高中數(shù)學(xué)《1.3 算法案例》教案2 新人教A版必修3.doc

第2課時(shí) 案例2 秦九韶算法導(dǎo)入新課 思路1（情境導(dǎo)入） 大家都喜歡吃蘋果吧，我們吃蘋果都是從外到里一口一口的吃，而蟲子卻是先鉆到蘋果里面從里到外一口一口的吃，由此看來處理同一個(gè)問題的方法多種多樣.怎樣求多項(xiàng)式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1當(dāng)x=5時(shí)的值呢？方法也是多種多樣的，今天我們開始學(xué)習(xí)秦九韶算法. 思路2（直接導(dǎo)入） 前面我們學(xué)習(xí)了輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)， 今天我們開始學(xué)習(xí)秦九韶算法.推進(jìn)新課新知探究提出問題（1）求多項(xiàng)式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1當(dāng)x=5時(shí)的值有哪些方法？比較它們的特點(diǎn).（2）什么是秦九韶算法？（3）怎樣評價(jià)一個(gè)算法的好壞？討論結(jié)果：（1）怎樣求多項(xiàng)式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1當(dāng)x=5時(shí)的值呢？ 一個(gè)自然的做法就是把5代入多項(xiàng)式f(x)，計(jì)算各項(xiàng)的值，然后把它們加起來，這時(shí)，我們一共做了1+2+3+4=10次乘法運(yùn)算，5次加法運(yùn)算. 另一種做法是先計(jì)算x2的值，然后依次計(jì)算x2x，（x2x）x，（x2x）x）x的值，這樣每次都可以利用上一次計(jì)算的結(jié)果，這時(shí)，我們一共做了4次乘法運(yùn)算，5次加法運(yùn)算. 第二種做法與第一種做法相比，乘法的運(yùn)算次數(shù)減少了，因而能夠提高運(yùn)算效率，對于計(jì)算機(jī)來說，做一次乘法運(yùn)算所用的時(shí)間比做一次加法運(yùn)算要長得多，所以采用第二種做法，計(jì)算機(jī)能更快地得到結(jié)果.（2）上面問題有沒有更有效的算法呢？我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家秦九韶（約12021261）在他的著作數(shù)書九章中提出了下面的算法： 把一個(gè)n次多項(xiàng)式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0改寫成如下形式：f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0=（anxn-1+an-1xn-2+a1）x+ a0=（anxn-2+an-1xn-3+a2）x+a1)x+a0=（anx+an-1）x+an-2）x+a1）x+a0.求多項(xiàng)式的值時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)層括號內(nèi)一次多項(xiàng)式的值，即v1=anx+an-1，然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即v2=v1x+an-2，v3=v2x+an-3，vn=vn-1x+a0，這樣，求n次多項(xiàng)式f（x）的值就轉(zhuǎn)化為求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值.上述方法稱為秦九韶算法.直到今天，這種算法仍是多項(xiàng)式求值比較先進(jìn)的算法.（3）計(jì)算機(jī)的一個(gè)很重要的特點(diǎn)就是運(yùn)算速度快，但即便如此，算法好壞的一個(gè)重要標(biāo)志仍然是運(yùn)算的次數(shù).如果一個(gè)算法從理論上需要超出計(jì)算機(jī)允許范圍內(nèi)的運(yùn)算次數(shù)，那么這樣的算法就只能是一個(gè)理論的算法.應(yīng)用示例例1 已知一個(gè)5次多項(xiàng)式為f（x）=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8， 用秦九韶算法求這個(gè)多項(xiàng)式當(dāng)x=5時(shí)的值.解：根據(jù)秦九韶算法，把多項(xiàng)式改寫成如下形式：f(x)=（(5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8，按照從內(nèi)到外的順序，依次計(jì)算一次多項(xiàng)式當(dāng)x=5時(shí)的值：v0=5；v1=55+2=27;v2=275+3.5=138.5;v3=138.55-2.6=689.9;v4=689.95+1.7=3 451.2;v5=3 415.25-0.8=17 255.2;所以，當(dāng)x=5時(shí)，多項(xiàng)式的值等于17 255.2.算法分析：觀察上述秦九韶算法中的n個(gè)一次式，可見vk的計(jì)算要用到vk-1的值，若令v0=an，我們可以得到下面的公式：這是一個(gè)在秦九韶算法中反復(fù)執(zhí)行的步驟，因此可用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實(shí)現(xiàn).算法步驟如下：第一步，輸入多項(xiàng)式次數(shù)n、最高次的系數(shù)an和x的值.第二步，將v的值初始化為an，將i的值初始化為n-1.第三步，輸入i次項(xiàng)的系數(shù)ai.第四步，v=vx+ai,i=i-1.第五步，判斷i是否大于或等于0.若是，則返回第三步；否則，輸出多項(xiàng)式的值v.程序框圖如下圖：程序：input “n=”；ninput “an=”；ainput “x=”；xv=ai=n-1while i=0 print “i=”；i input “ai=”；a v=v*x+a i=i-1wendprint vend點(diǎn)評：本題是古老算法與現(xiàn)代計(jì)算機(jī)語言的完美結(jié)合，詳盡介紹了思想方法、算法步驟、程序框圖和算法語句,是一個(gè)典型的算法案例.變式訓(xùn)練 請以5次多項(xiàng)式函數(shù)為例說明秦九韶算法，并畫出程序框圖.解：設(shè)f（x）=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0首先，讓我們以5次多項(xiàng)式一步步地進(jìn)行改寫：f（x）=（a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1）x+a0=（a5x3+a4x2+ a3x+a2）x+a1）x+a0=（a5x2+a4x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0=（a5x+a4）x+ a3）x+a2）x+a1）x+a0.上面的分層計(jì)算,只用了小括號，計(jì)算時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)層的括號，然后由里向外逐層計(jì)算，直到最外層的括號，然后加上常數(shù)項(xiàng)即可.程序框圖如下圖：例2 已知n次多項(xiàng)式pn(x)=a0xn+a1xn-1+an-1x+an，如果在一種算法中，計(jì)算（k=2，3，4，n）的值需要k1次乘法，計(jì)算p3(x0)的值共需要9次運(yùn)算（6次乘法，3次加法），那么計(jì)算p10(x0)的值共需要_次運(yùn)算.下面給出一種減少運(yùn)算次數(shù)的算法：p0(x)=a0,pk+1(x)=xpk(x)+ak+1（k0，1，2，n1）利用該算法，計(jì)算p3(x0)的值共需要6次運(yùn)算，計(jì)算p10(x0)的值共需要_次運(yùn)算.答案：65 20點(diǎn)評：秦九韶算法適用一般的多項(xiàng)式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的求值問題.直接法乘法運(yùn)算的次數(shù)最多可到達(dá)，加法最多n次.秦九韶算法通過轉(zhuǎn)化把乘法運(yùn)算的次數(shù)減少到最多n次，加法最多n次.例3 已知多項(xiàng)式函數(shù)f(x)=2x55x44x3+3x26x+7，求當(dāng)x=5時(shí)的函數(shù)的值.解析：把多項(xiàng)式變形為：f(x)=2x55x44x3+3x26x+7=(2x5)x4)x+3)x6)x+7.計(jì)算的過程可以列表表示為：最后的系數(shù)2 677即為所求的值.算法過程：v0=2；v1=255=5；v2=554=21；v3=215+3=108；v4=10856=534；v5=5345+7=2 677.點(diǎn)評：如果多項(xiàng)式函數(shù)中有缺項(xiàng)的話，要以系數(shù)為0的項(xiàng)補(bǔ)齊后再計(jì)算.知能訓(xùn)練當(dāng)x=2時(shí)，用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6的值解法一：根據(jù)秦九韶算法，把多項(xiàng)式改寫成如下形式：f(x)=(3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6.按照從內(nèi)到外的順序，依次計(jì)算一次多項(xiàng)式當(dāng)x=2時(shí)的值.v0=3;v1=v02+8=32+8=14;v2=v12-3=142-3=25;v3=v22+5=252+5=55;v4=v32+12=552+12=122;v5=v42-6=1222-6=238.當(dāng)x=2時(shí)，多項(xiàng)式的值為238.解法二：f(x)=(3x+8)x-3)x+5)x+12）x-6，則f(2)=(32+8)23)2+5)2+12)26238拓展提升 用秦九韶算法求多項(xiàng)式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x當(dāng)x=3時(shí)的值.解：f(x)=(7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)xv0=7；v1=73+6=27；v2=273+5=86；v3=863+4=262；v4=2623+3=789；v5=7893+2=2 369；v6=2 3693+1=7 108；v7=7 1083+0=21 324.f(3)=21 324.課堂小結(jié)1.秦九韶算法的方法和步驟.2.秦九韶算法的計(jì)算機(jī)程序框圖.作業(yè)已知函數(shù)f(x)=x32x25x+8,求f(9)的值.解：f(x)=x32x25x+8=(x22x5)x+8=(x2)x5)x+8 f(9)=(92)95)9+8=530.設(shè)計(jì)感想 古老的算法散發(fā)濃郁的現(xiàn)代氣息，這是一節(jié)充滿