【志鴻優(yōu)化設計】（山東專用）高考數(shù)學一輪復習 第九章解析幾何9.8直線與圓錐曲線的位置關系教學案 理 新人教A版.doc

9.8直線與圓錐曲線的位置關系考綱要求1了解圓錐曲線的簡單應用2理解數(shù)形結合思想1直線與圓錐曲線位置關系的判斷(1)代數(shù)法：把圓錐曲線方程與直線方程聯(lián)立消去y，整理得到關于x的方程ax2bxc0.若圓錐曲線是雙曲線或是拋物線，當a0時，表示直線與雙曲線的漸近線或拋物線的軸平行；當a0時，記該一元二次方程根的判別式為，若0，則直線與圓錐曲線_；若0，則直線與圓錐曲線_；若0，則直線與圓錐曲線_(2)幾何法：在同一直角坐標系中畫出圓錐曲線和直線，利用圖象和性質可判斷直線與圓錐曲線的位置關系2直線與圓錐曲線的相交弦長問題若直線與圓錐曲線有兩個公共點m(x1，y1)，n(x2，y2)，可結合韋達定理，代入弦長公式|mn|_或|mn|_求距離若涉及直線過圓錐曲線焦點的弦問題，一般利用圓錐曲線的定義去解決1過點(0,1)作直線，使它與拋物線y24x僅有一個公共點，這樣的直線有()a1條 b2條c3條 d4條2已知直線l1：4x3y60和直線l2：x1，拋物線y24x上一動點p到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是()a2 b3 c d3已知拋物線y22px(p0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于a，b兩點，若線段ab的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為()ax1 bx1cx2 dx24已知f為拋物線y28x的焦點，過點f且斜率為1的直線交拋物線于a，b兩點，則|fa|fb|的值為()a4 b8 c8 d165已知斜率為1的直線過橢圓y21的右焦點交橢圓于a，b兩點，則弦ab的長為_一、直線與圓錐曲線的位置關系【例11】求證：不論m取何值，直線l：mxym10與橢圓1總有交點【例12】已知中心在坐標原點o的橢圓c經(jīng)過點a(2,3)，且點f(2,0)為其右焦點(1)求橢圓c的方程；(2)是否存在平行于oa的直線l，使得直線l與橢圓c有公共點，且直線oa與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由方法提煉求直線與圓錐曲線的交點時，注意用一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關系來解決在解題時，應注意討論二次項系數(shù)為0和不為0的兩種情況請做演練鞏固提升1二、直線與圓錐曲線的相交弦問題【例2】過點p(8,1)的直線與雙曲線y21相交于a，b兩點，且p是線段ab的中點，求直線ab的方程方法提煉1當直線與圓錐曲線相交時，涉及的問題有弦長問題、弦的中點等問題，解決辦法是把直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立，消元后得到關于x(或y)的一元二次方程，設而不求，利用根與系數(shù)的關系解決問題2要靈活應用弦長公式和點差法請做演練鞏固提升2三、最值與定值問題【例31】已知橢圓c經(jīng)過點a，兩個焦點為(1,0)，(1,0)(1)求橢圓c的方程；(2)e，f是橢圓c上的兩個動點，如果直線ae的斜率與af的斜率互為相反數(shù)，證明直線ef的斜率為定值，并求出這個定值【例32】(2012浙江高考)如圖，在直角坐標系xoy中，點p到拋物線c：y22px(p0)的準線的距離為.點m(t,1)是c上的定點，a，b是c上的兩動點，且線段ab被直線om平分(1)求p，t的值；(2)求abp面積的最大值方法提煉圓錐曲線中常見最值問題及解題方法(1)圓錐曲線中的最值問題大致可分為兩類：涉及距離、面積的最值以及與之相關的一些問題；求直線或圓錐曲線中幾何元素的最值以及這些元素存在最值時確定與之有關的一些問題(2)求最值常見的解法有兩種：幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，則考慮利用圖形性質來解決；代數(shù)法，若題目的條件和結論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關系，則可先建立起目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值提醒：求最值問題時，一定要注意特殊情況的討論，如直線斜率不存在的情況，二次三項式最高次項的系數(shù)的討論等請做演練鞏固提升3巧用韋達定理解圓錐曲線問題【典例】(12分)(2012重慶高考)如圖，設橢圓的中心為原點o，長軸在x軸上，上頂點為a，左、右焦點分別為f1，f2，線段of1，of2的中點分別為b1，b2，且ab1b2是面積為4的直角三角形(1)求該橢圓的離心率和標準方程；(2)過b1作直線交橢圓于p，q兩點，使pb2qb2，求pb2q的面積規(guī)范解答：(1)設所求橢圓的標準方程為1(ab0)，右焦點為f2(c,0)因ab1b2是直角三角形且|ab1|ab2|，故b1ab2為直角，從而|oa|ob2|，即b.(2分)結合c2a2b2得4b2a2b2，故a25b2，c24b2，所以離心率e.(3分)在rtab1b2中，oab1b2，故|b1b2|oa|ob2|oa|bb2，由題設條4得b24，從而a25b220.因此所求橢圓的標準方程為1.(5分)(2)由(1)知b1(2,0)，b2(2,0)由題意，直線pq的傾斜角不為0，故可設直線pq的方程為xmy2.代入橢圓方程得(m25)y24my160.(*)(7分)設p(x1，y1)，q(x2，y2)，則y1，y2是上面方程的兩根，因此y1y2，y1y2.又(x12，y1)，(x22，y2)，所以(x12)(x22)y1y2(my14)(my24)y1y2(m21)y1y24m(y1y2)1616.(9分)由pb2qb2，知0，即16m2640，解得m2.(10分)當m2時，方程(*)化為9y28y160，故y1，y2，|y1y2|，pb2q的面積s|b1b2|y1y2|.當m2時，同理可得(或由對稱性可得)pb2q的面積s.綜上所述，pb2q的面積為.(12分)答題指導：解決直線與圓錐曲線的綜合問題時，要注意以下幾點：1快速尋求出a，b，c，確定圓錐曲線方程；2充分利用韋達定理進行巧妙處理；3涉及平面向量運算時，一定要注意平面幾何性質的運用，例如垂直、中點等1(2012遼寧高考)已知p，q為拋物線x22y上兩點，點p，q的橫坐標分別為4，2，過p，q分別作拋物線的切線，兩切線交于點a，則點a的縱坐標為()a1 b3c4 d82已知f1，f2分別是雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點，過f1作垂直于x軸的直線交雙曲線于a，b兩點，若abf2為銳角三角形，則雙曲線的離心率的范圍是()a(1,1)b(1，)c(1，1)d(，1)3橢圓1(ab0)與直線xy10相交于p，q兩點，且opoq(o為原點)(1)求證：等于定值；(2)若橢圓的離心率e，求橢圓長軸長的取值范圍4(2012遼寧高考)如圖，動圓c1：x2y2t2,1t3，與橢圓c2：y21相交于a，b，c，d四點，點a1，a2分別為c2的左，右頂點(1)當t為何值時，矩形abcd的面積取得最大值？并求出其最大面積；(2)求直線aa1與直線a2b交點m的軌跡方程參考答案基礎梳理自測知識梳理1相交相切相離2基礎自測1c解析：與拋物線相切有2條，與對稱軸平行有1條，共3條2a解析：由拋物線y24x知直線l2為其準線，焦點為f(1,0)由拋物線的定義可知動點p到直線l2的距離與p到焦點f(1,0)的距離相等，所以p到直線l1的距離與p到焦點f(1,0)的距離之和的最小值為焦點f(1,0)到直線l1的距離(如圖)，則d2.3b解析：過焦點f且斜率為1的直線方程為yx，與拋物線方程聯(lián)立可得y22pyp20，所以y1y22p4.所以p2，故準線方程為x1.4c解析：依題意知f(2,0)，所以直線的方程為yx2.聯(lián)立方程，得消去y，得x212x40.設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x24，x1x212，則|af|bf|(x12)(x22)|x1x2|8.5解析：右焦點(，0)，直線ab的方程為yx，由得5x28x80.設a(x1，y1)，b(x2，y2)，則x1x2，x1x2，|ab|.考點探究突破【例11】證法一：由消去y得1.整理，得(16m29)x232m(m1)x16m232m1280.(*)322m2(m1)24(16m29)(16m232m128)576(15m22m8)5760，方程(*)恒有實根原方程組恒有解故直線l與橢圓總有交點證法二：直線l的方程可化為m(x1)(y1)0，故直線l恒過x10和y10的交點a(1,1)又點a在橢圓1內(nèi)部，直線l與橢圓總有交點【例12】解法一：(1)依題意，可設橢圓c的方程為1(ab0)，且可知左焦點為f(2,0)，從而有解得又a2b2c2，所以b212.故橢圓c的方程為1.(2)假設存在符合題意的直線l，其方程為yxt.由得3x23txt2120.因為直線l與橢圓c有公共點，所以(3t)243(t212)0.解得4t4.另一方面，由直線oa與l的距離d4可得4，從而t2.由于24，4，所以符合題意的直線l不存在解法二：(1)依題意，可設橢圓c的方程為1(ab0)，且有解得b212或b23(舍去)從而a216.所以橢圓c的方程為1.(2)同解法一【例2】解：設點a，b的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x124y124，x224y224.，得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.p是線段ab的中點，x1x216，y1y22.2.直線ab的斜率為2.直線ab的方程為2xy150.【例31】解：(1)由題意，c1，可設橢圓方程為1.因為a在橢圓上，所以1，解得b23，b2(舍去)所以橢圓方程為1.(2)設直線ae的方程為yk(x1)，代入1，得(34k2)x24k(32k)x42120.設e(xe，ye)，f(xf，yf)，因為點a在橢圓上，所以xe，yekxek.又直線af的斜率與ae的斜率互為相反數(shù)，在上式中以k代替k，可得xf，yfkxfk.所以直線ef的斜率kef，即直線ef的斜率為定值，其值為.【例32】解：(1)由題意知得(2)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，線段ab的中點為q(m，m)由題意知，設直線ab的斜率為k(k0)由得(y1y2)(y1y2)x1x2，故k2m1.所以直線ab方程為ym(xm)，即x2my2m2m0.由消去x，整理得y22my2m2m0，所以4m4m20，y1y22m，y1y22m2m.從而|ab|y1y2|.設點p到直線ab的距離為d，則d.設abp的面積為s，則s|ab|d|12(mm2)|.由4m4m20，得0m1.令u，0u，則su(12u2)設s(u)u(12u2),0u，則s(u)16u2.由s(u)0，得u，所以s(u)maxs.故abp面積的最大值為.演練鞏固提升1c解析：如圖所示，由已知可設p(4，y1)，q(2，y2)，點p，q在拋物線x22y上，p(4,8)，q(2,2)又拋物線可化為yx2，yx，過點p的切線斜率為y4，過點p的切線為y84(x4)，即y4x8.又過點q的切線斜率為y2，過點q的切線為y22(x2)，即y2x2.聯(lián)立解得x1，y4，點a的縱坐標為4.2a解析：由abf2為銳角三角形得，tan1，即b22ac，c2a22ac.e22e10，解得1e1，又e1，1e1.3(1)證明：由消去y，得(a2b2)x22a2xa2(1b2)0.有兩個交點，0，即4a44(a2b2)a2(1b2)0a2b2(a2b21)0，ab0，a2b21.設p(x1，y1)，q(x2，y2)，則x1，x2是方程的兩實根x1x2，x1x2.由opoq，得x1x2y1y20.又y11x1，y21x2，得2x1x2(x1x2)10.式代入式，化簡得a2b22a2b2.2.等于定值(2)解：e，b2a2c2a2(1e2)a2b22a2b2，a2.e，e2.a