高考數(shù)學 321精品系列專題03 數(shù)列 文 (教師版).doc_第1頁
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用心 愛心 專心1 20122012 版高考數(shù)學版高考數(shù)學 3 2 13 2 1 精品系列專題精品系列專題 0303 數(shù)列數(shù)列 文文 教師版 教師版 考點定位考點定位 2012 2012 考綱解讀和近幾年考點分布考綱解讀和近幾年考點分布 20122012 考綱解讀考綱解讀 考綱原文 考綱解讀 數(shù)列難度降底 得分率提高 但要全對還得加大基本功訓練 選擇填空題重點考查等差 比 數(shù)列的性質(zhì) 解答題中重點考查通項公式 求和 重視求和中的錯位相減法 裂項 相消求和等 遞推數(shù)列不要研究太深 只掌握基本的就行 近幾年考點分布數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容之一 由于它既具有函數(shù)特征 又能構(gòu)成獨 特的遞推關(guān)系 使得它既與中學數(shù)學其他部分知識如 函數(shù) 方程 不等式 解析幾何 二項式定理等有較緊密的聯(lián)系 又有自己鮮明的特征 因此它是歷年高考考查的重點 熱 點和難點 在高考中占有極其重要的地位 試題往往綜合性強 難度大 承載著考查學生數(shù) 學思維能力和分析 建模 解決問題的能力以及函數(shù)與方程的思想 轉(zhuǎn)化與化歸的思想 分類討論的思想 通過對 2012 年高考試題的研究 本專題在高考試題中占有較大比重 分 值約占總分的 12 大多為一道選擇題或填空題 一道解答題 試題注重基礎 著重考查等 差 等比數(shù)列的通項公式 前 n 項和公式 數(shù)學歸納法及應用問題 選擇題和填空題 突 出 小 巧 活 的特點 而解答題大多為中等以上難度的試題或難度大的壓軸題 考點考點 pk pk 名師考點透析名師考點透析 考點一考點一 等差 等比數(shù)列的概念與性質(zhì)等差 等比數(shù)列的概念與性質(zhì) 例 1 已知 n a為等比數(shù)列 且 3647 36 18 aaaa 1 若 1 2 n a 求n 2 設數(shù)列 n a的前n項和為 n s 求 8 s 用心 愛心 專心2 名師點睛名師點睛 關(guān)于等差 等比數(shù)列的問題 首先應抓住a1 d q 通過列方程組來 解 此方法具有極大的普遍性 需用心掌握 但有時運算繁雜 要注意計算的正確性 若 能恰當?shù)剡\用性質(zhì) 可減少運算量 例 2 設 a1 d 為實數(shù) 首項為 a1 公差為 d 的等差數(shù)列 an 的前 n 項和為 sn 滿足 56 s s 15 0 若 5 s 5 求 6 s及 a1 求 d 的取值范圍 名師點睛名師點睛 在解決等差數(shù)列或等比數(shù)列的相關(guān)問題時 基本量法 是常用的方法 但 有時靈活地運用性質(zhì) 可使運算簡便 而一般數(shù)列的問題常轉(zhuǎn)化為等差 等比數(shù)列求解 考點二考點二 求數(shù)列的通項與求和求數(shù)列的通項與求和 例 3 已知數(shù)列 n a滿足且0 1 a 1 2 1 2 1 nnnnss nn 1 求 23 a a 并證明 1 2 nn aan nn 2 設 1 nnaab nnn 求證 12 1 nn bb 3 求數(shù)列 nnan 的通項公式 解 1 由已知12 12 ss 即1 12 2121 aaaa 用心 愛心 專心3 3 由 2 1 21 1 nn bb而211 121 aab 1 n b是以 2 為首項 2 為公比的等比數(shù)列 nn n b2221 1 12 n n b即12 1 n nn aa 而naa nn 2 1 有 122 n nn ana 12nnna n n 名師點睛名師點睛 一般地 含有 n s的遞推關(guān)系式 一般利用 1 1 1 2 n nn sn a ssn 化 和 為 項 例 4 在數(shù)列 n a 中 3 1 1 a 并且對任意2 nnn都有 nnnn aaaa 11 成立 令 1 nn a b n n 求數(shù)列 n b 的通項公式 求數(shù)列 n an 的前 n 項 和 n t 解 1 當 n 1 時 3 1 1 1 a b 當2 n時 由 nnnn aaaa 11 得 1 11 1 nn aa 所 以1 1 nn bb 所以數(shù)列 n b是首項為 3 公差為 1 的等差數(shù)列 所以數(shù)列 n b的通項公式為 2 nbn 2 11 11 2 22 n a nn nnn 11111111 1 23243511 n t nn 用心 愛心 專心4 11 2nn 2 2 1 3113534 1 2 2 2124 32 44 1 2 nnn nnnnnn 名師點睛名師點睛 裂項相消法 主要用于通項為分式的形式 通項拆成兩項之差求和 正負 項相消剩下首尾若干項 注意一般情況下剩下正負項個數(shù)相同 考點三考點三 數(shù)列與不等式 函數(shù)等知識的聯(lián)系數(shù)列與不等式 函數(shù)等知識的聯(lián)系 例例 5 5 已知數(shù)列 n a是等差數(shù)列 nnaac nnn 2 1 2 1 判斷數(shù)列 n c是否是等 差數(shù)列 并說明理由 2 如果 為常數(shù)kkaaaaaa13143 130 26422531 試寫出數(shù)列 n c的通 項公式 3 在 2 的條件下 若數(shù)列 n c得前 n 項和為 n s 問是否存在這樣的實數(shù)k 使 n s當且僅當12 n時取得最大值 若存在 求出k的取值范圍 若不存在 說明理由 3 因為當且僅當12n 時 n s最大 1213 0 0cc 有 即 22 222 24 1 25305018190 36 1 25305022210 kkkkk kkkkk 119 1921 211 kk kk kk 或 或 或 名師點睛名師點睛 解綜合題的成敗在于審清題目 弄懂來龍去脈 透過給定信息的表象 抓 住問題的本質(zhì) 揭示問題的內(nèi)在聯(lián)系和隱含條件 明確解題方向 形成解題策略 例 6 已知數(shù)列 n a的首項 1 21aa a是常數(shù) 且1a 242 2 1 nnaa nn 2n 數(shù)列 n b的首項 1 ba 2 nab nn 2n 用心 愛心 專心5 1 證明 n b從第 2 項起是以 2 為公比的等比數(shù)列 2 設 n s為數(shù)列 n b的前 n 項 和 且 n s是等比數(shù)列 求實數(shù)a的值 3 當0 a時 求數(shù)列 n a的最小項 提示 當3 n時總有122 n n 解 1 2 nab nn 222 11 1 2 1 4 1 2 1 nnnanab nnn nn bna222 2 n 2 由 1 21aa 得 2 4aa 22 444baa 1a 2 0b 3 由 1 知當2n 時 2 44 2 1 2 nn n baa 所以 2 21 1 1 2 2 n n an a an n 1223 12 2 1 2 1 nnnaaan nn nn 有 nn aan 1 3時顯然最小項是前三項中的一項 當 1 0 4 a 時 最小項為18 a 當 1 4 a 時 最小項為a4或18 a 當 1 1 4 2 a 時 最小項為a4 當 1 2 a 時 最小項 為a4或12 a 當 1 2 a 時 最小項為12 a 名師點睛名師點睛 對數(shù)列中的含 n 的式子 注意可以把式子中的 n 換為n1 或n1 得到 相關(guān)的式子 再進行化簡變形處理 也可以把 n 取自然數(shù)中的具體的數(shù) 1 2 3 等 得 到一些等式歸納證明 例 7 已知數(shù)列 n a中 11 2 202 nn aaannnn 1 寫出 23 aa 的值 只 用心 愛心 專心6 寫結(jié)果 并求出數(shù)列 n a的通項公式 2 設 1232 1111 n nnnn b aaaa 若對任 意的正整數(shù)n 當 1 1m 時 不等式 2 1 2 6 n tmtb 恒成立 求實數(shù)t的取值范圍 解 1 11 2 202 nn aaannnn 23 6 12aa 2 分 111111 1223221nnnnnn 2 111 1 121231 2 3 n nnnn n n 令 1 21f xxx x 則 2 1 2fx x 當 1 0 xfx 時恒成立 f x在 1 x 上是增函數(shù) 故當1x 時 13f xf m i n 即當1n 時 1 6 n b m ax 要使對任意的正整數(shù)n 當 1 1m 時 不等式 2 1 2 6 n tmtb 恒成立 則須使 2 max 11 2 66 n tmtb 即 2 20 1 1tmtm 對恒成立 2 2 20 22 20 tt tt tt 解得 或 實數(shù)t的取值 范圍為 22 另解 1 11111111 223121221231 nn bb nnnnnnnn 22 3334 0 252253 nn nnnn 數(shù)列 n a是單調(diào)遞減數(shù)列 1 1 6 n bb m ax 名師點睛名師點睛 數(shù)列是一種特殊的函數(shù) 要注意其特殊性 1 若用導數(shù)研究數(shù)列的單 調(diào)性 最值等 要構(gòu)造輔助函數(shù) 因為導數(shù)是對連續(xù)函數(shù)而定義的 2 輔助函數(shù)的單調(diào)性 與數(shù)列的單調(diào)性的聯(lián)系與區(qū)別 用心 愛心 專心7 例 8 已知數(shù)列 n a的前n項和為 n s 對一切正整數(shù)n 點 nn snp都在函數(shù) xxxf2 2 的圖像上 且過點 nn snp的切線的斜率為 n k 1 求數(shù)列 n a的通項 公式 2 若 n k n ab n 2 求數(shù)列 n b的前n項和 n t 3 設 2 nnaxxrnnkxxq nn 等差數(shù)列 n c的任一項rqcn 其中 1 c是rq 中的最小數(shù) 115110 10 c 求 n c的通項公式 123 43445447421 4nn n t 4 由 4 得 2341 443445447421 4nn n t 4 得 231 34 3424421 4 nn n n t 4 21 1 4 1 4 34221 4 14 n n n 4 2 6116 4 99 n n n t 3 22 42 qx xnnnrx xnnn qrr 又 n cqr 其中 1 c是rq 中的最小數(shù) 1 6c n c 是公差是 4 的倍數(shù) 10 46 cmmn 又 10 110115c 11046115m mn 解得 27 所以 10 114c 設等差數(shù)列的公差為d 則 101 1146 12 1019 cc d 6 1 12126 n cnn 所以 n c的通項公式為126 n cn 用心 愛心 專心8 名師點睛名師點睛 一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列對應項相乘所得的數(shù)列的求和 主要用錯位 相減法求數(shù)列的和 例9 甲 乙兩容器中分別盛有濃度為10 20 的某種溶液500ml 同時從甲 乙兩個 容器中各取出100ml溶液 將其倒入對方的容器攪勻 這稱為一次調(diào)和 記 1 10 a 1 20 b 經(jīng)1 2 nn 次調(diào) 和后甲 乙兩個容器的溶液濃度為 n a n b i 試用 1n a 1n b 表示 n a n b ii 求證 數(shù)列 n a n b 是等比數(shù)列 數(shù)列 n a n b 是 常數(shù)列 iii 求出數(shù)列 n a n b 的通項公式 解 1 11 11 40010041 50055 nn nnn ab aab 11 11 40010041 50055 nn nnn ba bba 2 兩式 相減 11 3 5 nnnn abab 11 0ab 所以等比 兩式相加 11nnnn abab 11 30 ab 所以常數(shù)列 3 1 3 10 5 n nn ab 11 33 5 15 5 15 55 nn nn ab 名師點睛名師點睛 數(shù)列在日常經(jīng)濟生活中廣為應用 如增長率問題 銀行存款利率問題 貸 款問題等 都是與等比數(shù)列有關(guān) 另外 有些實際問題 可轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題 注意是求項 還是求和 是解方程還是不等式問題 三年高考三年高考 1010 1111 1212 高考試題及其解析高考試題及其解析 20122012 年高考試題及解析年高考試題及解析 一 選擇題 1 2012 年高考 四川文 設函數(shù) 3 3 1f xxx n a是公差不為 0 的等差數(shù) 列 127 14f af af a 則 721 aaa a 0b 7c 14d 21 用心 愛心 專心9 2 2012 年高考 上海文 若 n s 2 777 sinsinsin n nn 則在 10021 sss 中 正數(shù)的 個數(shù)是 a 16 b 72 c 86 d 100 解析 令 7 則 n n 7 當 1 n 14 時 畫出角序列n 終邊如圖 其終邊兩兩關(guān)于x軸對稱 故有 1221 sss 均為正數(shù) 而0 1413 ss 由周期性可知 當 14k 13 n 14k時 sn 0 而0 14114 kk ss 其中k 1 2 7 所以在 10021 sss 中有 14 個為 0 其余 都是正數(shù) 即正數(shù)共有 100 14 86 個 選 c 3 2012 年高考 遼寧文 在等差數(shù)列 an 中 已知a4 a8 16 則a2 a10 a 12b 16c 20d 24 4 2012 年高考 課標文 數(shù)列 n a 滿足 1 1 21 n nn aan 則 n a 的前 60 項和為 a 3690b 3660c 1845d 1830 解析 法 1 有題設知 21 aa 1 32 aa 3 43 aa 5 54 aa 7 65 aa 9 76 aa 11 87 aa 13 98 aa 15 109 aa 17 1110 aa 19 1211 21aa 得 13 aa 2 得 42 aa 8 同理可得 57 aa 2 68 aa 24 911 aa 2 1012 aa 40 13 aa 57 aa 911 aa 是各項均為 2 的常數(shù)列 24 aa 68 aa 1012 aa 是首 項為 8 公差為 16 的等差數(shù)列 n a 的前 60 項和為 1 15 2 15 816 15 14 2 1830 用心 愛心 專心10 法 2 可證明 1414243444342424 1616 nnnnnnnnnn baaaaaaaab 1123415 15 14 1010 15161830 2 baaaas 5 2012 年高考 江西文 觀察下列事實 x y 1 的不同整數(shù)解 x y 的個數(shù)為 4 x y 2 的不同整數(shù)解 x y 的個數(shù)為 8 x y 3 的不同整數(shù)解 x y 的個數(shù)為 12 則 x y 20 的不同整數(shù)解 x y 的個數(shù)為 a 76b 80c 86d 92 解析 本題主要為數(shù)列的應用題 觀察可得不同整數(shù)解的個數(shù)可以構(gòu)成一個首先 為 4 公差為 4 的等差數(shù)列 則所求為第 20 項 可計算得結(jié)果 6 2012 年高考 湖北文 定義在 0 0 上的函數(shù) f x 如果對于任意給 定的等比數(shù)列 nn af a仍是等比數(shù)列 則稱 f x為 保等比數(shù)列函數(shù) 現(xiàn)有定 義在 0 0 上的如下函數(shù) 2 f xx 2xf x f xx ln f xx 則其中是 保等比數(shù)列函數(shù) 的 f x的序號為 a b c d 合條件 由 保等比數(shù)列函數(shù) 的定義知應選 c 點評 本題考查等比數(shù)列的新應用 函數(shù)的概念 對于創(chuàng)新性問題 首先要讀懂題意 然后 再去利用定義求解 抓住實質(zhì)是關(guān)鍵 來年需要注意數(shù)列的通項 等比中項的性質(zhì)等 7 2012 年高考 福建文 數(shù)列 n a的通項公式cos 2 n n an 其前n項和為 n s 則 2012 s等于 a 1006b 2012 c 503d 0 解析 由cos 2 n n an 可得 2012 1 02 1 3 04 12012 1s 246201020122 5031006 考點定位 本題主要考察數(shù)列的項 前 n 項和 考查數(shù)列求和能力 此類問題關(guān)鍵是 并項求和 8 2012 年高考 大綱文 已知數(shù)列 n a的前n項和為 n s 1 1a 1 2 nn sa 則 用心 愛心 專心11 n s a 1 2n b 1 3 2 n c 1 2 3 n d 1 1 2n 解析 由 1 2 nn sa 可知 當1n 時得 21 11 22 as 當2n 時 有 1 2 nn sa 1 2 nn sa 9 2012 年高考 北京文 某棵果樹前n年得總產(chǎn)量 n s與n之間的關(guān)系如圖所示 從目前記錄的結(jié)果看 前m年的年平均產(chǎn)量最高 m的值為 a 5b 7 c 9d 11 解析 由圖可知 6 7 8 9 這幾年增長最快 超過平均值 所 以應該加入 因此選 c 考點定位 本小題知識點考查很靈活 要根據(jù)圖像識別 看出變化趨勢 判斷變化速度可以用導數(shù)來解 當然此題若 利用數(shù)學估計過于復雜 最好從感覺出發(fā) 由于目的是使平 均產(chǎn)量最高 就需要隨著n的增大 n s變化超過平均值的加 入 隨著n增大 n s變化不足平均值 故舍去 10 2012 年高考 北京文 已知 n a為等比數(shù)列 下面結(jié)論中正確的是 a 132 2aaa b 222 132 2aaa c 若 13 aa 則 12 aa d 若 31 aa 則 42 aa 解析 當 1 0 0aq 時 可知 132 0 0 0aaa 所以 a 選項錯誤 當1q 時 c 選項錯誤 當0q 時 323142 aaa qa qaa 與 d 選項矛盾 因此根據(jù)均值 用心 愛心 專心12 定理可知 b 選項正確 考點定位 本小題主要考查的是等比數(shù)列的基本概念 其中還涉及了均值不等式的知 識 如果對于等比數(shù)列的基本概念 公比的符號問題 理解不清 也容易錯選 當然最好選 擇題用排除法來做 11 2012 年高考 安徽文 公比為 2 的等比數(shù)列 n a 的各項都是正數(shù) 且 3 a 11 a 16 則 5 a a 1b 2c d 解析 22 3117755 1616421a aaaaa 選a 二 填空題 12 2012 年高考 重慶文 首項為 1 公比為 2 的等比數(shù)列的前 4 項和 4 s 解析 4 4 1 2 15 1 2 s 考點定位 本題考查等比數(shù)列的前 n 項和公式 13 2012 年高考 上海文 已知 x xf 1 1 各項均為正數(shù)的數(shù)列 n a滿足1 1 a 2nn afa 若 20122010 aa 則 1120 aa 的值是 14 2012 年高考 遼寧文 已知等比數(shù)列 an 為遞增數(shù)列 若 a1 0 且 2 a n a n 2 5a n 1 則數(shù)列 an 的公比 q 解析 22 21 1 2 5 2 1 5 2 1 5 2 2 nnnnn aaaaqa qqqqq 解得或 因為數(shù)列為遞增數(shù)列 且 1 0 1 2aqq 所以 點評 本題主要考查等比數(shù)列的通項公式 轉(zhuǎn)化思想和邏輯推理能力 屬于中檔題 用心 愛心 專心13 15 2012 年高考 課標文 等比數(shù)列 n a 的前n項和為 sn 若 s3 3s2 0 則公比 q 解析 當q 1 時 3 s 1 3a 2 s 1 2a 由 s3 3s2 0得 1 9a 0 1 a 0 與 n a 是等比 數(shù)列矛盾 故q 1 由 s3 3s2 0得 32 11 1 3 1 0 11 aqaq qq 解得q 2 16 2012 年高考 江西文 等比數(shù)列 n a的前n項和為 n s 公比不為 1 若 1 1a 且 對任意的 nn 都有 21 20 nnn aaa 則 5 s 17 2012 年高考 湖南文 對于nn 將n表示為 110 110 2222 kk kk naaaa 當ik 時1 i a 當01ik 時 i a為 0 或 1 定義 n b如下 在n的上述表示中 當 01 a a 2 k a a中等于 1 的個數(shù)為奇數(shù)時 1 n b 否則0 n b 1 2468 bbbb 2 記 m c為數(shù)列 n b中第m個為 0 的項與第1m 個為 0 的項之間的項數(shù) 則 m c的最大值是 解析 1 觀察知 0 001 12 1 1aab 10 102 21 20 2 1 0 1aab 一次類推 10 3 31 21 2 0b 210 4 41 20 20 2 1b 210 5 51 20 21 2 0b 210 61 21 20 2 6 0b 78 1 1bb b2 b4 b6 b8 3 2 由 1 知cm的最大值為 2 點評 本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識 考查運算能力 考查創(chuàng)造性解決問題的能力 需要在學習中培養(yǎng)自己動腦的習慣 才可順利解決此類問題 mainmain documentdocument only only 2012 年高考 湖北文 傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經(jīng) 常在沙灘上面畫點或用小石子表示數(shù) 他們研究過如圖所示的三角形數(shù) 10631 用心 愛心 專心14 將三角形數(shù) 1 3 6 10 記為數(shù)列 n a 將可被 5 整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組 成一個新數(shù)列 n b 可以推測 2012 b是數(shù)列 n a中的第 項 21k b 用k表示 解析 由以上規(guī)律可知三角形數(shù) 1 3 6 10 的一個通項公式為 1 2 n n n a 寫出其 若干項有 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 91 105 110 發(fā)現(xiàn)其中能被 5 整除的為 10 15 45 55 105 110 故 142539410514615 ba ba ba bababa 從而由上述 規(guī)律可猜想 25 5 51 2 kk kk ba k為正整數(shù) 2151 51 51 1 5 51 22 kk kkkk ba 故 20122 10065 10065030 baaa 即 2012 b是數(shù)列 n a中的第 5030 項 點評 本題考查歸納推理 猜想的能力 歸納推理題型重在猜想 不一定要證明 但猜 想需要有一定的經(jīng)驗與能力 不能憑空猜想 來年需注意類比推理以及創(chuàng)新性問題的考 查 18 2012 年高考 廣東文 數(shù)列 若等比數(shù)列 n a滿足 24 1 2 a a 則 2 135 a a a 解析 1 4 2 243 1 2 a aa 所以 2 24 1353 11 24 a a aa 19 2012 年高考 北京文 已知 n a為等差數(shù)列 n s為其前n項和 若 1 1 2 a 23 sa 則 2 a n s 解析 23 sa 所以 11121 1 21 2 aadaddaad 1 1 4 n sn n 考點定位 本小題主要考查等差數(shù)列的基本運算 考查通項公式和前n項和公式的計 算 三 解答題 20 2012 年高考 重慶文 本小題滿分 13 分 小問 6 分 小問 7 分 已知 n a為等差數(shù)列 且 1324 8 12 aaaa 求數(shù)列 n a的通項公式 記 n a的前n項和為 n s 若 12 kk a a s 成等比數(shù)列 求正整數(shù)k的值 用心 愛心 專心15 21 2012 年高考 浙江文 已知數(shù)列 an 的前 n 項和為 sn 且 sn 2 2nn n n 數(shù)列 bn 滿足 an 4log2bn 3 n n 1 求 an bn 2 求數(shù)列 an bn 的前 n 項和 tn 22 2012 年高考 天津文 本題滿分 13 分 已知 n a是等差數(shù)列 其前n項和為 n s n b是等比數(shù)列 且 114444 27 10ab absb i 求數(shù)列 n a與 n b的通 項公式 ii 記 1 122 nnn taba ba b nn 證明 11 8 2 nnn tabnnn 解析 1 設等差數(shù)列 n a的公差為d 等比數(shù)列 n b的公比為q 由 11 2ab 得 用心 愛心 專心16 3 444 23 2 86ad bq sd 由條件得方程組 3 3 232273 2 86210 dqd q dq 故 31 2 n nn anbnn 2 證明 由 1 得 23 2 25 28 2 31 2n n tn 2341 22 25 28 2 31 2n n tn 由 得 231 2 23 23 23 2 31 2 nn n tn 11 6 1 2 31 22 34 28 1 2 n nn nn 即 1 8 34 2n n tn 而當2n 時 1 11 34 2n nn abn 所以 11 8 2 nnn tabnnn 23 2012 年高考 四川文 已知數(shù)列 n a的前n項和為 n s 常數(shù)0 且 11nn a ass 對一切正整數(shù)n都成立 求數(shù)列 n a的通項公式 設 1 0a 100 當n為何值時 數(shù)列 1 lg n a 的前n項和最大 解析 取 n 1 得0 2 22a 11111 aaas 若 a1 0 則 s1 0 當 n0a 0a2 1 nnnn ss所以時 若 a1 2 0 1 a 則 當 n 2 a22 nn s 時 2 a2 11 nn s 上述兩個式子相減得 an 2an 1 所以數(shù)列 an 是等比數(shù)列 綜上 若 a1 0 0 n a則 若 a1 n a 2 0 n 則 用心 愛心 專心17 24 2012 年高考 上海文 對于項數(shù)為m的有窮數(shù)列數(shù)集 n a 記 max 21kk aaab k 1 2 m 即 k b 為 k aaa 21 中的最大值 并稱數(shù)列 n b是 n a的控制數(shù)列 如 1 3 2 5 5 的控制數(shù)列是 1 1 3 3 5 5 1 若各項均為正整數(shù)的數(shù)列 n a的控制數(shù)列為 2 3 4 5 5 寫出所有的 n a 2 設 n b是 n a的控制數(shù)列 滿足cba kmk 1 c為常數(shù) k 1 2 m 求證 kk ab k 1 2 m 3 設m 100 常數(shù) 1 2 1 a 若nana nn n 2 1 1 2 n b是 n a的控制數(shù)列 求 1001002211 ababab 比較大小 可得 3424 kk aa 因為1 2 1 a 所以0 38 1 2414 kaaa kk 即 1424 kk aa 用心 愛心 專心18 0 14 12 2 244 kaaa kk 即 244 kk aa 又 kk aa 414 從而 3434 kk ab 2424 kk ab 2414 kk ab kk ab 44 因此 1001002211 ababab 9999141410107733 ababababab kk 999814241097632 aaaaaaaaaa kk 25 1 1424 k kk aa 25 1 38 1 k ka 1 2525a 25 2012 年高考 陜西文 已知等比數(shù)列 n a的公比為 1 2 q 若 3 a 1 4 求 數(shù)列 n a的前n項 和 證明 對任意kn k a 2k a 1k a 成等差數(shù)列 解析 由 2 31 1 4 aa q 及 1 2 q 得 1 1a 所以數(shù)列 1 a的前n項和 1 1 1 11 2 2 2 1 3 1 2 n n n s 證明 對任意kn 1112 211111 2 2 21 kkkk kkk aaaa qa qa qa qqq 由 1 2 q 得 2 21qq 0 故 21 2 kkk aaa 0 所以對任意kn k a 2k a 1k a 成等差數(shù)列 26 2012 年高考 山東文 已知等差數(shù)列 n a的前 5 項和為 105 且 205 2aa 求數(shù) 列 n a的通項公式 對任意 m n 將數(shù)列 n a中不大于 2 7 m的項的個數(shù)記為 m b 求 數(shù)列 m b的前m項和 m s 用心 愛心 專心19 27 2012 年高考 江西文 已知數(shù)列 an 的前 n 項和 n n skck 其中 c k 為常 數(shù) 且 a2 4 a6 8a3 1 求 an 2 求數(shù)列 nan 的前 n 項和 tn 28 2012 年高考 湖南文 某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn) 該企業(yè) 第一年年初有資金 2000 萬元 將其投入生產(chǎn) 到當年年底資金增長了 50 預計以后每 年資金年增長率與第一年的相同 公司要求企業(yè)從第一年開始 每年年底上繳資金d萬 元 并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn) 設第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an 萬元 用d表示a1 a2 并寫出 1n a 與an的關(guān)系式 若公司希望經(jīng)過m m 3 年 使企業(yè)的剩余資金為 4000 萬元 試確定企業(yè)每年上繳資金d的值 用m表示 用心 愛心 專心20 1 3 30003 2 2 n dd 由題意 1 3 4000 30003 24000 2 n n add 解得 1 3 21000 1000 32 2 3 32 1 2 n nn nn n d 故該企業(yè)每年上繳資金d的值為繳 1 1000 32 32 nn nn 時 經(jīng)過 3 m m 年企業(yè)的剩余資金為 4000 元 點評 本題考查遞推數(shù)列問題在實際問題中的應用 考查運算能力和使用數(shù)列知識分 析解決實際問題的能力 第一問建立數(shù)學模型 得出 1n a 與an的關(guān)系式 1 3 2 nn aad 第二問 只要把第一問中的 1 3 2 nn aad 迭代 即可以解決 29 2012 年高考 湖北文 已知等差數(shù)列 n a前三項的和為3 前三項的積為8 1 求等差數(shù)列 n a的通項公式 2 若 231 a a a成等比數(shù)列 求數(shù)列 n a的前n項和 解析 設等差數(shù)列 n a的公差為d 則 21 aad 31 2aad 由題意得 1 111 333 2 8 ad a ad ad 解得 1 2 3 a d 或 1 4 3 a d 所以由等差數(shù)列通項公式可得 23 1 35 n ann 或43 1 37 n ann 故35 n an 或37 n an 當35 n an 時 2 a 3 a 1 a分別為1 4 2 不成等比數(shù)列 當37 n an 時 2 a 3 a 1 a分別為1 2 4 成等比數(shù)列 滿足條件 用心 愛心 專心21 故 37 1 2 37 37 3 n nn an nn 記數(shù)列 n a的前n項和為 n s 當1n 時 11 4sa 當2n 時 212 5saa 當3n 時 234 nn ssaaa 5 3 37 347 37 n 2 2 2 37 311 510 222 nn nn 當2n 時 滿足此式 綜上 2 4 1 311 10 1 22 n n s nnn 點評 本題考查等差數(shù)列的通項 求和 分段函數(shù)的應用等 考查分類討論的數(shù)學思想 以及運算求解的能力 求等差數(shù)列的通項一般利用通項公式 1 1 n aand 求解 有 時需要利用等差數(shù)列的定義 1nn aac c為常數(shù) 或等比數(shù)列的定義 1 n n a c a c為常數(shù) 0c 來判斷該數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列 然后再求解通項 有些數(shù)列本身不是等差數(shù)列或等比數(shù)列 但它含有無數(shù)項卻是等差數(shù)列或等比數(shù)列 這 時求通項或求和都需要分段討論 來年需注意等差數(shù)列或等比數(shù)列的簡單遞推或等差 中項 等比中項的性質(zhì) 30 2012 年高考 廣東文 數(shù)列 設數(shù)列 n a的前n項和為 n s 數(shù)列 n s的前n項和 為 n t 滿足 2 2 nn tsn n n 求 1 a的值 求數(shù)列 n a的通項公式 221 2 2226 23 2 nnn n aa 所以 1 3 22 n n a 2n 當1n 時 1 1a 用心 愛心 專心22 也滿足該式子 所以數(shù)列 n a的通項公式是 1 3 22 n n a 31 2012 年高考 福建文 在等差數(shù)列 n a和等比數(shù)列 n b中 114 1 8 n abba 的前 10 項和 10 55s 求 n a和 n b 現(xiàn)分別從 n a和 n b的前 3 項中各隨機抽取一項 寫出相應的基 本事件 并求這兩項的值相等的概率 32 2012 年高考 大綱文 已知數(shù)列 n a中 1 1a 前n項和 2 3 nn n sa 求 23 a a 求 n a的通項公式 解析 1 由 1 1a 與 2 3 nn n sa 可得 221221 22 33 3 saaaaa 331233123 322 46 33 saaaaaaaa 故所求 23 a a的值分別為3 6 2 當2n 時 2 3 nn n sa 11 1 3 nn n sa 可得 11 21 33 nnnn nn ssaa 即 11 1 21111 33331 n nnnnn n annnnn aaaaa an 故有 2 12 1 121 13 1 1212 nn n nn aaannnn aa aaann 用心 愛心 專心23 而 2 1 11 1 2 a 所以 n a的通項公式為 2 2 n nn a 點評 試題出題比較直接 沒有什么隱含的條件 只要充分發(fā)揮利用通項公式和前 n項和的關(guān)系式變形就可以得到結(jié)論 33 2012 年高考 安徽文 設函數(shù) sin 2 x f xx 的所有正的極小值點從小到大排成 的數(shù)列為 n x 求數(shù)列 n x 設 n x的前n項和為 n s 求 n ssin 解析 i 12 sin cos02 223 x f xxfxxxkkz 22 022 33 fxkxkkz 24 022 33 fxkxkkz 得 當 2 2 3 xkkz 時 f x取極小值 得 2 2 3 n xn ii 由 i 得 2 2 3 n xn 123 22 2 123 1 33 nn nn sxxxxnn n 1111 年高考試題及解析年高考試題及解析 1 重慶文 1 在等差數(shù)列 n a中 2 2a 310 4 aa 則 a 12b 14c 16d 18 命題意圖 本題考查等差數(shù)列通項公式 是送分題 解析 2 2 a 4 3 a 32 daa 2 10 a 3 7ad 18 故選 d 用心 愛心 專心24 2 北京文 12 在等比數(shù)列 n a中 若 14 1 4 2 aa 則公比q 12n aaa 解析 由 n a是等比數(shù)列得 3 41 aa q 又 14 1 4 2 aa 所以 3 1 42 2 qq 1 12 1 1 n n aq aaa q 1 1 1 2 1 2 2 1 22 n n 3 天津文 1111 已知已知 n a是等差數(shù)列是等差數(shù)列 n s為其前為其前 n n 項和項和 nn 若若 3 16a 20 20s 則則 10 s的值為的值為 答案 110 解析 設公差為d 則 1 216ad 且 1 20 19 2020 2 ad 解得2d 1 20a 所以 10 10 9 10 20 2 110 2 s 4 安徽文 7 若數(shù)列 n a的通項公式是 n an g 則aaa l a 15 b 12 c d 5 江西文 5 設 n a 為等差數(shù)列 公差 d 2 n s為其前 n 項和 若 1011 ss 則 1 a a 18 b 20 c 22 d 24 解析 1011111111 0 10 20ssaaada 6 廣東文 1111 已知 已知 n a 是遞增等比數(shù)列 是遞增等比數(shù)列 4 2 342 aaa 則此數(shù)列的公比 則此數(shù)列的公比 q 解析解析 2 2 由題得由題得 1 32 11 2 21 4 a q qq a qa q 或因為因為 n a是遞增等比數(shù)列 所以是遞增等比數(shù)列 所以 用心 愛心 專心25 2 q 7 江蘇 1313 設 設 127 1aaa 其中 其中 7531 aaaa成公比為成公比為 q q 的等比數(shù)列 的等比數(shù)列 642 aaa成公差為成公差為 1 1 的等差數(shù)列 則的等差數(shù)列 則 q q 的最小值是的最小值是 8 四川文 9 數(shù)列 an 的前 n 項和為 sn 若 a1 1 an 1 3sn n 1 則 a6 a 3 44 b 3 44 1 c 44 d 44 1 解析 由題意 得 a2 3a1 3 當 n 1 時 an 1 3sn n 1 所以 an 2 3sn 1 得 an 2 4an 1 故從第二項起數(shù)列等比數(shù)列 則 a6 3 44 答案 a 9 全國文 6 設 n s為等差數(shù)列 n a的前n項和 若 1 1a 公差2d 2 24 kk ss 則k a 8 b 7 c 6 d 5 解析 221111 2 1 1 1 2 21 kkkk ssaaakdakdakd 2 1 21 244245kkk 故選 d 10 浙江文 17 若數(shù)列 2 4 3 n n n 中的最大項是第k項 則k 解析 2 4 3 n n an n 則 1 1 2 1 5 2 1 5 3 2 3 4 4 3 n n n n nn ann an n n n 于是 2 2 1 5 3 4 10nnn nn 令 2 100n 得1010n 則 1 1 n n a a 4n 時遞增 令 2 100n 得10n 則 1 1 n n a a 4n 時遞減 故 4n 是最大項 即4k 11 陜西文 13 觀察下列等式 用心 愛心 專心26 照此規(guī)律 第五個等式應為 12 陜西文 10 植樹節(jié)某班 20 名同學在一段直線公路一側(cè)植樹 每人植一棵 相鄰兩棵 樹相距 10 米 開始時需將樹苗集中放置在某一樹坑旁邊 現(xiàn)將樹坑從 1 到 20 依次編號 為使各位同學從各自樹坑前來領取樹苗所走的路程總和最小 樹苗可以放置的兩個最佳坑 位的編號為 a 1 和 20 b 9 和 10 c 9 和 11 d 10 和 11 答案 d 解析 設樹苗集中放置在第i號坑旁邊 則 20 名同學返所走的路程總和為 2 1 2 lii 2 1 12 19 20 10ii 2 21210 20ii 2 21399 20 24 i 即1011i 或時 min 2000l 13 湖北文 9 九章算術(shù) 竹九節(jié) 問題 現(xiàn)有一根 9 節(jié)的竹子 自下而下各節(jié)的容 積成等差數(shù)列 上面 4 節(jié)的容積共 3 升 下面 3 節(jié)的容積共 4 升 則第 5 節(jié)的容積為 a 1 升b 67 66 升c 47 44 升d 37 33 升 解析 設 9 節(jié)竹子的容積從上往下依次為a1 a2 a9 公差為 d 則有a1 a2 a3 a4 3 a7 a8 a9 4 即4a5 10d 3 3a5 9d 4 聯(lián)立解得 5 67 66 a 所以選 b 14 福建文 16 商家通常依據(jù) 樂觀系數(shù)準則 確定商品銷售價格 即根據(jù)商品的最低 銷售限價 a 最高銷售限價 b b a 以及常數(shù) x 0 x 1 確定實際銷售價格 c a x b 用心 愛心 專心27 a 這里 x 被稱為樂觀系數(shù) 經(jīng)驗表明 最佳樂觀系數(shù) x 恰好使得 c a 是 b c 和 b a 的等比中項 據(jù)此可得 最佳樂觀系數(shù) x 的值等于 答案 51 2 解析 因為 c a 是 b c 和 b a 的等比中項 所以 2 ca bc ba baacba 又 cax ba 所以 ca ba x 所以 2 ca caca ac xx 由題意知 0ca 所以 11 1 1 xx 整理得 2 10 xx 所以 51 2 x 或 51 2 x 舍去 15 遼寧文 15 sn為等差數(shù)列 an 的前 n 項和 s2 s6 a4 1 則 a5 16 重慶文 16 本小題滿分 13 分 小問 7 分 小問 6 分 設 n a是公比為正數(shù)的等比數(shù)列 1 2a 32 4aa 求 n a的通項公式 設 n b是首項為 1 公差為 2 的等差數(shù)列 求數(shù)列 nn ab 的前n項和 n s 解 i 設 q 為等比數(shù)列 n a的公比 則由 2 132 2 4224aaaqq 得 即 2 20qq 解得21qq 或 舍去 因此2 q 所以 n a的通項為 1 2 22 nn n ann ii 2 12 1 12 122 n n n n sn 12 22 n n 17 全國文 17 本小題滿分 l0 分 設數(shù)列 n a的前 n 項和為 n s 已知 2 6 a 12 630 aa 求 n a和 n s 解析 設等比數(shù)列 n a的公比為q 由題 1 2 11 6 630 a q aa q 解得 11 3 2 2 3 aa qq 用心 愛心 專心28 18 浙江文 19 本題滿分 14 分 已知公差不為 0 的等差數(shù)列 n a的首項 1 a 為a ar 且 1 1 a 2 1 a 4 1 a 成等比數(shù)列 求數(shù)列 n a的通項公式 對 nn 試 比較 2 2 22 111 n aaa 與 1 1 a 的大小 來 解析 22 214111 2 214 111 3 aa aada ad aaa 1 daa 數(shù)列 n a的通項公式 111 1 1 n aandanana 記 2 2 22 111 n n t aaa 因為 2 2 n n aa 所以 2 1 111 222 n n t a 11 1 1 22 1 1 2 n a 11 1 2 n a 從而當0a 時 1 1 n t a 當0a 時 1 1 n t a 19 課標卷文 17 本小題滿分 12 分 已知等比數(shù)列 n a中 3 1 3 1 1 qa 1 n s為數(shù)列 n a前n項的和 證明 2 1 n n a s 2 設 nn aaab 32313 logloglog 求數(shù)列 n b的通項公式 1 直接用等比數(shù)列通項公式與求和公式 2 代人化簡得到等差數(shù)列在求其和 解 1 2 1 3 1 3 1 3 1 1n n n n n a sa 31323 1 2 logloglog 12 2 nn n n baaan 點評 本題考查等比 等差數(shù)列的通項公式與求和公式 注意正確用公式計算 20 山東文 20 本小題滿分 12 分 等比數(shù)列 n a中 123 a a a分別是下表第一 二 用心 愛心 專心29 三行中的某一個數(shù) 且 123 a a a中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列 第一列第二列第三列 第一行 3210 第二行 6414 第三行 9818 求數(shù)列 n a的通項公式 若數(shù)列 n b滿足 1 ln nnn baa 求數(shù)列 n b的前2n項和 2n s 解析 由題意知 123 2 6 18aaa 因為 n a是等比數(shù)列 所以公比為 3 所以 數(shù)列 n a的通項公式 1 2 3n n a 因為 1 ln nnn baa 1 2 3n 1 1 ln2 3n 所以 12nn sbbb 1212 lnlnln nn aaaaaa 2 1 3 1 3 n 12 ln n a a a 31 n 121 ln 21 333 nn 31 n 1 2 ln 23 n n n 所以 2n s 2 31 n 2 21 2 2 ln 23 nn n 91 n 2 2 ln2 2 ln3nnn 21 江蘇 2020 本小題滿分 本小題滿分 1616 分 設分 設 m m 為部分正整數(shù)組成的集合 數(shù)列為部分正整數(shù)組成的集合 數(shù)列 n a的首項的首項 1 1 a 前 前 n n 項和為項和為 n s 已知對任意整數(shù) 已知對任意整數(shù) k k 屬于屬于 m m 當 當 n kn k 時 時 2 knknkn ssss 都成立 都成立 1 1 設 設 m m 1 1 2 2 a 求 求 5 a的值 的值 2 2 設 設 m m 3 3 4 4 求數(shù)列 求數(shù)列 n a的通項公式 的通項公式 用心 愛心 專心30 12122 2 6a152 255 452 adaadad 即 12122 28282 279 351aadaadad 即 2 3 2 21 n adan 22 四川文 20 本小題共 12 分 已知 n a 是以a為首項 q 為公比的等比數(shù)列 n s為它的前n項和 當 134 s s s成等差數(shù)列時 求 q 的值 當 m s n s i s成等差數(shù)列時 求證 對任意自然數(shù) m kn ki k k aaa 也成等差數(shù)列 解析 當1q 時 134 3 4sa sa sa 因為 134 s s s成等差數(shù)列 所以 2 34aaa 解得0a 因為0a 故1q 當1q 時 34 134 1 1 11 aqaq sa ss qq 由 134 s s s成等差數(shù)列得 用心 愛心 專心31 34 2 1 1 11 aqaq a qq 得 32 210qq 即 2 110qqq 15 2 q 當 mni sss成等差數(shù)列 則2 nmi sss 當1q 時 由2 nmi sss 得2namaia 即2nmi 220 m ki kn k aaaaa

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