第02講 矢量分析與場論(2).doc

第02講本節(jié)內(nèi)容1， 方向?qū)?shù)2， 梯度3， 散度4， 旋度5， 正交坐標系第一章 矢量分析與場論（2）1，數(shù)量場的方向?qū)?shù)1.1方向?qū)?shù)由上節(jié)可知，數(shù)量場的分布情況，可以借助于等值面或等值線來了解，但這只能大致地了解數(shù)量場中物理量u的整體分布情況。而要詳細地研究數(shù)量場，還必須對它作局部性的了解，即要考察物理量u在場中各點處的鄰域內(nèi)沿每一方向的變化情況。為此，引入方向?qū)?shù)的概念。M0lM設(shè)是數(shù)量場中的一點，從出發(fā)沿某一方向引一條射線，在上的鄰近取一動點M，若當時（即）：的極限存在，則稱此極限為函數(shù)在點處沿方向的方向?qū)?shù)。記為，即：可見，方向?qū)?shù)是函數(shù)在點處沿方向?qū)嚯x的變化率。當時，表示在處u沿l方向是增加的，反之就是減小的。在直角坐標系中，方向?qū)?shù)有以下定理所述的計算公式：定理 若函數(shù)在點處可微，為方向的方向余弦。則u在處沿方向的方向?qū)?shù)必存在，且：證：M坐標為 u在點可微，故： 是比高階的無窮小。兩邊除以得 兩邊取時的極限得 例 求數(shù)量場在點處沿方向的方向?qū)?shù)。解：方向的方向余弦為：， 2，梯度2.1概念方向?qū)?shù)為在給定點處沿某方向變化率。但從場中一點出發(fā)無窮多方向，通常不必要更不可能研究所有方向的變化率。人們往往只關(guān)心沿何方向變化率最大，此變化率為多少？下從方向?qū)?shù)的計算公式出發(fā)來討論此問題。 、為方向的方向余弦 方向的單位矢量可表示為：若把，看成是某矢量的三分量。即：則：在給定點處為一常矢量。由上式，在方向上的投影恰等于函數(shù)u在該方向上的方向?qū)?shù)。顯然，當與的方向一致時，即時，方向?qū)?shù)取得最大值，或說沿方向的方向?qū)?shù)最大，此最大值為：這樣即找到了一個矢量，其方向為變化率最大，且其模即為最大變化率，該矢量稱函數(shù)在給定點處的梯度。在數(shù)量場中的一點M處，其方向為函數(shù)在M點處變化率最大的方向，其模恰好等于此最大變化率的矢量，稱為在M點處的梯度，記為：需指出，梯度的定義與坐標系無關(guān)，它由數(shù)量場的分布所決定，在不同的坐標系中只是表達形式不同。前面已得出其在直系中的表達式：從此公式可以看出，梯度在形式上可以視為矢量微分算子與函數(shù)u的乘積，算子稱為哈密爾頓算子。所以梯度又常表示為。22梯度的性質(zhì)1梯度與方向?qū)?shù)的關(guān)系：在某點M處沿任一方向的方向?qū)?shù)等于該點處的梯度在此方向上的投影。2梯度與等值面的關(guān)系：場中每一點M處的梯度，垂直于過該點的等值面，且指向增大一方。這是因為點M處的三個分量，恰為過M點的等值面的法線方向數(shù)，即梯度在其法線方向上，故垂直于此等值面。又因為u沿方向的方向?qū)?shù)即沿方向是增加的，或者說指向增大一方。等值面和方向?qū)?shù)均與梯度存在一種比較理想的關(guān)系，這使得梯度成為研究數(shù)量場的一個極為重要的矢量。例 試證明點的矢徑的模的梯度。證： ， 例 求在處沿方向的。解法1：直接由公式（略）解法2：作為梯度在上投影 ， 在處， M處 2.3梯度的運算法則1 （c為常數(shù)）2 （c為常數(shù)） 3 4 56例 已知位于原點處的點電荷q在其周圍空間任一點處產(chǎn)生的電位為（），且知電場強度，求。解：由法則6： 3 矢量場的通量與散度3.1、 通量MSds為區(qū)分曲面的兩側(cè)，常規(guī)定其一側(cè)為曲面的正側(cè)，另一面為其負側(cè)。這種取定了正側(cè)的曲面稱為有向曲面。對于封閉曲面，習慣上總是取其外側(cè)為正側(cè)。在研究實際問題時，常規(guī)定有向曲面的法向矢量恒指向研究問題時所取的一側(cè)。下面通過例子導出通量定義。設(shè)s為流速場中一有向曲面，考慮單位時間流體向正側(cè)穿過s的流量Q。（指向s正側(cè)）在s上取ds，。因ds甚小，可認為和在ds上均不變，分別與M處和相同。流體穿過ds的流量為：其中為M處單位法向矢量則單位時間內(nèi)沿正向穿過s的總通量為：數(shù)學上把這種形式的曲面積分稱為通量。設(shè)為一矢量場，沿其中有向曲面s正(負)側(cè)的曲面積分：稱為矢量場向s正（負）側(cè)穿過曲面s的通量。 如磁感應(yīng)強度為的磁場中，穿過曲面s的磁通量為：若某一矢量場是由兩個以上的矢量場迭加而成，則總場穿過某曲面的通量等于每個矢量場穿過該曲面的通量之和。即若 則：在直角坐標系中，若可表示為：而 其中，是的方向余弦 xyzs1s20H例 場，s：圓錐面與平面z=H所圍封閉面，求從s內(nèi)穿出的。解： 上任一點 xyz0若s為上半球面，()，則 總流量 為單位時間內(nèi)向上側(cè)穿過s的正流量和負流量的代數(shù)和。當Q0時表示向正側(cè)流量多于向負側(cè)流量；Q 0；若處處相反，則 G 0 ?？梢姡h(huán)量可以用來描述矢量場的旋渦特性。由物理學得知，真空中磁感應(yīng)強度 B 沿任一閉合有向曲線 l 的環(huán)量等于該閉合曲線包圍的傳導電流強度 I 與真空磁導率 m 0 的乘積。即 式中電流 I 的正方向與 dl 的方向構(gòu)成 右旋 關(guān)系。由此可見，環(huán)量可以表示產(chǎn)生具有旋渦特性的源的強度，但是環(huán)量代表的是閉合曲線包圍的總的源強度，它不能顯示源的分布特性。為此，需要研究矢量場的旋度。 4.2環(huán)量面密度以磁場為例，其環(huán)量為通過磁場中以l為邊界的曲面s的總電流強度。這還不足以了解磁場中任一點M處沿著某一方向的電流密度，為研究此類問題，引入環(huán)量面密度。MSl設(shè)M為矢量中一點，為從M出發(fā)的一射線，在M處取一小面元與垂直，取其周界之正向與成右手螺旋關(guān)系。當沿之正向的環(huán)量與面積之比在無限縮向M點時的極限存在，則稱之為矢量在M點處沿的環(huán)量面密度。記為：在磁場中M處，沿某方向的環(huán)量面密度為： （方向電流）為點M處沿方向的電流密度。下面給出環(huán)量面密度的計算公式：在直角坐標系中， 由曲線積分的斯托克斯公式 證明：（略）由中值定理，當連續(xù)時，必存在一點使得 （因為時，）4.3旋度由環(huán)量面密度的計算公式：令 則 為方向的單位矢量。即在任一給定點處，矢量在任一方向上的投影等于沿該方向的環(huán)量面密度。的方向為最大方向，且。在矢量場中的一點M處，其方向為M處的環(huán)量面密度最大的方向，其模恰等于此最大環(huán)量面密度的矢量，稱為矢量在M點處的旋度，記作。上面已得出的計算公式：或 旋度在形式上可看作哈密爾頓算子與矢量的叉乘，所以通常表示為。斯托克斯定理 同高斯定理類似，從數(shù)學角度可以認為斯托克斯定理建立了面積分和線積分的關(guān)系。從物理角度可以理解為斯托克斯定理建立了區(qū)域 S 中的場和包圍區(qū)域 S 的閉合曲線 l 上的場之間的關(guān)系。因此，如果已知區(qū)域 S 中的場，根據(jù)斯托克斯定理即可求出邊界 l 上的場，反之亦然。例 求矢量場在點處的旋度，及沿方向的環(huán)量面密度。解： 而 旋度遵循下列運算法則：1 （c常數(shù)）234567其中稱為拉普拉斯算子，在直角坐標系中有下面以4和5為例給出證明。證4：， 證5： 例 已知，且存在非零函數(shù)及使，試證明。證： u非零 故 5 無散場和無旋場散度處處為零的矢量場稱為無散場，旋度處處為零的矢量場稱為無旋場。 兩個重要公式：左式表明，任一矢量場 A 的旋度的散度一定等于零 。因此，任一無散場可以表示為另一矢量場的旋度，或者說，任何旋度場一定是無散場。右式表明，任一標量場F 的梯度的旋度一定等于零。因此，任一無旋場一定可以表示為一個標量場的梯度，或者說，任何梯度場一定是無旋場。 6 正交坐標系圓柱(r, f , z)yzxP0f 0f = f 0r = r0z = z 0O6.1 常用的三種坐標系直角(x, y ,z) z)zxyz = z 0x = x 0y = y 0P0OOxzyf = f 0f 0q 0球(r, q, f )r = r 0q = q 0P06.2 微分元其中稱為微分量直角坐標系在直角坐標系中，坐標變量為(x,y,z)，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：在圓柱坐標系中，坐標變量為，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：球坐標系在球坐標系中，坐標變量為，如圖，做一微分體元。線元：面元：體元：6.3 拉梅系數(shù)，度量系數(shù)(Measurement Coefficents)設(shè)x,y,z是某點的笛卡兒坐標，x1, x2, x3是這點的正交曲線坐標，長度元的平方表示為其中稱度量系數(shù)（或拉梅系數(shù)），正交坐標系完全由三個拉梅系數(shù)h1, h2, h3來描述。在正交曲線坐標系中，其坐標變量不一定都是長度，其線元必然有一個修正