球坐標系下的分離變量球函數(shù)

第九章球坐標系下的分離變量球函數(shù) 本章內容概要 9 1球坐標系下的亥姆霍茲方程的分離變量給出該亥姆霍茲方程分離變量的解 9 2 9 3 締合 勒讓德函數(shù) 球函數(shù)的性質 母函數(shù) 遞推公式 正交歸一性關系 前幾階的勒讓德多項式 球坐標系下分離變量法的應用 見本章6道例題 令 代入得 9 1球坐標系下的亥姆霍茲方程的分離變量 一 亥姆霍茲方程的引入 分離變量得 亥姆霍茲方程 對三維波動方程 為使t 時 T t 有限 取 Tips k 0時 取T t Constant 位勢方程 二 球坐標系下亥姆霍茲方程的分離變量 1 徑向坐標r和角向坐標的分離變量 令 代入Helmholhz方程 方程兩邊同時乘以 整理得 0 即 2 角向坐標q和j的分離變量 令 代入角向方程 方程兩邊同時乘以 整理得 即 3 的本征問題求解 自然周期條件 本征值 本征函數(shù) 或 本征值 本征函數(shù) 4 的本征問題求解 有限值 自然邊界條件 令x cosq 則dx sinqdq 此即l階勒讓德方程 滿足有限的本征解為 本征值 本征函數(shù) m 0 的方程變?yōu)?此時為常數(shù)即 繞z軸對稱 m 0時 令 方程變?yōu)?為求方程的解 考慮勒讓德多項式滿足的方程 對x求m次導 整理 得 比較上式與 式 知本征解為 記為締合勒讓德函數(shù) 由勒讓德函數(shù)的微分表達式 得 注意到為l階多項式 使 則 從的微分表達式 也可看出 若先選定m 則 若先選定l 則 或 本征值 本征函數(shù) 或者 附注 締合 勒讓德函數(shù)的正交歸一關系 或者 范數(shù) 范數(shù) 詳細證明見下節(jié) 5 總結 角向函數(shù)的本征問題 本征值 本征函數(shù) 本征值 或者 本征函數(shù) 為有限值 自然周期邊界條件 有界條件 例 量子力學中 定義角動量平方算符為 則 即 算符有分立的本征值 稱為球諧函數(shù) 球諧函數(shù)具有正交性 因此 函數(shù) 可在球坐標系展開為 k 0時 徑向方程為歐拉方程 令 得其解為 k 0時 方程稱為l階球貝塞爾方程 此時 令 徑向方程 根據(jù)前面的討論 l為自然數(shù) 即 6 徑向函數(shù)的求解 此時Helmholhz方程變?yōu)長aplace方程 根據(jù)對貝塞爾方程的討論 方程通解為 通常令 分別稱為l階球貝塞爾函數(shù)和l階球諾依曼函數(shù) 則l階球貝塞爾方程的通解為 方程化為 l為整數(shù) 則方程為半奇數(shù)階貝塞爾方程 7 總結 球坐標系下Helmholhz方程的通解形式 k 0時 Helmholhz方程即為Laplace方程 位勢方程 k 0時 或者 若討論的問題具有旋轉對稱性 則m 0 此時 k2 本征值 可由徑向 r 的邊界條件給出 例9 3 方程 一般情形m 0 繞極軸旋轉對稱 m 0 球對稱 m 0且l 0 Helmholtz方程 Laplace 位勢 方程 球坐標系下方程的通解 9 2球函數(shù) 9 3 締合 勒讓德多項式 一 勒讓德多項式的母函數(shù) 生成函數(shù) 在單位球的北極 置電荷量為的正電荷 球內M點與N點距離為 N 則 M點電勢為 u M 也可由拉普拉斯方程通過分離變量法求出 此問題關于z軸對稱 且球內電勢有限 令 則因 有 又 由 9 1的討論知 此問題通解為 因此 稱為勒讓德多項式的母函數(shù) 同理得 因此 勒讓德函數(shù)是函數(shù)在r 0處的泰勒 洛朗展開的系數(shù) 比較r的l次冪的系數(shù) 二 勒讓德多項式的遞推公式 由母函數(shù)公式 兩邊對r求導 得 整理 得遞推公式 三 勒讓德多項式的正交歸一關系 締合 勒讓德方程是Sturm Liouville方程的一例 因此 締合 勒讓德多項式在 1 1 上正交 下面由勒讓德方程證明正交歸一關系 或者 并在 1 1 積分得 作分部積分 相減結果為零 又k l 故 1 正交性 2 歸一關系 上式兩邊平方 并在 1 1 積分 由正交性得 將方程左邊也展開為r的級數(shù)表達式 比較的系數(shù)得 母函數(shù)關系 由勒讓德多項式的正交歸一關系 可將在區(qū)間 1 1 上的函數(shù)f x 用勒讓德多項式展開 四 締合勒讓德函數(shù) 1 締合勒讓德函數(shù)的引入 在 9 1討論中 通過對勒讓德方程微分m次 驗證了締合勒讓德方程的解 即締合勒讓德函數(shù) 2 締合勒讓德函數(shù)的遞推公式 證明方法 由勒讓德多項式的遞推公式求m次導 并利用勒讓德函數(shù)的母函數(shù)公式 詳見課本Page167 168的證明 締合勒讓德函數(shù)有其他遞推公式 可參考 王竹溪 特殊函數(shù)概論 劉式達 劉式適 特殊函數(shù) 同m 不同l的遞推公式 例如 同l 不同m的遞推公式 3 締合勒讓德函數(shù)的正交歸一關系 證明 令 將代入 并分部積分 此項為0 分部積分 作微分運算 放大 根據(jù)同l不同m的遞推公式 將該式遞推m次 上式中用到勒讓德多項式正交歸一關系 得證 4 負指標的締合勒讓德函數(shù) 在亥姆霍茲方程方程的通解中 用到 不能由定義 考慮利用微分表達式定義 則 并且可證 Eg 前幾階的勒讓德函數(shù) Question l階締合勒讓德函數(shù) x的次數(shù)是多少 或者 復數(shù)形式 是Helmholtz方程在自然周期條件 邊界值有限條件下的角向本征函數(shù) 五 球諧函數(shù) 球諧函數(shù)滿足的方程為 球諧函數(shù)為 實函數(shù)形式 l階獨立的球函數(shù)共2l 1個 由締合勒讓德函數(shù)的正交歸一關系 以及j方向本征函數(shù)系的正交歸一關系 得復數(shù)形式球諧函數(shù)的正交歸一關系 其中為的復數(shù)共軛 即 球諧函數(shù)的遞推公式 可由遞推公式推導的遞推公式 本節(jié)主要結論 一 勒讓德函數(shù)的母函數(shù)公式 二 勒讓德函數(shù)的遞推公式 三 勒讓德函數(shù)的正交歸一關系 四 締合勒讓德函數(shù) 1 定義 2 締合勒讓德函數(shù)的遞推公式 了解 同m 不同l的遞推公式 同l 不同m的遞推公式 3 締合勒讓德函數(shù)的正交歸一關系 重要 4 時的締合勒讓德函數(shù) 了解 或復數(shù)形式 五 球諧函數(shù) l階獨立的球函數(shù)共2l 1個 復數(shù)形式的球諧函數(shù)的正交歸一關系 球諧函數(shù)的遞推公式 了解 例9 2一半徑為a的空心球 若在其表面一半充電到電勢u0 另一半電勢為0 求球內外電勢分布 解 球內 球外 習題9 1第2題勻強電場中放置一接地導體球 球的半徑為a 求球外的電勢 例9 3均質球 半徑為r0 初始溫度分布為f r 球表面溫度保持為0 使它冷卻 求溫度分布 解 球內 一 亥姆霍茲方程的引入 二 球坐標系下亥姆霍茲方程的分離變量 1 徑向坐標r和角向坐標的分離變量 2 角向坐標 和j的分離變量 3 的本征問題求解 4 的本征問題求解 5 總結 角向函數(shù)的本征問題 6 徑向函數(shù)的求解 7 總結 球坐標系下Helmholhz方程的通解形式 9 1球坐標系下的亥姆霍茲方程的分離變量 9 3勒讓德多項式的母函數(shù) 正交性和遞推公式 一 勒讓德多項式的母函數(shù) 生成函數(shù) 二 勒讓德多項式的遞推公式 三 勒讓德多項式的正交歸一關系 四 締合勒讓德函數(shù) 1 締合勒讓德方程 2 締合勒讓德函數(shù)的遞推公式 3 締合勒讓德函數(shù)的正交歸一關系 4 時的締合勒讓德函數(shù) 五 球諧函數(shù) 本章考試范圍 體系具有旋轉對稱性時 m 0 1 熟悉Helmholhz方程在球坐標下的通解 k 0時 Helmholhz方程即為Laplace方程 k 0時 不要求能解具體問題 m 0時 3 熟悉締合勒讓德函數(shù) 球諧函數(shù)正交歸一關系 附注 Laplace方程在平面極坐標系的通解形式 2 締