全國(guó)高校自主招生數(shù)學(xué)模擬試卷十三 新人教版.doc

2013年全國(guó)高校自主招生數(shù)學(xué)模擬試卷十三一、選擇題(本題滿(mǎn)分36分，每題6分)1 把圓x2+(y1)2=1與橢圓9x2+(y+1)2=9的公共點(diǎn)，用線(xiàn)段連接起來(lái)所得到的圖形為( ) (a)線(xiàn)段 (b)不等邊三角形 (c)等邊三角形 (d)四邊形2 等比數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1536,公比q=,用n表示它的前n項(xiàng)之積。則n(nn*)最大的是( ) (a)9 (b)11 (c)12 (d)133 存在整數(shù)n,使+是整數(shù)的質(zhì)數(shù)p( ) (a)不存在 (b)只有一個(gè) (c)多于一個(gè),但為有限個(gè) (d)有無(wú)窮多個(gè)4 設(shè)x(，0),以下三個(gè)數(shù)1=cos(sinx),2=sin(cosx),3=cos(x+1)的大小關(guān)系是( ) (a)321 (b)132 (c)312 (d)2315 如果在區(qū)間1,2上函數(shù)f(x)=x2+px+q與g(x)=x+在同一點(diǎn)取相同的最小值，那么f(x)在該區(qū)間上的最大值是( ) (a) 4+ (b) 4+ (c) 1+ (d)以上答案都不對(duì)6 高為8的圓臺(tái)內(nèi)有一個(gè)半徑為2 的球o1，球心o1在圓臺(tái)的軸上，球o1與圓臺(tái)的上底面、側(cè)面都相切，圓臺(tái)內(nèi)可再放入一個(gè)半徑為3的球o2，使得球o2與球o1、圓臺(tái)的下底面及側(cè)面都只有一個(gè)公共點(diǎn)，除球o2，圓臺(tái)內(nèi)最多還能放入半徑為3的球的個(gè)數(shù)是( ) (a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4二、填空題(本題滿(mǎn)分54分，每小題9分)1 集合x(chóng)|1log10，xn*的真子集的個(gè)數(shù)是 2 復(fù)平面上，非零復(fù)數(shù)z1，z2在以i為圓心，1為半徑的圓上，z2的實(shí)部為零，z1的輻角主值為，則z2=_3 曲線(xiàn)c的極坐標(biāo)方程是=1+cos，點(diǎn)a的極坐標(biāo)是(2,0)，曲線(xiàn)c在它所在的平面內(nèi)繞a旋轉(zhuǎn)一周，則它掃過(guò)的圖形的面積是_4 已知將給定的兩個(gè)全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個(gè)所有二面角都相等的六面體，并且該六面體的最短棱的長(zhǎng)為2，則最遠(yuǎn)的兩頂點(diǎn)間的距離是_5 從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個(gè)正方體的六個(gè)面染色，每 面恰染一種顏色，每?jī)蓚€(gè)具有公共棱的面染成不同的顏色。則不同的染色方法共有_種(注：如果我們對(duì)兩個(gè)相同的正方體染色后，可以通過(guò)適當(dāng)?shù)姆D(zhuǎn)，使得兩個(gè)正方體的上、下、左、右、前、后六個(gè)對(duì)應(yīng)面的染色都相同，那么，我們就說(shuō)這兩個(gè)正方體的染色方案相同)6 在直角坐標(biāo)平面，以(199,0)為圓心，199為半徑的圓周上整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)皆為整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)為_(kāi)2013年全國(guó)高校自主招生數(shù)學(xué)模擬試卷十三參考答案一、選擇題(本題滿(mǎn)分36分，每題6分)1 把圓x2+(y1)2=1與橢圓9x2+(y+1)2=9的公共點(diǎn)，用線(xiàn)段連接起來(lái)所得到的圖形為( ) (a)線(xiàn)段 (b)不等邊三角形 (c)等邊三角形 (d)四邊形解：99(y1)2=9(y+1)2，8y220y+8=0，y=2或，相應(yīng)的，x=0，或x=此三點(diǎn)連成一個(gè)正三角形選c2 等比數(shù)列an的首項(xiàng)a1=1536,公比q=，用n表示它的前n項(xiàng)之積。則n(nn*)最大的是( ) (a)9 (b)11 (c)12 (d)13解：n=1536n()，故110作商比較：又，=15363()66361，=1536()78661故選c3 存在整數(shù)n,使+是整數(shù)的質(zhì)數(shù)( ) (a)不存在 (b)只有一個(gè) (c)多于一個(gè),但為有限個(gè) (d)有無(wú)窮多個(gè)解：如果p為奇質(zhì)數(shù)，p=2k+1，則存在n=k2(kn+)，使+=2k+1故選d4 設(shè)x(,0)，以下三個(gè)數(shù)1=cos(sinx),2=sin(cosx),3=cos(x+1)的大小關(guān)系是( ) (a)321 (b)132 (c)312 (d)230，2=sin(cos|x|)0，3=cos(1|x|)0，排除b、d sin|x|+ cos|x|=sin(|x|+)，于是cos|x|sin|x|， sin(cos|x|)cos(sin|x|)，故21，選a又解：取x=，則1=cos，2=sin，3=cos0由于25 如果在區(qū)間1,2上函數(shù)f(x)=x2+px+q與g(x)=x+在同一點(diǎn)取相同的最小值，那么f(x)在該區(qū)間上的最大值是( ) (a) 4+ (b) 4+ (c) 1+ (d)以上答案都不對(duì)解：g(x)= x+=x+x+3=當(dāng)且僅當(dāng)x=即x=時(shí)g(x)取得最小值=，=，p=2，q=+由于10707，即o2ho390，即此圓上還可再放下2個(gè)滿(mǎn)足要求的點(diǎn)故選b二、填空題(本題滿(mǎn)分54分，每小題9分)1 集合x(chóng)|1log10，xn*的真子集的個(gè)數(shù)是 解 由已知，得logx1011lgx210x100故該集合有90個(gè)元素其真子集有290-1個(gè)2 復(fù)平面上，非零復(fù)數(shù)z1，z2在以i為圓心，1為半徑的圓上，z2的實(shí)部為零，z1的輻角主值為，則z2=_解：z1滿(mǎn)足|zi|=1；argz1=，得z1=+i，=cos()+isin()設(shè)z2的輻角為(0)，則z2=2sin(cos+isin)z2=2sincos()+isin()，若其實(shí)部為0，則=，于是=z2=+i3 曲線(xiàn)c的極坐標(biāo)方程是=1+cos，點(diǎn)a的極坐標(biāo)是(2,0)，曲線(xiàn)c在它所在的平面內(nèi)繞a旋轉(zhuǎn)一周，則它掃過(guò)的圖形的面積是_。解：只要考慮|ap|最長(zhǎng)與最短時(shí)所在線(xiàn)段掃過(guò)的面積即可設(shè)p(1+cos，)，則|ap|2=22+(1+cos)222(1+cos)cos=3cos22cos+5=3(cos+)2+且顯然|ap|2能取遍0，內(nèi)的一切值，故所求面積=4 已知將給定的兩個(gè)全等的正三棱錐的底面粘在一起，恰得到一個(gè)所有二面角都相等的六面體，并且該六面體的最短棱的長(zhǎng)為2，則最遠(yuǎn)的兩頂點(diǎn)間的距離是_。解：該六面體的棱只有兩種，設(shè)原正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2a，側(cè)棱為b取cd中點(diǎn)g，則agcd，egcd，故age是二面角acde的平面角由bdac，作平面bdf棱ac交ac于f，則bfd為二面角bacd的平面角ag=eg=，bf=df=，ae=2=2由cosage=cosbfd，得= =9b2=16a2，b=a，從而b=2，2a=3ae=2即最遠(yuǎn)的兩個(gè)頂點(diǎn)距離為35 從給定的六種不同顏色中選用若干種顏色，將一個(gè)正方體的六個(gè)面染色，每面恰染一種顏色，每?jī)蓚€(gè)具有公共棱的面染成不同的顏色。則不同的染色方法共有_種。(注：如果我們對(duì)兩個(gè)相同的正方體染色后，可以通過(guò)適當(dāng)?shù)姆D(zhuǎn)，使得兩個(gè)正方體的上、下、左、右、前、后六個(gè)對(duì)應(yīng)面的染色都相同，那么，我們就說(shuō)這兩個(gè)正方體的染色方案相同。)解：至少3種顏色：6種顏色全用：上面固定用某色，下面可有5種選擇，其余4面有(41)!=6種方法，共計(jì)30種方法；用5種顏色：上下用同色：6種方法，選4色：c(41)! =30；6302=90種方法；用4種顏色：cc=90種方法用3種顏色：c=20種方法共有230種方法6 在直角坐標(biāo)平面，以(199,0)為圓心，199為半徑的圓周上整點(diǎn)(即橫、縱坐標(biāo)皆為整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)為_(kāi)解：把圓心平移至原點(diǎn)，不影響問(wèn)題的結(jié)果故問(wèn)題即求x2+y2=1992的整數(shù)解數(shù)顯然x、y一奇一偶，設(shè)x=2m，y=2n1且1m，n99則