卓越聯(lián)盟自主招生數(shù)學(xué)真題及答案(2011-2014).docx

卓越聯(lián)盟自主招生真題及答案(2011-2014年)目 錄2011年卓越聯(lián)盟(同濟(jì)大學(xué)等九校)自主招生數(shù)學(xué)試題22011年卓越聯(lián)盟自主招生數(shù)學(xué)試題參考答案52012年卓越聯(lián)盟自主招生數(shù)學(xué)試題112012卓越聯(lián)盟自主招生數(shù)學(xué)真題答案解析142013年卓越聯(lián)盟自主招生數(shù)學(xué)試題202013年卓越聯(lián)盟自主招生數(shù)學(xué)試題參考答案222014年卓越聯(lián)盟自主招生數(shù)學(xué)試題 26 2011年卓越聯(lián)盟(同濟(jì)大學(xué)等九校)自主招生數(shù)學(xué)試題數(shù)學(xué)試題分值: 分 時(shí)量: 分鐘一、選擇題,1.已知向量為非零向量,則夾角為( ) A. B. C. D. 2.已知?jiǎng)t( ) A. B. C . D.3.在正方體中,為棱的中點(diǎn),是棱上的點(diǎn),且,則異面直線與所成角的正弦值為( ) A. B. C. D. 4.為虛數(shù)單位,設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則的最大值為( ) A. B. C. D. 5.已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在軸上,三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上,且的重心為拋物線的焦點(diǎn),若邊所在的直線方程為,則拋物線方程為( ) A. B. C. D. 6.在三棱柱中,底面邊長(zhǎng)與側(cè)棱長(zhǎng)均不等于2,且為的中點(diǎn),則點(diǎn)到平面的距離為( ) A. B. C. D. 7.若關(guān)于的方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則的取值范圍為( ) A. B. C. D. 8.如圖,內(nèi)接于,過中點(diǎn)作平行于的直線交于,交于,交在點(diǎn)處的切線于,若,則的長(zhǎng)為( ) A. B. C. D.9.數(shù)列共有11項(xiàng),且 滿足這種條件的不同數(shù)列的個(gè)數(shù)為( ) A. 100 B. 120 C. 140 D. 16010.設(shè)是坐標(biāo)平面按順時(shí)針方向繞原點(diǎn)做角度為的旋轉(zhuǎn),表示坐標(biāo)平面關(guān)于軸的鏡面反射.用表示變換的復(fù)合,先做,再做.用表示連續(xù)次的變換,則是( ) A. B. C. D.二、解答題11.設(shè)數(shù)列滿足.(1)設(shè),證明:若,則是等比數(shù)列;(2)若求的值; 12.在中,是角的平分線,且.(1)求的取值范圍;(2)若,問為何值時(shí),最短? 13.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為,且橢圓與直線相切.(1)求橢圓的方程;(2)過作兩條互相垂直的直線,與橢圓分別交于及,求四邊形面積的最大值與最小值. 14.一袋中有個(gè)白球和個(gè)黑球.從中任取一球,如果取出白球,則把它放回袋中;如果取出黑球,則該黑球不再放回,另補(bǔ)一個(gè)白球放到袋中.在重復(fù)次這樣的操作后,記袋中白球的個(gè)數(shù)為.(1)求;(2)設(shè),求(3)證明: 15.設(shè).(1)求;(2)設(shè)求常數(shù),使得取得最小值;(3)記(2)中的最小值為,證明. 2011年卓越聯(lián)盟自主招生數(shù)學(xué)試題參考答案一.選擇題二.解答題11.【解】(1)證:由,得令則,所以是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列;(2)由(1) 可知,所以由累加法得即也所以有時(shí),也適合該式;所以也所以由于所以解得.12.【解】(1)過作直線,交延長(zhǎng)線于,如圖右.所以,也所以有,即在中,有即所以,即所以.(2)因?yàn)樵谥?有記,則當(dāng)時(shí),此時(shí)取最小值,此時(shí).故當(dāng)時(shí),取最小值.13.【解】設(shè)橢圓方程為,因?yàn)樗c直線只有一個(gè)公共點(diǎn),所以方程組只有一解,整理得.所以得.又因?yàn)榻裹c(diǎn)為,所以聯(lián)立上式解得所以橢圓方程為.(2)若斜率不存在(或?yàn)?)時(shí),則.若斜率存在時(shí),設(shè)為,則為.所以直線方程為.設(shè)與橢圓交點(diǎn)坐標(biāo)為聯(lián)立方程化簡(jiǎn)得.則所以同理可得所以 因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）所以,也所以所以綜上所述,的面積的最小值為,最大值為2.14.【解】(1)時(shí),袋中的白球的個(gè)數(shù)可能為個(gè)(即取出的是白球),概率為;也可能為個(gè)(即取出的是黑球),概率為,故.(2)首先,時(shí),第次取出來有個(gè)白球的可能性有兩種;第次袋中有個(gè)白球,顯然每次取出球后,球的總數(shù)保持不變,即個(gè)白球(故此時(shí)黑球有個(gè)),第次取出來的也是白球,這種情況發(fā)生的概率為第次袋中有個(gè)白球,第次取出來的是黑球,由于每次球的總數(shù)為個(gè),故此時(shí)黑球的個(gè)數(shù)為.這種情況發(fā)生的概率為.故(3)第次白球的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望分為兩類: 第次白球個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望,即.由于白球和黑球的總個(gè)數(shù)為,第次取出來的是白球,這種情況發(fā)生的概率是;第次取出來的是黑球,這種情況發(fā)生的概率是,此時(shí)白球的個(gè)數(shù)是 故 15.(1);(2)若則顯然,當(dāng)取最小;若則當(dāng)取最小.故由(1)知所以,記則令,得即時(shí),取最小值.(3)將代入式右邊,等價(jià)于由于時(shí),所以下面只須證明即可.又令,則,注意到函數(shù)是單調(diào)遞增的,且所以.得證.天津大學(xué)等九所高校“卓越聯(lián)盟”自主招生 學(xué)業(yè)水平測(cè)試試卷分析 對(duì)于數(shù)理知識(shí)測(cè)試中數(shù)學(xué)部分，專家評(píng)論道：數(shù)學(xué)考題考察的是高中數(shù)學(xué)的基本知識(shí)、基本概念和基本技能，但只是考察的側(cè)重點(diǎn)與高考不同，試題重點(diǎn)考察了學(xué)生的空間想象能力，要求學(xué)生能將“數(shù)”與“形”相結(jié)合來分析和解決問題。該份試卷從工科院校的特點(diǎn)出發(fā)，考察了學(xué)生應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)求解幾何與分析方面的（最大值或最小值）優(yōu)化問題,能夠延伸性地考察學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。 對(duì)于數(shù)理知識(shí)測(cè)試中物理部分,專家評(píng)論道:物理題目涉及了力學(xué)、熱學(xué)、光學(xué)、電磁學(xué)、振動(dòng)、近代物理知識(shí),體現(xiàn)了能力測(cè)試為主導(dǎo),特別是考核學(xué)生綜合運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí),基本技能解決問題和分析問題的能力。選擇題多數(shù)與高考題類型相似,主要考核學(xué)生對(duì)物理基本概念、基本思想的理解掌握程度和基本原理的運(yùn)用能力。計(jì)算題主要考察了電學(xué)、熱學(xué)和力學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用能力。 2012年卓越聯(lián)盟自主招生數(shù)學(xué)試題卓越人才培養(yǎng)合作高校2012年自主選拔學(xué)業(yè)能力測(cè)試 數(shù) 學(xué) 本卷共100分，考試用時(shí)90分鐘 注意事項(xiàng)： 1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考點(diǎn)名稱填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。 2用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡相應(yīng)位置上。答在試卷上的無效。 3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。 2012卓越聯(lián)盟自主招生數(shù)學(xué)真題答案解析 2013年卓越聯(lián)盟自主招生數(shù)學(xué)試題一、選擇題：（本大題共4小題，每小題5分每小題給出的4個(gè)結(jié)論中，只有一項(xiàng)是符合題目要求（1）已知是定義在實(shí)數(shù)集上的偶函數(shù)，且在上遞增，則（A） (B) (C) (D) （2）已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的距離為，為得到的圖象，可將圖象上所有點(diǎn)（A）先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變 (B) 先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變(C) 先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變(D) 先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標(biāo)不變（3）如圖，在五個(gè)區(qū)域中栽種3種植物，要求同一區(qū)域中只種1種植物，相鄰兩區(qū)域所種植物不同，則不同的栽種方法的總數(shù)為（ ）（A）21 (B)24 (C)30 ( D)48(4)設(shè)函數(shù)在上存在導(dǎo)數(shù)，對(duì)任意的，有，且在上若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（A） (B) (C) (D) 二、填空題：（本大題共4小題，每小題6分，共24分）（5）已知拋物線的焦點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，則雙曲線的漸近線方程為 （6）設(shè)點(diǎn)在的內(nèi)部，點(diǎn)，分別為邊，的中點(diǎn)，且，則 （7）設(shè)曲線與軸所圍成的區(qū)域?yàn)?，向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落入?yún)^(qū)域內(nèi)的概率為 (8)如圖，是圓的切線，是切點(diǎn)，與垂直，垂足是，割線交圓于，且，則 （用表示）三、解答題（本大題共4小題，共56分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）（9）（本小題滿分13分）在中，三個(gè)內(nèi)角、所對(duì)邊分別為、已知（1）求角的大??； （2）求的最大值 （10）（本題滿分13分）設(shè)橢圓的離心率為，斜率為的直線過點(diǎn)且與橢圓交于兩點(diǎn)（1）求橢圓方程； （2）若直線與軸相交于點(diǎn)，且，求的值；（3）設(shè)為橢圓的下頂點(diǎn)，、分別為直線、的斜率，證明對(duì)任意的恒有（11）（本題滿分15分）設(shè)，（1）證明：；（2）若，證明：（12）（本題滿分15分）已知數(shù)列中，（1）若對(duì)都成立，求的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，證明 2013年卓越聯(lián)盟自主招生數(shù)學(xué)試題參考答案(1)A； （2）B； （3）C； （4）B（5）； （6）2； （7）； （8） 2014年卓越聯(lián)盟自主選拔考試學(xué)科基礎(chǔ)測(cè)試一（理科）選擇題（每題5分，共20分）（注：原題是選擇題）1. 不等式的解集為_2. 在三棱錐中，底面，二面角的大小為，三棱錐的體積為，則直線與平面所成的角的正弦值為_3. 當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，不在任何直線上的所有點(diǎn)形成的圖形的面積為_4. 已知函數(shù)設(shè)為實(shí)數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，使，則的取值范圍是_填空題（每題6分，共24分）5. 已知，分別在區(qū)間和內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，且取出的兩數(shù)之和小于1的概率為則的值為_6. 設(shè)，為平面上夾角為（）的兩個(gè)單位向量，為平面上的一個(gè)固定點(diǎn)，為平面上任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，定義為點(diǎn)的斜坐標(biāo)現(xiàn)有兩個(gè)點(diǎn)，的斜坐標(biāo)分別為，則，兩點(diǎn)的距離為_7. 若函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心與軸距離最小的對(duì)稱軸為，則實(shí)數(shù)的值為_8. 已知集合，滿足，若中元素的個(gè)數(shù)不是中的元素，中元素的個(gè)數(shù)不是中的元素，則滿足條件的所有不同的集合的個(gè)數(shù)為_解答題（共56分）9. （13分）設(shè)，函數(shù)，（1）若，求在區(qū)間上的最大值 （2）若，求與的值10. （13分）已知雙曲線（，）的兩條漸進(jìn)線的斜率之積為，左右兩支上分別由動(dòng)點(diǎn)和（1）設(shè)直線的斜率為1，經(jīng)過點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值（2）設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為若直線，分別與軸相交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明11. （15分）已知為上的可導(dǎo)函數(shù)，對(duì)任意的，有，（1）對(duì)任意的，證明：（）；（2）若，證明，12. （15分）已知實(shí)數(shù)列滿足，常數(shù)對(duì)任意的，有設(shè)為所有滿足上述條件的數(shù)列的集合（1）求的值；（2）設(shè)，且存在，使證明：；（3）設(shè)集合，求中所有正數(shù)之和附錄2：2014年卓越聯(lián)盟自主招生數(shù)學(xué)參考答案選擇題（注：原題是選擇題）1. 答案：提示：，把原式視作的三次多項(xiàng)式分解因式即可2. 答案：提示：仔細(xì)算算3. 答案：提示：原式視作的二次方程，判別式即可4. 答案：提示：仔細(xì)算算填空題5. 答案：提示：可轉(zhuǎn)化為“線性規(guī)劃+幾何概型”問題6. 答案：提示：顯然7. 答案：提示：仔細(xì)算算8. 答案：44提示：按中元素個(gè)數(shù)（,）逐個(gè)進(jìn)行分類討論解答題9. 答案：（1）；（2），（）；，提示：10. 答案：（1）；（2）提示：，再帶入，即可11. 提示：（1）即證，構(gòu)造函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)證明在上單增即可（2）由條件知是上的單增函數(shù)，故不可能恒等于零如果存在正實(shí)數(shù)，及實(shí)數(shù)，使，則對(duì)任意，則當(dāng)時(shí)，與條件矛盾如果存在正實(shí)數(shù)，及實(shí)數(shù)，使，則對(duì)任意，存在，滿足則當(dāng)時(shí)，與條件也矛盾總之，題目中的條件永遠(yuǎn)不成立故由于前提條件是假命題，從而不論結(jié)論是什么，都是真命題12. 提示：（1）化簡(jiǎn)，可得對(duì)任意正整數(shù)成立，左邊在無窮大時(shí)是無窮小，所以（2）方法一：假設(shè)是1，2，3，中滿足中的最大角標(biāo)則方法二：假設(shè)是1，2，