2020版高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)第十章計(jì)數(shù)原理10.2排列與組合教案理（含解析）新人教A版.docx

10.2排列與組合最新考綱考情考向分析1.理解排列的概念及排列數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實(shí)際問題2.理解組合的概念及組合數(shù)公式，并能利用公式解決一些簡單的實(shí)際問題.以理解和應(yīng)用排列、組合的概念為主，常常以實(shí)際問題為載體，考查分類討論思想，考查分析、解決問題的能力，題型以選擇、填空為主，難度為中檔.1排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素按照一定的順序排成一列組合并成一組2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用A表示(2)組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用C表示3排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)An(n1)(n2)(nm1)(2)C性質(zhì)(3)0！1；An！(4)CC；CCC_概念方法微思考1排列問題和組合問題的區(qū)別是什么？提示元素之間與順序有關(guān)的為排列，與順序無關(guān)的為組合2排列數(shù)與組合數(shù)公式之間有何關(guān)系？它們公式都有兩種形式，如何選擇使用？提示(1)排列數(shù)與組合數(shù)之間的聯(lián)系為CAA.(2)兩種形式分別為：連乘積形式；階乘形式前者多用于數(shù)字計(jì)算，后者多用于含有字母的排列數(shù)式子的變形與論證3解排列組合綜合應(yīng)用問題的思路有哪些？提示解排列組合綜合應(yīng)用題要從“分析”“分辨”“分類”“分步”的角度入手“分析”是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有無限制等；“分類”就是對于較復(fù)雜的應(yīng)用題中的元素往往分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；“分步”就是把問題化成幾個(gè)相互聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列組合問題，然后逐步解決題組一思考辨析1判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)所有元素完全相同的兩個(gè)排列為相同排列()(2)一個(gè)組合中取出的元素講究元素的先后順序()(3)兩個(gè)組合相同的充要條件是其中的元素完全相同()(4)(n1)！n！nn！.()(5)若組合式CC，則xm成立()(6)kCnC.()題組二教材改編26把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為()A144B120C72D24答案D解析“插空法”，先排3個(gè)空位，形成4個(gè)空隙供3人選擇就座，因此任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為A43224.3用數(shù)字1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個(gè)數(shù)為()A8B24C48D120答案C解析末位數(shù)字排法有A種，其他位置排法有A種，共有AA48(種)排法，所以偶數(shù)的個(gè)數(shù)為48.題組三易錯(cuò)自糾4六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有()A192種B216種C240種D288種答案B解析第一類：甲在最左端，有A54321120(種)排法；第二類：乙在最左端，甲不在最右端，有4A4432196(種)排法所以共有12096216(種)排法5為發(fā)展國外孔子學(xué)院，教育部選派6名中文教師到泰國、馬來西亞、緬甸任教中文，若每個(gè)國家至少去一人，則不同的選派方案種數(shù)為()A180B240C540D630答案C解析依題意，選派方案分為三類：一個(gè)國家派4名，另兩個(gè)國家各派1名，有A90(種)；一個(gè)國家派3名，一個(gè)國家派2名，一個(gè)國家派1名，有CCCA360(種)；每個(gè)國家各派2名，有A90(種)，故不同的選派方案種數(shù)為9036090540.6寒假里5名同學(xué)結(jié)伴乘動(dòng)車外出旅游，實(shí)名制購票，每人一座，恰在同一排A，B，C，D，E五個(gè)座位(一排共五個(gè)座位)，上車后五人在這五個(gè)座位上隨意坐，則恰有一人坐對與自己車票相符座位的坐法有_種(用數(shù)字作答)答案45解析設(shè)5名同學(xué)也用A，B，C，D，E來表示，若恰有一人坐對與自己車票相符的坐法，設(shè)E同學(xué)坐在自己的座位上，則其他四位都不坐自己的座位，則有BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共9種坐法，則恰有一人坐對與自己車票相符座位的坐法有9545(種).題型一排列問題1用1,2,3,4,5這五個(gè)數(shù)字，可以組成比20000大，并且百位數(shù)不是數(shù)字3的沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，共有()A96個(gè)B78個(gè)C72個(gè)D64個(gè)答案B解析根據(jù)題意知，要求這個(gè)五位數(shù)比20000大，則首位必須是2,3,4,5這4個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，當(dāng)首位是3時(shí)，百位數(shù)不是數(shù)字3，符合要求的五位數(shù)有A24(個(gè))；當(dāng)首位是2,4,5時(shí)，由于百位數(shù)不能是數(shù)字3，則符合要求的五位數(shù)有3(AA)54(個(gè))，因此共有542478(個(gè))這樣的五位數(shù)符合要求故選B.2某高三畢業(yè)班有40人，同學(xué)之間兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了_條畢業(yè)留言(用數(shù)字作答)答案1560解析由題意知兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言相當(dāng)于從40人中任選兩人的排列數(shù)，所以全班共寫了A40391560(條)留言36名同學(xué)站成1排照相，要求同學(xué)甲既不站在最左邊又不站在最右邊，共有_種不同站法答案480解析方法一(位置優(yōu)先法)先從其他5人中安排2人站在最左邊和最右邊，再安排余下4人的位置，分為兩步：第1步，從除甲外的5人中選2人站在最左邊和最右邊，有A種站法；第2步，余下4人(含甲)站在剩下的4個(gè)位置上，有A種站法由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有AA480(種)不同的站法方法二(元素優(yōu)先法)先安排甲的位置(既不站在最左邊又不站在最右邊)，再安排其他5人的位置，分為兩步：第1步，將甲排在除最左邊、最右邊外的任意位置上，有A種站法；第2步，余下5人站在剩下的5個(gè)位置上，有A種站法由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，共有AA480(種)不同的站法思維升華排列應(yīng)用問題的分類與解法(1)對于有限制條件的排列問題，分析問題時(shí)有位置分析法、元素分析法，在實(shí)際進(jìn)行排列時(shí)一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法(2)對相鄰問題采用捆綁法、不相鄰問題采用插空法、定序問題采用倍縮法是解決有限制條件的排列問題的常用方法題型二組合問題例1男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男、女隊(duì)長各1名現(xiàn)選派5人外出參加比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；(2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員；(3)隊(duì)長中至少有1人參加；(4)既要有隊(duì)長，又要有女運(yùn)動(dòng)員解(1)分兩步完成：第一步，選3名男運(yùn)動(dòng)員，有C種選法；第二步，選2名女運(yùn)動(dòng)員，有C種選法由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，共有CC120(種)選法(2)方法一“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”包括以下四種情況：1女4男，2女3男，3女2男，4女1男由分類加法計(jì)數(shù)原理可得總選法共有CCCCCCCC246(種)方法二“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”，可用間接法求解從10人中任選5人有C種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有C種所以“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法有CC246(種)(3)方法一(直接法)可分類求解：“只有男隊(duì)長”的選法種數(shù)為C；“只有女隊(duì)長”的選法種數(shù)為C；“男、女隊(duì)長都入選”的選法種數(shù)為C，所以共有2CC196(種)選法方法二(間接法)從10人中任選5人有C種選法，其中不選隊(duì)長的方法有C種所以“至少有1名隊(duì)長”的選法有CC196(種)(4)當(dāng)有女隊(duì)長時(shí)，其他人任意選，共有C種選法；當(dāng)不選女隊(duì)長時(shí)，必選男隊(duì)長，共有C種選法，其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有C種，所以不選女隊(duì)長時(shí)的選法共有(CC)種所以既要有隊(duì)長又要有女運(yùn)動(dòng)員的選法共有CCC191(種)思維升華組合問題常有以下兩類題型變化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取(2)“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“至多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理跟蹤訓(xùn)練1某市工商局對35種商品進(jìn)行抽樣檢查，已知其中有15種假貨現(xiàn)從35種商品中選取3種(1)其中某一種假貨必須在內(nèi)，不同的取法有多少種？(2)其中某一種假貨不能在內(nèi)，不同的取法有多少種？(3)恰有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(4)至少有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？(5)至多有2種假貨在內(nèi)，不同的取法有多少種？解(1)從余下的34種商品中，選取2種有C561種取法，某一種假貨必須在內(nèi)的不同取法有561種(2)從34種可選商品中，選取3種，有C種或者CCC5984種取法某一種假貨不能在內(nèi)的不同取法有5984種(3)從20種真貨中選取1種，從15種假貨中選取2種有CC2100種取法恰有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2100種(4)選取2種假貨有CC種，選取3種假貨有C種，共有選取方式CCC21004552555(種)至少有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有2555種(5)方法一(間接法)選取3種的總數(shù)為C，因此共有選取方式CC65454556090(種)至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種方法二(直接法)選取3種真貨有C種，選取2種真貨有CC種，選取1種真貨有CC種，因此共有選取方式CCCCC6090(種)至多有2種假貨在內(nèi)的不同的取法有6090種題型三排列與組合的綜合問題命題點(diǎn)1相鄰問題例23名男生、3名女生排成一排，男生必須相鄰，女生也必須相鄰的排法種數(shù)為()A2B9C72D36答案C解析可分兩步完成：第一步，把3名女生作為一個(gè)整體，看成一個(gè)元素，3名男生作為一個(gè)整體，看成一個(gè)元素，兩個(gè)元素排成一排有A種排法；第二步，3名女生排在一起有A種排法，3名男生排在一起有A種排法，故排法種數(shù)為AAA72.命題點(diǎn)2相間問題例3某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目，2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A72B120C144D168答案B解析先安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目，然后讓歌舞節(jié)目去插空安排小品節(jié)目和相聲節(jié)目的順序有三種：“小品1，小品2，相聲”“小品1，相聲，小品2”和“相聲，小品1，小品2”對于第一種情況，形式為“小品1歌舞1小品2相聲”，有ACA36(種)安排方法；同理，第三種情況也有36種安排方法，對于第二種情況，三個(gè)節(jié)目形成4個(gè)空，其形式為“小品1相聲小品2”，有AA48(種)安排方法，故共有363648120(種)安排方法命題點(diǎn)3特殊元素(位置)問題例4大數(shù)據(jù)時(shí)代出現(xiàn)了滴滴打車服務(wù)，二胎政策的放開使得家庭中有兩個(gè)孩子的現(xiàn)象普遍存在某城市關(guān)系要好的A，B，C，D四個(gè)家庭各有兩個(gè)孩子共8人，他們準(zhǔn)備使用滴滴打車軟件，分乘甲、乙兩輛汽車出去游玩，每車限坐4名(乘同一輛車的4個(gè)孩子不考慮位置)，其中A家庭的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4個(gè)孩子恰有2個(gè)來自于同一個(gè)家庭的乘坐方式共有()A18種B24種C36種D48種答案B解析根據(jù)題意，分兩種情況討論：A家庭的孿生姐妹在甲車上，甲車上另外的兩個(gè)孩子要來自不同的家庭，可以在剩下的三個(gè)家庭中任選2個(gè)，再從每個(gè)家庭的2個(gè)孩子中任選一個(gè)來乘坐甲車，有CCC12(種)乘坐方式；A家庭的孿生姐妹不在甲車上，需要在剩下的三個(gè)家庭中任選1個(gè)，讓其2個(gè)孩子都在甲車上，對于剩余的兩個(gè)家庭，從每個(gè)家庭的2個(gè)孩子中任選一個(gè)來乘坐甲車，有CCC12(種)乘坐方式，故共有121224(種)乘坐方式，故選B.思維升華解排列、組合問題要遵循的兩個(gè)原則按元素(位置)的性質(zhì)進(jìn)行分類；按事情發(fā)生的過程進(jìn)行分步具體地說，解排列、組合問題常以元素(位置)為主體，即先滿足特殊元素(位置)，再考慮其他元素(位置)跟蹤訓(xùn)練2(1)把5件不同的產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有_種答案36解析將產(chǎn)品A與B捆綁在一起，然后與其他三種產(chǎn)品進(jìn)行全排列，共有AA種方法，將產(chǎn)品A，B，C捆綁在一起，且A在中間，然后與其他兩種產(chǎn)品進(jìn)行全排列，共有AA種方法于是符合題意的擺法共有AAAA36(種)(2)從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長1人，副隊(duì)長1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，則共有_種不同的選法(用數(shù)字作答)答案660解析方法一只有1名女生時(shí)，先選1名女生，有C種方法；再選3名男生，有C種方法；然后排隊(duì)長、副隊(duì)長位置，有A種方法由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有CCA480(種)選法有2名女生時(shí)，再選2名男生，有C種方法；然后排隊(duì)長、副隊(duì)長位置，有A種方法由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有CA180(種)選法所以依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有480180660(種)不同的選法方法二不考慮限制條件，共有AC種不同的選法，而沒有女生的選法有AC種，故至少有1名女生的選法有ACAC840180660(種)1“中國夢”的英文翻譯為“ChinaDream”，其中China又可以簡寫為CN，從“CNDream”中取6個(gè)不同的字母排成一排，含有“ea”字母組合(順序不變)的不同排列共有()A360種B480種C600種D720種答案C解析從其他5個(gè)字母中任取4個(gè)，然后與“ea”進(jìn)行全排列，共有CA600種，故選C.2有七名同學(xué)站成一排照畢業(yè)紀(jì)念照，其中甲必須站在正中間，并且乙、丙兩位同學(xué)要站在一起，則不同的站法有()A240種B192種C96種D48種答案B解析當(dāng)丙和乙在甲的左側(cè)時(shí)，共有ACAA96種排列方法，同理，當(dāng)丙和乙在甲的右側(cè)時(shí)也有96種排列方法，所以共有192種排列方法3某小區(qū)有排成一排的7個(gè)車位，現(xiàn)有3輛不同型號(hào)的車需要停放，如果要求剩余的4個(gè)車位連在一起，那么不同的停放方法的種數(shù)為()A16B18C24D32答案C解析將4個(gè)車位捆綁在一起，看成一個(gè)元素，先排3輛不同型號(hào)的車，在3個(gè)車位上任意排列，有A6(種)排法，再將捆綁在一起的4個(gè)車位插入4個(gè)空檔中，有4種方法，故共有4624(種)方法4(2017全國)安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有()A12種B18種C24種D36種答案D解析由題意可知，其中1人必須完成2項(xiàng)工作，其他2人各完成1項(xiàng)工作，可得安排方式為CCA36(種)，或列式為CCC3236(種)5(2018大連質(zhì)檢)互不相同的5盆菊花，其中2盆為白色，2盆為黃色，1盆為紅色，先要擺成一排，要求紅色菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，共有擺放方法()AA種BA種CAA種DCCAA種答案D解析紅色菊花擺放在正中間，白色菊花不相鄰，黃色菊花也不相鄰，即紅色菊花兩邊各一盆白色菊花，一盆黃色菊花，共有CCAA種擺放方法6(2016四川)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)為()A24B48C60D72答案D解析由題可知，五位數(shù)要為奇數(shù)，則個(gè)位數(shù)只能是1,3,5.分為兩步：先從1,3,5三個(gè)數(shù)中選一個(gè)作為個(gè)位數(shù)有C種選法，再將剩下的4個(gè)數(shù)字排列有A種排法，則滿足條件的五位數(shù)有CA72(個(gè))故選D.7若把英語單詞“good”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤方法共有_種(用數(shù)字作答)答案11解析把g，o，o，d4個(gè)字母排一列，可分兩步進(jìn)行，第一步：排g和d，共有A種排法；第二步：排兩個(gè)o，共1種排法，所以總的排法種數(shù)為A12.其中正確的有一種，所以錯(cuò)誤的共有A112111(種)8在8張獎(jiǎng)券中有一、二、三等獎(jiǎng)各1張，其余5張無獎(jiǎng)將這8張獎(jiǎng)券分配給4個(gè)人，每人2張，不同的獲獎(jiǎng)情況有_種(用數(shù)字作答)答案60解析分兩類：第一類：3張中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券分給3個(gè)人，共A種分法；第二類：3張中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券分給2個(gè)人，相當(dāng)于把3張中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券分兩組再分給4人中的2人，共有CA種分法總獲獎(jiǎng)情況共有ACA60(種)9(2018撫順模擬)要從甲、乙等8人中選4人在座談會(huì)上發(fā)言，若甲、乙都被選中，且他們發(fā)言中間恰好間隔一人，那么不同的發(fā)言順序共有_種(用數(shù)字作答)答案120解析先從除了甲、乙以外的6人中選一人，安排在甲乙中間，有CA12(種)，把這三個(gè)人看成一個(gè)整體，與從剩下的五人中選出的一個(gè)人全排列，有CA10(種)，故不同的發(fā)言順序共有1210120(種)10用數(shù)字0,1,2,3,4組成的五位數(shù)中，中間三位數(shù)字各不相同，但首末兩位數(shù)字相同的共有_個(gè)答案240解析由題意知本題是一個(gè)分步計(jì)數(shù)問題，從1,2,3,4四個(gè)數(shù)中選取一個(gè)有四種選法，接著從這五個(gè)數(shù)中選取3個(gè)在中間三個(gè)位置排列，共有A60(個(gè))，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理知，有604240(個(gè))11將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)球放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，則一共有_種放法答案150解析標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5的五個(gè)球放入3個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子至少有一個(gè)球，故可分成(3,1,1)和(2,2,1)兩組，共有C25(種)分法，再分配到三個(gè)不同的盒子中，共有25A150(種)放法12某賓館安排A，B，C，D，E五人入住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，且A，B不能住同一房間，則共有_種不同的安排方法(用數(shù)字作答)答案114解析5個(gè)人住3個(gè)房間，每個(gè)房間至少住1人，則有(3,1，1)和(2,2,1)兩種，當(dāng)為(3,1,1)時(shí)，有CA60(種)，A，B住同一房間有CA18(種)，故有601842(種)，當(dāng)為(2,2,1)時(shí)，有A90(種)，A，B住同一房間有CA18(種)，故有901872(種)，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可知，共有4272114(種)13(2018呼和浩特質(zhì)檢)7人站成兩排隊(duì)列，前排3人，后排4人，現(xiàn)將甲、乙、丙三人加入隊(duì)列，前排加一人，后排加兩人，其他人保持相對位置不變，則不同的加入方法的種數(shù)為()A120B240C360