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指數(shù)函數(shù) 一 問題引入 問題三 認真觀察并回答下列問題 1 一張白紙對折一次得兩層 對折兩次得4層 對折3次得8層 問若對折x次所得層數(shù)為 則y與x的函數(shù)關系是 2 一根1米長的繩子從中間剪一次剩下米 再從中間剪一次剩下米 若這條繩子剪x次剩下y米 則y與x的函數(shù)關系是 問題1折紙問題問題2剪繩子問題 思考 觀察上面兩個函數(shù) 有沒有共同特征 能否把它們歸為一類 1 冪的形式2 冪的底數(shù)是一個正的常數(shù)3 冪的指數(shù)是一個變量 指數(shù)函數(shù)的概念 形如y ax函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù) 指數(shù)自變量 底數(shù) a 0且a 1 常數(shù) 當a 0時 ax有些會沒有意義 如 2 0等都沒有意義 而當a 1時 函數(shù)值y恒等于1 沒有研究的必要 思考 為何規(guī)定a 0 且a 1 二 新課 關于指數(shù)函數(shù)的定義域 回顧上一節(jié)的內(nèi)容 我們發(fā)現(xiàn)指數(shù)中p可以是有理數(shù)也可以是無理數(shù) 所以指數(shù)函數(shù)的定義域是R 問題2 如何畫出指數(shù)函數(shù)的圖像呢 問題1 你能類比前面討論函數(shù)性質(zhì)時的思路 提出研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的方法嗎 研究方法 畫出函數(shù)圖象 結合圖象研究函數(shù)的性質(zhì) 研究內(nèi)容 定義域 值域 單調(diào)性 最大 小 值 奇偶性 描點法 列表 描點 連線 1 4 1 2 1 2 4 4 2 1 1 2 1 4 y x 0 y 2x y 12345678 87654321 3 2 1 1 2 3 列表 畫圖 0 25 0 5 1 2 4 和的圖象有什么關系 和的圖象關于y軸對稱 和的圖象關于y軸對稱 y f x 與y f x 的圖像關于y軸對稱 問題3 你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)的圖象與其底數(shù)之間有什么樣的規(guī)律 你能根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象概括 歸納指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)嗎 練習 在同一坐標系中畫出下列函數(shù)的圖象 觀察右邊圖象 回答下列問題 問題一 圖象分別在哪幾個象限 問題二 圖象的上升 下降與底數(shù)a有聯(lián)系嗎 問題三 圖象中有哪些特殊的點 答 四個圖象都在第 象限 答 當?shù)讛?shù) 時圖象上升 當?shù)讛?shù) 時圖象下降 答 四個圖象都經(jīng)過點 順 1 定義域為 值域為 0 2 圖像都過點 0 1 當x 0時 y 1 4 是R上的增函數(shù) 4 是R上的減函數(shù) 3 當x 0時 y 1 x 0時 0 y 1 3 當x 0時 01 問題 你能根據(jù)本例說出確定一個指數(shù)函數(shù)需要幾個條件嗎 練習 例1 已知指數(shù)函數(shù)f x ax a 0 且a 1 的圖象經(jīng)過點 3 求f 0 f 1 f 3 的值 1求下列函數(shù)的定義域值域 練習 函數(shù)y ax 3 2 a 0 且a 1 必經(jīng)過哪個定點 練習 函數(shù)y ax 1 1 a 0 且a 1 必經(jīng)過哪個定點 練習 若指數(shù)函數(shù)y 2a 1 x是減函數(shù) 求實數(shù)a的取值范圍 指數(shù)函數(shù)的概念 形如y ax函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù) 指數(shù)自變量 底數(shù) a 0且a 1 常數(shù) 1 定義域為 值域為 0 2 圖像都過點 0 1 當x 0時 y 1 4 是R上的增函數(shù) 4 是R上的減函數(shù) 3 當x 0時 y 1 x 0時 0 y 1 3 當x 0時 01 函數(shù)y ax 2 1 a 0 且a 1 必經(jīng)過哪個定點 練習 例2 比較下列各題中兩個值的大小 1 1 72 5 1 73 2 0 8 0 1 0 8 0 2 3 1 70 3 0 93 1 方法引導 比較兩數(shù)值的大小 ?？梢詺w結為比較兩函數(shù)值的大小 所以需要我們能夠恰當?shù)貥嬙旌瘮?shù) 使兩數(shù)值為同一函數(shù)的兩個函數(shù)值 然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性來比較大小 有時也需要借助中間量0 1來過渡 P59T7 練習2 此圖是 y ax y bx y cx y dx的圖象 則a b c d與1的大小關系是 Aa b 1 c d Bb a 1 d c C1 a b c d Da b 1 d c 變式1 變式2 練習 1求下列函數(shù)的定義域值域 作業(yè) 二 新課 例2 求下列函數(shù)的值域 例3 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 二 新課 同增異減 二 新課 求單調(diào)區(qū)間 例 3 當a 1時 討論函數(shù)f x 的奇偶性和單調(diào)性 2 二 新課 要點梳理1 根式 1 根式的概念如果一個數(shù)的n次方等于a n 1且n N 那么這個數(shù)叫做a的n次方根 也就是 若xn a 則x叫做 其中n 1且n N 式子叫做 這里n叫做 a叫做 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 基礎知識自主學習 a的n次方根 根式 根指數(shù) 被開方數(shù) 2 根式的性質(zhì) 當n為奇數(shù)時 正數(shù)的n次方根是一個正數(shù) 負數(shù)的n次方根是一個負數(shù) 這時 a的n次方根用符號 表示 當n為偶數(shù)時 正數(shù)的n次方根有兩個 它們互為相反數(shù) 這時 正數(shù)的正的n次方根用符號 表示 負的n次方根用符號 表示 正負兩個n次方根可以合寫為 a 0 a 當n為奇數(shù)時 當n為偶數(shù)時 負數(shù)沒有偶次方根 2 有理數(shù)指數(shù)冪 1 冪的有關概念 正整數(shù)指數(shù)冪 n N 零指數(shù)冪 a0 a 0 負整數(shù)指數(shù)冪 a p a 0 p N a 1 正分數(shù)指數(shù)冪 a 0 m n N 且n 1 負分數(shù)指數(shù)冪 a 0 m n N 且n 1 0的正分數(shù)指數(shù)冪等于 0的負分數(shù)指數(shù)冪 2 有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì) aras a 0 r s Q ar s a 0 r s Q ab r a 0 b 0 r Q ar s ars arbr 0 沒有意義 3 指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) R 0 0 1 y 1 y 1 0 y 1 0 y 1 增函數(shù) 減函數(shù) 基礎自測1 已知a 則化簡的結果是 A B C D 解析 C 2 下列函數(shù)中 既是偶函數(shù)又在 0 上單調(diào)遞增的是 A y x3B y x2 1C y x 1D y 2 x 解析因為y x3是奇函數(shù) 從而可排除A 因為函數(shù)y x2 1及y 2 x 在 0 上單調(diào)遞減 所以排除B D C 3 右圖是指數(shù)函數(shù) 1 y ax 2 y bx 3 y cx 4 y dx的圖象 則a b c d與1的大小關系是 A a b 1 c dB b a 1 d cC 1 a b c dD a b 1 d c 解析方法一當指數(shù)函數(shù)底數(shù)大于1時 圖象上升 且當?shù)讛?shù)越大時 在第一象限內(nèi) 圖象越靠近y軸 當?shù)讛?shù)大于0且小于1時 圖象下降 且在第一象限內(nèi) 底數(shù)越小 圖象越靠近x軸 故可知bd1 a1 b1 b a 1 d c 故選B 答案B 4 已知f x 2x 2 x 若f a 3 則f 2a 等于 A 5B 7C 9D 11解析 f x 2x 2 x f a 3 2a 2 a 3 f 2a 22a 2 2a 4a 4 a 2a 2 a 2 2 9 2 7 B 5 若函數(shù)y a2 3a 3 ax為指數(shù)函數(shù) 則有 A a 1或2B a 1C a 2D a 0且a 1解析 a 2 C 題型一指數(shù)冪的化簡與求值 例1 計算下列各式 題型分類深度剖析 先把根式化為分數(shù)指數(shù)冪 再根據(jù)冪的運算性質(zhì)進行計算 解 思維啟迪 根式運算或根式與指數(shù)式混合運算時 將根式化為指數(shù)式計算較為方便 對于計算的結果 不強求統(tǒng)一用什么形式來表示 如果有特殊要求 要根據(jù)要求寫出結果 但結果不能同時含有根號和分數(shù)指數(shù) 也不能既有分母又含有負指數(shù) 探究提高 知能遷移1 解 題型二指數(shù)函數(shù)的性質(zhì) 例2 12分 設函數(shù)f x 為奇函數(shù) 求 1 實數(shù)a的值 2 用定義法判斷f x 在其定義域上的單調(diào)性 由f x f x 恒成立可解得a的值 第 2 問按定義法判斷單調(diào)性的步驟進行求解即可 思維啟迪 解 1 方法一依題意 函數(shù)f x 的定義域為R f x 是奇函數(shù) f x f x 2分 2 a 1 2x 1 0 a 1 6分 方法二 f x 是R上的奇函數(shù) f 0 0 即 a 1 6分 2 由 1 知 設x1 x2且x1 x2 R 8分 解題示范 f x2 f x1 f x 在R上是增函數(shù) 1 若f x 在x 0處有定義 且f x 是奇函數(shù) 則有f 0 0 即可求得a 1 2 由x1 x2推得實質(zhì)上應用了函數(shù)f x 2x在R上是單調(diào)遞增這一性質(zhì) 探究提高 10分 12分 知能遷移2設是定義在R上的函數(shù) 1 f x 可能是奇函數(shù)嗎 2 若f x 是偶函數(shù) 試研究其單調(diào)性 解 1 方法一假設f x 是奇函數(shù) 由于定義域為R f x f x 即整理得即即a2 1 0 顯然無解 f x 不可能是奇函數(shù) 方法二若f x 是R上的奇函數(shù) 則f 0 0 即 f x 不可能是奇函數(shù) 2 因為f x 是偶函數(shù) 所以f x f x 即整理得又 對任意x R都成立 有得a 1 當a 1時 f x e x ex 以下討論其單調(diào)性 任取x1 x2 R且x1 x2 當f x1 0 即增區(qū)間為 0 反之 0 為減區(qū)間 當a 1時 同理可得f x 在 0 上是增函數(shù) 在 0 上是減函數(shù) 題型三指數(shù)函數(shù)的圖象及應用 例3 已知函數(shù) 1 作出圖象 2 由圖象指出其單調(diào)區(qū)間 3 由圖象指出當x取什么值時函數(shù)有最值 思維啟迪 化去絕對值符號 將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式 作圖象 寫出單調(diào)區(qū)間 寫出x的取值 解 1 由已知可得其圖象由兩部分組成 一部分是 另一部分是 y 3x x 0 y 3x 1 x 1 向左平移1個單位 向左平移1個單位 圖象如圖 2 由圖象知函數(shù)在 1 上是增函數(shù) 在 1 上是減函數(shù) 3 由圖象知當x 1時 函數(shù)有最大值1 無最小值 在作函數(shù)圖象時 首先要研究函數(shù)與某一基本函數(shù)的關系 然后通過平移或伸縮來完成 探究提高 知能遷移3若直線y 2a與函數(shù)y ax 1 a 0 且a 1 的圖象有兩個公共點 則a的取值范圍是 解析數(shù)形結合 當a 1時 如圖 只有一個公共點 不符合題意 當0 a 1時 如圖 由圖象可知0 2a 1 思想方法感悟提高1 單調(diào)性是指數(shù)函數(shù)的重要性質(zhì) 特別是函數(shù)圖象的無限伸展性 x軸是函數(shù)圖象的漸近線 當01 x 時 y 0 當a 1時 a的值越大 圖象越靠近y軸 遞增的速度越快 當0 a 1時 a的值越小 圖象越靠近y軸 遞減的速度越快 2 畫指數(shù)函數(shù)y ax的圖象 應抓住三個關鍵點 1 a 0 1 1 方法與技巧 3 在有關根式 分數(shù)指數(shù)冪的變形 求值過程中 要注意運用方程的觀點處理問題 通過解方程 組 來求值 或用換元法轉化為方程來求解 1 指數(shù)函數(shù)y ax a 0 a 1 的圖象和性質(zhì)與a的取值有關 要特別注意區(qū)分a 1與0 a 1來研究 2 對可化為a2x b ax c 0或a2x b ax c 0 0 的指數(shù)方程或不等式 常借助換元法解決 但應注意換元后 新元 的范圍 失誤與防范 一 選擇題1 下列等式中一定成立的有 A 0個B 1個C 2個D 3個解析 定時檢測 A 2 函數(shù)f x ax b的圖象如右圖 其中a b為常數(shù) 則下列結論正確的是 A a 1 b1 b 0C 00D 0 a 1 b 0 解析由圖象得函數(shù)是減函數(shù) 00 即b 0 從而D正確 答案D 3 已知函數(shù)y 4x 3 2x 3 當其值域為 1 7 時 x的取值范圍是 A 2 4 B 0 C 0 1 2 4 D 0 1 2 解析y 2x 2 3 2x 3 2x 1 1 2 4 x 0 1 2 D 4 定義運算 a b 如1 2 1 則函數(shù)f x 2x 2 x的值域為 A RB 0 C 0 1 D 1 解析f x 2x 2 x f x 在 0 上是增函數(shù) 在 0 上是減函數(shù) 0 f x 1 C 5 若函數(shù)則該函數(shù)在 上是 A 單調(diào)遞減無最小值B 單調(diào)遞減有最小值C 單調(diào)遞增無最大值D 單調(diào)遞增有最大值解析令u x 2x 1 則因為u x 在 上單調(diào)遞增且u x 1 而在 1 上單調(diào)遞減 故在 上單調(diào)遞減 且無限趨于0 故無最小值 A 6 函數(shù)的部分圖象大致是如圖所示的四個圖象中的一個 根據(jù)你的判斷 a可能的取值是 A B C 2D 4 解析函數(shù)為偶函數(shù) 排除 又函數(shù)值恒為正值 則排除 故圖象只能是 再根據(jù)圖象先增后減的特征可知2a 3 1 即a 2 符合條件的只有D選項 故選D 答案D 二 填空題7 若f x a x與g x ax a a 0且a 1 的圖象關于直線x 1對稱 則a 解析g x 上的點P a 1 關于直線x 1的對稱點P 2 a 1 應在f x a x上 1 aa 2 a 2 0 即a 2 2 8 設函數(shù)f x a x a 0且a 1 若f 2 4 則f 2 與f 1 的大小關系是 解析由f 2 a 2 4 解得a f x 2 x f 2 4 2 f 1 f 2 f 1 9 2009 江蘇 已知函數(shù)f x ax 若實數(shù)m n滿足f m f n 則m n的大小關系為 解析 函數(shù)f x ax在R上是減函數(shù) 又 f m f n m n m n 三 解答題10 已知對任意x R 不等式恒成立 求實數(shù)m的取值范圍 解由題知 不等式對x R恒成立 x2 x0對x R恒