奧數(shù)基礎講座 二次函數(shù)(含解答)-.doc

二次函數(shù)講座問題選講 1二次函數(shù)y=ax2，y=a（x-h）2，y=a（x-h）2+k，y=ax2+bx+c（各式中，a0）的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：解析式y(tǒng)=ax2y=（ax-h） 2y=a（x-h） 2+ky=ax2+bx+c頂點坐標對稱軸 2拋物線y=ax2+bx+c（a0）的圖象；當a0時，開口向上，當a0，當x-時，y隨x的增大而減??；當x-時，y隨x的增大而增大若a0，圖象與x軸交于兩點A（x1，0）和B（x2，0），其中的x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根這兩點間的距離AB=x1-x2= 當=0，圖象與x軸只有一個交點； 當0時，圖象落在x軸的上方，x為任何實數(shù)，都有y0；當a0時，圖象落在x軸的下方，x為任何實數(shù)時，都有y0 5用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 （1）當題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：y=ax2+bx+c（a0） （2）當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a（x-h）2+k（a0） （3）當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a（x-x1）（x-x2）（a0） 6二次函數(shù)知識很容易與其他知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目因此，以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是熱點考題，往往以大題形式出現(xiàn) 例題剖析 例1 （2006年全國初中數(shù)學競賽（浙江賽區(qū)）初賽試題）作拋物線A關于x軸對稱的拋物線B，再將拋物線B向左平移2個單位，向上平移1個單位，得到的拋物線C的函數(shù)解析式是y=2（x+1）2-1，則拋物線A所對應的函數(shù)表達式是（ ）（A）y=-2（x+3）2-2; （B）y=-2（x+3）2+2; （C）y=-2（x-1）2-2; （D）y=-2（x-1）2+2 例2 （2006年全國初中數(shù)學競賽（海南賽區(qū)）根據(jù)下列表格的對應值，判斷方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c為常數(shù)）一個解x的范圍是（ ） x3.233.243.253.26ax2+bx+c-0.06-0.020.030.07 （A）3x3.23 （B）3.23x3.24 （C）3.24x3.25 （D）3.25x0，二次函數(shù)y=ax2+bx+a2-1的圖象為下列圖象之一，則a的值是（ ） （A）1 （B）-1 （C） 例6 （2006年蕪湖市鳩江區(qū)初中數(shù)學競賽試題）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖象的頂點在第一象限，且過點（0，1）和（-1，0），則S=a+b+c的值的變化范圍是_ 例7 （2005年全國初中數(shù)學競賽試題）RtABC的三個頂點A，B，C均在拋物線y=x2上，并且斜邊AB平行于x軸若斜邊上的高為h，則（ ） （A）h1 （B）h=1 （C）1h2 例8 （1993年江蘇初中數(shù)學競賽試題）已知是兩位數(shù)，二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖象與x軸交于不同的兩點，這兩點間距離不超過2 （1）求證：0m2-4n4； （2）求出所有這樣的兩位數(shù) 例9 （1997年天津市初中數(shù)學競賽試題）已知函數(shù)y=x2-x-12的圖象與x軸交于相異兩點A，B，另一拋物線y=ax2+bx+c過點A，B，頂點為P，且APB是等腰直角三角形，求a，b，c 例10 （2006年全國初中數(shù)學競賽（浙江賽區(qū)）初賽試題）已知二次函數(shù)y=x2+2（m+1）x-m+1 （1）隨著m的變化，該二次函數(shù)圖象的頂點P是否都在某條拋物線上？如果是，請求出該拋物線的函數(shù)表達式；如果不是，請說明理由 （2）如果直線y=x+1經(jīng)過二次函數(shù)y=x2+2（m+1）x-m+1圖象的頂點P，求此時m的值 例11 （2004年河北省初中數(shù)學創(chuàng)新與知識應用競賽決賽試題）通過實驗研究，專家們發(fā)現(xiàn)：初中學生聽課的注意力指標數(shù)是隨著老師講課時間的變化而變化的，講課開始時，學生的興趣激增，中間有一段時間，學生的興趣保持平衡的狀態(tài)，隨后開始分散學生注意力指標數(shù)y隨時間x（分鐘）變化的函數(shù)圖象如圖所示（y越大表示學生注意力越集中）當0x10時，圖象是拋物線的一部分，當10x20和20x40時，圖象是線段 （1）當0x10時，求注意力指標數(shù)y與時間x的函數(shù)關系式；（2）一道數(shù)學競賽題需要講解24分鐘問老師能否經(jīng)過適當安排，使學生在聽這道題時，注意力的指標數(shù)都不低于36 例12 （2006年全國初中數(shù)學競賽（海南賽區(qū)）已知A1、A2、A3是拋物線y=x2上的三點，A1B1、A2B2、A3B3分別垂直于x軸，垂足為B1、B2、B3，直線A2B2交線段A1A3于點C （1）如圖（a），若A1、A2、A3三點的橫坐標依次為1、2、3，求線段CA2的長； （2）如圖（b），若將拋物線y=x2改為拋物線y=x2-x+1，A1、A2、A3三點的橫坐標為連續(xù)整數(shù)，其他條件不變，求線段CA2的長；（3）若將拋物線y=x2改為拋物線y=ax2+bx+c，A1、A2、A3三點的橫坐標為連續(xù)整數(shù)，其他條件不變，請猜想線段CA2的長（用a、b、c表示，并直接寫出答案） 例13 設拋物線C的解析式為y=x2-2kx+（+k）k，k為實數(shù) （1）求拋物線的頂點坐標和對稱軸方程（用k表示）； （2）任意給定k的三個不同實數(shù)值，請寫出三個對應的頂點坐標，試說明當k變化時，拋物線C的頂點在一條定直線L上，求出直線L的解析式并畫出圖象； （3）在第一象限有任意兩圓O1、O2相外切，且都與x軸和（2）中的直線L相切，設兩圓在x軸上的切點分別為A、B（OA0時，對稱軸左邊y隨x的增大而減小，對稱軸右邊y隨x的增大而增大，當a0時，情況相反 拋物線的最高點或最低點都是指拋物線的頂點 只要解析式的二次項系數(shù)的絕對值相同，兩條拋物線的形狀就相同 一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根，就是拋物線y=ax2+bx+c與x軸交點的橫坐標 （A） （B） （C） （D）3若函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點（1，-2），那么拋物線y=ax2+（a-1）x+a+3的性質(zhì)說得全對的是（ ） （A）開口向下，對稱軸在y軸右側，圖象與正半y軸相交 （B）開口向下，對稱軸在y軸左側，圖象與正半y軸相交 （C）開口向上，對稱軸在y軸左側，圖象與負半y軸相交 （D）開口向下，對稱軸在y軸右側，圖象與負半y軸相交4函數(shù)y=ax2與y=（a0，0 （B）a0，0 （C）a0 （D）a0，07已知拋物線y=ax2+bx+c如圖所示，則關于x的方程ax2+bx+c-3=0的根的情況是（ ） （A）有兩個不相等的正實數(shù)根 （B）有兩個異號實數(shù)根 （C）有兩個相等的實數(shù)根 （D）沒有實數(shù)根8為了備戰(zhàn)世界杯，中國足球隊在某次訓練中，一隊員在距離球門12米處挑射，正好射中了2.4米高的球門橫梁若足球運行的路線是拋物線y=ax2+bx+c（如圖），則下列結論： a-；-a0；0b-12a，其中正確的結論是（ ）（A） （B） （C） （D） (第8題) (第12題) (第15題)9已知：二次函數(shù)y=x2+bx+c與x軸相交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，其頂點坐標為P（-），AB=x1-x2，若SAPB=1，則b與c的關系式是（ ） （A）b2-4c+1=0 （B）b2-4c-1=0 （C）b2-4c+4=0 （D）b2-4c-4=010若函數(shù)y=（x2-100x+196+x2-100x+196），則當自變量x取1、2、3、10這100個自然數(shù)時，函數(shù)值的和是（ ） A.540; B.390; C.194; D.9711已知二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過點A（-1，1），則ab有（ ） （A）最小值0 （B）最大值1 （C）最大值2 （D）有最小值12拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖，OA=OC，則（ ）（A）ac+1=b （B）ab+1=c （C）bc+1=a （D）以上都不是13若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的頂點在第一象限，且經(jīng)過點（0，1），（-1，0），則S=a+b+c的變化范圍是（ ） （A）0S1 （C）1S2 （D）-1Sa+c （C）c2b （D）abcy2成立的x的取值范圍是_ (第3題) (第6題) (第9題)4有一個二次函數(shù)的圖象，三位學生分別說出了它的一些特點： 甲：對稱軸是直線x=4； 乙：與x軸兩個交點的橫坐標都是整數(shù)； 丙：與y軸交點的縱坐標也是整數(shù)，且以這三個交點為頂點的三角形面積為3 請你寫出滿足上述全部特點的一個二次函數(shù)解析式：_5對于反比例函數(shù)y=-與二次函數(shù)y=-x2+3，請說出它們的兩個相同點_；再說出它們的兩個不同點_，_6如圖，已知點M（p，q）在拋物線y=x2-1上，以M為圓心的圓與x軸交于A、B兩點，且A、B兩點的橫坐標是關于x的方程x2-2px+q=0的兩根，則弦AB的長等于_7設x、y、z滿足關系式x-1=，則x2+y2+z2的最小值為_8已知二次函數(shù)y=ax2（a1）的圖象上兩點A、B的橫坐標分別是-1、2，點O是坐標原點，如果AOB是直角三角形，則OAB的周長為_9如圖，A、B、C是二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a0）的圖像上三點，根據(jù)圖中給出的三點的位置，可得a_0，c_0，_010炮彈從炮口射出后，飛行的h（m）高度與飛行的時間t（s）之間的函數(shù)關系是h=v0tsina-5t2，其中v是炮彈發(fā)射的初速度，a是炮彈的發(fā)射角，當v0=300（m/s），sina=時，炮彈飛行的最大高度是_11拋物線y=-（x-L）（x-3-k）+L與拋物線y=（x-3）2+4關于原點對稱，則L+k=_12（2000年全國初中數(shù)學聯(lián)合競賽試題）a，b是正數(shù)，并且拋物線y=x2+ax+2b和y=x2+2bx+a都與x軸有公共點，則a2+b2的最小值是_13已知直線y=-2x+3與拋物線y=x2相交于A、B兩點，O為坐標原點，那么OAB的面積等于_14（2003年“TRULY信利杯”全國初中數(shù)學競賽試題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（其中a是正整數(shù)）的圖象經(jīng)過點A（-1，4）與點B（2，1），并且與x軸有兩個不同的交點，則b+c的最大值為_15（2005年全國初中數(shù)學競賽浙江賽區(qū)試題）在直角坐標系中，拋物線y=x2+mx-m2（m0）與x軸交于A，B兩點，若A，B兩點到原點的距離分別為OA，OB，且滿足=，則m的值等于_三、解答題1已知拋物線y=x2與直線y=x+k有交點，求k的取值范圍2如圖，P是拋物線y=x2上第一象限內(nèi)的一個點，A點的坐標是（3，0） （1）令P點坐標為（x，y），求OPA的面積S；（2）S是y的什么函數(shù)？ （3）S是x的什么函數(shù)？（4）當S=6時，求點P的坐標；（5）在拋物線y=x2上求一點P，使OPA的兩邊PO=PA3拋物線y=ax2+bx+c的頂點位于直線y=x-1和y=-2x-4的交點上，且與直線y=4x-4有唯一交點，試求函數(shù)表達式4已知實數(shù)pq，拋物線y1=x2-px+2q與y2=x2-qx+2p在x軸上有相同的交點A（1）求A點坐標；（2）求p+q的值5已知拋物線y=x2+kx+k-1 （1）求證：無論k是什么實數(shù)，拋物線經(jīng)過x軸上一個定點； （2）設拋物線與y軸交于C點，與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）兩點，且滿足：x1x2，x10）的對稱軸上一點（0，-）作對稱軸的垂線L，則拋物線上任一點P到點F（0，）的距離與P到L的距離一定相等我們將點F與直線L分別稱作這拋物線的焦點和準線，如y=x的焦點為（0，）問題：若直線y=kx+b交拋物線y=x2于A、B，AC、BD垂直于拋物線的準線L，垂足分別為C、D（如圖） （1）求拋物線y=x2的焦點F的坐標；（2）求證：直線AB過焦點F時，CFDF；（3）當直線AB過點（-1，0），且以線段AB為直徑的圓與準線L相切時，求這直線對應的函數(shù)解析式9已知某綠色蔬菜生產(chǎn)基地收獲的蒜苔，從四月一日起開始上市的30天內(nèi)，蒜苔每10千克的批發(fā)價y（元）是上市時間x（元）的二次函數(shù)，由近幾年的行情可知如下信息：x（天）51520y（元）151015 （1）求y關于x的函數(shù)解析式；（2）蒜臺每10千克的批發(fā)價為10.8元時，問是在上市的多少天？10已知：拋物線y=ax2+4ax+t與x軸的一個交點為A（-1，0） （1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標； （2）D是拋物線與y軸的交點，C是拋物線上的一點，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式； （3）E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為5：2的點，如果點E在（2）中的拋物線上，且它與點A在此拋物線對稱軸的同側，問：在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使APE的周長最?。咳舸嬖?，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由11已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標分別為x1、x2，一元二次方程x2+b2x+20=0的兩實數(shù)為x3、x4，且x2-x3=x1-x4=3，求二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點坐標12改革開放以來，某鎮(zhèn)通過多種途徑發(fā)展地方經(jīng)濟，1995年該鎮(zhèn)國民生產(chǎn)總值為2億元，根據(jù)測算，該鎮(zhèn)國民生產(chǎn)總產(chǎn)值為5億元時，可達到小康水平 （1）若從1996年開始，該鎮(zhèn)國民生產(chǎn)總值每年比上一年增加0.6億元，該鎮(zhèn)通過幾年可達到小康水平？ （2）設以2001年為第一年，該鎮(zhèn)第x年的國民生產(chǎn)總值為y億元，y與x之間的關系是y=x2+x+5（x0）該鎮(zhèn)那一年的國民生產(chǎn)總值可在1995年的基礎上翻兩番（即達到1995年的年國民生產(chǎn)總值的4倍）？13已知：二次函數(shù)y=-x2+x+c與x軸交于點M（x，0），N（x，0）兩點，與y軸交于點H （1）若HMO=45，MHN=105時，求：函數(shù)解析式；（2）若x12+x22=1，當點Q（b，c）在直線y=x+上時，求二次函數(shù)y=-x+x+c的解析式14如圖，一次函數(shù)y=kx+n的圖象與x軸和y軸分別交于點A（6，0）和B（0，2）， 線段AB的垂直平分線交x軸于點C，交AB于點D （1）試確定這個一次函數(shù)關系式；（2）求過A、B、C三點的拋物線的函數(shù)關系式15如圖，在直角坐標系中，O是原點，A、B、C三點的坐標分別為A（18，0），B（18，6），C（8，6），四邊形OABC是梯形，點P、Q同時從原點出發(fā)，分別坐勻速運動，其中點P沿OA向終點A運動，速度為每秒1個單位，點Q沿OC、CB向終點B運動，當這兩點有一點到達自己的終點時，另一點也停止運動 （1）求出直線OC的解析式及經(jīng)過O、A、C三點的拋物線的解析式 （2）試在（1）中的拋物線上找一點D，使得以O、A、D為頂點的三角形與AOC全等，請直接寫出點D的坐標 （3）設從出發(fā)起，運動了t秒，如果點Q的速度為每秒2個單位，試寫出點Q的坐標，并寫出此時t的取值范圍（4）設從出發(fā)起，運動了t秒，當P、Q兩點運動的路程之和恰好等于梯形OABC的周長的一半，這時，直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分，如有可能，請求出t的值；如不可能，請說明理由16拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，已知拋物線的對稱軸為x=1，B（3，0），C（0，-3） （1）求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式； （2）在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使點P到B、C兩點距離之差最大？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由； （3）平行于x軸的一條直線交拋物線于M、N兩點，若以MN為直徑的圓恰好與x軸相切，求此圓的半徑答案：一、19CDBDD DCBD10B提示：x2-100x+196=（x-2）（x-98），當2x98時，x2-100x+196=-（x2-100x+196）當自變量x取2、3、98時，函數(shù)值都為0而當x取1、99、100時，x2-100x+196=x2-100x+196，故所求的和為：（1-2）（1-98）+（99-2）（99-98）+（100-2）（100-98）=97+97+196=3901115DAACC二、1互為相反數(shù) 2-17，（2，3）3x8 4y=x2-x+3等5圖象都是曲線，都過點（-1，2）；圖象形狀不同，x取值范圍不同613.2 7 84+2 9、 101125m 11-9 122013如圖，直線y=-2x+3與拋物線y=x2的交點坐標為A（1，1），B（-3，9），作AA1，BB1分別垂直于x軸，垂足為A1，B1，SOAB=S梯形AA1BB1-SAA1O -SBB1O =（1+9）（1+3）-11-93=614由于二次函數(shù)的圖象過點A（-1，4），點B（2，1），所以 因為二次函數(shù)圖象與x軸有兩個不的交點，所以=b2-4ac0，（-a-1）2-4a（3-2a）0，即（9a-1）（a-1）0，由于a是正整數(shù)，故a1，所以a2又因為b+c=-3a+2-4，且當a=2，b=-3，c=-1時，滿足題意，故b+c的最大值為-4152提示：設方程x2+mx-m2=0的兩根分別x1，x2，且x1x2，則有x1+x2=-m0，x1x2=-m20，所以x10，由=，可知OAOB，又m0，所以拋物線的對稱軸y軸的左側，于是OA=x1=-x1，OB=x2所以=，=，故=，解得m=2三、1由題意知，方程組有實數(shù)解，即方程x2=x+k有實數(shù)解，整理，得2x2-3x-3k=0，=9-42（-3k）0，k-2（1）S=y，又y=x2，S=x2；（2）正比例函數(shù)；（3）二次函數(shù)；（4）P（2，4）；（5）P（，）3y=x2+x-4（1）A（-2，0）；（2）p+q=-25（1）（-1，0）；（2）過A，B，C三點的圓與拋物線有第四個交點Dx1x2，C點在y軸上，點C不是拋物線的頂點，由于拋物線都是軸對稱圖形，過A、B、C三點的圓與拋物線組成一個軸對稱圖形，所以過A、B、C三點的圓與拋物線第四個交點與C是對稱點x1=-10，x1x2，x11，即x2-1，-k1，k0，SABC=6，1-k）（1+1-k）=6，（1-k）2+（1-k）-12=0，解得1-k=-4或1-k=3，k=-2或k=5（舍去），y=x2-2x-3其對稱軸為x=1，據(jù)對稱性，D點坐標為（2，-3）6（1）A（1，0），B（0，2），AD=2； （2）y=x2-x+27y=-x2；5小時8（1）F（0，1）；（2）AC=AF，ACF=AFC又ACOF，ACF=CFO，CF平分AFO同理DF平分BFO而AFO+BFO=180，CFO+DFO=（AFO+BFO）=90，CFDF（3）設圓心為M切L于N，連結MN，MN=AB在直角梯形ACDB中，M是AB中點，MN=（AC+BC）而AC=AF，BD=BF，MN=（AF+BF），AF+BF=ABAB過焦點F（0，1），又AB過點（-1，0）， AB對應的函數(shù)解析式為y=x+19（1）設這個二次函數(shù)解析式為y=ax2+bx+c根據(jù)題意，得 解這個三元一次方程組，得 這個函數(shù)解析式為：y=x2-x+（或y=（x-15）2+10）（2）把y=10.8代入上式，得10.8=（x-15）2+10，（或10.8=x2-x+）整理，得x2-30x+209=0，（x-11）（x-19）=0，x1=11，x2=19，經(jīng)檢驗x=11，x=19都符合題意即蒜苔每10千克批發(fā)價為10.8元時，是上市11天、9天10（1）依題意，拋物線的對稱軸為y=x-2拋物線與x軸的一個交點為A（-1，0），由拋物線的對稱性，可得拋物線與x軸的另一個交點B的坐標為（-3，0）（2）拋物線y=ax2+4ax+t與x軸的一個交點為A（-1，0），a（-1）2+4a（-1）+t=0，t=3ay=ax2+4ax+3aD（0，3a）梯形ABCD中，ABCD，且點C在拋物線y=ax2+4ax+3a上，C（-4，3a），AB=2，CD=4，梯形ABCD的面積為9，（AB+CD）OD=9（2+4）3a=9，a=1所求拋物線的解析式為y=x2+4x+3或y=-x2-4x-3（3）設點E坐標為（x0，y0），依題意x00，且=y=-設點E在拋物線y=x2+4x