江蘇省淮安市淮陰中學高三數學下學期3月綜合測試試題（含解析）蘇教版.doc

江蘇省淮安市淮陰中學2013屆高三下學期3月綜合測試數學試卷一填空題（每小題5分，共70分）1（5分）設集合a=a，2，b=1，2，ab=1，2，3，則a=3考點：集合關系中的參數取值問題.專題：計算題分析：根據兩個集合的并集的定義直接求出a的值解答：解：集合a=a，2，b=1，2，ab=1，2，3，a=3，故答案為3點評：本題主要考查集合的表示方法，兩個集合的并集的定義，集合關系中參數的取值范圍問題，屬于基礎題2（5分）如果=1+mi（mr，i表示虛數單位），那么m=1考點：復數代數形式的乘除運算；復數相等的充要條件.專題：計算題分析：運用復數的除法運算把給出的等式左邊化簡，然后利用復數相等的概念求m的值解答：解：由，且=1+mi，所以，m=1故答案為1點評：本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數相等的條件，兩個復數相等，當且僅當實部等于實部，虛部等于虛部，此題是基礎題3（5分）若函數是奇函數，則a=考點：函數奇偶性的性質；對數的運算性質.專題：計算題分析：由函數是奇函數，將函數的這一特征轉化為對數方程解出a的值解答：解：函數是奇函數，f（x）+f（x）=0即loga（x+）+loga（x+）=0loga（x+）（x+）=0x2+2a2x2=1，即2a2=1，a=又a對數式的底數，a0a=故應填點評：考查奇函數的定義及利用對數的去處法則解對數方程，主要訓練對定義與法則的理解與掌握4（5分）某學校為了解該校600名男生的百米成績（單位：s），隨機選擇了50名學生進行調查，如圖是這50名學生百米成績胡頻率分布直方圖根據樣本的頻率分布，估計這600名學生中成績在13，15（單位：s）內的人數大約是120考點：頻率分布直方圖.專題：計算題分析：先算出頻率分布直方圖前面兩個成績在13，15（單位：s）內的頻率，再利用頻數等于頻率乘以樣本總數即可解得600名學生中成績在13，15內的人數解答：解：由圖知，前面兩個小矩形的面積=0.021+0.181=0.2，即頻率，600名學生中成績在13，15（單位：s）內的人數大約是0.2600=120故填120點評：在頻率分布直方圖中，每一個小矩形都是等寬的，即等于組距，其面積表示數據的取值落在相應區(qū)間上的頻率，因此，每一個小矩形的高表示該組上的個體在樣本中出現(xiàn)的頻率與組距的比值5（5分）設，為兩個不重合的平面，m，n為兩條不重合的直線，現(xiàn)給出下列四個命題：若mn，n，則mn；若mn，m，則n；若，=m，n，nm，則n；若mn，n，則m其中，所有真命題的序號是考點：命題的真假判斷與應用；空間中直線與平面之間的位置關系.專題：空間位置關系與距離分析：根據線面平行的判定定理：平面外的直線與平面內的一條直線平行，則直線與平面平行；線面垂直判定：既可以通過線線垂直、面面垂直得到，也可通過線線平行得到（平行線中的一條垂直于平面，則另一條也垂直于平面）再結合相關的性質證明解答：解：mn，n，則m或m，；mn，m，則n或n；根據面面垂直的性質，在其中一個平面內垂直于交線的直線，垂直于另一平面，；，nn，又mn，m，；故答案是點評：本題考查線面平行與垂直關系的判定，判定定理的條件缺一不可6（5分）閱讀程序：輸出的結果是 2，5，10考點：偽代碼.專題：閱讀型分析：forfrom循環(huán)是知道了循環(huán)的次數的循環(huán)，本題執(zhí)行3次循環(huán)，根據語句ss+i執(zhí)行三次，分別求得s即可解答：解：根據題意可知循環(huán)題執(zhí)行3次，i分別取1，3，5當i=1時，s=2當i=3時，s=5當i=5時，s=10故答案為：2，5，10點評：本題主要考查了forfrom循環(huán)，語句的識別問題是一個逆向性思維，一般我們認為我們的學習是從算法步驟（自然語言）至程序框圖，再到算法語言（程序）如果將程序擺在我們的面前時，我們要從識別逐個語句，整體把握，概括程序的功能，屬于基礎題7（5分）設變量x、y滿足約束條件，則z=2x+3y的最大值為 18考點：簡單線性規(guī)劃.分析：本題主要考查線性規(guī)劃問題，由線性約束條件畫出可行域，然后求出目標函數的最大值解答：解：畫出可行域，得在直線2xy=2與直線xy=1的交點a（3，4）處，目標函數z最大值為18故答案為18點評：本題只是直接考查線性規(guī)劃問題，是一道較為簡單的送分題近年來高考線性規(guī)劃問題高考數學考試的熱點，數形結合是數學思想的重要手段之一，是連接代數和幾何的重要方法隨著要求數學知識從書本到實際生活的呼聲不斷升高，線性規(guī)劃這一類新型數學應用問題要引起重視8（5分）甲盒子里裝有分別標有數字1.2，4，7的4張卡片，乙盒子里裝有分別標有數字1，4的2張卡片，若從兩個盒子中各隨機地取出1張卡片，則2張卡片上的數字之和為奇數的概率是考點：等可能事件的概率.分析：由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生的所有事件是從甲盒子里裝有的4張卡片乙盒子里裝有2張卡片中各抽一張有c41c21種取法，而滿足條件的2張卡片上的數字之和為奇數的有1，4，；2，1；4，1；7，4共有四種不同的結果解答：解：由題意知本題是一個古典概型，試驗發(fā)生的所有事件是從甲盒子里裝有的4張卡片乙盒子里裝有2張卡片中各抽一張有c41c21種取法，而滿足條件的2張卡片上的數字之和為奇數的有1，4，；2，1；4，1；7，4共有四種不同的結果，由古典概型公式得到p=，故答案為：點評：學好古典概型可以為其它概率的學習奠定基礎，同時有利于理解概率的概念，有利于計算一些事件的概率，有利于解釋生活中的一些問題解題時先要判斷該概率模型是不是古典概型，再要找出隨機事件a包含的基本事件的個數和試驗中基本事件的總數9（5分）函數f（x）=sin2xcosx（x0，）的值域是，考點：復合三角函數的單調性.專題：計算題；三角函數的圖像與性質分析：將f（x）=sin2xcosx轉化為關于cosx的二次函數，利用復合函數的單調性即可求得x0，時的值域解答：解：f（x）=sin2xcosx=1cos2xcosx=+，x0，1cosx1，當cosx=1時，f（x）取得最小值，即f（x）min=；當cosx=時，f（x）取得最大值，f（x）max=；函數f（x）=sin2xcosx（x0，）的值域是，故答案為：，點評：本題考查復合三角函數的單調性，將f（x）=sin2xcosx轉化為關于cosx的二次函數是關鍵，也是難點，屬于中檔題10（5分）已知o，a，b是平面上不共線三點，設p為線段ab垂直平分線上任意一點，若，則的值為12考點：平面向量數量積的運算.專題：計算題分析：設m是ab的中點，將向量表示成，而，從而，再結合p為線段ab垂直平分線上任意一點，得，轉化為求數量積，再用，代入，得=，結合已知條件的數據，不難得出這個數量積解答：解：根據題意，設m是線段ab的中點，得，因此又oab中，om是ab邊上的中線=即，=故答案為：12點評：本題考查了平面向量數量積的運算，著重考查了數量積在三角形中的應用，屬于中檔題11（5分）設f（x）=，若f（x1）=f（x2）=a（x1x2），則實數a的取值范圍是1，2e）考點：函數的零點與方程根的關系.專題：函數的性質及應用分析：根據函數的單調性可得當x2時，f（x）（0，2e ），當x2時，f（x）1，+）再由直線y=a和函數f（x）的圖象有2個交點，可得實數a的取值范圍解答：解：f（x）=，故函數f（x）在（，2）上是增函數，在2，+）上也是增函數由于f（x1）=f（x2）=a（x1x2），故函數f（x）在（，+）上不是增函數當x2時，f（x）（0，2e ），當x2時，f（x）f（2）=1，即f（x）1，+）由題意可得直線y=a和函數f（x）的圖象有2個交點，故有 1a2e，故答案為1，2e）點評：本題主要考查函數的零點和方程的根的關系，體現(xiàn)了轉化的數學思想，屬于基礎題12（5分）已知橢圓，f1，f2是左右焦點，l是右準線，若橢圓上存在點p，使|pf1|是p到直線l的距離的2倍，則橢圓離心率的取值范圍是考點：橢圓的簡單性質.專題：綜合題；壓軸題分析：設點p到直線l的距離為d，根據橢圓的定義可知|pf2|比d的值等于c比a的值，由題意知|pf1|等于2d，且|pf1|+|pf2|=2a，聯(lián)立化簡得到：|pf1|等于一個關于a與c的關系式，又|pf1|大于等于ac，小于等于a+c，列出關于a與c的不等式，求出不等式的解集即可得到的范圍，即為離心率e的范圍，同時考慮e小于1，從而得到此橢圓離心率的范圍解答：解：設p到直線l的距離為d，根據橢圓的第二定義得=e=，|pf1|=2d，且|pf1|+|pf2|=2a，則|pf1|=2a|pf2|=2a=2d，即d=，而|pf1|（ac，a+c），即2d=，所以得到，由得：+20，為任意實數；由得：+320，解得或（舍去），所以不等式的解集為：，即離心率e，又e1，所以橢圓離心率的取值范圍是，1）故答案為：，1）點評：此題考查學生掌握橢圓的定義及橢圓簡單性質的運用，是一道中檔題13（5分）（2011浦東新區(qū)三模）已知數列an是以3為公差的等差數列，sn是其前n項和，若s10是數列sn中的唯一最小項，則數列an的首項a1的取值范圍是（30，27）考點：等差數列的性質.專題：計算題分析：先根據其為等差數列得到其前n項和的表達式，再結合開口向上的二次函數離對稱軸越近函數值越小得到關于首項a1的不等式，解不等式即可求出首項a1的取值范圍解答：解：因為數列an是以3為公差的等差數列；所以：=n=+（）對稱軸n=若s10是數列sn中的唯一最小項，9n10，即30a127故答案為：（30，27）點評：本題主要考查等差數列的基本性質以及二次函數的性質應用，是對基礎知識的綜合考查，考查計算能力以及分析能力14（5分）函數f（x）=ax22（a3）x+a2中，a為負整數，則使函數至少有一個整數零點的所有的a值的和為14考點：函數的零點.專題：壓軸題；函數的性質及應用分析：由求根公式可得x1=1+，x2=1+，要使函數至少有一個整數零點，結合a為負整數，驗證即可解答：解：利用求根公式解得x=，x1=1+，x2=1+，要使函數至少有一個整數零點，則，和中至少一個為整數，因為a為負整數，經驗證，當a=4時，=2，當a=10時，=1，故所有的a值的和為14，故答案為：14點評：本題考查二次方程的系數問題；利用求根公式求得含有字母的未知數的解是解決本題的突破點二解答題（解答要給出必要的文字說明和演算步驟，共90分）15（14分）在abc中，角a、b、c所對的邊分別為a、b、c，且tana=，cosb=（1）求tanc的值；（2）若abc最長的邊為1，求b邊及abc的面積考點：正弦定理的應用；同角三角函數間的基本關系.專題：計算題；解三角形分析：（1）依題意，可求得tanb=，利用同角三角函數間的基本關系與兩角和的正切即可求得tanc的值；（2）利用正弦定理可求得b，再利用三角形的面積公式即可求得答案解答：解：（1）在abc中，tana=，cosb=，tanb=，又a+b+c=，tanc=tan（a+b）=tan（a+b）=1；（2）由（1）知tanc=1，最長的邊為c，即c=1且c=，sinc=，又cosb=，tana=，sinb=，sina=，由正弦定理得：=，b=c=1=，sabc=bcsina=1=點評：本題考查正弦定理的應用，考查同角三角函數間的基本關系，考查分析與運算能力，屬于中檔題16（14分）在四棱柱abcda1b1c1d1中，aa1平面abcd，底面abcd為菱形，bad=60，p為ab的中點，q為cd1的中點（1）求證：dp平面a1abb1；（2）求證：pq平面add1a1考點：直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定.專題：空間位置關系與距離分析：（1）利用菱形和等邊三角形的性質、線面垂直的判定定理即可證明；（2）利用三角形的中位線定理、平行四邊形的性質、線面、面面平行的判定與性質定理即可證明解答：證明：（1）連接db，由菱形abcd可得ab=ad，又dab=60，abd是等邊三角形，p為ab的中點，dpabaa1平面abcd，aa1dp又aa1ab=a，dp平面a1abb1（2）取cd的中點e，連接pe，eq，又q為cd1的中點，根據三角形的中位線定理可得eqdd1，eq平面add1a1dd1平面add1a1eq平面add1a1由于平行四邊形aped可得epad，同理可得ep平面add1a1epeq=e，平面epq平面add1a1pq平面add1a1點評：熟練掌握菱形和等邊三角形的性質、線面垂直的判定定理、三角形的中位線定理、平行四邊形的性質、線面、面面平行的判定與性質定理是解題的關鍵17（14分）今年的國慶假期是實施免收小型客車高速通行費后的第一個重大節(jié)假日，有一個群名為“天狼星”的自駕游車隊該車隊是由31輛車身長都約為5m（以5m計算）的同一車型組成的，行程中經過一個長為2725m的隧道（通過該隧道的車速不能超過25m/s），勻速通過該隧道，設車隊的速度為xm/s，根據安全和車流的需要，當0x2時，相鄰兩車之間保持20m的距離；當12x25時，相鄰兩車之間保持（）m的距離自第1輛車車頭進入隧道至第31輛車車尾離開隧道所用的時間為y（s）（1）將y表示為x的函數；（2）求該車隊通過隧道時間y的最小值及此時車隊的速度考點：函數模型的選擇與應用.專題：函數的性質及應用分析：（1）利用當0x12時，相鄰兩車之間保持20m的距離；當12x25時，相鄰兩車之間保持（）m的距離，可得分段函數；（2）分段求出函數的最小值，即可得到分段函數的最小值解答：解：（1）當0x12時，相鄰兩車之間保持20m的距離；當12x25時，相鄰兩車之間保持（）m的距離，當0x12時，y=；當12x25時，y=5x+10y=；（2）當0x12時，y=，x=12m/s時，ymin=290s；當12x25時，y=5x+102 +10=250s當且僅當5x=，即x=24m/s時取等號，即x=24m/s時，ymin=250s290250，x=24m/s時，ymin=250s答：該車隊通過隧道時間y的最小值為250s及此時該車隊的速度為24m/s點評：本題考查分段函數模型的構建，考查學生利用數學知識解決實際問題的能力，屬于中檔題18（16分）已知橢圓的離心率為，且過點p（4，），a為上頂點，f為右焦點點q（0，t）是線段oa（除端點外）上的一個動點，過q作平行于x軸的直線交直線ap于點m，以qm為直徑的圓的圓心為n（1）求橢圓方程；（2）若圓n與x軸相切，求圓n的方程；（3）設點r為圓n上的動點，點r到直線pf的最大距離為d，求d的取值范圍考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程.專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題分析：（1）由e=，不妨設c=3k，a=5k，則b=4k，其中k0，從而可得橢圓方程，把點p坐標代入橢圓方程即可求得k值，進而得橢圓方程；（2）由點斜式可得直線ap的方程為y=x+4，通過解方程可得m，n坐標，圓n與x軸相切可得半徑為t，從而可求得t值，進而可求得圓n方程；（3）點r到直線pf的最大距離為d等于圓心n到直線pf的距離加上半徑，根據d的表達式分類討論即可求得其范圍；解答：解：（1）e=，不妨設c=3k，a=5k，則b=4k，其中k0，故橢圓方程為，p（4，）在橢圓上，+=1，解得k=1，橢圓方程為+=1；（2）kap=，則直線ap的方程為y=x+4，令y=t（0t4），則x=（4t），m（，t），q（0，t）n（，t），圓n與x軸相切，=t，由題意m為第一象限的點，則由=t，解得t=，n（，），圓n的方程為=；（3）f（3，0），kpf=，直線pf的方程為y=（x3），即12x5y36=0，點n到直線pf的距離為=，d=+（4t），0t4，當0t時，d=，此時，當t4時，d=（5t6）+（4t）=，此時，綜上，d的取值范圍為，）點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及橢圓標準方程的求解，考查分類討論思想，考查學生分析解決問題的能力，熟練求解直線方程、熟記點到直線的距離公式等是解決相關問題的基礎19（16分）設函數f（x）=x3+ax2+bx+c（a0）在x=0處取得極值1（1）設點a（a，f（a），求證：過點a的切線有且只有一條；并求出該切線方程（2）若過點（0，0）可作曲線y=f（x）的三條切線，求a的取值范圍；（3）設曲線y=f（x）在點（x1，f（x1），（x2，f（x2）（x1x2）處的切線都過點（0，0），證明：f（x1）f（x2）考點：利用導數研究函數的極值；利用導數研究曲線上某點切線方程.專題：導數的綜合應用分析：（1）求出函數的導函數，由函數f（x）=x3+ax2+bx+c（a0）在x=0處取得極值1，則f（0）=0，f（0）=1，由此可得b和c的值，然后設出切點坐標，寫出切線方程，把a點的坐標代入切線方程即可求得切點坐標，從而說明過點a的切線有且只有一條并求出該切線方程；（2）根據過點（0，0）可作曲線y=f（x）的三條切線，求出過（0，0）的切線方程方程得，說明該方程應有三個不同的實數根，利用導函數求出該方程對應函數的極值，則其極大值要大于0，極小值要小于0，由此列式可求a的取值范圍；（3）利用反證法，假設，代入整理后可得x1+x2=2a再由（2）可得，兩式作差后得到把x1+x2=2a代入可得，而利用基本不等式得到，從而得到矛盾，說明假設錯誤，得到要證的結論正確解答：（1）證明：由f（x）=x3+ax2+bx+c（a0），得：f（x）=x2+2ax+b，由題意可得f（0）=0，f（0）=1，解得b=0，c=1經檢驗，f（x）在x=0處取得極大值設切點為（x0，y0），則切線方程為即為把（a，f（a）代入方程可得，即，所以x0=a即點a為切點，且切點是唯一的，故切線有且只有一條所以切線方程為；（2）解：因為切線方程為，把（0，0）代入可得，因為有三條切線，故方程得有三個不同的實根設（a0）g（x）=2x+2ax，令g（x）=2x+2ax=0，可得x=0和x=a當x（，0）時，g（x）0，g（x）為增函數，當x（0，a）時，g（x）0，g（x）為減函數，當x（a，+）時，g（x）0，g（x）為增函數，所以，當x=0時函數g（x）取得極大值為g（0）=10當x=a時函數g（x）取得極小值，極小值為因為方程有三個根，故極小值小于零，所以（3）證明：假設，則，所以（x1x2）（x1+x2）=2a（x1x2）因為x1x2，所以x1+x2=2a由（2）可得，兩式相減可得因為x1x2，故把x1+x2=2a代入上式可得，所以，所以又由，這與矛盾所以假設不成立，即證得點評：本題考查了利用導數研究函數的極值，利用導數研究曲線上某點的切線方程，考查了函數的零點