高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.4.1 空間圖形基本關(guān)系的認(rèn)識 1.4.2 空間圖形的公理（一）課件 北師大版必修2.ppt

4空間圖形的基本關(guān)系與公理4 1空間圖形基本關(guān)系的認(rèn)識4 2空間圖形的公理 一 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 理解空間中點 線 面的位置關(guān)系 重點 2 理解空間中平行直線 相交直線 異面直線 平行平面 相交平面等概念 重點 3 掌握三個公理及推論 并能運用它們?nèi)ソ鉀Q有關(guān)問題 重 難點 知識點一點 線 面之間的位置關(guān)系一些文字語言與數(shù)學(xué)符號的對應(yīng)關(guān)系 a b o a a a a a 任何一個平面內(nèi) 預(yù)習(xí)評價 1 若a a a 是否可以推出a 提示根據(jù)直線在平面內(nèi)定義可知 若a a a 則a 2 長方體的一個頂點與12條棱和6個面分別有哪些位置關(guān)系 提示頂點與12條棱所在直線的關(guān)系是在棱上 或不在棱上 頂點和6個面的關(guān)系是在面內(nèi) 或在面外 3 長方體的棱所在直線與面之間有幾種位置關(guān)系 提示棱在平面內(nèi) 棱所在直線與平面平行和棱所在直線與平面相交 知識點二平面的基本性質(zhì)及作用 兩點 l 有且只有 通過這個點的公共直線 預(yù)習(xí)評價 1 兩個平面的交線可能是一條線段嗎 提示不可能 由公理3知 兩個平面的交線是一條直線 2 經(jīng)過空間任意三點能確定一個平面嗎 提示不一定 只有經(jīng)過空間不共線的三點才能確定一個平面 題型一三種語言間的相互轉(zhuǎn)化 例1 用符號語言表示下列語句 并畫出圖形 1 三個平面 相交于一點p 且平面 與平面 相交于pa 平面 與平面 相交于pb 平面 與平面 相交于pc 2 平面abd與平面bdc相交于bd 平面abc與平面adc相交于ac 解 1 符號語言表示 p pa pb pc 圖形表示如圖 2 符號語言表示 平面abd 平面bdc bd 平面abc 平面adc ac 圖形表示如圖 規(guī)律方法 1 用文字語言 符號語言表示一個圖形時 首先仔細(xì)觀察圖形有幾個平面 幾條直線且相互之間的位置關(guān)系如何 試著用文字語言表示 再用符號語言表示 2 根據(jù)符號語言或文字語言畫相應(yīng)的圖形時 要注意實線和虛線的區(qū)別 訓(xùn)練1 如圖 用符號表示下列圖形中點 直線 平面之間的位置關(guān)系 解在 1 中 l a a a b 在 2 中 l a b a l p b l p 題型二空間點 線 面的位置關(guān)系 例2 如圖所示 在長方體abcd a1b1c1d1中 ac與bd相交于點m 則下列說法中正確的是 點m在直線ac上 點b在直線a1b1外 直線ac與bd相交 直線ac與a1d1相交 平面aa1b1b與平面d1dcc1平行 直線ac與平面a1b1c1d1相交 直線bc與a1b1異面 a b c d 解析 中 點m是直線ac與bd的交點 點m在直線ac上 點b顯然在直線a1b1外 故 正確 中 直線ac與a1d1異面 故 錯誤 中 兩平面沒有公共點 即互相平行 故 正確 中 直線ac與平面a1b1c1d1平行 故 錯誤 中 直線bc與a1b1既不平行也不相交 只能為異面 故 正確 答案c 規(guī)律方法 1 正確理解點 線 面之間的位置關(guān)系 2 異面直線是一種特殊的關(guān)系 它們不同在任何一個平面內(nèi) 3 通過觀察圖形 能夠更準(zhǔn)確地判斷點 線 面的位置關(guān)系 訓(xùn)練2 正方體abcd a1b1c1d1中 與對角線ac1異面的棱有 a 3條b 4條c 6條d 8條解析與ac1異面的棱是a1b1 dc bc a1d1 bb1 dd1 答案c 方向1共面問題 例3 1 已知 如圖所示 l1 l2 a l2 l3 b l1 l3 c 求證 直線l1 l2 l3在同一平面內(nèi) 證明方法一 納入平面法 l1 l2 a l1和l2確定一個平面 l2 l3 b b l2 又 l2 b 同理可證c 又 b l3 c l3 l3 直線l1 l2 l3在同一平面內(nèi) 方法二 輔助平面法 l1 l2 a l1 l2確定一個平面 l2 l3 b l2 l3確定一個平面 a l2 l2 a a l2 l2 a 同理可證b b c c 不共線的三個點a b c既在平面 內(nèi) 又在平面 內(nèi) 平面 和 重合 即直線l1 l2 l3在同一平面內(nèi) 方向2點共線問題 例3 2 如圖 在正方體abcd a1b1c1d1中 點m n e f分別是棱cd ab dd1 aa1上的點 若mn與ef交于點q 求證 d a q三點共線 證明 mn ef q q 直線mn q 直線ef 又 m 直線cd n 直線ab cd 平面abcd ab 平面abcd m n 平面abcd mn 平面abcd q 平面abcd 同理 可得ef 平面add1a1 q 平面add1a1 又 平面abcd 平面add1a1 ad q 直線ad 即d a q三點共線 方向3線共點問題 例3 3 如圖所示 在四面體a bcd中 e g分別為bc ab的中點 f在cd上 h在ad上 且有df fc dh ha 2 3 求證 ef gh bd交于一點 證明 e g分別為bc ab的中點 ge ac 又 df fc dh ha 2 3 fh ac 從而fh ge 故e f h g四點共面 fh ac dh da 2 5 fh ac 2 5 即fh ac 又 e g分別為bc ab的中點 ge ac fh ge 四邊形efhg是一個梯形 gh和ef交于一點 設(shè)為o o gh gh 平面abd o ef ef 平面bcd o在平面abd內(nèi) 又在平面bcd內(nèi) o在這兩個平面的交線上 而這兩個平面的交線是bd 且交線只有這一條 點o在直線bd上 故ef gh bd交于一點 規(guī)律方法 1 證明點 線共面問題 一般先由部分點線確定一個平面 再證其他的點和線在所確定的平面內(nèi) 2 證明點共線 證明多點共線通常利用公理3 即兩相交平面交線的唯一性 通過證明點分別在兩個平面內(nèi) 證明點在相交平面的交線上 也可選擇其中兩點確定一條直線 然后證明其他點也在其上 3 證明三線共點 證明三線共點問題可把其中一條作為分別過其余兩條直線的兩個平面的交線 然后再證兩條直線的交點在此直線上 此外還可先將其中一條直線看作某兩個平面的交線 證明該交線與另兩條直線分別交于兩點 再證點重合 從而得三線共點 課堂達(dá)標(biāo)1 在下列各種面中 不能被認(rèn)為是平面的一部分的是 a 黑板面b 乒乓球桌面c 籃球的表面d 平靜的水面解析平面的各部分都是 平 的 那么不能作為平面的部分只能是 曲 的 所以黑板面 乒乓球桌面和平靜的水面均可作為平面的一部分 而籃球的表面是一個曲面 不能作為平面的一部分 答案c 2 若點m在直線a上 a在平面 內(nèi) 則m a 之間的關(guān)系可記為 a m a a b m a a c m a a d m a a 解析點與直線的關(guān)系為元素與集合的關(guān)系 能用 直線與平面的關(guān)系為集合間的關(guān)系 不能用 答案b 3 設(shè)平面 與平面 相交于l 直線a 直線b a b m 則m l 解析因為a b m a b 所以m m 又因為 l 所以m l 答案 4 如圖 已知d e是 abc的邊ac bc上的點 平面 經(jīng)過d e兩點 若直線ab與平面 的交點是p 則點p與直線de的位置關(guān)系是 解析因為p ab ab 平面abc 所以p 平面abc 又p 平面abc 平面 de 所以p 直線de 答案p 直線de 5 已知a b c l a a l b b l c c 求證 a b c和l共面 證明如圖 a b a與b確定一個平面 l a a l b b a b 又 a l b l l b c b與c確定一個平面 同理l 平面 與 都包含l和b 且b l b 由公理2的推論 經(jīng)過兩條相交直線有且只有一個平面 平面 與平面 重合 a b c和l共面 課堂小結(jié)1 三個公理的作用 公理1 判定直線在平面內(nèi)的依據(jù) 公理2 判定點共面 線共面的依據(jù) 公理3 判定點共線 線共點的依據(jù) 2 證明幾點共線的方法 先考慮兩個平面的交線 再證有關(guān)的點都是這兩個平面的公共點 或先由某兩點作一直線 再證明其