直接求和公式法.doc

直接求和公式法對(duì)等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前n項(xiàng)和Sn可直接用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解。運(yùn)用公式求解的注意事項(xiàng)：首先要注意公式的應(yīng)用范圍，確定公式適用于這個(gè)數(shù)列之后，再計(jì)算。例題：求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn解：點(diǎn)撥：這道題只要經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單整理，就可以很明顯的看出：這個(gè)數(shù)列可以分解成兩個(gè)數(shù)列，一個(gè)等差數(shù)列，一個(gè)等比數(shù)列，再分別運(yùn)用公式求和，最后把兩個(gè)數(shù)列的和再求和。分組求和法所謂分組求和法就是對(duì)一類既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列的數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開(kāi)，可分為幾個(gè)等差、等比或常見(jiàn)的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并。例題：求S = 12 - 22 + 32 - 42 + + (-1)n-1n2(nN*)解：當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)：S = (12 - 22) + (32 - 42) + + (n - 1)2 - n2= - (1 + 2 + + n) = - 當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)：S = (12 - 22) + (32 - 42) + + (n - 2)2 - (n - 1)2 + n2= - 1 + 2 + + (n - 1) + n2= -綜上所述：S = (-1)n+1n(n+1)點(diǎn)撥：分組求和法的實(shí)質(zhì)是：將不能直接求和的數(shù)列分解成若干個(gè)可以求和的數(shù)列,分別求和。裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法是將數(shù)列的一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)，使得前后項(xiàng)相抵消，留下有限項(xiàng)，從而求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。例題：求數(shù)列(nN*)的和解：點(diǎn)撥：此題先通過(guò)求數(shù)列的通項(xiàng)找到可以裂項(xiàng)的規(guī)律，再把數(shù)列的每一項(xiàng)拆開(kāi)之后，中間部分的項(xiàng)相互抵消，再把剩下的項(xiàng)整理成最后的結(jié)果即可。錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法，應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。即若在數(shù)列anbn中，an成等差數(shù)列，bn成等比數(shù)列，在和式的兩邊同乘以公比，再與原式錯(cuò)位相減整理后即可以求出前n項(xiàng)和。例題：求數(shù)列nan(nN*)的和解：設(shè) Sn = a + 2a2 + 3a3 + + nan則：aSn = a2 + 2a3 + + (n-1)an + nan+1-得：(1-a)Sn = a + a2 + a3 + + an - nan+1若a = 1則：Sn = 1 + 2 + 3 + + n = 若a 1則：點(diǎn)撥：此數(shù)列的通項(xiàng)是nan,系數(shù)數(shù)列是：1，2，3n，是等差數(shù)列；含有字母a的數(shù)列是：a,a2,a3,，an,是等比數(shù)列，符合錯(cuò)位相減法的數(shù)列特點(diǎn)，因此我們通過(guò)錯(cuò)位相減得到式，這時(shí)考慮到題目沒(méi)有給定a的范圍，因此我們要根據(jù)a的取值情況分類討論。我們注意到當(dāng)a=1時(shí)數(shù)列變成等差數(shù)列，可以直接運(yùn)用公式求值；當(dāng)a1時(shí)，可以把式的兩邊同時(shí)除以（1-a），即可得出結(jié)果。倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列an，與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。我們?cè)趯W(xué)知識(shí)時(shí)，不但要知其果，更要索其因，知識(shí)的得出過(guò)程是知識(shí)的源頭，也是研究同一類知識(shí)的工具，例如：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，用的就是“倒序相加法”。例題：設(shè)等差數(shù)列an，公差為d，求證：an的前n項(xiàng)和Sn=n(a1+an)/2解：Sn=a1+a2+a3+.+an 倒序得：Sn=an+an-1+an-2+a1 +得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+(an+a1)又a1+an=a2+an-1=a3+an-2=an+a12Sn=n(a2+an) Sn=n(a1+an)/2點(diǎn)撥：由推導(dǎo)過(guò)程可看出，倒序相加法得以應(yīng)用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=an+a1即與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和的這一等差數(shù)列的重要性質(zhì)來(lái)實(shí)現(xiàn)的。迭代法迭加法主要應(yīng)用于數(shù)列an滿足an+1=an+f(n)，其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下，可把這個(gè)式子變成an+1-an=f(n)，代入各項(xiàng)，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，經(jīng)過(guò)整理，可求出an ，從而求出Sn。例題：已知數(shù)列6,9,14,21,30,其中相鄰兩項(xiàng)之差成等差數(shù)列，求它的前n項(xiàng)和。解：a2 - a1 = 3, a3 - a2 = 5, a4 - a3 = 7 , an - an-1 = 2n-1把各項(xiàng)相加得：an - a1 = 3 + 5 + 7 + + (2n - 1) =an = n2 - 1 + a1 = n2 + 5Sn = 12 + 22 + + n2 + 5n =+ 5n點(diǎn)撥：本題應(yīng)用迭加法求出通項(xiàng)公式，并且求前n項(xiàng)和時(shí)應(yīng)用到了12 + 22 + + n2=因此問(wèn)題就容易解決了。構(gòu)造法所謂構(gòu)造法就是先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析，找出數(shù)列的通項(xiàng)的特征，構(gòu)造出我們熟知的基本數(shù)列的通項(xiàng)的特征形式，從而求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。例題：求的和解：點(diǎn)撥：本題的關(guān)鍵在于如何構(gòu)造出等差或等比數(shù)列的特征的通項(xiàng)，在這道題的解法中巧妙的運(yùn)用了這一轉(zhuǎn)化，使得數(shù)列的通項(xiàng)具備了等比數(shù)列的特征，從而為解題找到了突破口。待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求an=Aan1B型數(shù)列通項(xiàng)例:數(shù)列an滿足a1=1且an12an=1，求其通項(xiàng)公式。解：由已知，an12an=1，即an=2an11令anx=2（an1x），則an=2an13x，于是3x=1，故x=13 an13 =2（an113 ）故an13是公比q為2，首項(xiàng)為an13 =23 的等比數(shù)列an13 =23（2）n1=1（2）n3 評(píng)注：一般地，當(dāng)A1時(shí)令anx=A（an1x）有an=A an1（A1）x，則有（A1）x=B知x=BA1 ，從而anBA1 =A（an1+BA1），于是數(shù)列anBA1 是首項(xiàng)為a1+BA1 、公比為A的等比數(shù)列，故anBA1 =（a1+BA1 ）An1，從而an=（a1+BA1 ）An1BA1 ；特別地，當(dāng)A=0時(shí)an為等差數(shù)列；當(dāng)A0，B=0時(shí)，數(shù)列an為等比數(shù)列。推廣：對(duì)于anan=Aan1f（n）（A0且AR）型數(shù)列通項(xiàng)公式也可以用待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式。例:數(shù)列an滿足a1=1且an=2an113n（n2），求an。解：令anx13n=2（anx13n-1）則an=2an1+ 2x13n-1x13n=53 x13n-1=5x13n而由已知an=2an113n故5x=1，則x=15 。故an15 13n2（an115 13n-1）從而an15 13n是公比為q=2、首項(xiàng)為a115 13=1615 的等比數(shù)列。于是an15 13n=1615 2n1，則an=1615 2n115 13n=115 （2n+313n1）評(píng)注：一般情況，對(duì)條件an=Aan1+f（n）而言，可設(shè)an+g（n）=Aan1+g（n1），則有Ag（n1）g（n）=f（n），從而只要求出函數(shù)g（n）就可使數(shù)列 an+g（n）為等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出an。值得注意的是an+g（n）與an1+g（n1）中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。特別地，當(dāng)f（n）=B（B為常數(shù)）時(shí)，就是前面敘述的例8型。這種做法能否進(jìn)一步推廣呢？對(duì)于an=f（n）an1+g（n）型數(shù)列可否用待定系數(shù)法求通項(xiàng)公式呢？我們姑且類比做點(diǎn)嘗試：令an+k（n）=f（n）an1+k（n1），展開(kāi)得到an =f（n）an1+f（n）k（n1）k（n），從而f（n）k（n1）k（n）= g（n），理論上講，通過(guò)這個(gè)等式k（n）可以確定出來(lái)，但實(shí)際操作上，k（n）未必能輕易確定出來(lái)，請(qǐng)看下題：數(shù)列an滿足a1=1且an=n2nan1+1n+1 ，求其通項(xiàng)公式。在這種做法下得到n2nk（n1）k（n）=1n+1 ，顯然，目前我們用高中數(shù)學(xué)知識(shí)還無(wú)法輕易地求出k（n）來(lái)。通過(guò)Sn求an例10：數(shù)列an滿足an =5Sn3，求an。解：令n=1，有a1=5an3，a1=34 。由an于an =5Sn3則 an-1 =5 Sn-13得到anan-1=5（SnSn-1） anan1 =5an 故an=14 an-1，則an是公比為q=14 、首項(xiàng)an=34 的等比數(shù)列，則an=34（14）n-1評(píng)注：遞推關(guān)系中含有Sn，通常是用Sn和an的關(guān)系an=SnSn1（n2）來(lái)求通項(xiàng)公式，具體來(lái)說(shuō)有兩類：一是通過(guò)an= SnSn1將遞推關(guān)系揭示的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為項(xiàng)與項(xiàng)的關(guān)系，再根據(jù)新的遞推關(guān)系求出通項(xiàng)公式；二是通過(guò)an= SnSn1將遞推關(guān)系揭示的前n項(xiàng)和與通項(xiàng)的關(guān)系轉(zhuǎn)化為前n項(xiàng)和與前n1項(xiàng)和的關(guān)系，再根據(jù)新的遞推關(guān)系求出通項(xiàng)公式 累加法例 已知a1=1, an+1=an+2n 求an解：由遞推公式知：a2-a1=2, a3-a2=22, a4-a3=23, an-an-1=2n-1 將以上n-1個(gè)式子相加可得 an=a1+2+22+23+24+2n-1=1+2+22+23+2n-1=2n-1 注：對(duì)遞推公式形如an+1=an+f(n)的數(shù)列均可用逐差累加法 求通項(xiàng)公式，特別的，當(dāng)f(n)為常數(shù)時(shí)