高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 8.2 簡單幾何體的表面積與體積課件 理 北師大版.pptVIP

8 2簡單幾何體的面積與體積 第八章立體幾何與空間向量 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 課時(shí)作業(yè) 題型分類深度剖析 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí) 1 多面體的表面積 側(cè)面積因?yàn)槎嗝骟w的各個(gè)面都是平面 所以多面體的側(cè)面積就是 表面積是側(cè)面積與底面面積之和 知識梳理 所有側(cè)面的 面積之和 2 圓柱 圓錐 圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式 2 rl rl r1 r2 l 3 柱 錐 臺 球的表面積和體積 sh 4 r2 1 與體積有關(guān)的幾個(gè)結(jié)論 1 一個(gè)組合體的體積等于它的各部分體積的和或差 2 底面面積及高都相等的兩個(gè)同類幾何體的體積相等 知識拓展 2 幾個(gè)與球有關(guān)的切 接常用結(jié)論 1 正方體的棱長為a 球的半徑為r 題組一思考辨析1 判斷下列結(jié)論是否正確 請?jiān)诶ㄌ栔写?或 1 多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和 2 錐體的體積等于底面積與高之積 3 球的體積之比等于半徑比的平方 4 簡單組合體的體積等于組成它的簡單幾何體體積的和或差 5 長方體既有外接球又有內(nèi)切球 6 圓柱的一個(gè)底面積為s 側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形 那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2 s 基礎(chǔ)自測 1 2 4 5 6 3 題組二教材改編2 已知圓錐的表面積等于12 cm2 其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓 則底面圓的半徑為a 1cmb 2cmc 3cmd cm 1 2 4 5 6 解析 3 答案 解析s表 r2 rl r2 r 2r 3 r2 12 r2 4 r 2 1 2 4 5 6 答案 3 如圖 將一個(gè)長方體用過相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐 則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為 3 1 47 所以v1 v2 1 47 解析設(shè)長方體的相鄰三條棱長分別為a b c 解析 題組三易錯(cuò)自糾4 2017 西安一中月考 一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的表面積為a 3 b 4 c 2 4d 3 4 解析 1 2 4 5 6 答案 3 解析由幾何體的三視圖可知 該幾何體為半圓柱 直觀圖如圖所示 5 2016 全國 體積為8的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上 則該球的表面積為a 12 b c 8 d 4 1 2 4 5 6 答案 3 解析 6 2018 大連調(diào)研 如圖為一個(gè)半球挖去一個(gè)圓錐后的幾何體的三視圖 則剩余部分與挖去部分的體積之比為 解析 1 2 4 5 6 答案 3 1 1 解析由三視圖可知半球的半徑為2 圓錐底面圓的半徑為2 高為2 故剩余部分與挖去部分的體積之比為1 1 題型分類深度剖析 1 2016 全國 如圖 某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑 若該幾何體的體積是 則它的表面積是a 17 b 18 c 20 d 28 題型一求簡單幾何體的表面積 自主演練 解析 答案 解析由題意知 該幾何體的直觀圖如圖所示 2 2017 黑龍江哈師大附中一模 已知某幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的表面積為 答案 解析 解析由三視圖可知幾何體為三棱臺 作出直觀圖如圖所示 則cc 平面abc 上 下底均為等腰直角三角形 ac bc ac bc 1 a c b c c c 2 過a作ad a c 于點(diǎn)d 過d作de a b 則ad cc 2 簡單幾何體表面積的求法 1 以三視圖為載體的幾何體的表面積問題 關(guān)鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關(guān)系及數(shù)量 2 多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和 組合體的表面積注意銜接部分的處理 3 旋轉(zhuǎn)體的表面積問題注意其側(cè)面展開圖的應(yīng)用 命題點(diǎn)1以三視圖為背景的幾何體的體積典例 2017 浙江 某幾何體的三視圖如圖所示 單位 cm 則該幾何體的體積 單位 cm3 是 解析 題型二求簡單幾何體的體積 多維探究 答案 故選a 命題點(diǎn)2求簡單幾何體的體積典例 2018 廣州調(diào)研 已知e f分別是棱長為a的正方體abcd a1b1c1d1的棱aa1 cc1的中點(diǎn) 則四棱錐c1 b1edf的體積為 解析 答案 解析方法一如圖所示 連接a1c1 b1d1交于點(diǎn)o1 連接b1d ef 過點(diǎn)o1作o1h b1d于點(diǎn)h 因?yàn)閑f a1c1 且a1c1 平面b1edf ef 平面b1edf 所以a1c1 平面b1edf 所以c1到平面b1edf的距離就是a1c1到平面b1edf的距離 易知平面b1d1d 平面b1edf 又平面b1d1d 平面b1edf b1d 所以o1h 平面b1edf 所以o1h等于四棱錐c1 b1edf的高 因?yàn)?b1o1h b1dd1 方法二連接ef b1d 設(shè)b1到平面c1ef的距離為h1 d到平面c1ef的距離為h2 由題意得 簡單幾何體體積問題的常見類型及解題策略 1 若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體 錐體或臺體 則可直接利用公式進(jìn)行求解 2 若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出 則常用轉(zhuǎn)換法 分割法 補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解 3 若以三視圖的形式給出幾何體 則應(yīng)先根據(jù)三視圖得到幾何體的直觀圖 然后根據(jù)條件求解 解析該幾何體由一個(gè)三棱錐和一個(gè)三棱柱組合而成 直觀圖如圖所示 跟蹤訓(xùn)練 1 2017 新鄉(xiāng)二模 已知一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的體積為 答案 解析 2 如圖 在多面體abcdef中 已知abcd是邊長為1的正方形 且 ade bcf均為正三角形 ef ab ef 2 則該多面體的體積為 解析 答案 多面體的體積v v三棱錐e adg v三棱錐f bch v三棱柱agd bhc 2v三棱錐e adg v三棱柱agd bhc 解析如圖 分別過點(diǎn)a b作ef的垂線 垂足分別為g h 連接dg ch 題型三與球有關(guān)的切 接問題 師生共研 典例 2016 全國 在封閉的直三棱柱abc a1b1c1內(nèi)有一個(gè)體積為v的球 若ab bc ab 6 bc 8 aa1 3 則v的最大值是 解析由題意知 底面三角形的內(nèi)切圓直徑為4 三棱柱的高為3 所以球的最大直徑為3 v的最大值為 解析 答案 解將直三棱柱補(bǔ)形為長方體abec a1b1e1c1 則球o是長方體abec a1b1e1c1的外接球 體對角線bc1的長為球o的直徑 1 若將本例中的條件變?yōu)?直三棱柱abc a1b1c1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球o的球面上 若ab 3 ac 4 ab ac aa1 12 求球o的表面積 解答 故s球 4 r2 169 解如圖 設(shè)球心為o 半徑為r 2 若將本例中的條件變?yōu)?正四棱錐的頂點(diǎn)都在球o的球面上 若該棱錐的高為4 底面邊長為2 求該球的體積 解答 簡單幾何體與球接 切問題的求解方法 1 求解球與棱柱 棱錐的接 切問題時(shí) 一般過球心及接 切點(diǎn)作截面 把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接 切問題 再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解 2 若球面上四點(diǎn)p a b c構(gòu)成的三條線段pa pb pc兩兩互相垂直 且pa a pb b pc c 一般把有關(guān)元素 補(bǔ)形 成為一個(gè)球內(nèi)接長方體 利用4r2 a2 b2 c2求解 跟蹤訓(xùn)練 2018 深圳調(diào)研 如圖所示 在平面四邊形abcd中 ab ad cd 1 bd bd cd 將其沿對角線bd折成四面體abcd 使平面abd 平面bcd 若四面體abcd的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上 則該球的體積為 解析 答案 解析如圖 取bd的中點(diǎn)為e bc的中點(diǎn)為o 連接ae od eo ao 因?yàn)閍b ad 所以ae bd 由于平面abd 平面bcd 所以ae 平面bcd 三視圖 基本的 和球聯(lián)系的 高頻小考點(diǎn) 三視圖是高考重點(diǎn)考查的一個(gè)知識點(diǎn) 主要考查由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀 進(jìn)而求解表面積 體積等知識 所涉及的幾何體既包括柱 錐 臺 球等簡單幾何體 也包括一些組合體 處理此類題目的關(guān)鍵是通過三視圖準(zhǔn)確還原幾何體 考點(diǎn)分析 典例1已知某幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的體積等于 解析 答案 解析由題意知該幾何體是由一個(gè)直三棱柱和一個(gè)四棱錐組成的組合體 如圖所示 其中直三棱柱的高為8 4 4 故v直三棱柱 8 4 32 四棱錐的底面為邊長為4的正方形 高為4 典例2某組合體的三視圖如圖所示 則該組合體的體積為 解析 答案 解析如圖所示 該組合體由一個(gè)四棱錐和四分之一個(gè)球組成 球的半徑為1 四棱錐的高為球的半徑 四棱錐的底面為等腰梯形 課時(shí)作業(yè) 1 2017 太原一模 某幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的表面積為 基礎(chǔ)保分練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由幾何體的三視圖知 該幾何體為一個(gè)組合體 其中下部是底面直徑為2 高為2的圓柱 上部是底面直徑為2 高為1的圓錐的四分之一 解析 答案 2 2017 安徽安師大附中 馬鞍山二中測試 某幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的體積為a 12b 18c 24d 30 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由三視圖知 該幾何體是一個(gè)長方體的一半再截去一個(gè)三棱錐后得到的 如圖所示 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析設(shè)球o的半徑為r 以球心o為頂點(diǎn)的三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直且都等于球的半徑r 解析 r 2 s球的表面積 4 22 16 故選b 4 2017 昆明質(zhì)檢 如圖所示 網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1 粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖 則該幾何體的體積為a 24 b 30 c 42 d 60 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 2018 九江一模 如圖 網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1 粗線是一個(gè)棱錐的三視圖 則此棱錐的表面積為 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析直觀圖是四棱錐p abcd 如圖所示 6 2017 廣州市高中畢業(yè)班綜合測試 九章算術(shù) 中 將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬 將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑 若三棱錐p abc為鱉臑 pa 平面abc pa ab 2 ac 4 三棱錐p abc的四個(gè)頂點(diǎn)都在球o的球面上 則球o的表面積為a 8 b 12 c 20 d 24 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析方法一將三棱錐p abc放入長方體中 如圖 1 三棱錐p abc的外接球就是長方體的外接球 因?yàn)閜a ab 2 ac 4 abc為直角三角形 則球o的表面積為4 r2 20 故選c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二利用鱉臑的特點(diǎn)求解 如圖 2 因?yàn)樗膫€(gè)面都是直角三角形 所以pc的中點(diǎn)到每一個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等 所以球o的表面積為4 r2 20 故選c 7 現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5 高為4的圓錐和底面半徑為2 高為8的圓柱各一個(gè) 若將它們重新制作成總體積與高均保持不變 但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個(gè) 則新的底面半徑為 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 2017 天津 已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上 若這個(gè)正方體的表面積為18 則這個(gè)球的體積為 解析 解析設(shè)正方體棱長為a 則6a2 18 答案 9 2017 南昌一模 如圖所示 在直角梯形abcd中 ad dc ad bc bc 2cd 2ad 2 若將該直角梯形繞bc邊旋轉(zhuǎn)一周 則所得的幾何體的表面積為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 解析根據(jù)題意可知 此旋轉(zhuǎn)體的上半部分為圓錐 底面半徑為1 高為1 下半部分為圓柱 底面半徑為1 高為1 如圖所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 則所得幾何體的表面積為圓錐的側(cè)面積 圓柱的側(cè)面積以及圓柱的下底面積之和 10 2018 長沙質(zhì)檢 如圖所示 一個(gè)底面半徑為r的圓柱形量杯中裝有適量的水 若放入一個(gè)半徑為r的實(shí)心鐵球 水面高度恰好升高r 則 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 解析由水面高度升高r 得圓柱體積增加了 r2r 恰好是半徑為r的實(shí)心鐵球的體積 11 如圖 四邊形abcd為菱形 g為ac與bd的交點(diǎn) be 平面abcd 1 證明 平面aec 平面bed 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 證明 證明因?yàn)樗倪呅蝍bcd為菱形 所以ac bd 因?yàn)閎e 平面abcd ac 平面abcd 所以be ac 而bd be b bd be 平面bed 所以ac 平面bed 又ac 平面aec 所以平面aec 平面bed 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解設(shè)ab x 在菱形abcd中 由 abc 120 由be 平面abcd 知 ebg為直角三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得 三棱錐e acd的體積 12 2018 貴陽質(zhì)檢 如圖 abc內(nèi)接于圓o ab是圓o的直徑 四邊形dcbe為平行四邊形 dc 平面abc ab 2 eb 1 求證 de 平面acd 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 證明 證明 四邊形dcbe為平行四邊形 cd be bc de dc 平面abc bc 平面abc dc bc ab是圓o的直徑 bc ac 且dc ac c dc ac 平面adc bc 平面adc de bc de 平面adc 2 設(shè)ac x v x 表示三棱錐b ace的體積 求函數(shù)v x 的解析式及最大值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解答 解 dc 平面abc be 平面abc 13 2017 青島模擬 如圖 四棱錐p abcd的底面abcd為平行四邊形 nb 2pn 則三棱錐n pac與三棱錐d pac的體積比為a 1 2b 1 8c 1 6d 1 3 技能提升練 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析設(shè)點(diǎn)p