 9*1/5） /（ 50*1/3*1/5） +9/（ 50/3） =54/50（小時(shí)） 9/108*100，兩團(tuán)總?cè)藬?shù) 100，總?cè)藬?shù) =864/8=108（人）； 108*10=10801142，所以 1 個(gè)團(tuán)人數(shù)大于 50， 1 個(gè)團(tuán)人數(shù)小于 50。 若每個(gè)團(tuán)都多與 50 人，分別買票花錢 108*10=1080，實(shí)際多 1142-1080=62（元），是小于 50 團(tuán)多花的，小團(tuán)人數(shù)是 62/（ 12-10） =31（人），大團(tuán)人數(shù)是 108-31=77（人） 答：兩個(gè)旅游團(tuán)分別是 31 人和 77 人。 少 14 題 15.某游客在 10 時(shí) 15 分由碼頭劃出一條小船，他欲在不遲于 13 時(shí)回到碼頭。河水的流速為每小時(shí) 1.4 千米，小船在靜水中的速度為每小時(shí) 3千米，他每劃 30分鐘就休息 15分鐘，中余不改變方向，并在某次休息后往回劃。那么他最多能劃離碼頭多遠(yuǎn)？ 解：劃 30 分鐘休 15 分鐘共 45 分鐘， 13 點(diǎn) -10 點(diǎn) 15 分 =165 分鐘 =30*4+15*3 分鐘，可劃 4 次休 3 次 順流 1 次 30 分鐘劃（ 3+1.4） 30/60=2.2 千米，逆流 1 次 30 分鐘劃（ 3-1.4） 30/60=0.8 千米，休息 1 次 15分鐘船漂走 1.4*15/60=0.35 千米。 假如先順流， 45 分鐘后在離碼頭 2.2+0.35=2.55 千米處，往回，可行 0.8*3-0.35*2=1.7 千米， 13 點(diǎn)回不來，所以他應(yīng)該先逆流劃。 逆流劃 3 輪可以離碼頭最遠(yuǎn)，距離是 0.8*3-0.35*2=1.7 千米，剩下的時(shí)間連漂帶劃可以行 2.2*1+0.35*1=2.55 千米，大于 1.7 千米， 13 點(diǎn)前可以回到碼頭。 答：他最遠(yuǎn)能劃離碼頭 1.7 千米。 第 16 講 幾何問題第 07 講 直線 形面積（ 62） 1、圖 16-1中三角形 ABC 的面積是 180平方厘米， D是 BC的中點(diǎn)， AD 的長是 AE 長的 3倍， EF 的長是 BF長的 3 倍。那么三角形 AEF 的面積是多少平方厘米？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解：三角形 ABD 和 ACD 等底同高面積相等， S ABD=1/2S ABC 三角形 ABE 是 ABD 底長的 1/3，高相同， S ABE=1/3 S ABD=1/6 S ABC 三角形 AEF 是 ABE 底長的 3/4，高相同， S AEF=3/4 S ABE=3/24 S ABC=3/24*180=22.5（平方厘米） 答：三角形 AEF 的面積是 22.5 平方厘米。 2、如圖 16-2，把四邊形 ABCD 的各邊都延長 2倍，得到一個(gè)新四 邊形 EFGH。如果 ABCD 的面積是 5平方厘米，則 EFGH 的面積是多少平方厘米？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解：連接 AF， AC。 AE=2AB，所以三角形 AEF 面積 =2*三角形 ABF 面積， BF=2*BC，所以三角形 ABF面積 =2*三角形 ABC 面積，這樣三角形 BEF 面積 =6*三角形 ABC 面積 同樣道理，三角形 DGH 面積 =6*三角形 ACD 面積 所以三角形 BEF 面積 +三角形 DGH 面積 =6*四邊形 ABCD 面積 同樣道理，三角形 AEH 面積 +三角形 CFG 面積 =6*四邊形 ABCD 面積 所以， EFGH 面積 =（ 6+6+1） ABCD 面積 =13*5=65（平方厘米） 答： EFGH 的面積是 65 平方厘米。 3、圖 16-3中的四邊形土地的總面積是 52公頃 ，兩條對(duì)角線把它分成了 4個(gè)小三角形，其中 2個(gè)小三角形的面積分別是 6 公頃和 7 公頃。那么最大的一個(gè)三角形的面積是多少公頃？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解：因?yàn)槿切?ADO 與三角形 CDO 高相同，所以 AO/OC=ADO 面積 /CDO 面積 =6/7。 又因?yàn)槿切?ABO 與三角形 BCO 高相同，所以 ABO 面積 /BCO 面積 =AO/OC=6/7。最大的三角形是 BCO。三角形 ABC 面積 =四邊形 ABCD 面積 -三角形 ADO 面積 -三角形 CDO 面積 =52-6-7=39，其中 ABO 占 6/13，BCO 占 7/13，所以三角形 BCO 面積 =39*7/13=21（公頃） 答：最大的一個(gè)三角形的面積是 21 公頃。 4、如圖 16-4，已知 AE=1/5AC， CD=1/4BC， BF=1/6AB，那么三角形 DEF 的面積 /三角形 ABC 的面積等于多少？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解：連 AD，因?yàn)?CD=1/4AC，三角形 ACD 面積 /三角形 ABC 面積 =1/4，因?yàn)?AE=1/5AC，三角形 CDE 面積 /三角形 ACD 面積 =4/5，所以三角形 CDE 面積 =1/5*三角形 ABC 面積 連 BE，三角形 ABE 面積 /三角形 ABC 面積 =1/5，三角形 AEF 面積 /三角形 ABE 面積 =5/6，三角形 AEF 面積 =1/6*三角形 ABC 面積 連 CF，三角形 BCF 面積 /三角形 ABC 面積 =1/6，三角形 BDF 面積 /三角形 BCF 面積 =3/4，三角形 BDF 面積 =1/8*三角形 ABC 面積 所以三角形 DEF 面積 /三角形 ABC 面積 =（ 1-1/5-1/6-1/8） /1=61/120 答：角形 DEF的面積 /三角形 ABC 的面積等于 61/120。 5、如圖 16-5，長方形 ABCD 的面積是 2 平方厘米， EC=2DE， F是 DG的中點(diǎn)。陰影部分的面積是多少平方厘米？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解：連接 FC。三角形 BCD 面積 =1/2*長方形 ABCD 面積 =1/2*2=1 EC=2DE，三角形 BDE 面積 =1/3*BCD=1/3*1=1/3，三角形 BCE 面積 =2/3 F 是中點(diǎn)， BFG=BDF， CFG=CDF，三角形 BCF 面積 =四邊形 BFCD 面積 =1/2*BCD=1/2*1=1/2 三角形 CEF 面積 =BFCD-BDE=1/2-1/3=1/6， DEF=1/2*CEF=1/2*1/6=1/12 三角形 BFG 面積 =三角形 BDE 面積 -三角形 DEF 面積 =1/3-1/12=1/4 跤安糠置婊 ?三角形 BCD 面積 -三角形 BDE 面積 -三角形 BFG 面積 =1-1/3-1/4=5/12（平方厘米） 答：陰影部分面積是 5/12 平方厘米。 6、如圖 16-6，已知 D 是 BC 中點(diǎn)， E是 CD 的中點(diǎn)， F 是 AC 的中點(diǎn)。三角形 ABC 由 這 6部分組成，其中比多 6 平方厘米。那么三角形 ABC 的面積是多少平方厘米？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解：設(shè)三角形 ABC 面積是 S，因?yàn)?D 是 BC 的中點(diǎn)，所以 =1/2S 又因?yàn)?F 是 AC 的中點(diǎn)，所以 + = =1/2 =1/4S 又因?yàn)?E 是 DC 的中點(diǎn)，所以 = + = + =1/2*1/4S=1/8S （ +） -（ + ） = - =1/4S-1/8S=1/8S 比多 6 平方厘米，所以 1/8S=6， S=6*8=48（平方厘米） 答：三角形 ABC 的面積是 48平方厘米。 7、圖 16-7是一個(gè)各條邊分別為 5厘米、 12厘米、 13厘米的直角三角形。如圖 16-8，將它的短直角邊對(duì)折到斜邊上去與斜邊相重合，那么圖 16-8 中的陰影部分（即未被蓋住的部分）的面積是多少平方厘米？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解：給三角形各個(gè)點(diǎn)標(biāo)上字母，如圖。三角形 ABC 的面積 =1/2*12*5=30（平方厘米） 三角形 BCD 與三角形 ECD 相同， CE=CB=5，所以 AE=AC-EC=13-5=8 三角形 DEA 與三角形 DEC 等高，所以三角形面積的比是 DEA/DEC=8/5 三 角形 DEA 的面積 =三角形 ABC 面積 *8/（ 8+5+5） =30*4/9=40/3=13（ 1/3）（平方厘米） 答：圖 16-8中的陰影部分（即未被蓋住的部分）的面積是 13（ 1/3）平方厘米。 8、如圖 16-9，在一個(gè)梯形內(nèi)有兩個(gè)三角形的面積分別為 10與 12，已知梯形的上底長是下底長的 2/3。那么余下陰影部分的面積是多少？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解：設(shè)梯形的上底為 2X，則下底為 3X，高為 2*10/2X+2*12/3X=18/X，面積是（ 2X+3X） *18/X/2=45，陰影部分面積是 45-10-12=23 答：陰影部分的面積是 23。 9、圖 16-10中 ABCD 是梯形，三角形 ADE面積是 1.8，三角形 ABF 的面積是 9，三角形 BCF 的 面積是 27。那么陰影部分面積是多少？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解：三角形 BAF 與 BCF 等高，所以 AF/FC=9/27=1/3 三角形 EAF 與 ECF 等高，所以面積比 EAF/ECF=AF/FC=1/3 三角形面積比： DEA/DEC=（ DFA-EFA） /（ DFC-EFC） =（ DFA-EFA） /（ 3*DFA-3*EFC） =1/3 又因?yàn)槿切?ADE 面積是 1.8，所以三角形 DEC 面積是 3*1.8=5.4 ABCD 是梯形，三角形 ABC 與 DBC 同底等高，所以三角形 ABC 面積 =三角形 DBC 面積 三角形 DFC=DBC-FBC=ABC-FBC=（ ABF+FBC） -FBC=ABF=9 三角形 EFC 面積 =DBC-DEC=9-5.4=3.6， EAF=1/3EFC=1/3*3.6=1.2 陰影部分面積 =EFA+EFC=1.2+3.6=4.8 答：陰影部分面積是 4.8。 10、如圖 16-11，梯形 ABCD 的上底 AD 長為 3 厘米，下底 BC 長為 9厘米，而三角形 ABO 的面積為 12平方厘米。則梯形 ABCD 的面積為多少平方厘米？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解：過 O 點(diǎn)作梯形的高 EF，則 EO 是三角形 ADO 的高， OF 是三角形 BCO 的高。 三角形 ABD 面積 -三角形 ADO 面積 =12，所以 1/2*AD*EF-1/2*AD*EO=12 得： 1/2*AD*（ EF-EO） =12， EF-EO=12*2/AD=12*2/3=8，即： OF=8 三角形 ABC 面積 -三角形 BCO 面積 =12，所以 1/2*BC*EF-1/2*BC*OF=12 得： 1/2*BC*（ EF-OF） =12， EF-OF=12*2/BC=12*2/9=8/3，即： EO=8/3 EF=EO+OF=3/8+8=32/3 梯形 ABCD 的面積 =（ 3+9） *32/3/2=64（平方厘米） 答：梯形 ABCD 的面積為 64 平方厘米。 11、如圖 16-12， BD， CF 將長方形 ABCD 分成 4塊，紅色三角形面積是 4平方厘米，黃色三角形面積是6 平方厘米。問：綠色四邊形面積是多少平方厘米？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解：連 BF，三角形 BDF 面積 =三角形 CDF 面積，則 BEF=CDE=6 CDE/BCE=BE/DE=BEF/DEF=6/4，所以 BCE=6*CDE/4=6*6/4=9 BCD=BCE+CDE=9+6=15， ABD=BCD=15 ABEF=ABD-DEF=15-4=11 答：四邊形 ABEF 面積是 11 平方厘米。 12、如圖 16-13，平行四邊形 ABCD 周長為 75厘米，以 BC 為底時(shí)高是 14厘米；以 CD為底時(shí)高是 16厘米。求平行四邊形 ABCD 的面積。 此主題相關(guān)圖片如下： 解： BC*14=CD*16， BC/CD=16/14， BC+CD=75/2， BC=75/2*16/（ 16+14） =20 ABCD 面積 =14*20=280（平方厘米） 答：平行四邊行 ABCD 的面積是 280 平方厘米。 13、如圖 16-14，一個(gè)正方形被分成 4個(gè)小長方形，它們的面積分別是 1/10 平方米、 1/5平方米、 3/10平方米和 2/5 平方米。已知圖中的陰影部分是正方形，那么它的面積是多少平方米？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解：大正方形面積是 1/10+1/5+3/10+2/5=1 小正方形面積：左下 /右下 =1/2，面積是 1/5 的小正方形的長是 1*2/（ 1+2） =2/3 左上 /右上 =3/4，面積是 3/10 的小正方形的寬是 1*3/（ 3+4） =3/7 陰影小正方形的邊長是 2/3-3/7=5/21，面積是 5/21*5/21=25/441 答：圖中陰影部分小正方形的面積是 25/441 平方米。 14、圖 16-15 中外側(cè)的四邊形是一邊長為 10 厘米的正方形，求陰影部分的面積。 此主題相關(guān)圖片如下： 解：從四邊形的 4 個(gè)頂點(diǎn)向?qū)χ恼叫蔚倪叜嫶咕€，可以看出，陰影部分的面積比正方形陰影以外的面積多出一個(gè)小正方形，面積是 2*3=6，所以 陰影部分面積 =（ 100+6） /2=53（平方厘米） 答：陰影 部分的面積是 53 平方厘米。 15、如圖 16-16，長方形被其內(nèi)的一些直線劃分成了若干塊，已知邊上有 3 塊面積分別是 13， 35， 49。那么圖中陰影部分的面積是多少？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解：給各個(gè)點(diǎn)標(biāo)上字母，如圖。三角形 EBC 面積 =三角形 FCD 面積 EBC=1/2ABCD=ABE+EDC=（ 49+13+FGI） +（ 35+HDC） =97+FGI+HDC 陰影部分 GCHI 面積 =EBC-（ EIH+GBC） =EBC-（ FGI+HCD） =（ 97+FGI+HDC） -（ FGI+HCD） =97 答：圖中陰影部分的面積是 97。 第 17 講 幾何問題第 08 講 圓與扇形（ 67） 1、如圖 17-1，有 8 個(gè)半徑為 1 厘米的小圓，用它們的圓周的一部分連成一個(gè)花瓣圖形，圖中的黑點(diǎn)是這些圓的圓心。如果圓周率取 3.1416，那么花瓣圖形的面積是多少平方厘米？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解： 4 個(gè)角上圓心組成正方形，邊長是 4，每一個(gè)角上的花瓣面積為 3/4 圓，正方形中每一個(gè)凹去部分 1/2圓，即共多 4*（ 3/4-1/2） =1 個(gè)圓的面積。 大花瓣面積 =4*4+3.1416*1*1=19.1416（平方厘米） 答：花瓣圖形的面積是 19.1416 平方厘米。 2、如圖 17-2，一套絞盤和一組滑輪形成一個(gè)提升機(jī)構(gòu)，其中盤 A直徑為 10 厘米，盤 B直徑為 40厘米，盤 C 直徑為 20 厘米。問： A順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，重物上升多少厘米？（取 3.14） 此主題相關(guān)圖片如下 ： 解： A 盤順時(shí)針轉(zhuǎn) 1 圈， B 盤和 C 盤同時(shí)轉(zhuǎn) 1/2 圈， B 盤轉(zhuǎn) 1/2 圈拉重物上來的距離等于 B 盤（ 1/2） /2=1/4 圈，所以重物上升 1/4*40*3.14=31.4（厘米） 答：重物上升 31.4 厘米。 3、圖 17-3為一卷緊繞成的牛皮紙，紙卷直徑為 20 厘米，中間有一直徑為 6厘米的卷軸。已知紙的厚度為 0.4毫米，問：這卷紙展開后大約有多長？（取 3.14） 此主題相關(guān)圖片如下： 解：紙卷側(cè)邊面積 = *（ 10*10-3*3） =91*，展開后面積不變，長 *0.04=91* 所以，當(dāng)取 3.14 時(shí)，長 =91* /0.04=7143.5（厘米） 答：這卷紙展開后大約有 7143.5 厘米長。 4、如圖 17-4，大小兩圓的相交部分（即陰影區(qū)域）的面積是大圓面積的 4/15，是小圓面積的 3/5。如果量得小圓的半徑是 5 厘米，那么大圓半徑是多少厘米？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解：大圓面積：小圓面積 =（ 3/5）：（ 4/15） =9： 4=3*3： 2*2， 大圓半徑：小元半徑 =3： 2， 所以，大圓半徑為 5*3/2=7.5（厘米） 答：大圓半徑是 7.5 厘米。 5、如圖 17-5，在 18 8的方格紙上，畫有 1， 9， 9， 8四個(gè)數(shù)字。那么，圖中的陰影面積占整個(gè)方格紙面積的幾分這幾？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解： 1 占 8 格， 9 占 21 格， 8 占 24 格，陰影面積占方格總面積的（ 8+2*21+24） /（ 18*8） =74/144=37/72 答：陰影面積占整個(gè)方格紙面積的 37/72。 6、如圖 17-6，用一塊面積為 36 平方厘米的圓形鋁板下料，從中裁出了 7個(gè)同樣大小的圓鋁板。問：所余下的邊角料的總面積是多少平方厘米？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解：大圓直徑是小圓的 3 倍，半徑也是 3 倍，小圓面積 /大圓面積 = r2/ R2=（ 1/3） 2=1/9 小圓面積 =36*1/9=4， 7 個(gè)小圓總面積 =4*7=28，邊角料面積 =36-28=8（平方厘米） 答：所余下的邊角料的總面積是 8平方厘米。 7、如圖 17-7，已知大正方形的面積是 22 平方厘米，那么小正方形的面積是多少平方厘米？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解：設(shè)圓的半徑是 r，則圓的直徑和大正 方形的邊長都是 2r 小正方形的面積 =1/2*2r*r+1/2*2r*r=2r*r，大正方形的面積 =2r*2=4r*r 所以小正方形的面積 =1/2*大正方形的面積 =1/2*22=11（平方厘米） 答：小正方形的面積是 11 平方厘米。 8、如圖 17-8是一個(gè)直徑是 3 厘米的半圓， AB 是直徑，讓 A 點(diǎn)不動(dòng)，把整個(gè)半圓逆時(shí)針轉(zhuǎn) 60，此時(shí) B點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)，如圖 17-9所示。那么圖中陰影部分的面積是多少平方厘米？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解：陰影部分面積 =整個(gè)圖形面積 -半圓面積 =60大扇形面積 =1/6 大圓面積 =1/6* *32=1/6*2.14*9=4.71（平方厘米） 答：圖中陰影部分的積是 4.71 平方厘米。 9、如圖 17-10，四分之一大圓 的半徑為 7，求陰影部分的面積，其中圓周率取近似值 22/7。 此主題相關(guān)圖片如下： 解：兩個(gè)小圓直徑都是大圓半徑，陰影里的交點(diǎn)是兩個(gè)小 半圓周中點(diǎn)。連接大圓心和陰影中的交點(diǎn)，把兩小圓重合部分陰影面積平分成兩半，連接四分之一大圓周上的兩點(diǎn)，連線與兩個(gè)小圓邊上形成的兩個(gè)小面積就等于被平分的那塊陰影面積。所以陰影部分的總面積就是四分之一大圓面積減去大圓里等腰直角三角形的面積。 1/4*22/7*72-1/2*7*7=14（平方厘米） 答：圖中陰影部分的面積是 14 平方厘米。 此主題相關(guān)圖片如下： 10、如圖 17-11，等腰直角三角形的一腰的長是 8 厘米，以它的兩腰為直徑分別畫了兩個(gè)半圓，那么陰影部分的面積共有多少平方厘米？（取 3.14） 此主題相關(guān)圖片如下： 解：陰影部分面積 =圓面積 *2-正方形面積 =3.14*42-1/2*82=18.24（平方厘米） 答：陰影部分的面積共有 18.24 平方厘米。 此主題相關(guān)圖片如下： 11、圖 17-12中的 4 個(gè)圓的圓心是正方形的 4 個(gè)頂點(diǎn)，它們的公共點(diǎn)是該正方形的中心。如果每個(gè)圓的半徑都是 1 厘米，那么陰影部分的總面積是多少平方厘米？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解：把小正方形的中心點(diǎn)與每兩個(gè)圓的交點(diǎn)相連，得到 1 個(gè)“十字”，再以 4 個(gè)交點(diǎn)為中點(diǎn)向 4 個(gè)圓周連線，得到 1 個(gè)大正方形，這個(gè)大正方形被“十字”平分成 4 個(gè)小正方形 ，它們與原來的正方形大小都相同?？傻藐幱安糠挚偯娣e等于大正方形的面積。 大正方形的面積 =1/2*大正方形對(duì)角線 *大正方形對(duì)角線 =1/2*4*圓半徑 *4*圓半徑 =1/2*4*4=8（平方厘米） 答：陰影部分的總面積是 8 平方厘米。 12、如圖 17-13，以 AB 為直徑做半圓，三角形 ABC 是直角三角形，陰影部分比陰影部分的面積小 28 平方厘米， AB 長 40 厘米。求 BC 的長度。（取 3.14） 此主題相關(guān)圖片如下： 解：陰影部分比陰影部分的面積小 28 平方厘米，即半圓面積比三角形 ABC 的面積小 28 平方厘米，半圓面積 =1/2 *202=628 平方厘米， 三角形 ABC 的面積 =半圓面積 +8=628+28=656 平方厘米， 所以， BC=2*656/40=32.8（厘米） 答： BC 的長度是 32.8 厘米。 13、圖 17-14由一個(gè)長方形與兩個(gè) 90角的扇形構(gòu)成，其中陰影部分的面積是多少平方厘米？（取 3.14） 此主題相關(guān)圖片如下： 解：陰影部分面積 =1/4 大圓面積 -（長方形面積 -1/4 小圓面積） =1/4* *52-（ 5*2-1/4* *22） =25/4* -（ 10-） =29/4* -10=12.765（平方厘米） 答：陰影部分的面積是 12.765 平方厘米。 14、求圖 17-15 中四條豎直線與水平線之間添加標(biāo)示垂直的符號(hào)陰影部分的面積（取 3.14） 此主題相關(guān)圖片如下： 解：把圖的右半部分旋轉(zhuǎn)到左半部分的下方，形成半圓 陰影面積 =半圓面積 -小正方形面積 =1/2*3.14*102-10*10/2=107（平方厘米） 答：陰影部分的面積是 107 平方厘米。 此主題相關(guān)圖片如下： 15、平面上有 7個(gè)大小相同的圓，位置如圖 17-16所示。如果每個(gè)圓的面積都是 10，那么陰影部分的面積是多少？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解：陰影面積是一個(gè)圓面積加上 6 塊葉子形的面積， 6 塊葉子形的面積正好等于 1 個(gè)圓的面積，所以陰影總面積是 2 個(gè)圓的面積，即 2*10=20。 答：陰影部分面積是 20。 第 18 講 數(shù)列與數(shù)表問題第 04 講 數(shù)列與數(shù)表綜合（ 72） 1 有 7根竹竿排成一行。第一根竹竿長 1米，其余每根長都是前一根的一半。問：這 7根竹竿的總長 是幾米？ 1+1/2+1/4+1/8+ +1/64=2-1/64= 63164 2甲，乙兩廠生產(chǎn)同一種玩具，甲廠生產(chǎn)的玩具數(shù)量每個(gè)月保持不變，乙廠生產(chǎn)的玩具數(shù)量每個(gè)月增加一倍。已知一月份甲，乙兩廠生產(chǎn)玩具的總數(shù)是 98 件，二月份甲、 乙兩廠生產(chǎn)玩具的總數(shù)是 106 件，那么乙廠生產(chǎn)的玩具數(shù)量第一次超過甲廠生產(chǎn)的玩具數(shù)量在幾月份？ 乙一月份做了 106-98=8 件，甲每一個(gè)月都做 98-8=90 件。 當(dāng)在五月份的時(shí)候， 8*2*2*2*290 3在兩位數(shù) 10， 11， 98， 99中，把每個(gè)被 7除余 2的數(shù)，如 16， 23等，改成 1.6， 2.3而其余的數(shù)不變。問：經(jīng)過這樣的改變之后，所有數(shù)的和是多少？ 10+11+12+ +99-（ 16+23+ +93） *9/10=4316.4 4在 100 以內(nèi)于 77 互質(zhì)的所有奇數(shù)之和是多少？ 1+3+5+7+ +99=2500 77=7*11 7+21+ +91=343 11+33+55+77+99=275 2500-343-275+77=1959 5華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽，第一屆在 1986年舉行，第二屆在 1988 年舉行，第三屆在 1991年舉行，以后每二年舉行一屆。第一屆華杯賽所在年份的各位數(shù)字和是 A1=1+9+8+6=24 前二屆所在年份的各位數(shù)字和是 A2=1+9+8+6+1+9+8+8=50。問：前 50 屆華杯賽所在年份的各位數(shù)字和A50 等于多少？ 解：從第三屆開始，將 每五個(gè)年份分為一組，共分成 9 組，最后還剩下 3 個(gè)年份。在每組中，年份的數(shù)字和剛好組成等差數(shù)列。每一組的所有數(shù)字和則正好是中間的那個(gè)年份數(shù)字和的五倍。那么中間的那個(gè)年份依次為 1995， 2005， 2015， 2025， 2035， 2045， 2055， 2065， 2075， 其數(shù)字和依次為 24， 7， 8， 9， 10， 11， 12， 13， 14，因此所有組的數(shù)字總和為 （ 24+7+ +14） *5=540 。最后剩下 3 個(gè)年份為 2081， 2083， 2085 他們的數(shù)字和為 11+13+15=39 再加上 A2=50,有 A50=A2+540+39=629 6黑板上寫有從 1開始的若干個(gè)連續(xù)的奇數(shù)： 1， 3， 5， 7， 9， 11， 13。檫去其中一個(gè)奇數(shù)以后，剩下的所有奇數(shù)之和為 1998。那么，檫去的奇數(shù)是多少？ 1+3+5+7+ +89=2025 2025-1998=27 7某車間原有工人不少于 63人，在 1月底前的某一天調(diào)進(jìn)若干工人，以后，每天都增調(diào) 1人進(jìn)車間工作?，F(xiàn)知該車間 1月份每人每天生產(chǎn)一件產(chǎn)品，共生產(chǎn) 1994件。試問： 1月幾日開始調(diào)進(jìn)工人？共調(diào)進(jìn)了多少工人？ 解：由于 65*311994，故車間原有人數(shù)不多于 64，不 少于 63?，F(xiàn)分情況討論： 若車間原有工人 63 人，則調(diào)入工人共生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為 1994-63*31=41 件。調(diào)入工人每天生產(chǎn)的產(chǎn)品恰好構(gòu)成一個(gè)公差為 1 的等差數(shù)列。由等差數(shù)列求和公式（ a1+an） *n/2=41 知，項(xiàng)數(shù)應(yīng)該是 41*2 的約數(shù)，故應(yīng)取 n=2，此時(shí) a1=20， a2=21，即從 1 月 30 日開始調(diào)入工人，共調(diào)入 21 人。 若車間原有工人 64 人，則調(diào)入工人共生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)為 1994-64*31=10 件。同樣由等差數(shù)列求和公式（ a1+an） *n/2=10，知 n 是 20 的約數(shù)。當(dāng) n=2 是， a1+a2=10， a2=a1+1，此時(shí)不是整數(shù)當(dāng) n=4 時(shí)， a1+a4=5， a4=a1+3，于是有 a1=1， a4=4， n 為其他值時(shí)無解。所以是從 1 月 28 日開始調(diào)入工人，一共調(diào)入了 4 名工人。 8 100 這個(gè)數(shù)能寫成多少個(gè)不同自然數(shù)之和？ 100=1+2+3+4+ +12+20 共 13 個(gè) 9 70 個(gè)數(shù)排成一行，除了兩頭的兩個(gè)以外，每個(gè)數(shù)的 3 倍都恰好等于它兩邊兩個(gè)數(shù)的和。這一行最左邊的幾個(gè)數(shù)是這樣的： 0， 1， 3， 8， 21，。問最右邊的一個(gè)數(shù)被 6 除余幾 找規(guī)律：它們的余數(shù)分別是 0， 1， 3， 2， 3， 1， 0， 5， 3， 4， 3， 5， 0， 1， 3 0， 1， 3， 2， 3， 1， 0， 5， 3， 4， 3， 5 這 12 個(gè)數(shù)為一個(gè)周期 70/12=5 10 余數(shù)是 4 10一串?dāng)?shù)排成一行，它們的規(guī)律是這樣的：頭兩個(gè)數(shù)都是 1，從第三個(gè)數(shù)開始，每一個(gè)數(shù)都是前兩個(gè)數(shù)的和，也就是： 1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55，。問：這串?dāng)?shù)的前 100 個(gè)數(shù)有多少個(gè)偶數(shù)？ 2 奇 1 偶， 100/3=33 1 最后一個(gè)是奇數(shù) 33*1=33 個(gè) 11有一串?dāng)?shù)如下： 1， 2， 4， 7， 11， 16，。它的規(guī)律是：由 1開始，加 1，加 2，加 3，依次 逐個(gè)產(chǎn)生這串?dāng)?shù)，直到第 50 個(gè)數(shù)為止。那么在這 50 個(gè)數(shù)中，被 3 除余 1 的數(shù)有多少個(gè)？ 找規(guī)律：余數(shù)依次是 1， 2， 1， 1， 2， 1， 1， 2， 1 ?/P1， 2， 1 一個(gè)循環(huán)， 50/3=16 2 16*2+1=33 個(gè) 12已知一串有規(guī)律的數(shù)： 1?/3， 5/8， 13/21， 34/55，那么，在這串?dāng)?shù)中，從左往右數(shù)，第 10個(gè)數(shù)是多少？ 規(guī)律是這樣的：先寫出 1， 1， 2， 3， 5， 8， 13， 21， 34， 55， 89， 144， 233， 377， 610， 987， 1597， 2584， 4181， 6765 此數(shù)為 4181/6765 13觀察下面的數(shù)表 1/1 2/1； 1/2 3/1； 2/2； 1/3 4/1； 3/2； 2/3； 1/4； 5/1； 4/2； 3/3； 2/4； 1/5。 根據(jù)前五行所表達(dá)的規(guī)律，說明： 1991/1949 這個(gè)數(shù)位于由上而下的第幾行？在這一行中，它位于由左向右的第幾個(gè)？ 解：計(jì)算每一行其中一個(gè)數(shù)分子與分母之和， 1+1=2 2+1=3 3+1=4 1991+1949=3940 位于 3940-1=3939 行。每一行中分母從為 1 開始，所以應(yīng)該在 1949 列 。 14今要在一個(gè)圓周上標(biāo)出一些數(shù)，第一次先把圓周二等份，在兩個(gè)分點(diǎn)旁分別標(biāo)上 1/2 和1/3，如圖 18-1 所示。第二次把兩段半圓弧二等分，在分點(diǎn)旁標(biāo)上相鄰兩分點(diǎn)旁所標(biāo)兩數(shù)的和 5/6=1/2+1/3，如圖 18-2 所示。第三次把 4 段圓弧二等分，并在 4 個(gè)分點(diǎn)旁標(biāo)上相鄰兩等分點(diǎn)旁所標(biāo)兩數(shù)的和 1 又 1/3=1/2+5/6， 1 又 1/6=1/3+5/6，如圖 18-3 所示。如此繼續(xù)下去，當(dāng)?shù)诎舜螛?biāo)完數(shù)以后，圓周上所有已標(biāo)數(shù)的總和是多少？ 此主題相關(guān)圖片如下： 第一個(gè)和是 5/6 第二個(gè)是 3*5/6 第三個(gè)是 9*5/6 3（ n-1） *5/6 3(8-1)*5/6=1822 又 1/2 15設(shè) 1， 3， 9， 27， 81， 243 是 6 個(gè) 給定的數(shù)，從這 6 個(gè)數(shù)中每次或者取一個(gè)，或者取幾個(gè)不同的數(shù)求和（每個(gè)數(shù)只能取一次），可以得到一個(gè)新數(shù)，這樣共得到 63個(gè)新數(shù)，如果把它們從小到答依次排列起來是 1， 3， 4， 9， 10， 12，那么，其中的第 60 個(gè)數(shù)是多少？ 解：一共有 63 個(gè)，要算第 60 個(gè)，只能反推。最大的是 1+3+9+27+81+243=364，第 62 個(gè)是 364-1=363 第 61 個(gè)是 364-3=361 第 60 個(gè)是 364-（ 1+3） =360 第 19 講 數(shù)字謎問題第 11 講 數(shù)字謎綜合之二（ 77） 1、試將 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7 分別填入下面的方框中，每個(gè)數(shù)字只用一次： （這是一個(gè)三位數(shù)），（這是一個(gè)三位數(shù)），（這是一個(gè)一位數(shù)），使得這三個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì)。已知其中一個(gè)三位數(shù)已填好，它是 714，求其他兩個(gè)數(shù)。 解： 714=2 3 7 17， 2， 3， 5， 6 中只有 5 與 714 互質(zhì)，所以一位數(shù)是 5。 剩下的 2， 3， 6 組成另一個(gè)三位數(shù)，由于與 714 互質(zhì)，它不能是偶數(shù)，所以只能從 263 和 623 中選取。 623=7 89，不與 714 互質(zhì)， 263 則不能被 3， 7， 17 整除，三位數(shù)只能是 263。 答：三位數(shù)是 263，一位數(shù)是 5。 2、如圖 19-1， 4個(gè)小三角形的頂點(diǎn)處有 6個(gè)圓圈。如果在這些圓圈中分別填上 6個(gè)質(zhì)數(shù)，它們的和是 20，而且每個(gè)小三角形 3 個(gè)頂頭上的數(shù)之和相等。問這 6 個(gè)質(zhì)數(shù)的積是多少？ 解：設(shè)每個(gè)小三角形 3 頂點(diǎn)之和為 A， 4 個(gè)小三角形頂點(diǎn)和為 4A，外面 3 個(gè)數(shù)計(jì)算一次，中間 3 個(gè)數(shù)計(jì)算3 次，所以 4A=20+2A，得 A=10， A 是 3 個(gè)質(zhì)數(shù)之和， 3 個(gè)質(zhì)數(shù)只能是 2， 3， 5，這 6 個(gè)質(zhì)數(shù)是 2， 2， 3，3， 5， 5，它們的乘積是 2 2 3 3 5 5=900 答：這 6 個(gè)質(zhì)數(shù)的積是 900。 此主題相關(guān)圖片 如下： 3、在圖 19-2 所示算式的每個(gè)方框內(nèi)填入一個(gè)數(shù)字，要求所填的數(shù)字都是質(zhì)數(shù)，并使豎式成立。 解：所填數(shù)字都是質(zhì) 數(shù)，只能是 2， 3， 5， 7，被乘數(shù)和乘數(shù)中也不能出現(xiàn) 2。 2 個(gè)個(gè)位數(shù)相乘，積的個(gè)位是質(zhì)數(shù)，積個(gè)位只能是 5，最后結(jié)果個(gè)位也是 5（確定紅色數(shù)）。 由于 73 3， 73 5， 73 7 積個(gè)位和十位不同時(shí)為質(zhì)數(shù)，所以被乘數(shù)個(gè)位只能是 5。 假設(shè)乘數(shù)個(gè)位是 3，由于 375 3=1175， 575 3=1725，不都是質(zhì)數(shù)，只有 775 3=2523 符合，乘數(shù)十位也取 3，乘積也是 2523，得出一組解： 775 33=25575 假設(shè)乘數(shù)個(gè)位是 5，由于 375 5=1875， 575 5=2875， 775 5=3875，不都是質(zhì)數(shù)， 不符合。 假設(shè)乘數(shù)個(gè)位是 7，由于 375 7=2625， 575 7=4025， 775 7=5425，不都是質(zhì)數(shù)，不符合。 答：只有 775 33=25575 這一組答案，如圖。 此主題相關(guān)圖片如下： 4、把一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字與其十位數(shù)字交換后得到一個(gè)新數(shù)，它與原來的數(shù)加起來恰好是某個(gè)自然數(shù)的平方。那么這個(gè)和數(shù)是多少？ 解：設(shè)原來兩位數(shù)十位是 B，個(gè)位是 A，即兩位數(shù)是 AB，則新數(shù)是 BA， AB+BA=X*X AB+BA=（ 10A+B） +（ 10B+A） =11（ A+B） =X*X， A+B=11=X，所以 X*X=121 答：這個(gè)和數(shù)是 121。 5、迎杯春杯 =好好好 在上面的乘法算式中，不同的漢字表示不同的數(shù)字，相同的漢字表示 相同的數(shù)字。那么“迎 +春 +杯 +好”之和等于多少？ 解：好好好 =好 111=好 3 37， 100 以內(nèi) 37 的倍數(shù)只有 37 和 74，所以“迎杯”或“春杯”中必有 1 個(gè)是 37 或 74，判斷出“杯”是 7 或 4。 若 杯 =7，則好 =9， 999/37=27，所以，迎 +春 +杯 +好 =3+2+7+9=21 若 杯 =4，則好 =6， 666/74=9，不是兩位數(shù)，不符合題意 答：迎 +春 +杯 +好 =3+2+7+9=21。 6、數(shù)數(shù)科學(xué) =學(xué)數(shù)學(xué) 在上面的算式中，每一個(gè)漢字代表一個(gè)數(shù)字，不同的漢字代表不同的數(shù)字，那么，“數(shù)學(xué)”所代表的 兩位數(shù)是多少？ 解：學(xué)數(shù)學(xué)是數(shù)數(shù)的倍數(shù)，也就是（ 11數(shù)）的倍數(shù) 學(xué)數(shù)學(xué) =學(xué) 101+數(shù) 10，學(xué)數(shù)學(xué)是數(shù)的倍數(shù)， 101 是質(zhì)數(shù)，所以學(xué)是數(shù)的倍數(shù) 學(xué)數(shù)學(xué)是 11 的倍數(shù)，學(xué) +學(xué) -數(shù) =11，學(xué)是數(shù)的倍數(shù)，數(shù)是 11 的約數(shù)， 所以，數(shù) =1，學(xué) =（ 11+1） /2=6，數(shù)學(xué) =16 答：數(shù)學(xué)兩字代表的兩位數(shù)是 16。 7、將 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9 這 9 個(gè)數(shù)字分別填入下式的各個(gè)方框中，可使此等式成立： = =3634。填好后得到三個(gè)兩位數(shù)和一個(gè)三位數(shù)，這三個(gè)兩位數(shù)中最大的一個(gè)是多少？ 解： 3634=2 23 79，兩位數(shù)是 79， 46 79=23 158，兩位數(shù)中最大的是 79。 答：這三個(gè)兩位數(shù)中最大的是 79。 8、六年級(jí)的學(xué)生總?cè)藬?shù)是三位數(shù)，其中男生占 3/5，男生人數(shù)也是三位數(shù)，而組成以上兩個(gè)三位數(shù)的 6個(gè)數(shù)字，恰好是 1， 2， 3， 4， 5， 6。那么六年級(jí)共有多少人？ 解：男生人數(shù)是總?cè)藬?shù)的 3/5，總?cè)藬?shù)是 5 的倍數(shù)，個(gè)位只能是 5。 男生人數(shù)是 3 的倍數(shù)，個(gè)位必須是奇數(shù)，只能是 1 或 3，男生人數(shù)的三位數(shù)只能由 1， 2， 3 或者 2， 3， 4或者 1， 2， 6 組成（和是 3 的倍數(shù)）。 男生人數(shù)首位小于 4。 假設(shè)男生人數(shù)由 1， 2， 3 組成，可能是 123， 213， 321 123 5/3=205， 213 5/3=355， 321 5/3=535，都不符合題意 假設(shè)男生人數(shù)由 2， 3， 4 組成，只可能是 243， 243 5/3=405，不符合題意 假設(shè)男生人數(shù)由 1， 2， 6 組成，只可能是 261， 261 5/3=435，符合題意 答：六年級(jí)共有 435 人。 9、圖 19-3 是三位數(shù)與一位數(shù)相乘的算式，在每個(gè)方格填入一個(gè)數(shù)字，使算式成立。那么共有多少種不同的填法？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解： 1992=2 2 2 3 83，一位數(shù)的約數(shù)中， 2， 3， 4， 6， 8 去除 1992 都可以得到三位數(shù)，所以可能有 5種填法。 答：共有 5 種不同的填法。 10、在圖 19-4 殘缺的算式中，只寫出 3 個(gè)數(shù)字 1，那么這個(gè)算式的乘積是多少？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解：積的十位是 1，被 乘數(shù)與乘數(shù)個(gè)位乘積的十位也是 1。 被乘數(shù)個(gè)位與乘數(shù)十位的乘積個(gè)位是 1，則被乘數(shù)個(gè)位可能是 1， 3， 7， 9。 被乘數(shù)與乘數(shù)個(gè)位的乘積，前 2 位是 10，積有下列可能： 101， 102， 103， 104， 105， 106， 107， 108， 109，去掉質(zhì)數(shù) 101， 103， 107， 109，去掉個(gè)位是 0 的 100。 102=6 17， 104=2 27， 105=5 21， 106=2 53， 108=4 27 若被乘數(shù)是 17 或 27，乘數(shù)十位必須是 3，都不能進(jìn)位；若被乘數(shù)是 21，乘數(shù)十位必須是 1，也不能進(jìn)位，去掉。所以被乘數(shù)只能是 53，乘數(shù)相 72， 53 72=3816 答：這個(gè)算式的乘積是 3816。 11、圖 19-5中一個(gè)殘缺的乘法豎式，在每個(gè)方框中填入一個(gè)不是 2的數(shù)字，可使其成為正確的算式。那么所得的乘積是多少？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解：最后乘積首位不能是 2，下一位必向首位進(jìn)位 1，首位是 3。百位最多向千位進(jìn) 2，千位必定是 2 和不小于 6 的數(shù)之和，兩位乘數(shù)與三位乘數(shù)的十位上的數(shù)字相乘結(jié)果不小于 600，由兩位乘數(shù)大于 60。三位乘數(shù)百位與兩位乘數(shù)相乘的積不小于 220，不大于 229，這個(gè)百位數(shù)只能是 3， 220-229 之間 3 的倍數(shù)是 222=3 74， 225=3 75， 228=3 76，因?yàn)椴荒芴?2，所以去掉 222，剩下 225=3 75， 228=3 76。 75 399 的積小于 30000，去掉，只剩下 228=3 76。 30000/76 大于 394，驗(yàn)算： 76 395=30020，有 2 去掉； 76 396=30096，符合要求； 76 397 乘積個(gè)位是 2，去掉； 76 398=30248，有 2 去掉； 76 399=30324，有 2 去掉。只有一組解。 答：所得的乘積是 30096。 12、請(qǐng)補(bǔ)全圖 19-6 這個(gè)殘缺算式。問這個(gè)除法算式的商數(shù)是多少？ 此主題相關(guān)圖片如下： 解：首先可以確定商十位是 0，被除數(shù)前 2 位是 10，并用紅字填出其它確定的格子。 商和除數(shù)的個(gè)位，可能是 2 4， 2 9， 3 6， 4 7， 6 8 試算得 2 4 這一組無解， 2 9 這一組，當(dāng) 9 是商的個(gè)位， 2 是除數(shù)的個(gè)位時(shí)， 得 10028 92=109； 3 6，4 7， 6 8 這三組都無解。 答：這個(gè)除法算式的商數(shù)是 109。 13、若用相同漢字表示相同數(shù)字，不同漢字表示不同數(shù)字，則在等式 學(xué)習(xí)好勤動(dòng)腦 5=勤動(dòng)腦學(xué)習(xí)好 8 中，“學(xué)習(xí)好勤動(dòng)腦”所表示的六位數(shù)最少是多少？ 解：因?yàn)椋簩W(xué)習(xí)好勤動(dòng)腦 5=勤動(dòng)腦學(xué)習(xí)好 8，所以：學(xué)習(xí)好 5000+勤動(dòng)腦 5=勤動(dòng)腦 8000+學(xué)習(xí)好 8 學(xué)習(xí)好 /勤動(dòng)腦 =（ 8000-5） /（ 5000-8） =7995/4992=3 13 205/3 13 128 =205/128=410/256=615/384=820/512，其中 410256 和 615384 由 6 個(gè)不同數(shù)字組成，最小的是 410256。 答：“學(xué)習(xí)好勤動(dòng)腦”所表示的六位數(shù)最少是 410256。 14、互為反序的兩個(gè)自然數(shù)的積是 92565，求這兩個(gè)互為反序的自然數(shù)。（例如 102 和 201， 35 和 53， 11和 11，稱為互為反序的數(shù)，但 120 和 21 不是互為反序的數(shù)。） 解： 96525=3 3 5 11 11 17，這兩個(gè)互為反序的自然數(shù)都是 3 和 11 的倍數(shù) （ 3 11 5）（ 3 7 17） =165 561 答：這兩個(gè)數(shù)是 165 和 561。 15、開放的中國盼奧運(yùn) =盼盼盼盼盼盼盼盼盼 上面的橫式中不同的漢字代表不同的數(shù)字，代表某個(gè)一位數(shù)。那么，“盼”字所代表的數(shù)字是多少？ 解： 111111111 9=12345679，商的百位是 6，去掉； 888888888 9 商的百位是 4，去掉； 777777777 9 商的百位是 7，得 86419753，符合要求； 試算其它數(shù)： 666666666 9 商百位是 0，去掉； 555555555 9 商百位是 3，去掉； 444444444 9 商百位是 7，去掉； 333333333 9 商百位是 0，去掉； 222222222 9 商百位是 3，去掉。所以只有一個(gè)解，盼 =7。 答：“盼”字所代表的數(shù)字是 7。 第 20 講 計(jì)數(shù)問題第 05 講 計(jì)數(shù)綜合之一（ 81） 1、恰好能被 6， 7， 8， 9 整除的五位數(shù)有多少個(gè)？ 解： 6， 7， 8， 9=504， 5 位數(shù)中最小的 504 的倍數(shù)是 10080 99999/504 余數(shù)是 207， 5 位數(shù)中最大的 504 的倍數(shù)是 999999-207=99792 符合要求的 5 位數(shù)的個(gè)數(shù)是（ 99792-10080） /504+1=178+1=179 答 ：恰好能被 6， 7， 8， 9 整除的五位數(shù)有 179 個(gè)。 2、小明的兩個(gè)衣服口袋中各有 13 張卡片，每張卡片上分別寫著 1， 2， 3， 13。如果從這兩個(gè)口袋中各拿出一張卡片來計(jì)算它們所寫的兩數(shù)的乘積，可以得到許多不相等的乘積。那么，其中能被 6整除的乘積共有多少個(gè)？ 解：含有一張 3 時(shí)，另一張可以是： 212 的偶數(shù)，共 6 張； 含有一張 6 時(shí)，另一張可以是 113 中的任何一張，共 12 張； 含有一張 12 時(shí)，另一張可以是 113 中的任何一張，共 12 張； 其中重復(fù)的有 9 個(gè)，所以，不同的乘積一共有 21。 答：其中能被 6 整除的乘積有 21 個(gè)。 3、 1， 2， 3， 4， 5， 6 這 6 個(gè)數(shù)中，選 3 個(gè)使它們的和能被 3 整除。那么不同的選法有幾種？ 解： 16 被 3 除的余數(shù) 0、 1、 2 各有兩個(gè)，要使三個(gè)數(shù)之和能被 3 整除，只有余數(shù) 0、 1、 2 的各選一個(gè)； 根據(jù)余數(shù)情況，把這 6 個(gè)數(shù)分成三組：（ 1， 4）（ 2， 5）（ 3， 6），從每一個(gè)組中各取一個(gè)數(shù)，共有 2 2 2=8 種選法。 答：不同的選法有 8 種。 4、同時(shí)滿足以下條件的分?jǐn)?shù)共有多少個(gè)？ 大于 1/6，并且小于 1/5； 分子和分母都是質(zhì)數(shù)； 分母是兩位數(shù)。 解：若分子是 2，分母在 12 和 10 之間，符合條件的是 2/11； 若分子是 3，分母在 18 和 15 之間，符合條件的是 3/17； 若分子是 5，分母在 30 和 25 之間，符合條件的是 5/29； 若分子是 7，分母在 42 和 35 之間，符合條件的是 7/37， 7/41； 若分子是 11，分母在 66 和 55 之間，符合條件的是 11/59， 11/61； 若分子是 13，分母在 78 和 65 之間，符合條件的是 13/67， 13/71， 13/73； 若分子是 17，分母在 102 和 85 之間，符合條件的是 17/89， 17/97。 若分子是 19的有 19/97 答：符合要求 的分?jǐn)?shù)共有 13 個(gè)。 5、一個(gè)六位數(shù)能被 11 整除，它的各位數(shù)字非零且互不相同。將這個(gè)六位數(shù)的 6個(gè)數(shù)字重新排列，最少還能排出多少個(gè)能被 11 整除的六位數(shù)？ 解：被 11 整除的數(shù)奇偶數(shù)位上的數(shù)字和的差能被 11 整除，所以，把這個(gè)數(shù)的奇數(shù)位上的 3 個(gè)數(shù)中的 2 個(gè)或 3 個(gè)數(shù)重排，或者把偶數(shù)位上 3 個(gè)數(shù)中的 2 個(gè)或 3 個(gè)數(shù)重排，或者奇數(shù)位上的 3 個(gè)數(shù)與偶數(shù)位上的 3 個(gè)數(shù)全換，組成的新數(shù)一定可以整除 11。 奇數(shù)位上的 3 數(shù)排列有 3*2*1=6 種，偶數(shù)位上的 3 數(shù)排列也有 3*2*1=6 種，奇偶數(shù)位上數(shù)字和都不變，一共有 6*6=36 種。奇數(shù)位 上的數(shù)改到偶數(shù)位，同時(shí)偶數(shù)位上的數(shù)改到奇數(shù)位，即奇偶數(shù)位上數(shù)字和互換，一共也有 6*6=36 種。 因此，這 6 個(gè)數(shù)排成能被 11 整除的數(shù)的排法共有 36+36=72 種， 那么，去掉原數(shù)，最少還能排出 72-1=71 種。 答：最少還能排出 71 個(gè)能被 11 整除的六位數(shù)。 6、在大于等于 1998，小于等于 8991 的整數(shù)中，個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字不同的數(shù)共有多少個(gè)？ 解菏孜唬 ?，只有 1 個(gè)， 1998； 首位是 28 共 7 種，百位 09 共 10 種，十位也 10 種，個(gè)位與十位不同，有 9 種 共 7*10*10*9=6300 種 ；其中多算了 89928998，即大于 8991 的 7 種。 所以一共有 6300+1-7=6294 種。 答：個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字不同的數(shù)共有 6294 種。 7、個(gè)位、十位、百位上的 3 個(gè)數(shù)字之和等于 12 的三位數(shù)共有多少個(gè)？ 解：百位可取 19 中的數(shù)字，十位和個(gè)位可取 09 中的數(shù)字。 百位是 1，十 +個(gè) =11，有 8 個(gè)；百位是 2，十 +個(gè) =10，有 9 個(gè)； 百位是 3，十 +個(gè) =9，有 10 個(gè)；百位是 4，十 +個(gè) =8，有 9 個(gè)； 百位是 5，十 +個(gè) =7，有 8 個(gè)；百位是 6，十 +個(gè) =6，有 7 個(gè)； 百位是 7，十 +個(gè) =5，有 6 個(gè)；百 位是 8，十 +個(gè) =4，有 5 個(gè)； 百位是 9，十 +個(gè) =3，有 4 個(gè)。一共有： 8+9+10+9+8+7+6+5+4=66 個(gè) 答：這樣的三位數(shù)共有 66 個(gè)。 8、一個(gè)正整數(shù)，如果它順著看和倒過來看都是一樣的，那么稱這個(gè)數(shù)為“回文數(shù)”。例如 1331， 7， 202都是回文數(shù)，而 220 則不是回文數(shù)。問：從一位到六位的回文數(shù)一共有多少個(gè)？其中的第 1996 個(gè)數(shù)是多少？ 解： 1 位回文數(shù)有 9 個(gè)； 2 位回文數(shù)有 9*1=9 個(gè)； 3 位回文數(shù)有 9*10*1=90 個(gè)； 4 位回文數(shù)有 9*10*1*1=90 個(gè)； 5 位回文數(shù)有 9*10*10*1*1=900 個(gè)； 6 位回文數(shù)有 9*10*10*1*1*1=900 個(gè)。 一共有： 9+9+90+90+900+900=1998 個(gè)。 最后一個(gè)是 999999，第 1997 個(gè)是 998899，第 1996 個(gè)是 997799。 答：從一位到六位的回文數(shù)一共有 1998 個(gè)，第 1996 個(gè)是 997799。 解：把它看成一個(gè)五位數(shù)，則首位只能是 8這 1種； 千位可以是 05， 6 種； 千位一定，十位可以是 05 中不同于千位的數(shù)，有 5 種； 千位和十位一定，百位可以是 09 中不同于首位以及千位和十位的數(shù)，有 7 種； 前 4 位一定，個(gè)位可以是 09 中不同于前 4 位的數(shù)，有 6 種。 所以一共有： 1*6*5*7*6=1260 個(gè) 答：一共有 1260 個(gè)。 10、有些五位數(shù)的各位數(shù)字均取自 1， 2， 3， 4， 5，并且任意相鄰兩位數(shù)字（大減?。┑牟疃际?1。問這樣的五位數(shù)共有多少個(gè)？ 解：（ 1）首位取 1 時(shí)，千位只能是 2，百位可以是 1 和 3。 百位是 1，十位只能是 2，個(gè)位可以是 1 和 3。 2 種。 百位是 3，十位可以是 2 和 4；十位是 2，個(gè)位可以是 1 和 3，十位是 4，個(gè)位可以是 3 和 5。 4 種。 所以，首位取 1 時(shí)，共有 2+4=6 種。 （ 2）首位取 2 時(shí)，千位可以是 1 和 3。 千位