概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)隨機(jī)變量及其分布ppt課件

第2章隨機(jī)變量及其分布 問題一 為什么引入隨機(jī)變量 問題二 隨機(jī)事件與隨機(jī)變量的區(qū)別是什么 問題三 隨機(jī)變量的一些例子 1 概率論是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的 為了更方便有力的研究隨機(jī)現(xiàn)象 就要用數(shù)學(xué)的方法來研究 因此為了便于數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)和計(jì)算 就需將任意的隨機(jī)事件數(shù)量化 當(dāng)把一些非數(shù)量表示的隨機(jī)事件用數(shù)字來表示時(shí) 就建立起了隨機(jī)變量的概念 引入隨機(jī)變量后我們就由對(duì)事件及事件概率的研究轉(zhuǎn)化為隨機(jī)變量及其規(guī)律的研究 問題一 為什么引入隨機(jī)變量 2 問題二 隨機(jī)事件與隨機(jī)變量的聯(lián)系與區(qū)別是什么 隨機(jī)試驗(yàn)中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事情為隨機(jī)事件 比如 對(duì)1 2 3的數(shù)集抽取 A是抽中1 B是抽中2 C是抽中3 那么A B C就是隨機(jī)事件 隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的變量 比如我們?cè)O(shè)抽中的是X 那么X可能是1 也可能是2 或是3 X完整的描述了該樣本空間 即X可能值的全部是樣本空間 隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來研究隨機(jī)現(xiàn)象 而隨機(jī)變量則是一種動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn) 3 問題三隨機(jī)變量的一些例子 在隨機(jī)試驗(yàn)中 試驗(yàn)結(jié)果很多本身就由數(shù)量表示 1 每天進(jìn)入教室的人數(shù)X 2 某個(gè)時(shí)間段吃飯排隊(duì)的人數(shù)X 3 電燈泡使用的壽命T而在另一些隨機(jī)試驗(yàn)中 比如檢查一個(gè)產(chǎn)品是否合格 此時(shí)樣本空間S 合格品 不合格品 若用1對(duì)應(yīng)合格品 1對(duì)應(yīng)不合格品 這樣就都有唯一確定的實(shí)數(shù)與之對(duì)應(yīng) 4 1 隨機(jī)變量的引入 從上面的例子可以看出隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果都可用一個(gè)實(shí)數(shù)來表示 這個(gè)數(shù)隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而變化 它是樣本點(diǎn)的函數(shù) 這個(gè)函數(shù)就是我們要引入的隨機(jī)變量 5 2隨機(jī)變量的定義 隨機(jī)變量 設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為S 稱定義在樣本空間S上的實(shí)值函數(shù)X X 為隨機(jī)變量 隨機(jī)變量的表示 常用大寫字母X Y Z或希臘字母等表示隨機(jī)變量所取的值 一般采用小寫字母x y z 6 2隨機(jī)變量的定義 注意 1 隨機(jī)變量與普通的函數(shù)不同隨機(jī)變量是一個(gè)函數(shù) 但它與普通的函數(shù)有著本質(zhì)的差別 普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)軸上的 而隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的 樣本空間的元素不一定是實(shí)數(shù) 2 隨機(jī)變量的取值具有一定的概率規(guī)律隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的值 由于試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率 因此隨機(jī)變量的取值也有一定的概率規(guī)律 7 2隨機(jī)變量的定義 講課本例1 例2練習(xí)題 1 在有兩個(gè)孩子的家庭中 考慮其性別 共有4個(gè)樣本點(diǎn) 若用X表示該家女孩的個(gè)數(shù)時(shí) 則應(yīng)該怎么表示 8 2隨機(jī)變量的定義 2 設(shè)盒中有5個(gè)球 2白3黑 從中任抽3個(gè) 用隨機(jī)變量X e 的所有可能取值是什么 3 設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0 8 現(xiàn)該射手不斷向目標(biāo)射擊 直到擊中目標(biāo)為止 用隨機(jī)變量X e 的所有可能取值是什么 4 某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過 如果某人到達(dá)該車站的時(shí)刻是隨機(jī)的 用隨機(jī)變量X e 的所有可能取值是什么 9 2 2離散型隨機(jī)變量及其概率分布 1 離散型隨機(jī)變量 設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量 如果它全部可能的取值只有有限個(gè)或可數(shù)無窮個(gè) 則稱X為一個(gè)離散隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量 假如一個(gè)隨機(jī)變量X的可能取值充滿數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間 a b 則稱X為一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量 例 1 投擲一顆骰子點(diǎn)數(shù)X的可能取值只有 1 2 3 4 5 6 則X是什么型的隨機(jī)變量 2 電燈泡的使用壽命T 可能取值 T 0 所以T是一個(gè)什么型的隨機(jī)變量 10 2 2離散型隨機(jī)變量及其概率分布 2 概率分布定義1設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為 稱為X的概率分布或分布律 也稱概率函數(shù) X的概率分布常用表格的形式來表示 講課本例1練習(xí)題 設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布列為X 1230 250 50 25試求P X 0 5 P 1 X 2 5 11 2 2離散型隨機(jī)變量及其概率分布 分布律的說明 當(dāng)已知一個(gè)離散型隨機(jī)變量X的概率分布時(shí) 而且X所成的任何事件的概率都能夠求出來 12 2 2離散型隨機(jī)變量及其概率分布 3常用離散分布兩點(diǎn)分布 0 1分布 若一個(gè)隨機(jī)變量X只有兩個(gè)可能取值 且其分布為則稱X服從處參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)E 它只有兩種可能的結(jié)果A和 即A要么發(fā)生 要么不發(fā)生 則這種試驗(yàn)E總可以用 0 1 分布來描述 這種試驗(yàn)在實(shí)際中很普遍 例如 拋擲硬幣試驗(yàn) A 出現(xiàn)正面 出現(xiàn)反面 在射擊試驗(yàn)中 A 命中目標(biāo) 未命中目標(biāo) 它們都可用 0 1 分布來描述 0 1 分布是實(shí)際中經(jīng)常用到的一種分布 13 2 2離散型隨機(jī)變量及其概率分布 二項(xiàng)分布 若一個(gè)隨機(jī)變量X的概率分布由式給出 則稱X服從參數(shù)為n p的二項(xiàng)分布 記為X b n p 或B n p 注 當(dāng)n 1時(shí) 隨機(jī)變量X即服從0 1分布在實(shí)際中 把概率很小 一般要求在0 05以下 的事件稱為小概率事件 由于小概率事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的可能性很小 因此 在一次試驗(yàn)中 小概率事件實(shí)際上是不應(yīng)該發(fā)生的 這條原則我們稱它為實(shí)際推斷原理 需要注意的是 實(shí)際推斷原理是指在一次試驗(yàn)中小概率事件幾乎是不可能發(fā)生的 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)充分大時(shí) 小概率事件至少發(fā)生一次卻幾乎是必然的 如何證明以上這個(gè)結(jié)論是正確的呢 14 2 2離散型隨機(jī)變量及其概率分布 二項(xiàng)分布在經(jīng)濟(jì)管理方面的應(yīng)用 在實(shí)際問題中 很多商品的銷售量都是服從二項(xiàng)分布的 因?yàn)槊考唐范贾挥惺鄢龊蛶?kù)存兩種狀態(tài) 而每件商品售出的概率在一段時(shí)間內(nèi)是基本固定 因此商品的進(jìn)貨量即為二項(xiàng)分布中的參數(shù)n 參數(shù)p的值可利用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行估計(jì) 估計(jì)公式為p n 為所出售的商品的件數(shù) 在不增加成本的前提下 追求利潤(rùn)的最大化是迫切需要解決的問題 其實(shí)在有些情況下 產(chǎn)品可靠性數(shù)據(jù)可按二項(xiàng)分布加以分析 我們只需作出小小的調(diào)整 就能收到良好的效果 15 2 2離散型隨機(jī)變量及其概率分布 二項(xiàng)分布的圖形特點(diǎn) 1 當(dāng) n 1 p不為整數(shù)時(shí) 二項(xiàng)概率P X k 在k n 1 p 時(shí)達(dá)到最大值 2 當(dāng) n 1 p為整數(shù)時(shí) 二項(xiàng)概率P X k 在k n 1 p和k n 1 p 1時(shí)達(dá)到最大值講課本例3和例4注意二項(xiàng)分布b n p 和兩點(diǎn)分布的關(guān)系 16 2 2離散型隨機(jī)變量及其概率分布 在實(shí)際中 我們經(jīng)常要計(jì)算n次獨(dú)立重復(fù)的貝努利試驗(yàn)中恰好k次成功的概率 至少有次成功的概率為等 當(dāng)n很大時(shí) 要計(jì)算出它們的確切數(shù)值很不容易 那我們應(yīng)該怎么做呢 17 2 2離散型隨機(jī)變量及其概率分布 泊松分布 若一個(gè)隨機(jī)變量X的概率分布為則稱X服從參數(shù)為的泊松分布 記為X P 泊松流 若隨機(jī)事件流具有平穩(wěn)性 無后效性 普通性 則稱該事件流為泊松流 對(duì)泊松流 在任意時(shí)間間隔 0 t 內(nèi) 事件發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布 稱為泊松流的強(qiáng)度 18 2 2離散型隨機(jī)變量及其概率分布 在實(shí)際中 許多隨機(jī)現(xiàn)象都可用泊松分布來描述 例如 一批產(chǎn)品的廢品數(shù) 一本書中某一頁(yè)上印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù) 某汽車站單位時(shí)間內(nèi)前來候車的人數(shù) 某段時(shí)間內(nèi) 某種放射性物質(zhì)中發(fā)射出的 粒子數(shù)等等 均可用泊松分布來描述 泊松分布是概率論中的又一個(gè)重要分布 在隨機(jī)過程中也有重要應(yīng)用 19 2 2離散型隨機(jī)變量及其概率分布 在經(jīng)濟(jì)管理決策中 利用泊松分布可以合理安排工作崗位 例如某車間有90臺(tái)相同的機(jī)器 每臺(tái)機(jī)器需要維修的概率均為0 01 在同一時(shí)間每人只能維修一臺(tái)機(jī)器 在崗位設(shè)置中 不同的設(shè)置的方法使得機(jī)器出現(xiàn)故障而等待維修的概率是不同的 如果三個(gè)人明確分工 每人負(fù)責(zé)30臺(tái) 此時(shí) 0 3 機(jī)器需要維修的概率為P X 1 0 0369 若三個(gè)人共同負(fù)責(zé)90臺(tái) 此時(shí) 0 9 機(jī)器需要維修的概率為P X 3 0 0135 通過概率的對(duì)比可知 共同協(xié)作比各自為政的維修效率有所提高 講課本例5 20 2 2離散型隨機(jī)變量及其概率分布 當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí) 對(duì)二項(xiàng)分布b n p 的概率計(jì)算起來不方便 此時(shí)須尋求某種近似計(jì)算方法 其中一種就是二項(xiàng)分布的泊松近似 定理1 泊松定理 在n重伯努利試驗(yàn)中 事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為pn 注意這與試驗(yàn)的次數(shù)n有關(guān) 如果時(shí) 為常數(shù) 則對(duì)任意給定的k 有b k n pn 講課本例6 例7 21 2 3隨機(jī)變量的分布函數(shù) 1 隨機(jī)變量的分布函數(shù)定義1設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量 稱F x P X x 為X的分布函數(shù) 有時(shí)記作X F x 這個(gè)概率具有什么特點(diǎn)呢 具有累積性 這個(gè)概率與x有關(guān) 不同的x此累積概率的值也不同 注 X是數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo) 則分布函數(shù)F x 的值就表示X落在區(qū)間的概率 22 2 3隨機(jī)變量的分布函數(shù) 對(duì) 隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間的概