高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教案 理.doc

46 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和 教材分析等差數(shù)列的前項(xiàng)和是數(shù)列的重要內(nèi)容，也是數(shù)列研究的基本問題在現(xiàn)實(shí)生活中，等差數(shù)列的求和是經(jīng)常遇到的一類問題等差數(shù)列的求和公式，為我們求等差數(shù)列的前項(xiàng)和提供了一種重要方法教材首先通過具體的事例，探索歸納出等差數(shù)列前項(xiàng)和的求法，接著推廣到一般情況，推導(dǎo)出等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式為深化對(duì)公式的理解，通過對(duì)具體例子的研究，弄清等差數(shù)列的前項(xiàng)和與等差數(shù)列的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差之間的關(guān)系，并能熟練地運(yùn)用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式解決問題這節(jié)內(nèi)容重點(diǎn)是探索掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，并能應(yīng)用公式解決一些實(shí)際問題，難點(diǎn)是前項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的形成教學(xué)目標(biāo)1. 通過等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)公式產(chǎn)生、形成的過程，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括能力2. 理解和掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，體會(huì)等差數(shù)列的前項(xiàng)和與二次函數(shù)之間的聯(lián)系，并能用公式解決一些實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的理解能力和邏輯推理能力3. 在研究公式的形成過程中，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力、創(chuàng)新能力和科學(xué)的思維方法任務(wù)分析這節(jié)內(nèi)容主要涉及等差數(shù)列的前項(xiàng)公式及其應(yīng)用對(duì)公式的推導(dǎo)，為便于學(xué)生理解，采取從特殊到一般的研究方法比較適宜，如從歷史上有名的求和例子123100的高斯算法出發(fā)，一方面引發(fā)學(xué)生對(duì)等差數(shù)列求和問題的興趣，另一方面引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列中任意的第項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)的和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和這個(gè)規(guī)律，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)求等差數(shù)列前項(xiàng)和的一般方法，這樣自然地過渡到一般等差數(shù)列的求和問題對(duì)等差數(shù)列的求和公式，要引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)公式本身的結(jié)構(gòu)特征，弄清前項(xiàng)和與等差數(shù)列的項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)、公差之間的關(guān)系為加深對(duì)公式的理解和運(yùn)用，要強(qiáng)化對(duì)實(shí)例的教學(xué)，并通過對(duì)具體實(shí)例的分析，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)解決問題的方法特別是對(duì)實(shí)際問題，要引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的模型，恰當(dāng)選擇公式對(duì)于等差數(shù)列前項(xiàng)和公式和二次函數(shù)之間的聯(lián)系，可引導(dǎo)學(xué)生拓展延伸教學(xué)設(shè)計(jì)一、問題情景1. 在200多年前，有個(gè)10歲的名叫高斯的孩子，在老師提出問題：“123100？”時(shí)，很快地就算出了結(jié)果他是怎么算出來的呢？他發(fā)現(xiàn)11002993975051101，于是121001015050502. 受高斯算法啟發(fā)，你能否求出123的和3. 高斯的方法妙在哪里呢？這種方法能否推廣到求一般等差數(shù)列的前項(xiàng)和？二、建立模型1. 數(shù)列的前項(xiàng)和定義對(duì)于數(shù)列n，我們稱12n為數(shù)列n的前項(xiàng)和，用sn表示，即sn12n2. 等差數(shù)列的求和公式（1）如何用高斯算法來推導(dǎo)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式？對(duì)于公差為的等差數(shù)列n：sn1（1）（12）1（1）， 依據(jù)高斯算法，將sn表示為snn（n）（n2）n（1） 由此得到等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式小結(jié)：這種方法稱為反序相加法，是數(shù)列求和的一種常用方法（2）結(jié)合通項(xiàng)公式n1（1），又能得怎樣的公式？（）兩個(gè)公式有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，各反映了等差數(shù)列的什么性質(zhì)？學(xué)生討論后，教師總結(jié)：相同點(diǎn)是利用二者求和都須知道首項(xiàng)1和項(xiàng)數(shù)；不同點(diǎn)是前者還須要知道n，后者還須要知道因此，在應(yīng)用時(shí)要依據(jù)已知條件合適地選取公式公式本身也反映了等差數(shù)列的性質(zhì)：前者反映了等差數(shù)列的任意的第項(xiàng)與倒數(shù)第項(xiàng)的和都等于首、末兩項(xiàng)之和，后者反映了等差數(shù)的前項(xiàng)和是關(guān)于的沒有常數(shù)項(xiàng)的“二次函數(shù)”三、解釋應(yīng)用例題1. 根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列n的前項(xiàng)和sn（1）1 4，8 18，8（2）1145，0.7，n32注：恰當(dāng)選用公式進(jìn)行計(jì)算2. 已知一個(gè)等差數(shù)列n前10項(xiàng)的和是310，前20項(xiàng)的和是1220由這些條件能確定這個(gè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和的公式嗎？分析：將已知條件代入等差數(shù)列前項(xiàng)和的公式后，可得到兩個(gè)關(guān)于1與的關(guān)系式，它們都是關(guān)于1與的二元一次方程，由此可以求得1與，從而得到所求前項(xiàng)和的公式解：由題意知注：（1）教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，就是一個(gè)關(guān)于n，1，或者1，的方程，使學(xué)生能把方程思想和前項(xiàng)和公式相結(jié)合，再結(jié)合通項(xiàng)公式，對(duì)1，n及sn這五個(gè)量知其三便可求其二（2）本題的解法還有很多，教學(xué)時(shí)可鼓勵(lì)學(xué)生探索其他的解法例如，3. 2000年11月14日教育部下發(fā)了關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通”工程的通知某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通”工程的總目標(biāo)：從2001年起用10年的時(shí)間，在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)500萬元為了保證工程的順利實(shí)施，計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元那么從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？教師引學(xué)生分析：每年“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)數(shù)構(gòu)成公差為的等差數(shù)列問題實(shí)質(zhì)是求該數(shù)列的前10項(xiàng)的和解：根據(jù)題意，從20012010年，該市每年投入“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)都比上一年增加50萬元所以，可以建立一個(gè)等差數(shù)列n，表示從2001年起各年投入的資金，其中，1500，50那么，到2010年（10），投入的資金總額為答：從20012010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元注：教師引導(dǎo)學(xué)生規(guī)范應(yīng)用題的解題步驟4. 已知數(shù)列n的前項(xiàng)和sn2，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公差分別是什么？解：根據(jù)由此可知，數(shù)列n是一個(gè)首項(xiàng)為，公差為2的等差數(shù)列思考：一般地，數(shù)列n前項(xiàng)和sna2b（a），這時(shí)n是等差數(shù)列嗎？為什么？練習(xí)1. 一名技術(shù)人員計(jì)劃用下面的辦法測試一種賽車：從時(shí)速10開始，每隔2速度提高20如果測試時(shí)間是30，測試距離是多長？2. 已知數(shù)列n的前項(xiàng)的和為sn24，求這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式3. 求集合m21，n*，且60的元素個(gè)數(shù)，并求這些元素的和四、拓展延伸1. 數(shù)列n前項(xiàng)和sn為snpn2qn（，為常數(shù)且），則n成等差數(shù)列的條件是什么？2. 已知等差數(shù)列5，4，3，的前項(xiàng)和為sn，求使sn最大的序號(hào)的值分析1：等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可以寫成sn2 （1），所以sn可以看成函數(shù)x2（1 ）（n*）當(dāng)時(shí)的函數(shù)值另一方面，容易知道sn關(guān)于的圖像是一條拋物線上的一些點(diǎn)因此，我們可以利用二次函數(shù)來求的值解：由題意知，等差數(shù)列5，4，3，的公差為，所以于是，當(dāng)取與最接近的整數(shù)即7或8時(shí)，sn取最大值分析2：因?yàn)楣?，所以此數(shù)列為遞減數(shù)列，如果知道從哪一項(xiàng)開始它后邊的項(xiàng)全為負(fù)的，而它之前的項(xiàng)是正的或者是零，那么就知道前多少項(xiàng)的和最大了即使然后從中求出點(diǎn)評(píng)這篇案例從具體的實(shí)例出發(fā)，引出等差數(shù)列的求和問題，在設(shè)計(jì)上，設(shè)計(jì)者注意激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲望，通過等差數(shù)列求和公式的探索過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、探索、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、解決問題的能力對(duì)例題、練習(xí)的安排，這篇案例注意由淺入深，