高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文 一道聯(lián)賽試題的多種證法.doc

一道聯(lián)賽題的多種證法2003年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第13題是關(guān)于不等式的證明,原題為：設(shè)3/2x5，證明不等式：2 對于熟悉柯西不等式的學(xué)生，若對不等式左端稍加變形，這似乎是一道很簡單的題目，本文將從考綱要求掌握的方法中歸納出它的一般證法。一、 基本不等式法證法1：由基本不等式知： 2= = =2+=2證法2：由基本不等式，及x5知 2+=（+）+（+） 2+2 =(+)2=22=2證法3：本證法也是聯(lián)賽提供的標(biāo)準(zhǔn)答案，由基本不等式a2+b22ab及（a+b+c+d）2= a2+b2+c2+d2+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)4(a2+b2+c2+d2)因此a+b+c+d2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d時取等號)取a=b=，c=,d=,則2+2=22因?yàn)?不能同時相等，所以2+2二、分析法證：欲證原不等式+2（-）12-x+24(20+x-2)又由基本不等式ab,有22x-3+15-x=12-x故只需證明12-x40+2x-4,而12-x40+2x-4428+3x9x2-136x+4800于是只要證=9x2-136x+480恒大于0（x5） 因?yàn)榈膶Sx=,而區(qū)間在x=的左側(cè)，在上單調(diào)遞減，則 （x），但0，故恒大于0（x5），進(jìn)而原不等式成立。三、 換元法證：x5，令x=+則有2+=+（對后兩項(xiàng)使用基本不等式）（再用基本不等式）=2（而上式等號不能同時成立） 故原不等式成立四、 構(gòu)造函數(shù)法證：構(gòu)造如下二次函數(shù)：=4t2-2(2+)t+(14+x)=2(t-)2+(t-)2+(t-)2 、在內(nèi)不能相等，=0即2+22五、 導(dǎo)數(shù)法新課程中引入了微積分，既顯示了對簡單性的追求，又拓寬了數(shù)學(xué)思維的途徑。這道題，我們可以利用導(dǎo)數(shù)所確定函數(shù)的凸性來證明。首先給出凸函數(shù)的有關(guān)定義與定理凸函數(shù)：如果定義在區(qū)間上上，且對任意的x1,，x2，以及恒有+（1-）稱為上的凸函數(shù)。定理：若在（a, b）內(nèi)0，則在（a, b）為凸的；若在（a, b）內(nèi)，0，則在（a, b）為凹的。一般地，設(shè)在上，0，則對任意x1，i（0，1）i滿足=1有證：設(shè)=，=-0在（0，+）上是凸函數(shù)。即=又2+而+2故原不等式成立以上各種證法依次使用了基本不等式法，配方法，換元法及二次函數(shù)的性質(zhì)，簡單，巧妙。證明過程看上去并不難，但必須具備堅(jiān)實(shí)的“雙基”，尤