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第四章 桿件的變形 簡單超靜定問題一 、基本要求1熟練掌握拉（壓）桿變形計算2熟練掌握圓軸扭轉(zhuǎn)變形計算與剛度條件3掌握積分法求梁的彎曲變形4熟練掌握疊加法求彎曲變形與梁的剛度計算5理解超靜定概念，熟練掌握簡單超靜定問題的求解方法6了解彈性體的功能原理，掌握桿件基本變形的應(yīng)變能計算 二、 內(nèi)容提要1拉（壓）桿的軸向變形、胡克定律拉（壓）桿的軸向變形為,式中、分別為變形前、后桿的長度。當(dāng)桿的應(yīng)力不超過材料的比例極限時，可以應(yīng)用胡克定律計算桿的軸向變形，即 （4.1） 圖 4.1式中，EA稱為桿件的抗拉（壓）剛度。顯然，軸力FN為正時，l為正，即伸長變形；軸力FN為負(fù)時，l為負(fù)，即縮短變形。公式（4.1）的適用條件：（1） 材料在線彈性范圍，即；（2） 在長度內(nèi)，F(xiàn)N，E，A均為應(yīng)力常量。當(dāng)以上參數(shù)沿桿軸線分段變化時，則應(yīng)分段計算變形，然后求代數(shù)和得總變形。即 （4.2）當(dāng)FN，A沿桿軸線連續(xù)變化時，式（4.2）化為 （4.3）2拉壓超靜定問題定義 桿系未知力的數(shù)目超過靜力平衡方程的數(shù)目，僅用靜力平衡方程不能確定全部未知力。這類問題，稱為超靜定問題，或靜不定問題。超靜定問題的求解方法 根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立變形幾何方程，將變形與協(xié)調(diào)關(guān)系與力之間的物理關(guān)系帶入幾何方程得到補充方程，再與靜力平衡方程聯(lián)立求解，可得到全部未知力。解題步驟：（1） 畫出桿件或節(jié)點的受力圖，列出平衡方程，確定超靜定次數(shù)；（2） 根據(jù)結(jié)構(gòu)的約束條件畫出變形位移圖，建立變形幾何方程；（3） 將力與變形間的物理關(guān)系代入變形幾何方程，得補充方程；（4） 聯(lián)立靜力平衡方程及補充方程，求出全部未知力。超靜定結(jié)構(gòu)的特點：（1） 各桿的內(nèi)力按其剛度分配；（2） 溫度變化，制造不準(zhǔn)確與支座沉陷等都可能使桿內(nèi)產(chǎn)生初應(yīng)力。3圓軸的扭轉(zhuǎn)變形與剛度條件 超靜定問題1， 變形計算圓軸扭轉(zhuǎn)時，任意兩個橫截面繞軸線相對轉(zhuǎn)動而產(chǎn)生相對扭轉(zhuǎn)角。相距為l的兩個橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角為 (rad) (4.4)若等截面圓軸兩截面之間的扭矩為常數(shù)，則上式化為 (rad) (4.5) 圖4.2 式中稱為圓軸的抗扭剛度。顯然，的正負(fù)號與扭矩正負(fù)號相同。公式（4.4）的適用條件：（1） 材料在線彈性范圍內(nèi)的等截面圓軸，即；（2） 在長度l內(nèi)，T、G、均為常量。當(dāng)以上參數(shù)沿軸線分段變化時，則應(yīng)分段計算扭轉(zhuǎn)角，然后求代數(shù)和得總扭轉(zhuǎn)角。即 (rad) (4.6)當(dāng)T、沿軸線連續(xù)變化時,用式(4.4)計算。2， 剛度條件扭轉(zhuǎn)的剛度條件 圓軸最大的單位長度扭轉(zhuǎn)角不得超過許可的單位長度扭轉(zhuǎn)角,即 (rad/m) (4.7)式 （） （4.8） 根據(jù)剛度條件可以進(jìn)行校核剛度、設(shè)計截面與確定許可載荷等三類剛度計算。 3，扭轉(zhuǎn)超靜定問題 定義 當(dāng)桿端的支反力偶矩或橫截面上的扭矩僅由平衡方程不能完全確定，這類問題稱為扭轉(zhuǎn)超靜定問題。 扭轉(zhuǎn)超靜定問題的解法 根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立變形幾何方程，將扭轉(zhuǎn)角與扭矩間的物理關(guān)系代入變形幾何方程得到補充方程，再與靜力平衡方程聯(lián)立求解，可得全部未知力偶。 4梁的變形 撓曲線近似微分方程及其積分 1，撓曲線 撓度與轉(zhuǎn)角 在外力作用下，梁的軸線由直線變?yōu)楣饣B續(xù)的彈性曲線，稱為撓曲線。在對稱彎曲情況下，撓曲線為縱向?qū)ΨQ平面內(nèi)的平面曲線，其方程為梁橫截面的形心在垂直于軸線方向的線位移，稱為撓度，用表示。梁橫截面相對于原來位置繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，稱為截面轉(zhuǎn)角，用表示。小變形時，有 圖4.3 在圖4.3所示坐標(biāo)系中，向上的撓度和反時針的轉(zhuǎn)角為正，反之為負(fù)。 2，撓曲線的近似微分方程及其積分 在分析純彎曲梁的正應(yīng)力時，得到彎矩與曲率的關(guān)系對于跨度遠(yuǎn)大于截面高度的梁，略去剪力對彎曲變形的影響，由上式可得利用平面曲線的曲率公式，并忽略高階微量，得撓曲線的近似微分方程，即 （4.9）將上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程為 （4.10）再積分得撓曲線方程 （4.11）式中，C,D為積分常數(shù)，它們可由梁的邊界條件確定。當(dāng)梁分為若干段積分時，積分常數(shù)的確定除需利用邊界條件外，還需要利用連續(xù)條件。 撓曲線的某些點上的撓度或轉(zhuǎn)角是已知的，稱為邊界條件。撓曲線是一條連續(xù)光滑的曲線，在其上任意一點，有唯一確定的撓度與轉(zhuǎn)角，稱為連續(xù)性邊界條件。 3，梁的剛度條件 限制梁的最大撓度與最大轉(zhuǎn)角不超過規(guī)定的許可數(shù)值，就得到梁的剛度條件，即 ， （4.12） 5用疊加法求彎曲變形 疊加原理 在小變形和線彈性范圍內(nèi)，梁在幾種載荷共同作用下任一橫截面的撓度與轉(zhuǎn)角，分別等于每一種載荷單獨作用下該截面的撓度與轉(zhuǎn)角的代數(shù)和。 應(yīng)用疊加原理的條件 小變形與材料在線彈性范圍。 6簡單超靜定梁梁上未知力的數(shù)目超過靜力平衡方程數(shù)目，僅由平衡方程不能確定全部未知力，這類梁稱為超靜定梁。超靜定梁的解法與前述拉（壓）桿、扭轉(zhuǎn)超靜定相同。具體步驟如下：1，首先判斷超靜定梁的次數(shù)。解除多余約束代之以多余約束力，得到原超靜定梁的相當(dāng)系統(tǒng)。注意解除多余約束以后的梁應(yīng)該是靜定梁的形式。2，根據(jù)相當(dāng)系統(tǒng)的變形與原超靜定梁的變形應(yīng)該相同，建立變形協(xié)調(diào)方程。3，將變形與力之間的物理關(guān)系代入上述變形協(xié)調(diào)方程，得補充方程。由補充方程解出多余約束力。4，由平衡方程求梁上其余的約束反力。然后就可以進(jìn)行梁的強度與剛度的計算。7.桿件的應(yīng)變能1，應(yīng)變能 彈性體在外力作用下，因發(fā)生彈性變形而儲存在彈性體內(nèi)的能量，稱為應(yīng)變能或變形能。用或表示。2，彈性體的功能原理 在彈性體變形過程中，儲存在彈性體內(nèi)的應(yīng)變能（或）在數(shù)值上等于外力所做的功W，即 （4.13） 圖4.4 3，軸向拉伸或壓縮桿件的應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，由功能原理得 當(dāng)桿件的橫截面面積A、軸力FN為常量時，由胡克定律，可得 （4.14）桿單位體積內(nèi)的應(yīng)變能稱為應(yīng)變能密度，用表示。線彈性范圍內(nèi)，得 （4.15） 4，圓截面直桿扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，由功能原理得 將與代入上式得 （4.16） 圖4.5根據(jù)微體內(nèi)的應(yīng)變能在數(shù)值上等于微體上的內(nèi)力功，得應(yīng)變能的密度： （4.17） 5，梁的彎曲應(yīng)變能在線彈性范圍內(nèi)，純彎曲時，由功能原理得 將與代入上式得 （4.18） 圖4.6橫力彎曲時，梁橫截面上的彎矩沿軸線變化，此時，對于微段梁應(yīng)用式（4.18），積分得全梁的彎曲應(yīng)變能，即 （4.19）三、典型例題分析例4-1 設(shè)橫梁ABCD為剛體。橫截面積為76.36mm2的鋼索繞過無摩擦的滑輪。設(shè)F20kN，試求鋼索內(nèi)的應(yīng)力和C點的垂直位移。設(shè)鋼索的E=177GPa。解法一解：1.求鋼索內(nèi)的應(yīng)力以橫梁ABCD為為研究對象，受力如圖b所示。列平衡方程解得 鋼索的應(yīng)力 2.求C點的垂直位移作結(jié)構(gòu)的變形位移圖如圖c所示。因ABCD為剛體，故發(fā)生位移后，A、B、C、D仍為一直線。小變形條件下?？梢浴耙郧芯€代替圓弧”畫變形圖。由B1向鋼索作垂線得點，設(shè)。同理由D1向鋼索作垂線得點，設(shè)。則鋼索的伸長為。由胡克定律由圖C，得C點的垂直位移為解法二 用能量法求解C點的垂直位移解：1.求鋼索內(nèi)的應(yīng)力與解法一相同，得2.求C點的垂直位移由彈性體的功能原理，即例4-2 圖示桿系的兩桿均為鋼桿，E=200GPa，。兩桿的橫截面積同為A=10cm2。若BC桿的溫度降低20，而BD的溫度不變，試求兩桿的應(yīng)力。解：設(shè)桿1受拉力，桿2受壓力。以節(jié)點B為研究對象，受力如圖b所示。因B點的未知力有三個，而平衡方程僅有兩個，故為一次超靜定問題。列平衡方程 （1）作結(jié)構(gòu)的變形位移圖如圖c所示。圖中為溫度引起的變形，為引起的變形，為引起的變形。小變形條件下，以切線代替圓弧。變形后B點位移至B1點，即兩桿在B1點鉸接。由圖c得變形協(xié)調(diào)方程 （2）物理方程為 （3）式中為溫度改變量。將式（3）代入式（2），得補充方程 （4）聯(lián)立求解式（1）與式（4），得 桿1 桿2 例4-3 傳動軸的轉(zhuǎn)速n500r/min，主動輪1輸入功率為P1=372.8kW，從動輪2、3分別輸出功率P2=149.1kW，P3=223.7kW。已知70MPa，1/m，G80GPa。（1）確定AB段的直徑d1和BC段的直徑d2；（2）若AB和BC兩段選用同一直徑，試確定直徑d；（3）主動輪和從動輪應(yīng)如何安排才比較合理？解：1.確定d1和d21）求外力偶矩2）作軸的扭矩圖，如圖b所示。3）按強度條件設(shè)計直徑，AB段 BC段 4）按剛度條件設(shè)計直徑，AB段 BC段 經(jīng)比較，取，2若AB和BC兩段選用同一直徑，則。3若將主動輪放在兩從動輪之間，則，有利于提高軸的強度和剛度，故較合理。例4-4 試用疊加法求圖示梁A截面的撓度與B截面的轉(zhuǎn)角。EI為已知。解：將梁的載荷分為兩種載荷，單獨作用的情況如圖（b）與（c）所示。1）在qa單獨作用時，圖（b）所示，查表4.1可得2）在均布載荷q單獨作用時，圖（c）所示，為求與，可利用圖（d）與（e）兩種情況，即分別考慮AB段與BC段的變形。由圖（e），查表4.1得由圖（d）、（e）兩種情況，應(yīng)用疊加法，得3）在兩種載荷共同作用下，應(yīng)用疊加法得例4-5 圖示懸臂梁AD和BE的抗彎剛度同為，由鋼桿CD連接。CD桿的長l5m，橫截面面積,E=200GPa。若F50k