離散型人壽保險(xiǎn)與生存年金的方差計(jì)算.doc

離散型人壽保險(xiǎn)與生存年金的方差計(jì)算漆世雄 作者簡(jiǎn)介：漆世雄（1958），男，湖南人，浙江財(cái)經(jīng)學(xué)院金融學(xué)院副教授，碩士。 摘要：在保險(xiǎn)精算的理論上，計(jì)算人壽保險(xiǎn)與生存年金的躉繳凈保費(fèi)的方差，通常需要借助被保險(xiǎn)人的死亡概率密度函數(shù)。但在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中，被保險(xiǎn)人的死亡概率密度函數(shù)很難獲得。本文利用生命表編制計(jì)算方差的轉(zhuǎn)換函數(shù)，再利用轉(zhuǎn)換函數(shù)計(jì)算人身保險(xiǎn)中人壽保險(xiǎn)與生存年金的方差。 關(guān)鍵詞：人壽保險(xiǎn)；生存年金；轉(zhuǎn)換函數(shù)；期望值；方差一、引言眾所周知，保險(xiǎn)人開(kāi)辦人壽保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，必然要承擔(dān)一定的風(fēng)險(xiǎn)。也就是說(shuō)，保險(xiǎn)人在收取保費(fèi)的時(shí)刻，并不知道將來(lái)要支付的保險(xiǎn)金是多少，因?yàn)橥侗Ｈ松肀ｋU(xiǎn)的被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)期內(nèi)是否死亡是隨機(jī)的，所以保險(xiǎn)公司將來(lái)要支付的保險(xiǎn)金也就成為一個(gè)隨機(jī)變量。衡量隨機(jī)變量的波動(dòng)幅度和穩(wěn)定性的指標(biāo)是方差或標(biāo)準(zhǔn)差。方差越大，也就表明保險(xiǎn)公司將來(lái)支付保險(xiǎn)金的波動(dòng)幅度就越大；方差越小，則說(shuō)明穩(wěn)定性越好。因此，通過(guò)計(jì)算保險(xiǎn)金的方差來(lái)了解保險(xiǎn)人開(kāi)辦人身保險(xiǎn)業(yè)務(wù)所承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)保險(xiǎn)人來(lái)說(shuō)是十分必要的。如果事先能獲得被保險(xiǎn)人的死亡概率密度函數(shù)，對(duì)于死亡即付的、終身壽險(xiǎn)的保險(xiǎn)金（稱之為連續(xù)型壽險(xiǎn)），計(jì)算方差時(shí)可采用以下公式：但由于被保險(xiǎn)人的死亡概率密度函數(shù)事先幾乎不可能獲得，所以以上公式很難在實(shí)際中被采用。由于這個(gè)原因，在保險(xiǎn)精算的實(shí)際運(yùn)用中，一般都是采用編制生命表的方法來(lái)計(jì)算凈保費(fèi)的。本文所討論的內(nèi)容，就是利用生命表來(lái)編制專門用于計(jì)算方差的轉(zhuǎn)換函數(shù)，再通過(guò)轉(zhuǎn)換函數(shù)計(jì)算離散型壽險(xiǎn)和生存年金的方差。對(duì)于連續(xù)型壽險(xiǎn)模型，只需要借助UDD 假設(shè)就可以了。而編制用于計(jì)算方差的轉(zhuǎn)換函數(shù)和專門用于計(jì)算方差的軟件，在計(jì)算機(jī)上利用辦公軟件是很容易實(shí)現(xiàn)的。二、 人壽保險(xiǎn)與生存年金的方差計(jì)算原理與模型（一）人壽保險(xiǎn)方差計(jì)算原理與模型 人壽保險(xiǎn)又稱之為死亡保險(xiǎn)，它只提供一個(gè)確定時(shí)期的保障，把被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)期內(nèi)的死亡作為保險(xiǎn)金給付條件，若被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)期滿依然存活，則沒(méi)有保險(xiǎn)金給付。對(duì)于一個(gè)（x）投保定期n年、死亡年末給付1單位元的投保人，保險(xiǎn)公司收取的躉繳凈保費(fèi)為： （1）容易看出，以上公式的右邊正是一個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望。假設(shè)用T表示一個(gè)x歲的被保險(xiǎn)人在簽單之后的死亡時(shí)間，用Z表示保險(xiǎn)人為這個(gè)投保人將來(lái)所支付的保險(xiǎn)金的現(xiàn)值，對(duì)于投保n年定期壽險(xiǎn)的被保險(xiǎn)人，T與Z之間的關(guān)系為： ， ；，當(dāng)被保險(xiǎn)人在簽單后的（x，x+1）之內(nèi)死亡時(shí)，在x+1的整數(shù)年給付1單位元，這1單位元在簽單時(shí)（x歲）的現(xiàn)值為 ；當(dāng)被保險(xiǎn)人在簽單后的（x+1，x+2）之內(nèi)死亡時(shí)，在x+2的整數(shù)年給付1單位元在簽單時(shí)（x歲）的現(xiàn)值為 ；當(dāng)被保險(xiǎn)人在簽單后的（x+n-1，x+n）之內(nèi)死亡時(shí)，在x+n的整數(shù)年給付1單位元在簽單時(shí)（x歲）的現(xiàn)值為 ；當(dāng)被保險(xiǎn)人的存活年齡超過(guò)x+n歲，就停止給付。將隨機(jī)變量T和Z的取值及其相應(yīng)的概率列表如下：T0T11T2n-2Tn-1n-1TnTnZvv 2v n-1v n0p顯然，以上的概率系列構(gòu)成一個(gè)全概率空間： （2）所以有： （3）因此，我們可以采用以下公式來(lái)計(jì)算Z的方差： （4）在計(jì)算時(shí)只需采用目前通用的方法就可以了，現(xiàn)在只需要計(jì)算出公式中的值。為了保持符號(hào)的一致性，我們記：將分子和分母同乘： （5）為了簡(jiǎn)化公式和方便計(jì)算，我們?cè)O(shè)置以下幾個(gè)新的轉(zhuǎn)換函數(shù)：，以上公式就可以簡(jiǎn)化成： （7）由此而計(jì)算出壽險(xiǎn)的方差：，或記做： （8）用同樣的推導(dǎo)過(guò)程，我們還可以得到終身壽險(xiǎn)和延期壽險(xiǎn)躉繳凈保費(fèi)的方差： （9） （10）對(duì)于給定的死亡率，利用計(jì)算機(jī)軟件，我們可以非常容易地制作以上這些轉(zhuǎn)換函數(shù)計(jì)算表，例如，對(duì)于“中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）”中給出的男女混合死亡率，利用計(jì)算機(jī)軟件編制的用于計(jì)算方差的轉(zhuǎn)換函數(shù)表如下：中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）換算表（男女混合，局部） 利率：6%年齡（x）2Dx2Nx2Sx2Cx2Mx2Rx01000000.009007347.0681246738.352588.99969159.757069916.60791887407.448007347.0672239391.281592.21566570.757460756.85082788197.257119939.6264232044.221031.19434978.541854186.09343700461.556331742.3857112104.60694.47683947.347549207.55164622713.815631280.8350780362.22483.27383252.870745260.20415553729.805008567.0245149081.40345.95792769.596942007.33356492471.594454837.2240140514.38253.77452423.638939237.73667438044.193962365.6335685677.16190.64042169.864436814.09768389667.133524321.4431723311.53146.00381979.224034644.23329346656.353134654.3128198990.10115.38761833.220232665.009310308407.532787997.9525064335.7994.97061717.832630831.789111274386.642479590.4222276337.8482.78491622.862029113.956512244120.342205203.7919796747.4177.34681540.077127491.094513217188.891961083.4417591543.6376.54571462.730325951.017414193220.791743894.5515630460.1978.58841386.184624488.287015171887.231550673.7613886565.6380.92591307.596223102.102516152898.101378786.5312335891.8881.91941226.670321794.506317135996.841225888.4310957105.3581.09461144.750920567.836018120955.611089891.599731216.9277.93861063.656319423.085119107572.12968935.988641325.3372.9530985.717718359.42882095665.85861363.857672389.3566.2407912.764717373.71112185076.03765698.006811025.5059.3624846.524016460.94642275658.00680621.976045327.5052.5216787.161615614.42242367282.83604963.975364705.5345.9291734.640014827.26092459835.55537681.144759741.5640.0466688.710914092.62092553213.38477845.594222060.4234.9515648.664313403.9100 （二）生存年金的方差計(jì)算原理與模型生存年金是指以年金保險(xiǎn)的被保險(xiǎn)人的生存為條件，在保險(xiǎn)有效期內(nèi)按照年金方式支付保險(xiǎn)金的保險(xiǎn)。與人壽保險(xiǎn)相同，用T表示一個(gè)x歲的被保險(xiǎn)人在簽單之后的死亡時(shí)間，用Y表示保險(xiǎn)人為這個(gè)投保人將來(lái)所支付的保險(xiǎn)金的現(xiàn)值，對(duì)于投保期首給付、終身生存年金的被保險(xiǎn)人，T與Y之間的關(guān)系為： ，將隨機(jī)變量T和Y的取值及其相應(yīng)的概率列表如下：T0T11T22T3-1TYp表中的概率系列構(gòu)成全概率空間。所以有： （11） （12）所以： （13）對(duì)于每年期首末給付1單位元的n年定期生存年金，用同樣的推導(dǎo)過(guò)程可以得到其方差的計(jì)算公式為： （14）三、 應(yīng)用舉例（一）壽險(xiǎn)的方差計(jì)算對(duì)于一男一女兩個(gè)被保險(xiǎn)人同為30歲、投保20年定期死亡年末給付的壽險(xiǎn)，試采用“中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）”比較他們兩人壽險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)大小。首先利用計(jì)算機(jī)軟件分別編制專用于計(jì)算方差的男性和女性轉(zhuǎn)換函數(shù)表和計(jì)算方差的軟件，然后分別計(jì)算他們的方差。應(yīng)用公式（8），計(jì)算男性被保險(xiǎn)人的躉繳凈保費(fèi)方差為：應(yīng)用公式（8），計(jì)算女性被保險(xiǎn)人的躉繳凈保費(fèi)方差為：計(jì)算結(jié)果表明，在相同壽險(xiǎn)險(xiǎn)種的情況下，女性被保險(xiǎn)人的方差較小，說(shuō)明保險(xiǎn)人未來(lái)支付的保險(xiǎn)金的穩(wěn)定性較好，同時(shí)，收取的凈保費(fèi)相對(duì)較少?？紤]到兩者收取的凈保費(fèi)（期望值）不同，分別計(jì)算兩者的標(biāo)準(zhǔn)差系數(shù)為：從保險(xiǎn)金的離散程度來(lái)看，男性被保險(xiǎn)人的離散程度相對(duì)較小。如果將以上壽險(xiǎn)調(diào)整為死亡時(shí)即付，即連續(xù)型壽險(xiǎn)，在UDD假設(shè)下，計(jì)算結(jié)果為：（二）生存年金的方差計(jì)算對(duì)于一男一女兩個(gè)被保險(xiǎn)人同為30歲、投保期首付終身生存年金，試采用“中國(guó)人壽保險(xiǎn)業(yè)經(jīng)驗(yàn)生命表（1990-1993）”比較他們兩人壽險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)大小。解：應(yīng)用公式（13），計(jì)算男性被保險(xiǎn)人的躉繳凈保費(fèi)方差為：凈保費(fèi)為：應(yīng)用公式（13），計(jì)算女性被保險(xiǎn)人的躉繳凈保費(fèi)方差為：凈保費(fèi)為：計(jì)算結(jié)果表明，在相同生存年金的情況下，女性被保險(xiǎn)人的方差比男性稍大。這個(gè)結(jié)果與壽險(xiǎn)的情況不同，說(shuō)明生存保險(xiǎn)和死亡保險(xiǎn)對(duì)于保險(xiǎn)人的風(fēng)險(xiǎn)是不同的。在以上的計(jì)算結(jié)果中，導(dǎo)致男女性別的差異使得保險(xiǎn)人承擔(dān)的風(fēng)險(xiǎn)不同的原因，是因?yàn)樵谏碇?，兩種性別被保險(xiǎn)人的存活概率的不同，在所有的年齡段上，女性存活概率都要大于男性。四、結(jié)束語(yǔ)本文探討了借助與生命表、采用計(jì)算離散型壽險(xiǎn)和生存年金的方法，通過(guò)編制專用的轉(zhuǎn)換函數(shù)來(lái)計(jì)算壽險(xiǎn)和生存年金的方差，從而避開(kāi)了難以獲得的被保險(xiǎn)人的死亡概率密度函數(shù)，使得方差的計(jì)算簡(jiǎn)便易行，具有實(shí)際意義。參考文獻(xiàn)1李秀芳 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