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概率k1隨事件的概率16i1,k1,k2,k62013北京卷 下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖,空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良,空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市,并停留2天圖16(1)求此人到達當(dāng)日空氣重度污染的概率;(2)設(shè)x是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù),求x的分布列與數(shù)學(xué)期望;(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大?(結(jié)論不要求證明)16解:設(shè)ai表示事件“此人于3月i日到達該市”(i1,2,13)根據(jù)題意,p(ai),且aiaj(ij)(1)設(shè)b為事件“此人到達當(dāng)日空氣重度污染”,則ba5a8.所以p(b)p(a5a8)p(a5)p(a8).(2)由題意可知,x的所有可能取值為0,1,2,且p(x1)p(a3a6a7a11)p(a3)p(a6)p(a7)p(a11),p(x2)p(a1a2a12a13)p(a1)p(a2)p(a12)p(a13),p(x0)1p(x1)p(x2).所以x的分布列為x012p故x的期望e(x)012.(3)從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大k2古典概型9k22013湖北卷 如圖12所示,將一個各面都涂了油漆的正方體,切割為125個同樣大小的小正方體,經(jīng)過攪拌后,從中隨機取一個小正方體,記它的涂漆面數(shù)為x,則x的均值e(x)()圖12a. b. c. d.9b解析 x的取值為0,1,2,3且p(x0),p(x1),p(x2),p(x3),故e(x)0123,選b.7k22013江蘇卷 現(xiàn)有某類病毒記作xmyn,其中正整數(shù)m,n(m7,n9)可以任意選取,則m,n都取到奇數(shù)的概率為_7.解析 基本事件共有7963種,m可以取1,3,5,7,n可以取1,3,5,7,9.所以m,n都取到奇數(shù)共有20種,故所求概率為.16i1,k1,k2,k62013北京卷 下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖,空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良,空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市,并停留2天圖16(1)求此人到達當(dāng)日空氣重度污染的概率;(2)設(shè)x是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù),求x的分布列與數(shù)學(xué)期望;(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大?(結(jié)論不要求證明)16解:設(shè)ai表示事件“此人于3月i日到達該市”(i1,2,13)根據(jù)題意,p(ai),且aiaj(ij)(1)設(shè)b為事件“此人到達當(dāng)日空氣重度污染”,則ba5a8.所以p(b)p(a5a8)p(a5)p(a8).(2)由題意可知,x的所有可能取值為0,1,2,且p(x1)p(a3a6a7a11)p(a3)p(a6)p(a7)p(a11),p(x2)p(a1a2a12a13)p(a1)p(a2)p(a12)p(a13),p(x0)1p(x1)p(x2).所以x的分布列為x012p故x的期望e(x)012.(3)從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大16k2,k62013天津卷 一個盒子里裝有7張卡片,其中有紅色卡片4張,編號分別為1,2,3,4;白色卡片3張,編號分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)(1)求取出的4張卡片中,含有編號為3的卡片的概率;(2)在取出的4張卡片中,紅色卡片編號的最大值設(shè)為x,求隨機變量x的分布列和數(shù)學(xué)期望16解:設(shè)“取出的4張卡片中,含有編號為3的卡片”為事件a,則p(a).所以,取出的4張卡片中,含有編號為3的卡片的概率為.(2)隨機變量x的所有可能取值為1,2,3,4.p(x1),p(x2),p(x3),p(x4).所以隨機變量x的分布列是x1234p隨機變量x的數(shù)學(xué)期望e(x)1234.14k2,j22013新課標(biāo)全國卷 從n個正整數(shù)1,2,3,n中任意取出兩個不同的數(shù),若取出的兩數(shù)之和等于5的概率為,則n_148解析 和為5的只有兩種情況,14,23,故c28n8.18k2、k4、k5,k82013重慶卷 某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定:在一次摸獎中,摸獎?wù)呦葟难b有3個紅球與4個白球的袋中任意摸出3個球,再從裝有1個藍球與2個白球的袋中任意摸出1個球根據(jù)摸出4個球中紅球與藍球的個數(shù),設(shè)一、二、三等獎如下:獎級摸出紅、藍球個數(shù)獲獎金額一等獎3紅1藍200元二等獎3紅0藍50元三等獎2紅1藍10元其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級(1)求一次摸獎恰好摸到1個紅球的概率;(2)求摸獎?wù)咴谝淮蚊勚蝎@獎金額x的分布列與期望e(x)18解:設(shè)ai表示摸到i個紅球,bj表示摸到j(luò)個藍球,則ai(i0,1,2,3)與bj(j0,1)獨立(1)恰好摸到1個紅球的概率為p(a1).(2)x的所有可能值為0,10,50,200,且p(x200)p(a3b1)p(a3)p(b1),p(x50)p(a3b0)p(a3)p(b0),p(x10)p(a2b1)p(a2)p(b1),p(x0)1.綜上知x的分布列為x01050200p從而有e(x)010502004(元)k3幾何概型11k32013福建卷 利用計算機產(chǎn)生01之間的均勻隨機數(shù)a,則事件“3a10”發(fā)生的概率為_11.解析 a1,概率p.14e4、k32013山東卷 在區(qū)間3,3上隨機取一個數(shù)x,使得|x1|x2|1成立的概率為_14.解析 當(dāng)x2時,不等式化為x1x21,此時恒成立,|x1|x2|1的解集為.在上使不等式有解的區(qū)間為,由幾何概型的概率公式得p.5k32013陜西卷 如圖11,在矩形區(qū)域abcd的a,c兩點處各有一個通信基站,假設(shè)其信號的覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ade和扇形區(qū)域cbf(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源,基站工作正常)若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地選一地點,則該地點無信號的概率是()圖11a1 b.1c2 d.5a解析 閱讀題目可知,滿足幾何概型的概率特點,利用幾何概型的概率公式可知:p1.9k32013四川卷 節(jié)日前夕,小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈,這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立,且都在通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生,然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮,那么這兩串彩燈同時通電后,它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是()a. b.c. d.9c解析 設(shè)第一串彩燈在通電后第x秒閃亮,第二串彩燈在通電后第y秒閃亮,由題意滿足條件的關(guān)系式為2xy2.根據(jù)幾何概型可知,事件全體的測度(面積)為16平方單位,而滿足條件的事件測度(陰影部分面積)為12平方單位,故概率為.k4互斥事件有一個發(fā)生的概率19k4,k62013新課標(biāo)全國卷 一批產(chǎn)品需要進行質(zhì)量檢驗,檢驗方案是:先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗,這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n3,再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗,若都為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗;如果n4.再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗;若為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗;其他情況下,這批產(chǎn)品都不能通過檢驗假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%,即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為,且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨立(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率;(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為100元,且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗,對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗所需的費用記為x(單位:元),求x的分布列及數(shù)學(xué)期望19解:(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件a1,第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件a2,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件b1,第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件b2,這批產(chǎn)品通過檢驗為事件a,依題意有a(a1b1)(a2b2),且a1b1與 a2b2互斥,所以p(a)p(a1b1)p(a2b2)p(a1)p(b1|a1)p(a2)p(b2|a2).(2)x可能的取值為400,500,800,并且p(x400)1,p(x500),p(x800).所以x的分布列為x400500800pe(x)400500800506.25.18k2、k4、k5,k82013重慶卷 某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定:在一次摸獎中,摸獎?wù)呦葟难b有3個紅球與4個白球的袋中任意摸出3個球,再從裝有1個藍球與2個白球的袋中任意摸出1個球根據(jù)摸出4個球中紅球與藍球的個數(shù),設(shè)一、二、三等獎如下:獎級摸出紅、藍球個數(shù)獲獎金額一等獎3紅1藍200元二等獎3紅0藍50元三等獎2紅1藍10元其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級(1)求一次摸獎恰好摸到1個紅球的概率;(2)求摸獎?wù)咴谝淮蚊勚蝎@獎金額x的分布列與期望e(x)18解:設(shè)ai表示摸到i個紅球,bj表示摸到j(luò)個藍球,則ai(i0,1,2,3)與bj(j0,1)獨立(1)恰好摸到1個紅球的概率為p(a1).(2)x的所有可能值為0,10,50,200,且p(x200)p(a3b1)p(a3)p(b1),p(x50)p(a3b0)p(a3)p(b0),p(x10)p(a2b1)p(a2)p(b1),p(x0)1.綜上知x的分布列為x01050200p從而有e(x)010502004(元)k5相互對立事件同時發(fā)生的概率18k2、k4、k5,k82013重慶卷 某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定:在一次摸獎中,摸獎?wù)呦葟难b有3個紅球與4個白球的袋中任意摸出3個球,再從裝有1個藍球與2個白球的袋中任意摸出1個球根據(jù)摸出4個球中紅球與藍球的個數(shù),設(shè)一、二、三等獎如下:獎級摸出紅、藍球個數(shù)獲獎金額一等獎3紅1藍200元二等獎3紅0藍50元三等獎2紅1藍10元其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級(1)求一次摸獎恰好摸到1個紅球的概率;(2)求摸獎?wù)咴谝淮蚊勚蝎@獎金額x的分布列與期望e(x)18解:設(shè)ai表示摸到i個紅球,bj表示摸到j(luò)個藍球,則ai(i0,1,2,3)與bj(j0,1)獨立(1)恰好摸到1個紅球的概率為p(a1).(2)x的所有可能值為0,10,50,200,且p(x200)p(a3b1)p(a3)p(b1),p(x50)p(a3b0)p(a3)p(b0),p(x10)p(a2b1)p(a2)p(b1),p(x0)1.綜上知x的分布列為x01050200p從而有e(x)010502004(元)k6離散型隨機變量及其分布列19k4,k62013新課標(biāo)全國卷 一批產(chǎn)品需要進行質(zhì)量檢驗,檢驗方案是:先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗,這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n3,再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗,若都為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗;如果n4.再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗;若為優(yōu)質(zhì)品,則這批產(chǎn)品通過檢驗;其他情況下,這批產(chǎn)品都不能通過檢驗假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%,即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為,且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨立(1)求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率;(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為100元,且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗,對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗所需的費用記為x(單位:元),求x的分布列及數(shù)學(xué)期望19解:(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件a1,第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件a2,第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件b1,第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件b2,這批產(chǎn)品通過檢驗為事件a,依題意有a(a1b1)(a2b2),且a1b1與 a2b2互斥,所以p(a)p(a1b1)p(a2b2)p(a1)p(b1|a1)p(a2)p(b2|a2).(2)x可能的取值為400,500,800,并且p(x400)1,p(x500),p(x800).所以x的分布列為x400500800pe(x)400500800506.25.16k6,k82013福建卷 某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動,舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎方案,方案甲的中獎率為,中獎可以獲得2分;方案乙的中獎率為,中獎可以獲得3分;未中獎則不得分每人有且只有一次抽獎機會,每次抽獎中獎與否互不影響,晚會結(jié)束后憑分數(shù)兌換獎品(1)若小明選擇方案甲抽獎,小紅選擇方案乙抽獎,記他們的累計得分為x,求x3的概率;(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎,問:他們選擇何種方案抽獎,累計得分的數(shù)學(xué)期望較大?16解:方法一:(1)由已知得,小明中獎的概率為,小紅中獎的概率為,且兩人中獎與否互不影響記“這2人的累計得分x3”的事件為a,則事件a的對立事件為“x5”,因為p(x5),所以p(a)1p(x5),即這兩人的累計得分x3的概率為.(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎次數(shù)為x1,都選擇方案乙抽獎中獎次數(shù)為x2,則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數(shù)學(xué)期望為e(2x1),選擇方案乙抽獎累計得分的數(shù)學(xué)期望為e(3x2)由已知可得,x1b,x2b,所以e(x1)2,e(x2)2,從而e(2x1)2e(x1),e(3x2)3e(x2).因為e(2x1)e(3x2),所以他們都選擇方案甲進行抽獎時,累計得分的數(shù)學(xué)期望較大方法二:(1)由已知得,小明中獎的概率為,小紅中獎的概率為,且兩人中獎與否互不影響記“這兩人的累計得分x3”的事件為a,則事件a包含有“x0”“x2”“x3”三個兩兩互斥的事件,因為p(x0),p(x2),p(x3),所以p(a)p(x0)p(x2)p(x3),即這兩人的累計得分x3的概率為.(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為x1,都選擇方案乙所獲得的累計得分為x2,則x1,x2的分布列如下:x1024px2036p所以e(x1)024,e(x2)036.因為e(x1)e(x2),所以他們都選擇方案甲進行抽獎時,累計得分的數(shù)學(xué)期望較大4k62013廣東卷 已知離散型隨機變量x的分布列為x123p則x的數(shù)學(xué)期望e(x)()a. b2c. d34a解析 e(x)123,選a.18k62013江西卷 小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學(xué)校合唱團還是參加學(xué)校排球隊游戲規(guī)則為:以o為起點,再從a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7,a8(如圖15)這8個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量,記這兩個向量的數(shù)量積為x.若x0就參加學(xué)校合唱團,否則就參加學(xué)校排球隊(1)求小波參加學(xué)校合唱團的概率;(2)求x的分布列和數(shù)學(xué)期望圖15解:(1)從8個點中任取兩點為向量終點的不同取法共有c28種,x0時,兩向量夾角為直角共有8種情形;所以小波參加學(xué)校合唱團的概率為p(x0).(2)兩向量數(shù)量積x的所有可能取值為2,1,0,1,x2時,有2種情形;x1時,有8種情形;x1時,有10種情形所以x的分布列為x2101pex(2)(1)01.16i1,k1,k2,k62013北京卷 下圖是某市3月1日至14日的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖,空氣質(zhì)量指數(shù)小于100表示空氣質(zhì)量優(yōu)良,空氣質(zhì)量指數(shù)大于200表示空氣重度污染某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市,并停留2天圖16(1)求此人到達當(dāng)日空氣重度污染的概率;(2)設(shè)x是此人停留期間空氣質(zhì)量優(yōu)良的天數(shù),求x的分布列與數(shù)學(xué)期望;(3)由圖判斷從哪天開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大?(結(jié)論不要求證明)16解:設(shè)ai表示事件“此人于3月i日到達該市”(i1,2,13)根據(jù)題意,p(ai),且aiaj(ij)(1)設(shè)b為事件“此人到達當(dāng)日空氣重度污染”,則ba5a8.所以p(b)p(a5a8)p(a5)p(a8).(2)由題意可知,x的所有可能取值為0,1,2,且p(x1)p(a3a6a7a11)p(a3)p(a6)p(a7)p(a11),p(x2)p(a1a2a12a13)p(a1)p(a2)p(a12)p(a13),p(x0)1p(x1)p(x2).所以x的分布列為x012p故x的期望e(x)012.(3)從3月5日開始連續(xù)三天的空氣質(zhì)量指數(shù)方差最大19k6、k72013山東卷 甲、乙兩支排球隊進行比賽,約定先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結(jié)束除第五局甲隊獲勝的概率是外,其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立(1)分別求甲隊以30,31,32勝利的概率;(2)若比賽結(jié)果為30或31,則勝利方得3分、對方得0分;若比賽結(jié)果為32,則勝利方得2分、對方得1分求乙隊得分x的分布列及數(shù)學(xué)期望19解:(1)記“甲隊以30勝利”為事件a1,“甲隊以31勝利”為事件a2,“甲隊以32勝利”為事件a3,由題意,各局比賽結(jié)果相互獨立,故p(a1)3,p(a2)c21,p(a3)c212.所以,甲隊以30勝利、以31勝利的概率都為,以32勝利的概率為.(2)設(shè)“乙隊以32勝利”為事件a4,由題意,各局比賽結(jié)果相互獨立,所以p(a4)c1221,由題意,隨機變量x的所有可能的取值為0,1,2,3.根據(jù)事件的互斥性得p(x0)p(a1a2)p(a1)p(a2).又p(x1)p(a3).p(x2)p(a4),p(x3)1p(x0)p(x1)p(x2),故x的分布列為x0123p所以e(x)0123.19k62013陜西卷 在一場娛樂晚會上,有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱,由現(xiàn)場數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手各位觀眾須彼此獨立地在選票上選3名歌手,其中觀眾甲是1號歌手的歌迷,他必選1號,不選2號,另在3至5號中隨機選2名觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至5號中隨機選3名歌手(1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率;(2)x表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和,求x的分布列及數(shù)學(xué)期望19解:(1)設(shè)a表示事件“觀眾甲選中3號歌手”,b表示事件“觀眾乙選中3號歌手,”則p(a),p(b).事件a與b相互獨立,觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率為p(ab)p(a)p(b)p(a)1p(b).或p(ab ).(2)設(shè)c表示事件“觀眾丙選中3號歌手”則p(c).x可能的取值為0,1,2,3,且取這些值的概率分別為p(x0)p(a b c).p(x1)p(ab c)p(abc)p(a bc),p(x2)p(abc)p(abc)p(abc),p(x3)p(abc).x的分布列為x0123px的數(shù)學(xué)期望ex0123.18l1,k62013四川卷 某算法的程序框圖如圖16所示,其中輸入的變量x在1,2,3,24這24個整數(shù)中等可能隨機產(chǎn)生圖16(1)分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概率pi(i1,2,3);(2)甲、乙兩同學(xué)依據(jù)自己對程序框圖的理解,各自編寫程序重復(fù)運行n次后,統(tǒng)計記錄了輸出y的值為i(i1,2,3)的頻數(shù)以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分數(shù)據(jù)甲的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)運行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)30146102 1001 027376697乙的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分)運行次數(shù)n輸出y的值為1的頻數(shù)輸出y的值為2的頻數(shù)輸出y的值為3的頻數(shù)30121172 1001 051696353當(dāng)n2 100時,根據(jù)表中的數(shù)據(jù),分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i1,2,3)的頻率(用分數(shù)表示),并判斷兩位同學(xué)中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大;(3)按程序框圖正確編寫的程序運行3次,求輸出y的值為2的次數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望18解:(1)變量x是在1,2,3,24這24個整數(shù)中隨機產(chǎn)生的一個數(shù),共有24種可能當(dāng)x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個數(shù)中產(chǎn)生時,輸出y的值為1,故p1;當(dāng)x從2,4,8,10,14,16,20,22這8個數(shù)中產(chǎn)生時,輸出y的值為2,故p2;當(dāng)x從6,12,18,24這4個數(shù)中產(chǎn)生時,輸出y的值為3,故p3,所以,輸出y的值為1的概率為,輸出y的值為2的概率為,輸出y的值為3的概率為.(2)當(dāng)n2 100時,甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i1,2,3)的頻率如下:輸出y的值為1的頻率輸出y的值為2的頻率輸出y的值為3的頻率甲乙比較頻率趨勢與概率,可得乙同學(xué)所編程序符合算法要求的可能性較大(3)隨機變量可能的取值為0,1,2,3.p(0)c,p(1)c,p(2)c,p(3)c,故的分布列為0123p所以,e01231.即的數(shù)學(xué)期望為1.16k2,k62013天津卷 一個盒子里裝有7張卡片,其中有紅色卡片4張,編號分別為1,2,3,4;白色卡片3張,編號分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設(shè)取到任何一張卡片的可能性相同)(1)求取出的4張卡片中,含有編號為3的卡片的概率;(2)在取出的4張卡片中,紅色卡片編號的最大值設(shè)為x,求隨機變量x的分布列和數(shù)學(xué)期望16解:設(shè)“取出的4張卡片中,含有編號為3的卡片”為事件a,則p(a).所以,取出的4張卡片中,含有編號為3的卡片的概率為.(2)隨機變量x的所有可能取值為1,2,3,4.p(x1),p(x2),p(x3),p(x4).所以隨機變量x的分布列是x1234p隨機變量x的數(shù)學(xué)期望e(x)1234.19b1,i2,k62013新課標(biāo)全國卷 經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品,在一個銷售季度內(nèi),每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤500元,未售出的產(chǎn)品,每1 t虧損300元根據(jù)歷史資料,得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖,如圖14所示,經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130 t該農(nóng)產(chǎn)品,以x(單位:t,100x150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量,t(單位:元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(1)將t表示為x的函數(shù);(2)根據(jù)直方圖估計利潤t不少于57 000元的概率;(3)在直方圖的需求量分組中,以各組的區(qū)間中點值代表該組的各個值,并以需求量落入該區(qū)間的頻率作為需求量取該區(qū)間中點值的概率(例如:若需求量x100,110),則取x105,且x105的概率等于需求量落入100,110)的頻率),求t的數(shù)學(xué)期望圖1419解:(1)當(dāng)x100,130)時,t500x300(130x)800x39 000.當(dāng)x130,150時,t50013065 000.所以t(2)由(1)知利潤t不少于57 000元,當(dāng)且僅當(dāng)120x150.由直方圖知需求量x120,150的頻率為0.7,所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤t不少于57 000元的概率的估計值為0.7.(3)依題意可得t的分布列為t45 00053 00061 00065 000p0.10.20.30.4所以e(t)45 0000.153 0000.261 0000.365 0000.459 400.k7條件概率與事件的獨立性21k7、k92013安徽卷 某高校數(shù)學(xué)系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動,分別由李老師和張老師負責(zé)已知該系共有n位學(xué)生,每次活動均需該系k位學(xué)生參加(n和k都是固定的正整數(shù))假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機地發(fā)給該系k位學(xué)生,且所發(fā)信息都能收到記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學(xué)生人數(shù)為x.(1)求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率;(2)求使p(xm)取得最大值的整數(shù)m.21解:(1)因為事件a:“學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息”與事件b:“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息”是相互獨立的事件,所以a與b相互獨立由于p(a)p(b),故p(a)p(b)1,因此學(xué)生甲收到活動通知信息的概率p112.(2)當(dāng)kn時,m只能取n,有p(xm)p(xn)1.當(dāng)kn時,整數(shù)m滿足kmt,其中t是2k和n中的較小者,由于“李老師和張老師各自獨立、隨機地發(fā)活動通知信息給k位同學(xué)”所包含的基本事件總數(shù)為(c)2,當(dāng)xm時,同時收到李老師和張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)恰為2km,僅收到李老師或僅收到張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)均為mk,由乘法計數(shù)原理知事件xm所含基本事件數(shù)為cccccc,此時p(xm).當(dāng)kmt時,p(xm)p(xm1)cccc(mk1)2(nm)(2km)m2k.假如k2kt成立則當(dāng)(k1)2能被n2整除時,k2k2k1t,故p(xm)在m2k和m2k1處達最大值;當(dāng)(k1)2不能被n2整除時,p(xm)在m2k處達最大值(注:x表示不超過x的最大整數(shù))下面證明k2kt.因為1kn,所以2kk0.而2kn0,故2kn,顯然2k2k.因此k2ks,故答案為2.16k72013遼寧卷 為了考察某校各班參加課外書法小組的人數(shù),從全校隨機抽取5個班級,把每個班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)已知樣本平均數(shù)為7,樣本方差為4,且樣本數(shù)據(jù)互不相同,則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為_1610解析 由已知可設(shè)5個班級參加的人數(shù)分別為x1,x2,x3,x4,x5,則x7,4,故(x17)2(x27)2(x37)2(x47)2(x57)220,即五個完全平方數(shù)之和為20,要使其中一個達到最大,這五個數(shù)必須是關(guān)于0對稱分布的,而9101920,也就是(3)2(1)202123220,所以五個班級參加的人數(shù)分別為4,6,7,8,10,最大數(shù)字為10.20k7、k82013全國卷 甲、乙、丙三人進行羽毛球練習(xí)賽,其中兩人比賽,另一人當(dāng)裁判,每局比賽結(jié)束時,負的一方在下一局當(dāng)裁判設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為,各局比賽的結(jié)果相互獨立,第1局甲當(dāng)裁判(1)求第4局甲當(dāng)裁判的概率;(2)x表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù),求x的數(shù)學(xué)期望20解:(1)記a1表示事件“第2局結(jié)果為甲勝”,a2表示事件“第3局甲參加比賽,結(jié)果為甲負”,a表示事件“第4局甲當(dāng)裁判”則aa1a2.p(a)p(a1a2)p(a1)p(a2).(2)x的可能取值為0,1,2.記a3表示事件“第3局乙和丙比賽時,結(jié)果為乙勝丙”,b1表示事件“第1局結(jié)果為乙勝丙”,b2表示事件“第2局乙和甲比賽時,結(jié)果為乙勝甲”,b3表示事件“第3局乙參加比賽時,結(jié)果為乙負”則p(x0)p(b1b2a3)p(b1)p(b2)p(a3),p(x2)p(b1b3)p(b1)p(b3),p(x1)1p(x0)p(x2)1,e(x)0p(x0)1p(x1)2p(x2).19k6、k72013山東卷 甲、乙兩支排球隊進行比賽,約定先勝3局者獲得比賽的勝利,比賽隨即結(jié)束除第五局甲隊獲勝的概率是外,其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨立(1)分別求甲隊以30,31,32勝利的概率;(2)若比賽結(jié)果為30或31,則勝利方得3分、對方得0分;若比賽結(jié)果為32,則勝利方得2分、對方得1分求乙隊得分x的分布列及數(shù)學(xué)期望19解:(1)記“甲隊以30勝利”為事件a1,“甲隊以31勝利”為事件a2,“甲隊以32勝利”為事件a3,由題意,各局比賽結(jié)果相互獨立,故p(a1)3,p(a2)c21,p(a3)c212.所以,甲隊以30勝利、以31勝利的概率都為,以32勝利的概率為.(2)設(shè)“乙隊以32勝利”為事件a4,由題意,各局比賽結(jié)果相互獨立,所以p(a4)c1221,由題意,隨機變量x的所有可能的取值為0,1,2,3.根據(jù)事件的互斥性得p(x0)p(a1a2)p(a1)p(a2).又p(x1)p(a3).p(x2)p(a4),p(x3)1p(x0)p(x1)p(x2),故x的分布列為x0123p所以e(x)0123.k8離散型隨機變量的數(shù)學(xué)特征與正態(tài)分布16k6,k82013福建卷 某聯(lián)歡晚會舉行抽獎活動,舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎方案,方案甲的中獎率為,中獎可以獲得2分;方案乙的中獎率為,中獎可以獲得3分;未中獎則不得分每人有且只有一次抽獎機會,每次抽獎中獎與否互不影響,晚會結(jié)束后憑分數(shù)兌換獎品(1)若小明選擇方案甲抽獎,小紅選擇方案乙抽獎,記他們的累計得分為x,求x3的概率;(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎,問:他們選擇何種方案抽獎,累計得分的數(shù)學(xué)期望較大?16解:方法一:(1)由已知得,小明中獎的概率為,小紅中獎的概率為,且兩人中獎與否互不影響記“這2人的累計得分x3”的事件為a,則事件a的對立事件為“x5”,因為p(x5),所以p(a)1p(x5),即這兩人的累計得分x3的概率為.(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎次數(shù)為x1,都選擇方案乙抽獎中獎次數(shù)為x2,則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數(shù)學(xué)期望為e(2x1),選擇方案乙抽獎累計得分的數(shù)學(xué)期望為e(3x2)由已知可得,x1b,x2b,所以e(x1)2,e(x2)2,從而e(2x1)2e(x1),e(3x2)3e(x2).因為e(2x1)e(3x2),所以他們都選擇方案甲進行抽獎時,累計得分的數(shù)學(xué)期望較大方法二:(1)由已知得,小明中獎的概率為,小紅中獎的概率為,且兩人中獎與否互不影響記“這兩人的累計得分x3”的事件為a,則事件a包含有“x0”“x2”“x3”三個兩兩互斥的事件,因為p(x0),p(x2),p(x3),所以p(a)p(x0)p(x2)p(x3),即這兩人的累計得分x3的概率為.(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為x1,都選擇方案乙所獲得的累計得分為x2,則x1,x2的分布列如下:x1024px2036p所以e(x1)024,e(x2)036.因為e(x1)e(x2),所以他們都選擇方案甲進行抽獎時,累計得分的數(shù)學(xué)期望較大19k82013遼寧卷 現(xiàn)有10道題,其中6道甲類題,4道乙類題,張同學(xué)從中任取3道題解答(1)求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率;(2)已知所取的3道題中有2道甲類題,1道乙類題設(shè)張同學(xué)答對每道甲類題的概率都是,答對每道乙類題的概率都是,且各題答對與否相互獨立用x表示張同學(xué)答對題的個數(shù),求x的分布列和數(shù)學(xué)期望19解: (1)設(shè)事件a“張同學(xué)所取的3道題至少有1道乙類題”,則有a“張同學(xué)所取的3道題都是甲類題”因為p(a),所以p(a)1p(a).(2)x所有的可能取值為0,1,2,3.p(x0)c;p(x1)cc;p(x2)cc;p(x3)c.x的分布列為:x0123p所以e(x)01232.20k7、k82013全國卷 甲、乙、丙三人進行羽毛球練習(xí)賽,其中兩人比賽,另一人當(dāng)裁判,每局比賽結(jié)束時,負的一方在下一局當(dāng)裁判設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為,各局比賽的結(jié)果相互獨立,第1局甲當(dāng)裁判(1)求第4局甲當(dāng)裁判的概率;(2)x表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù),求x的數(shù)學(xué)期望20解:(1)記a1表示事件“第2局結(jié)果為甲勝”,a2表示事件“第3局甲參加比賽,結(jié)果為甲負”,a表示事件“第4局甲當(dāng)裁判”則aa1a2.p(a)p(a1a2)p(a1)p(a2).(2)x的可能取值為0,1,2.記a3表示事件“第3局乙和丙比賽時,結(jié)果為乙勝丙”,b1表示事件“第1局結(jié)果為乙勝丙”,b2表示事件“第2局乙和甲比賽時,結(jié)果為乙勝甲”,b3表示事件“第3局乙參加比賽時,結(jié)果為乙負”則p(x0)p(b1b2a3)p(b1)p(b2)p(a3),p(x2)p(b1b3)p(b1)p(b3),p(x1)1p(x0)p(x2)1,e(x)0p(x0)1p(x1)2p(x2).18k2、k4、k5,k82013重慶卷 某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規(guī)定:在一次摸獎中,摸獎?wù)呦葟难b有3個紅球與4個白球的袋中任意摸出3個球,再從裝有1個藍球與2個白球的袋中任意摸出1個球根據(jù)摸出4個球中紅球與藍球的個數(shù),設(shè)一、二、三等獎如下:獎級摸出紅、藍球個數(shù)獲獎金額一等獎3紅1藍200元二等獎3紅0藍50元三等獎2紅1藍10元其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級(1)求一次摸獎恰好摸到1個紅球的概率;(2)求摸獎?wù)咴谝淮蚊勚蝎@獎金額x的分布列與期望e(x)18解:設(shè)ai表示摸到i個紅球,bj表示摸到j(luò)個藍球,則ai(i0,1,2,3)與bj(j0,1)獨立(1)恰好摸到1個紅球的概率為p(a1).(2)x的所有可能值為0,10,50,200,且p(x200)p(a3b1)p(a3)p(b1),p(x50)p(a3b0)p(a3)p(b0),p(x10)p(a2b1)p(a2)p(b1),p(x0)1.綜上知x的分布列為x01050200p從而有e(x)010502004(元)k9單元綜合21k7、k92013安徽卷 某高校數(shù)學(xué)系計劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測試活動,分別由李老師和張老師負責(zé)已知該系共有n位學(xué)生,每次活動均需該系k位學(xué)生參加(n和k都是固定的正整數(shù))假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動通知的信息獨立、隨機地發(fā)給該系k位學(xué)生,且所發(fā)信息都能收到記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的學(xué)生人數(shù)為x.(1)求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動通知信息的概率;(2)求使p(xm)取得最大值的整數(shù)m.21解:(1)因為事件a:“學(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息”與事件b:“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息”是相互獨立的事件,所以a與b相互獨立由于p(a)p(b),故p(a)p(b)1,因此學(xué)生甲收到活動通知信息的概率p112.(2)當(dāng)kn時,m只能取n,有p(xm)p(xn)1.當(dāng)kn時,整數(shù)m滿足kmt,其中t是2k和n中的較小者,由于“李老師和張老師各自獨立、隨機地發(fā)活動通知信息給k位同學(xué)”所包含的基本事件總數(shù)為(c)2,當(dāng)xm時,同時收到李老師和張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)恰為2km,僅收到李老師或僅收到張老師轉(zhuǎn)發(fā)信息的學(xué)生人數(shù)均為mk,由乘法計數(shù)原理知事件xm所含基本事件數(shù)為cccccc,此時p(xm).當(dāng)kmt時,p(xm)p(xm1)cccc(mk1)2(nm)(2km)m2k.假如k2kt成立則當(dāng)(k1)2能被n2整除時,k2k2k1t,故p(xm)在m2k和m2k1處達最大值;當(dāng)(k1)2不能被n2整除時,p(xm)在m2k處達最大值(注:x表示不超過x的最大整數(shù))下面證明k2kt.因為1kn,所以2kk0.而2kn0,故2kn,顯然2k2k.因此k2kt.18k92013湖南卷 某人在如圖14所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物,根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗,一株該種作物的年收獲量y(單位:kg)與它的“相近”作物株數(shù)x之間的關(guān)系如下表所示:x1234y51484542這里,兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米(1)從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機選取一株作物,求它們恰好“相近”的概率;(2)從所種
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