江蘇省白蒲中學(xué)高一數(shù)學(xué) 直線、平面、簡單幾何體教案17 蘇教版.doc

直線和平面復(fù)習(xí)（一） 教學(xué)目標(biāo)1配合系統(tǒng)復(fù)習(xí)，進(jìn)一步培養(yǎng)空間想象力；2借助平面幾何中，三角形的重心、垂心、內(nèi)心、外心等知識，解決立體幾何問題教學(xué)重點和難點1空間想象力的培養(yǎng)；2分析問題能力與綜合運用知識能力的培養(yǎng)教學(xué)設(shè)計過程師：同學(xué)們已經(jīng)很好地完成了知識總結(jié)的作業(yè)，有些同學(xué)還將知識的內(nèi)在聯(lián)系用圖表展示出來也有的同學(xué)將各種位置關(guān)系用圖形語言和符號語言進(jìn)行歸納和整理在此一并提出表揚我們將把這些總結(jié)用展板展示，請同學(xué)們互相學(xué)習(xí)師：本節(jié)課我們將通過一組問題來進(jìn)行復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)的目的之一是進(jìn)一步培養(yǎng)同學(xué)們的空間想象力關(guān)于空間想象力的問題，在高一年級剛開始時，單純的想象占主導(dǎo)地位，隨著一個學(xué)期的學(xué)習(xí)，關(guān)于線面的各種位置關(guān)系及性質(zhì)研究的深入，單純的想象力就轉(zhuǎn)化為：在線面各種位置關(guān)系的定義、性質(zhì)定理指導(dǎo)下的想象請先看下面一組題目：填空題：1空間三個平面可能將空間分成_部分2正方體各個面所在的平面將空間分成_部分3與空間四個點距離相等的平面有_個*4a，b，c，d是空間不共面的四點它們到平面的距離比（依次）為：2111，滿足條件的平面有個生：第1題空間三個平面可能將空間分成4或6或7或8部分師：請你畫圖說明你的觀點生：（作圖）師：很好，圖1、圖2、圖3、圖4依次表示三個平面將空間分成4，6，7，8部分生：第2題答案是27師：你給同學(xué)們解釋一下，答案為什么是27生：（手拿一個粉筆盒）這個粉筆盒近似看成一個正方體，它的上底面與下底之間被分成9部分同樣，上底面上邊與下底面下面也各被分成9部分總計正方體各個面所在的平面將空間分成27部分師：對于第3小題，需要先證明下面的命題：線段ab與平面相交，若ab中點c在平面上，則點a、點b到平面的距離相等生a：本題的答案為4，因為經(jīng)過有公共頂點的三條棱的中點作截面，根據(jù)老師剛介紹的引理，可以證明這樣的截面符合條件（如圖5） 生b：還有一種情況剛才生a所作平面使已知四個點中有三個在平面的同一側(cè)，另外一個點在另一側(cè)我想所作平面兩側(cè)各有2個點如圖6這類平面共有3個，即v，a兩點在平面同側(cè)；v，b兩點在平面同側(cè)；v，c兩點在平面同側(cè)師：剛才兩名同學(xué)講的都很好，相互補(bǔ)充，符合條件的平面共有7個同學(xué)們有不同意見嗎？師：剛才兩名同學(xué)都認(rèn)為已知四個點不共面，事實上，當(dāng)這四個點共面時，符合題目要求的平面有無數(shù)個只要與四點所在平面平行的平面都符合要求生：老師，如果這四個點共線呢？師：當(dāng)四個點共線時，只要與這條直線平行的平面均符合條件，這個題目的正確答案應(yīng)該是7個或無數(shù)個分類討論的方法不僅在代數(shù)課上使用，幾何學(xué)中也經(jīng)常使用，此題就是按照圖形的不同位置關(guān)系進(jìn)行分類討論我們繼續(xù)討論第4題生：我認(rèn)為仿照第3小題的解答，可提出下面引理：若點a、點b師：他的猜測是正確的這個命題的正確性請同學(xué)們課下論證下面我們討論第4小題的解法生a：分別延長ab，ac，ad至b1，c1，d1，使bb1=ab，cc1=ac，dd1=ad，如圖7，則平面就是平面b1c1d1生b：分別在ab，ac，ad上取點b，c，d，使得：師：分別取bc，cd，da的中點e，f，g那么經(jīng)過eg的任何一個平面都滿足：它與b，c，d三點的距離相等，在這些平面中，經(jīng)過點b或經(jīng)過cd（因為cdcdge）的平面符合題目要求（圖8）經(jīng)過eg有兩個平面符合題意同樣，經(jīng)過ef，fg各有兩個平面符合題意，綜合以上分析共有8個平面符合題目要求師：問題5是否存在一個四面體，它的每個面都是直角三角形？請同學(xué)們思考生a：我找到一個幾何體，它的三個面都是直角三角形如圖 9avb=bvc=cva=90生b：我曾經(jīng)證過生a所給的圖中，abc是銳角三角形師：根據(jù)兩名同學(xué)的發(fā)言，給我們以下啟示：三個面是直角三角形的幾個體已經(jīng)找到；三個直角頂點不能是同一個點！構(gòu)造vab=vac=90，且bac90再構(gòu)造acb=90，同學(xué)們不難證明vcb=90生：是根據(jù)三垂線定理師：空間想象力在不同時期有不同要求上面這個問題如果是高一第一學(xué)期開始讓同學(xué)們作，那就只有想象或動手制做模型現(xiàn)在解決它，可以借助我們所學(xué)的線面位置關(guān)系去尋找解決問題的方法，并且在想象結(jié)束時，論證想象的合理性師；如圖11，正方體abcd-a1b1c1d1，p，q，r分別在c1d1，cc1，ab上畫出截面pqr與正方體各面的交線由公理知：pq 面dc1因為面ab1面dc1，截面與它們相交，交線必平行（根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理）過點r在面ab1中作pq平行線交aa1于spq交dc于t，tr交bc于e，連結(jié)eq，過s作sfeq交a1d1于f，連fp，則多邊形pqersf的邊就是截面pqr與正方體各面的交線師：同學(xué)們請看下面一組題：6從平面外一點向平面引垂線和斜線，若斜線與平面所成的角都相等，垂足是斜足多邊形的_心7直角三角形abc中，c是直角，ac=6，bc=8，abc所在平面外一點p，pa=pb=pc=13，點p到abc所在平面的距離為_生：垂足是斜足多邊形的外心，因為從平面外一點向平面引斜線它們與平面所成角相等，可以得到它們的長相等，它們在平面內(nèi)的射影長也相等師：同學(xué)們還可以進(jìn)一步思考，滿足什么條件時，垂足是斜足多邊形的內(nèi)心？垂足有沒有可能成為斜足多邊形的重心？垂心？做完一道題目之后，不要滿足于題目的本身，能夠?qū)l件、結(jié)論變換后的有關(guān)命題進(jìn)行研究，可達(dá)到事半功倍，提高能力的效果師：根據(jù)已知條件，第7小題中，點p在abc所在平面上的射影恰為abc的外心由于abc是直角三角形，所以由點p引平面abc的垂線，垂足恰為abc斜邊ab的中點，你們知道了解題思路嗎？生：作pd面abc于d，由pa=pb=pc，得da=db=dc，d是abc外心又因為acb=90，由平面幾何知識，得出d為ab的中點pa=13，ad=5，pd=12即點p到平面abc的距離為12師：三角形的垂心、內(nèi)心、外心、重心的知識在立體幾何中經(jīng)常使用有一些題目本身沒有明確給出，如第7小題，恰到好處地運用四心有關(guān)的知識，可簡化解題過程下面一道題目也是與三角形的“心”有關(guān)的問題8如圖13，正abc邊長為a，o為外心，po面abc，pa=pb=pc=b，d，e分別為ac，ab的中點，且pa面defg求：四邊形defg的面積由題設(shè)我們能得到哪些有用的結(jié)論？生a：因為pa面efgd，由線面平行的性質(zhì)可得：efpa，gdpa，所以efdg由d，e分別是ab，ac的中點，debc，所以bc面defg進(jìn)一步得出bcfg綜上defg是平行四邊形能求出平行四邊形defg的面積師：到目前為止，已知條件中還有兩條沒有發(fā)揮作用等邊abc；o為abc的外心，生c：當(dāng)o為等邊三角形外心時，它也是等邊abc的垂心即bcao，又po面abc，由三垂線定理知：bcpa已經(jīng)證明了efpa，bcde，得出efde，efgd為一矩