2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)1.4.2第二課時(shí)正弦函數(shù)余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值學(xué)案新人教A版.docx

第二課時(shí)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性與最值預(yù)習(xí)課本P3740，思考并完成以下問題(1)正、余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間分別是什么？ (2)正、余弦函數(shù)的最值分別是多少？取最值時(shí)自變量x的值是多少？ 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)正弦函數(shù)余弦函數(shù)圖象值域1,11,1單調(diào)性在(kZ)上遞增，在 (kZ)上遞減在2k，2k(kZ)上遞增，在2k，2k(kZ)上遞減最值x2k(kZ)時(shí)，ymax1；x2k(kZ)時(shí)，ymin1x2k(kZ)時(shí)，ymax1；x2k(kZ)時(shí)，ymin1點(diǎn)睛(1)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)有單調(diào)區(qū)間，但都不是定義域上的單調(diào)函數(shù)，即正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在整個(gè)定義域內(nèi)不單調(diào)(2)正弦曲線(余弦曲線)的對稱軸一定過正弦曲線(余弦曲線)的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，即此時(shí)的正弦值(余弦值)取最大值或最小值1判斷下列命題是否正確(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在定義域內(nèi)都是單調(diào)函數(shù)()(2)存在xR滿足sin x.()(3)在區(qū)間0,2上，函數(shù)ycos x僅當(dāng)x0時(shí)取得最大值1.()答案：(1)(2)(3)2在下列區(qū)間中，使函數(shù)ysin x為增函數(shù)的是()A0，BC D，2答案：C3函數(shù)y2sin x的最大值及取最大值時(shí)x的值為()Aymax3，xBymax1，x2k(kZ)Cymax3，x2k(kZ)Dymax3，x2k(kZ)答案：C4函數(shù)y32cos x的最大值為_答案：5正、余弦函數(shù)的單調(diào)性典例求函數(shù)y3sin的單調(diào)遞減區(qū)間解y3sin3sin，y3sin是增函數(shù)時(shí)，y3sin是減函數(shù)函數(shù)ysin x在(kZ)上是增函數(shù)，2k2x2k，即kxk(kZ)函數(shù)y3sin的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)與正、余弦函數(shù)有關(guān)的單調(diào)區(qū)間的求解技巧(1)結(jié)合正、余弦函數(shù)的圖象，熟記它們的單調(diào)區(qū)間(2)確定函數(shù)yAsin(x)(A0，0)單調(diào)區(qū)間的方法：采用“換元”法整體代換，將x看作一個(gè)整體，可令“zx”，即通過求yAsin z的單調(diào)區(qū)間而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間若0，則可利用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎龜?shù)活學(xué)活用求ycos的單調(diào)增區(qū)間解：因?yàn)閥coscos，所以令2k2x22k，kZ，得kxk，kZ.所以函數(shù)ycos的單調(diào)增區(qū)間為，kZ.三角函數(shù)值的大小比較典例比較下列各組數(shù)的大小：(1)sin 250與sin 260；(2)cos與cos.解(1)函數(shù)ysin x在上單調(diào)遞減，且90250260sin 260.(2)coscoscos，coscoscos.函數(shù)ycos x在0，上單調(diào)遞減，且0cos，coscos.比較三角函數(shù)值大小的方法(1)比較兩個(gè)同名三角函數(shù)值的大小，先利用誘導(dǎo)公式把兩個(gè)角化為同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的角，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較(2)比較兩個(gè)不同名的三角函數(shù)值的大小，一般應(yīng)先化為同名的三角函數(shù)，后面步驟同上活學(xué)活用比較下列各組數(shù)的大小(1)cos與cos；(2)sin 194與cos 160.解：(1)coscos，coscoscoscos.0，且ycos x在(0，)上單調(diào)遞減，coscos，即coscos.(2)sin 194sin (18014)sin 14，cos 160cos(18020)cos 20sin 70.0147090且ysin x在上單調(diào)遞增，sin 70sin 14，即sin 14sin 70.故sin 194cos 160.正、余弦函數(shù)的最值題點(diǎn)一：形如yasin x(或yacos x)型1若yasin xb的最大值為3，最小值為1，則ab_.解析：當(dāng)a0時(shí)，得當(dāng)a0時(shí)，得答案：2題點(diǎn)二：形如yAsin(x)b或yAcos(x)b型2求函數(shù)y34cos，x的最大、最小值及相應(yīng)的x值解：因?yàn)閤，所以2x，從而cos1.所以當(dāng)cos1，即2x0，x時(shí)，ymin341.當(dāng)cos，即2x，x時(shí)，ymax345.綜上所述，當(dāng)x時(shí)，ymin1；當(dāng)x時(shí)，ymax5.題點(diǎn)三：形如yAsin2xBsin xC或yAcos2xBcos xC型3求函數(shù)y34sin x4cos2x的值域解：y34sin x4cos2x34sin x4(1sin2x)4sin2x4sin x1，令tsin x，則1t1.y4t24t1422(1t1)當(dāng)t時(shí)，ymin2，當(dāng)t1時(shí)，ymax7.即函數(shù)y34sin x4cos2x的值域?yàn)?,7三角函數(shù)最值問題的三種常見類型及求解方法(1)形如yasin x(或yacos x)型，可利用正弦函數(shù)，余弦函數(shù)的有界性，注意對a正負(fù)的討論(2)形如yAsin(x)b(或yAcos(x)b)型，可先由定義域求得x的范圍，然后求得sin(x)(或cos(x)的范圍，最后求得最值(3)形如yasin2xbsin xc(a0)型，可利用換元思想，設(shè)tsin x，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)yat2btc求最值t的范圍需要根據(jù)定義域來確定層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1函數(shù)f(x)2sin x1，x的值域是()A1,3B1,3C3,1 D1,1解析：選Bx，sin x1,1，2sin x11,32函數(shù)y|sin x|的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間是()A BC D解析：選C由y|sin x|的圖象，易得函數(shù)y|sin x|的單調(diào)遞增區(qū)間為，kZ，當(dāng)k1時(shí)，得為函數(shù)y|sin x|的一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間3下列函數(shù)中，既為偶函數(shù)又在(0，)上單調(diào)遞增的是()Ay|cos x| Bycos|x|Cysin Dysin解析：選Cy|cos x|在上是減函數(shù)，排除A；ycos|x|cos|x|在(0，)上是減函數(shù)排除B；ysinsincos x是偶函數(shù)，且在(0，)上單調(diào)遞增，符合題意；ysin在(0，)上是單調(diào)遞減的4函數(shù)ysin，xR在()A上是增函數(shù)B0，上是減函數(shù)C，0上是減函數(shù) D，上是減函數(shù)解析：選Bysincos x，所以在區(qū)間，0上是增函數(shù)，在0，上是減函數(shù)，故選B.5函數(shù)f(x)sin在區(qū)間上的最小值為()A1 BC D0解析：選Bx，2x，當(dāng)2x時(shí)，f(x)sin有最小值.6已知函數(shù)y3cos(x)，則當(dāng)x_時(shí)，函數(shù)取得最大值解析：y3cos(x)3cos x，當(dāng)cos x1，即x2k，kZ時(shí)，y有最大值3.答案：2k，kZ7ysin x，x，則y的范圍是_解析：由正弦函數(shù)圖象，對于x，當(dāng)x時(shí)，ymax1，當(dāng)x時(shí)，ymin，從而y.答案：8函數(shù)ysin(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為_解析：因?yàn)閟in(x)sin x，所以要求ysin(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間，即求ysin x在上的單調(diào)遞減區(qū)間，易知為.答案：9求下列函數(shù)的最大值和最小值(1)y ；(2)y32cos.解：(1)1sin x1.當(dāng)sin x1時(shí)，ymax；當(dāng)sin x1時(shí)，ymin.(2)1cos1，當(dāng)cos1時(shí)，ymax5；當(dāng)cos1時(shí)，ym