基于MATLAB的科學(xué)計算—解線性方程組的迭代法.doc

科學(xué)計算理論、方法及其基于MATLAB的程序?qū)崿F(xiàn)與分析三、 解線性方程組的迭代法（Iteration）線性方程組的理論求解公式（）在應(yīng)用于實際問題的計算時，通常面臨兩方面的問題、計算過程復(fù)雜，、不能保證算法的穩(wěn)定性；此外，當(dāng)初始數(shù)據(jù)（可能）存在誤差時，按公式（）即使求出了“精確解”意義也不大，因此，對于存在初始數(shù)據(jù)誤差、特別是大型的線性方程組求解，需要尋求能達到精度要求的、操作和計算過程相對簡單的求解方法。下面將要介紹的迭代法就屬于這類方法。迭代法求解線性方程組的基本思想是） 不追求“一下子”得到方程組的解，而是在逐步逼近方程組的精確解的迭代過程中獲得滿足精度要求的近似解，這一點與直接法不同；） 通過對問題的轉(zhuǎn)化，避免（困難的）矩陣求逆運算。用迭代法求解線性方程組，首先要把線性方程組寫成等價的形式（）式（）的右端稱為迭代格式，由迭代格式（）確定如下的迭代算法：（）對于給定的線性方程組，可以寫成不同的（無窮多）迭代格式，有意義的（可用的）迭代格式應(yīng)具有收斂性生成的解向量序列收斂于方程組的解；而好的迭代法應(yīng)具有較高的收斂速度。關(guān)于迭代法收斂性的兩個判別條件：a、充分必要條件是：矩陣的譜半徑b、充分條件是：矩陣的某個算子范數(shù)。設(shè)是方程組（）的解，是迭代法（）生成的任一序列，因為，所以（）設(shè)，其中矩陣是矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型，那么容易驗證，并且（）此外，因為（）所以（）注：迭代格式（）所確定的迭代法收斂與否，完全由系數(shù)矩陣決定，而與常數(shù)項無關(guān)常用的迭代法、Jacobian 迭代法:（）例1 解下面方程組（精確解為）.解 1） 改寫成等價形式2） 構(gòu)造迭代公式，即為雅可比迭代公式3） 取初始向量，即代入上式，求出.再代回公式中，求出，.依次迭代，計算結(jié)果如表4-1.表4-1 雅可比方法的數(shù)值結(jié)果012301.41.110.92900.51.201.05501.41.110.92945670.99061.011591.0002510.998240.96450.99531.0057951.0001260.99061.011591.0002510.99824Example intera_j.mitera_j 2、Gauss-Seidel 迭代法: （9）根據(jù)GS迭代法（9），可進一步得到 （10）即 （11）式（11）表明：Gauss-Seidel 迭代法在計算第個迭代值時，及時地利用了在此步迭代中得到的新的迭代值：，由于第步的迭代值通常比第步的迭代值更接近方程組的精確解，所以，在Jacobian迭代法和Gauss-Seidel迭代法都收斂的情況下，Gauss-Seidel迭代法的收斂速度比Jacobian迭代法的收斂速度快。例2 解下面方程組（與例1相同，精確解為）.解 1） 原方程組改為等價方程組.2） 構(gòu)造迭代公式，即為高斯-賽德爾迭代公式.3） 取初始向量，即代入上式，求出，.迭代計算下去，得表4-2.表4- -方法的數(shù)值結(jié)果01201.41.063400.781.0204801.0260.9875160.9951041.001230.9952751.000821.00190.99963Example itera_gs.mitera_gs 對Gauss-Seidel迭代法做進一步的研究，式（）還可以寫成如下的形式： （12）即Gauss-Seidel迭代法是在Jacobian迭代法的基礎(chǔ)上增加了一個修正項：并且這個修正項起到了加速的作用，受這一事實的啟發(fā)，為獲得更快的收斂速度，我們對Gauss-Seidel迭代法再做進一步的研究 （13）式（13）表明Gauss-Seidel迭代法的第步迭代值是在第步迭代值的基礎(chǔ)上增加了一個修正項： （14）并且這個修正項使第步迭代值更接近方程組的精確解，受這一事實的啟發(fā)，我們希望通過用一個適當(dāng)?shù)囊蜃映诵拚棧?4）的辦法達到獲得更快收斂速度的目的： （15）從而得到3、SOR（Successive Over Relaxation Method） 迭代法: （16）其中稱為松弛因子，由于 （17） （1） （1）所以，為保證SOR迭代法的收斂性，要求。例3 用超松馳迭代法解下面方程組，取松馳因子.解 方程組的精確解為：.取初值，用高斯-賽德爾迭代10次，得.利用SOR方法，構(gòu)造迭代公式與高斯-賽德爾方法相同，初值為.迭代計算結(jié)果列于表4-3.表4-3 SOR迭代的數(shù)值結(jié)果12345111.3431.195451.20347211.491.47531.402361.40287351.71.6161.650951.60198151.59390590.790.81520.8295850.7895530.7999129由表4-3可知，用超松馳迭代法只迭代了5次，結(jié)果與G-S法迭代10次的結(jié)果大體相同，可見，SOR方法的松馳因子起到了加速收斂的重要作用.Example itera_sor.mitera_sor 關(guān)于迭代法收斂性的兩個判別條件：a、充分必要條件是：矩陣的譜半徑b、充分條件是：矩陣的某個算子范數(shù)。特例：對于下面方程組，證明：雅可比迭代法收斂而高斯-賽德爾迭代法發(fā)散. .證明 1) 對于雅可比迭代矩陣，的特征方程為.的特征多項式，所以為的特征根，顯然,因此，由迭代收斂基本定理可知雅可比迭代法收斂.2) 對于高斯-賽德爾迭代法，其迭代矩陣為，的特征方程為.顯然，因此高斯-賽