云南省德宏州潞西市芒市中學(xué)高中數(shù)學(xué) 2.1.1 指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算教學(xué)案 新人教A版必修1(1).doc

云南省德宏州潞西市芒市中學(xué)2014高中數(shù)學(xué) 2.1.1 指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算教學(xué)案 新人教a版必修1一、內(nèi)容及解析1、內(nèi)容：我們?cè)诔踔械膶W(xué)習(xí)過(guò)程中，已了解了整數(shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算性質(zhì)。從本節(jié)開(kāi)始我們將在回顧平方根和立方根的基礎(chǔ)上，類(lèi)比出正數(shù)的n次方根的定義，從而把指數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪。進(jìn)而推廣到有理數(shù)指數(shù)，在推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)，并將冪的運(yùn)算性質(zhì)由整體指數(shù)冪推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪。2、解析：為了讓學(xué)生在學(xué)習(xí)之外就感受到指數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，先給出兩個(gè)具體例子：米粒問(wèn)題和gdp的增長(zhǎng)問(wèn)題。這兩個(gè)問(wèn)題，既讓學(xué)生回顧了初中學(xué)過(guò)的整數(shù)指數(shù)冪，也讓學(xué)生感受到其中的函數(shù)模型，并且還有思想教育價(jià)值。二、目標(biāo)及解析1、目標(biāo)：（1）理解n次方根概念及n次方根的性質(zhì)；（2）會(huì)求或化簡(jiǎn)根指數(shù)為正整數(shù)時(shí)的根式；（3）通過(guò)具體的情境，引發(fā)學(xué)生思考，激發(fā)求知欲，讓學(xué)生感受探究未知世界的樂(lè)趣，從而培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài)情感。2、解析： 通過(guò)與初中所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行類(lèi)比，理解正整數(shù)指數(shù)冪的概念，進(jìn)而學(xué)習(xí)指數(shù)冪的性質(zhì)。掌握正整數(shù)指數(shù)冪和根式之間的互化，掌握正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生觀(guān)察分析、抽象類(lèi)比的能力。三、數(shù)學(xué)問(wèn)題診斷分析 （1）在教學(xué)時(shí)，要讓學(xué)生充分體會(huì)“當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)”這時(shí)學(xué)生最容易犯錯(cuò)誤。 （2）對(duì)結(jié)論“零的任何次方根都是零”，要啟發(fā)學(xué)生用n次方根的定義去理解，即：應(yīng)為,所以零的任何次方根都是零，即奇次方根、偶次方根都是零。四、教學(xué)支持條件根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，教學(xué)中要盡量創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持。五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）教學(xué)基本流程創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，引入新課新知探究例題講解練習(xí)鞏固小結(jié) 課外作業(yè)（二）導(dǎo)入新課如果讓1號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備2粒米，2號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備4粒米，3號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備6粒米，4號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備8粒米，5號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備10粒米， ，按這樣的規(guī)律，51號(hào)同學(xué)該準(zhǔn)備多少粒米？（學(xué)生回答后教師公布事先估算的數(shù)據(jù)：51號(hào)同學(xué)該準(zhǔn)備102粒米，大約5克重）如果改成讓1號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備2粒米，2號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備4粒米，3號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備8粒米，4號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備16粒米，5號(hào)同學(xué)準(zhǔn)備32粒米， ，按這樣的規(guī)律，51號(hào)同學(xué)該準(zhǔn)備多少粒米？大家能否估計(jì)一下51號(hào)同學(xué)該準(zhǔn)備的米有多重嗎？（教師公布事先估算的數(shù)據(jù)：51號(hào)同學(xué)所需準(zhǔn)備的大米約中1.2億噸?。?.2億噸是什么概念？根據(jù)2007年9月13日美國(guó)農(nóng)業(yè)部發(fā)布的最新數(shù)據(jù)顯示，20072008年度我國(guó)大米產(chǎn)量為1.27億噸，這就是說(shuō)51號(hào)同學(xué)所需準(zhǔn)備的大米相當(dāng)于20072008年度我國(guó)全年的大米產(chǎn)量！這是怎么回事呢？大家再來(lái)看課本p48的問(wèn)題1：根據(jù)國(guó)務(wù)院發(fā)展研究中心2000年發(fā)表的未來(lái)20年我國(guó)發(fā)展前景分析判斷，未來(lái)20年，我國(guó)gdp（國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值）年平均增長(zhǎng)率可望達(dá)到7.3，那么，在20012020年,各年的gdp可望為2000年的多少倍?如果我們把2000年的gdp看成是1個(gè)單位，2001年為第1年，那么：1年后（即2001年），我國(guó)的gdp渴望為2000的）倍；2年后（即2002年），我國(guó)的gdp渴望為2000的倍；3年后（即2003年），我國(guó)的gdp渴望為2000的 倍；4年后（即2004年），我國(guó)的gdp渴望為2000的 倍； 設(shè)x年后我國(guó)的gdp為2000年的y倍，那么 y=（三）新知探究問(wèn)題一：（1）什么是平方根？什么是立方根？一個(gè)數(shù)的平方根有幾個(gè)，立方根呢？（2）如，根據(jù)上面的結(jié)論我們又能得到什么呢？（3）根據(jù)上面的結(jié)論我們能得到一般性的結(jié)論嗎？（4）可否用一個(gè)式子表達(dá)呢？ 師生活動(dòng)：教師提示，引導(dǎo)學(xué)生回憶初中的時(shí)候已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的平方根、立方根是如何定義的，對(duì)照類(lèi)比平方根、立方根的定義解釋上面的式子，對(duì)問(wèn)題（2）的結(jié)論進(jìn)行引申和推廣，相互交流討論后回答，教師即使啟發(fā)學(xué)生，具體問(wèn)題一般化，歸納類(lèi)比出n次方根的概念，評(píng)價(jià)學(xué)生的思維。討論結(jié)果： （1）若，則x叫做a的平方根，正實(shí)數(shù)的平方根有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，如：4的平方根為，負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，同理，若，則x叫做a的立方根，一個(gè)數(shù)的立方根只有一個(gè)，如：-8的立方根為-2； （2）類(lèi)比平方根、立方根的定義，一個(gè)數(shù)的四次方等于a，則這個(gè)數(shù)叫a的四次方根。一個(gè)數(shù)的五次方等于a，則這個(gè)數(shù)叫a的五次方根。一個(gè)數(shù)的六次方等于a，則這個(gè)數(shù)叫a的六次方根。 （3）類(lèi)比（2）得到一個(gè)數(shù)的n次方等于a，則這個(gè)數(shù)叫a的n次方根； （4）用一個(gè)式子表達(dá)是，若，則x叫a的n次方根。問(wèn)題二：（1）你能根據(jù)n次方根的意義求出下列數(shù)的n次方根嗎？ 64的3次方根； -32的5方根；的3次方根； 4的2次方根； 16的4次方根；（2）對(duì)以上結(jié)果進(jìn)行分析、整理，可以得出什么結(jié)論？（3）問(wèn)題（2）中，既然方根有奇次的也有偶次的，數(shù)a有正有負(fù)，結(jié)論有一個(gè)的，也有兩個(gè)的，你能否總結(jié)一般規(guī)律呢？（4）任何一個(gè)數(shù)a的偶次方根是否存在呢？師生活動(dòng)：教師提示學(xué)生切實(shí)緊扣n次方根的概念，求一個(gè)數(shù)a的次方根，就是求出的哪個(gè)數(shù)的次方根等于，即使點(diǎn)撥學(xué)生，從數(shù)的分類(lèi)考慮，可以把具體的數(shù)寫(xiě)出來(lái)，觀(guān)察數(shù)的特點(diǎn)，對(duì)問(wèn)題（）中的結(jié)論，類(lèi)比推廣引申，考慮要全面，對(duì)回答正確的學(xué)生即使表?yè)P(yáng)，對(duì)回答不準(zhǔn)確的學(xué)生提示引導(dǎo)考慮問(wèn)題的思路。討論結(jié)果為：（1）因?yàn)榈牧⒎降扔?，的5次方等于-32，的立方等于，的平方等于4，的4次方等于16. 所以64的3次方根； -32的5方根；的3次方根；4的2次方根 ；16的4次方根分別是， -2，。（2）方根的指數(shù)是2，3，4，5，特點(diǎn)是奇數(shù)和偶數(shù)?？偟膩?lái)看，這些數(shù)包括正數(shù)，負(fù)數(shù)和零。（3）一個(gè)數(shù)a的偶次方根不一定存在，如負(fù)數(shù)的偶次方根就不存在，因?yàn)闆](méi)有一個(gè)數(shù)的偶次方是一個(gè)負(fù)數(shù)。類(lèi)比前面的平方根、立方根，結(jié)合剛才的討論，歸納出一般的情形，得到n次方根的性質(zhì)：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a的n次方根有兩個(gè)，是互為相反數(shù)，正的n次方根用表示，如果是負(fù)數(shù)，負(fù)的n次方根用-表示，正的n次方根與負(fù)的n次方根合并寫(xiě)成（a0）.n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)a的n次方根用符號(hào)表示。負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根；0的任何次方根都是零。上面的文字語(yǔ)言可用下面的式子表示：零的n次方根為零，記為?？梢钥闯鰯?shù)的平方根、立方根的性質(zhì)是n次方根的性質(zhì)的特例。（四）應(yīng)用示例例1：求下列各式的值：學(xué)生活動(dòng)：求某些式子的值，首先考慮的應(yīng)是什么，明確題目的要求是什么，都用到哪些知識(shí)，關(guān)鍵是啥，搞清這些之后，再針對(duì)每一個(gè)題目仔細(xì)分析。設(shè)計(jì)意圖：不注意n的奇偶性對(duì)式子的值的影響，是導(dǎo)致問(wèn)題出現(xiàn)的一個(gè)重要原因，要在理解的基礎(chǔ)上，記準(zhǔn)，記熟，會(huì)用，活用。（五）小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了：1、如果，那么x叫a的n次方根，其中，用式子表示，式子叫根式，其中a叫被開(kāi)方數(shù)，n叫根指數(shù)；（1）當(dāng)n為偶函數(shù)時(shí)，a的n次方根有兩個(gè)，是互為相反數(shù)，正的n次方根用表示，如果是負(fù)數(shù)，負(fù)的n次方根用表示，正的n次方根與負(fù)的n次方根合并寫(xiě)成（a0）.（2）n為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)a的n次方根用符號(hào)表示。（3）負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根，0的任何次方根都是零。2、n為奇數(shù)時(shí)，； n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)計(jì)意圖：回顧和總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。六、目標(biāo)檢測(cè)求下列各式的值：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課本中的原型習(xí)題考察學(xué)生對(duì)新知識(shí)的掌握程度。七、配餐作業(yè)a組1、 根式的概念：一般地，如果的 （1）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a的n次方根記作 ；（2）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)a n次方根，而正數(shù)a有 n次方根且互為 ，記作 。2、求出下列各式的值： 3、以下說(shuō)法正確的是 （ ）a. 正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù)b. 負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)c. 0的任何次方根都是零 d. a的n次方根用表示（以上n1且）4、求下列各式的值： 設(shè)計(jì)意圖：對(duì)課本中的習(xí)題作同等程度或降低程度的變式，考察學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握。預(yù)計(jì)完成時(shí)間20分鐘。b組1、下列各式中正確的是 （ ）2、化簡(jiǎn)下列各式： 設(shè)計(jì)意圖：適當(dāng)提高難度，考察學(xué)生的基本思維和數(shù)學(xué)思想方法。預(yù)計(jì)完成時(shí)間10分鐘。c組1、化簡(jiǎn)下列各式： 設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)的運(yùn)用有更深層次的理解，并會(huì)運(yùn)用知識(shí)解決稍微復(fù)雜的問(wèn)題。預(yù)計(jì)完成時(shí)間5分鐘。教學(xué)反思： 2.1.1 指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算（二）一、內(nèi)容及解析1、內(nèi)容：我們?cè)诔踔械膶W(xué)習(xí)過(guò)程中，已了解了整數(shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算性質(zhì)。從本節(jié)開(kāi)始我們將在回顧平方根和立方根的基礎(chǔ)上，類(lèi)比出正數(shù)的n次方根的定義，從而把指數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪。進(jìn)而推廣到有理數(shù)指數(shù)，在推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)，并將冪的運(yùn)算性質(zhì)由整體指數(shù)冪推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪。2、解析：本節(jié)安排的內(nèi)容蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如推廣的思想（指數(shù)冪運(yùn)算律的推廣）、類(lèi)比的思想、逼近的思想（有理數(shù)指數(shù)冪逼近無(wú)理數(shù)指數(shù)冪）、數(shù)形結(jié)合的思想（用指數(shù)函數(shù)的圖像研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)）等，同時(shí)，充分關(guān)注與實(shí)際問(wèn)題的結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。二、目標(biāo)及解析1、目標(biāo)：（1）理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念；（2）掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；（3）讓學(xué)生感受由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法（正整數(shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪有理數(shù)指數(shù)冪），通過(guò)一般化促進(jìn)學(xué)生在原有的基礎(chǔ)上自主建構(gòu)，從而增強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。2、解析： 掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化，滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，通過(guò)運(yùn)算訓(xùn)練，養(yǎng)成學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)，一絲不茍的學(xué)習(xí)習(xí)慣，讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)來(lái)自于生活，數(shù)學(xué)又服務(wù)于生活的哲理。三、數(shù)學(xué)問(wèn)題診斷分析解決實(shí)際問(wèn)題是不清楚問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，不會(huì)用基本的方法來(lái)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。對(duì)此可加入有針對(duì)性的教學(xué)實(shí)例，加強(qiáng)訓(xùn)練，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，不斷培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。四、教學(xué)支持條件根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，教學(xué)中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量，盡量利用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持。五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）教學(xué)基本流程創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，引入新課新知探究，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念例題講解小結(jié)（二）導(dǎo)入新課 碳14測(cè)年法。原來(lái)宇宙射線(xiàn)在大氣層中能夠產(chǎn)生放射性碳14，并與氧結(jié)合成二氧化碳后進(jìn)入所有活組織，先為植物吸收，再為動(dòng)物吸收，只要植物和動(dòng)物生存著，它們就會(huì)不斷地吸收碳14在機(jī)體內(nèi)保持一定的水平。而當(dāng)機(jī)體死亡后，即會(huì)停止吸收碳14，其組織內(nèi)的碳14便以約5730年的半衰期開(kāi)始衰變并消失。對(duì)于任何含碳物質(zhì)只要測(cè)定剩下的放射性碳14的含量，便可推斷其年代（半衰期：經(jīng)過(guò)一定的時(shí)間，變?yōu)樵瓉?lái)的一半）。引出本節(jié)課題：指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算之分?jǐn)?shù)指數(shù)冪。（三）新知探究問(wèn)題一：（1）整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是什么？（2）觀(guān)察以下式子，并總結(jié)出規(guī)律：a0 ; ; ; .（3）利用（2）的規(guī)律，你能表示下列式子嗎？（4）你能用方根的意義來(lái)解釋?zhuān)?）式嗎？（5）你能推廣到一般的情形嗎？ 師生活動(dòng)：學(xué)生回顧初中學(xué)習(xí)的整數(shù)指數(shù)冪及運(yùn)算性質(zhì)，仔細(xì)觀(guān)察，特別是每題的開(kāi)始和最后兩步的指數(shù)之間的關(guān)系，教師引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)方根的意義，用方根的意義加以解釋?zhuān)更c(diǎn)啟發(fā)學(xué)生類(lèi)比（2）的規(guī)律表示，借鑒（2）（3），我們把具體推廣到一般，對(duì)寫(xiě)正確的同學(xué)及時(shí)給1表?yè)P(yáng)，其他學(xué)生鼓勵(lì)提示。討論結(jié)果： （1）整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：無(wú)意義。 （2） 的5次方根； 的2次方根； ； 的2次方根。實(shí)質(zhì)上 ; ; ; 結(jié)果的a的指數(shù)是2，4，3，5分別寫(xiě)成了，形式上變了，本質(zhì)沒(méi)變。 根據(jù)4個(gè)式子的最后結(jié)果可以總結(jié)：當(dāng)根式的被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時(shí)，根式可以寫(xiě)成分?jǐn)?shù)作為指數(shù)的形式（分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式）。 （3）利用（2）的規(guī)律，。 （4）的四次方根是的三次方根是的五次方根是的n次方根是 結(jié)果表明方根的結(jié)果和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是相通的。 （5）如果a0，那么的n次方根可表示為 綜上所述，我們得到正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，教師板書(shū)： 規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是問(wèn)題二：（1）負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是怎樣規(guī)定的？（2）你能得出負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義嗎？（3）你認(rèn)為應(yīng)怎樣規(guī)定零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義？（4）綜合上述，如何規(guī)定分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義？（5）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義中，為什么規(guī)定a0，去掉這個(gè)規(guī)定會(huì)產(chǎn)生什么樣的后果？（6）既然指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)是否也適用于有理數(shù)指數(shù)冪呢？師生活動(dòng)：學(xué)生回想初中學(xué)習(xí)的情形，結(jié)合自己的學(xué)習(xí)體會(huì)回答，根據(jù)零的整數(shù)指數(shù)冪的意義和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義來(lái)類(lèi)比，把正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義融合起來(lái)，與整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)類(lèi)比可得有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，教師在黑板上板書(shū)，學(xué)生合作交流，以具體的實(shí)例說(shuō)明a0的必要性，教師及時(shí)作出評(píng)價(jià)。討論結(jié)果為：（1）負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是：。（2）既然負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是這樣規(guī)定的，類(lèi)比正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義可得正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義。規(guī)定：正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是（3）規(guī)定：零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義（4）教師板書(shū)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義就是： 正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是 正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是 零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義。 （5）若沒(méi)有a0這個(gè)條件會(huì)怎樣呢？ 如具有同樣意義的兩個(gè)式子出現(xiàn)了截然不同的結(jié)果，這只說(shuō)明分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在底數(shù)小于零時(shí)是無(wú)意義的。因此在把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)時(shí)，切記要使底數(shù)大于零，如無(wú)a0的條件，比如式子，同時(shí)負(fù)數(shù)開(kāi)奇次方是有意義的，負(fù)數(shù)開(kāi)奇次方時(shí)，應(yīng)把符號(hào)移到根式的外邊，然后再按規(guī)定化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也就是說(shuō)，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在有意義的情況下總表示正數(shù)，而不是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)只是出現(xiàn)在指數(shù)上。（6）規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)。 有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)任意的有理數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)： 我們利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以解決一些問(wèn)題，來(lái)看下面的例題。（四）應(yīng)用示例例1：求值：師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生考慮解題的方法，利用冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算出數(shù)值或化成最簡(jiǎn)根式，根據(jù)題目要求，把底數(shù)寫(xiě)成冪的形式，8寫(xiě)成，利用有理數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)可以解答。設(shè)計(jì)意圖：本例主要考察冪值的運(yùn)算，要按規(guī)定來(lái)解，在進(jìn)行冪值運(yùn)算時(shí)，要首先考慮轉(zhuǎn)化為指數(shù)運(yùn)算，而不是首先轉(zhuǎn)化為熟悉的根式運(yùn)算，如例2：用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式：師生活動(dòng)：學(xué)生觀(guān)察、思考，根據(jù)解題的順序，把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再由冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)運(yùn)算，根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪時(shí)，要由里往外依次進(jìn)行，把握好運(yùn)算性質(zhì)和順序，學(xué)生討論交流自己的解題步驟，教師評(píng)價(jià)學(xué)生的解題情況，鼓勵(lì)學(xué)生注意總結(jié)。設(shè)計(jì)意圖：利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義和有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，其順序是先把根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再由冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)運(yùn)算。對(duì)于計(jì)算的結(jié)果，不強(qiáng)求統(tǒng)一用什么形式來(lái)表示，沒(méi)有特別的要求，就用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式來(lái)表示，但結(jié)果不能既有分?jǐn)?shù)指數(shù)又有根式，也不能既有分母又有負(fù)指數(shù)。例3：計(jì)算下列各式（式中字母都是正數(shù)）：師生活動(dòng)：先由學(xué)生觀(guān)察以下兩個(gè)式子的特征，然后分析，四則運(yùn)算的順序是先算乘方，再算乘除，最后算加減，右括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的，整數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)及運(yùn)算規(guī)律擴(kuò)充到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪后，其運(yùn)算順序人符合我們以前的四則運(yùn)算順序，再解答。同學(xué)之間相互交流，其中要注意到（1）小題是單項(xiàng)式的乘除運(yùn)算，可以用單項(xiàng)式的乘除法運(yùn)算順序進(jìn)行，要注意符號(hào)，第（2）小題是乘方運(yùn)算，可先按積的乘方計(jì)算，再按冪的乘方進(jìn)行計(jì)算，熟悉后可以簡(jiǎn)化步驟。設(shè)計(jì)意圖：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不表示相同因式的積，而是根式的另一種寫(xiě)法。有了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，就可以把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算了。（五）小結(jié)本節(jié)課學(xué)習(xí)了：1、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是： 正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是 正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是 零的正分?jǐn)?shù)次冪等于零，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義2、規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)。3、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)任意的有理數(shù)r，s，均有下面的運(yùn)算性質(zhì)： 4、說(shuō)明兩點(diǎn)： （1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是一種規(guī)定，我們前面所舉的例子只是表明這種規(guī)定的合理性，其中沒(méi)有退推出關(guān)系； （2）整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于任意的有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用。因而分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以互化，也可以利用來(lái)計(jì)算。設(shè)計(jì)意圖：回顧和總結(jié)本節(jié)課的主要內(nèi)容。六、目標(biāo)檢測(cè)課本p54 練習(xí) 2課本p59 習(xí)題2.1 a組 2，3，4設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課本中的原型習(xí)題考察學(xué)生運(yùn)用新知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的掌握程度。七、配餐作業(yè)a組1、（1）正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是 ； （2）正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是 ； （3）零的正分?jǐn)?shù)次冪等于 ，零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 。2、用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式： （1）； （2）； （3）； （4）3、用分時(shí)指數(shù)冪表示下列下列各式：（1）； （2）； （3）設(shè)計(jì)意圖：對(duì)課本中的習(xí)題作同等程度或降低程度的變式，考察學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握。預(yù)計(jì)完成時(shí)間20分鐘。b組1、計(jì)算下列各式（式中各字母均為正數(shù)）： （1）； （2）； （3）； （4）2、計(jì)算下列各式： （1）； （2）設(shè)計(jì)意圖：適當(dāng)提高難度，考察學(xué)生的基本思維和數(shù)學(xué)思想方法。預(yù)計(jì)完成時(shí)間15分鐘。c組1、下列運(yùn)算中正確的是 （ ） a. ； b. ； c. ； d.2、下列各式 ； ； ； （各式的）中，有意義的是 （ ） a. b. c. d. 3、把根式改寫(xiě)成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為 （ ） a. b. c. d. 4、計(jì)算下列各式（式中各字母均為正數(shù)）： （1）； （2）； （3）； （4）設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生對(duì)函數(shù)的畫(huà)法和對(duì)函數(shù)的運(yùn)用有更深層次的理解，并會(huì)運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決稍微復(fù)雜的問(wèn)題。預(yù)計(jì)完成時(shí)間15分鐘。教學(xué)反思： 2.1.1 指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算（三）一、內(nèi)容及解析1、內(nèi)容：我們?cè)诔踔械膶W(xué)習(xí)過(guò)程中，已了解了整數(shù)指數(shù)冪的概念和運(yùn)算性質(zhì)。從本節(jié)開(kāi)始我們將在回顧平方根和立方根的基礎(chǔ)上，類(lèi)比出正數(shù)的n次方根的定義，從而把指數(shù)推廣到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪。進(jìn)而推廣到有理數(shù)指數(shù)，在推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)，并將冪的運(yùn)算性質(zhì)由整體指數(shù)冪推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪。2、解析：本節(jié)安排的內(nèi)容蘊(yùn)涵了許多重要的數(shù)學(xué)思想方法，如推廣的思想（指數(shù)冪運(yùn)算律的推廣）、類(lèi)比的思想、逼近的思想（有理數(shù)指數(shù)冪逼近無(wú)理數(shù)指數(shù)冪）、數(shù)形結(jié)合的思想（用指數(shù)函數(shù)的圖像研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)）等，同時(shí)，充分關(guān)注與實(shí)際問(wèn)題的結(jié)合，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值。二、目標(biāo)及解析1、目標(biāo)：（1）理解無(wú)理指數(shù)冪的意義；（2）體驗(yàn)“用有理數(shù)逼近無(wú)理數(shù)”的思想引進(jìn)無(wú)理指數(shù)冪的過(guò)程；（3）讓學(xué)生感受探究未知世界的樂(lè)趣，從而培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的情感。2、解析： 通過(guò)訓(xùn)練及點(diǎn)評(píng)，讓學(xué)生更能熟練掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)。展示函數(shù)圖像，讓學(xué)生通過(guò)觀(guān)察，進(jìn)而研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美和統(tǒng)一美。三、數(shù)學(xué)問(wèn)題診斷分析解決實(shí)際問(wèn)題是不清楚問(wèn)題的實(shí)質(zhì)，不會(huì)用基本的方法來(lái)解決實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。對(duì)此可加入有針對(duì)性的教學(xué)實(shí)例，加強(qiáng)訓(xùn)練，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，不斷培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。四、教學(xué)支持條件根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的特點(diǎn)，教學(xué)中要注意發(fā)揮信息技術(shù)的力量，盡量利用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維提供支持。五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）教學(xué)基本流程創(chuàng)設(shè)問(wèn)題，引入新課新知探究例題講解小結(jié)（二）導(dǎo)入新課 同學(xué)們，既然我們把指數(shù)從正整數(shù)推廣到了整數(shù)，又從整數(shù)推廣到正分?jǐn)?shù)到負(fù)分?jǐn)?shù)，這樣指數(shù)就推廣到有理數(shù)，那么它是否也和數(shù)的推廣一樣，到底有沒(méi)有無(wú)理數(shù)指數(shù)冪呢？回顧數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程，自然數(shù)到整數(shù)，整數(shù)到分?jǐn)?shù)（有理數(shù)），有理數(shù)到實(shí)數(shù)。并且知道，在有理數(shù)到實(shí)數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程中，增添的數(shù)是實(shí)數(shù)。對(duì)無(wú)理數(shù)指數(shù)冪，也是這樣擴(kuò)充而來(lái)。既然如此，我們這節(jié)課的主要內(nèi)容是：教師板書(shū)本堂課的課題：指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算之無(wú)理數(shù)指數(shù)冪。（三）新知探究問(wèn)題一：（1）我們知道1.414 213 56，那么1.41，1.414，1.4142，1.41421，是的什么近似值？而1.42，1.415，1.4143，1.41422，是的什么近似值？（2）請(qǐng)同學(xué)么看課本p53的這兩個(gè)表，能發(fā)現(xiàn)什么樣的規(guī)律？（3）你能給上述思想起個(gè)名字嗎？（4）一個(gè)正數(shù)的無(wú)理數(shù)次冪到底是一個(gè)什么性質(zhì)的數(shù)呢？如，根據(jù)你學(xué)過(guò)的知識(shí)，能作出判斷并合理的解釋嗎？（5）借助上面的結(jié)論你能說(shuō)出一般性的結(jié)論嗎?師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)，學(xué)生回憶，教師提問(wèn)，學(xué)生回答，積極交流，及時(shí)評(píng)價(jià)學(xué)生，學(xué)生有困惑時(shí)加以解釋。問(wèn)題（1）從近似值的分類(lèi)來(lái)考慮，一方面從大于的方向，另一方面從小于的方向。問(wèn)題（2）對(duì)圖表的觀(guān)察一方面從上往下看，在一方面從作向右看，注意其關(guān)聯(lián)。問(wèn)題（3）上述方法實(shí)際上是無(wú)限接近，最后是逼近。問(wèn)題（4）對(duì)問(wèn)題給予大膽猜測(cè)，從數(shù)軸的觀(guān)點(diǎn)加以解釋。問(wèn)題（5）在（3）（4）的基礎(chǔ)上，推廣到一般的情形，即由特殊到一般。討論結(jié)果： （1）1.41，1.414，1.4142，1.41421，這些數(shù)都小于，稱(chēng)的不足近似值，而1.42，1.415，1.4143，1.41422，這些數(shù)都大于，稱(chēng)的過(guò)剩近似值。 （2）第一個(gè)表：從大于的方向逼近時(shí)，就從，即大于的方向逼近；第二個(gè)表：從小于的方向逼近時(shí)，就從，即下于的方向逼近。從另一個(gè)角度看這個(gè)問(wèn)題，在數(shù)軸上近似地表示這些點(diǎn)，數(shù)軸上的數(shù)字表明一方面從，即小于的方向接近，而另一方面從，即大于的方向接近，可以說(shuō)從兩個(gè)方向無(wú)限的接近，及逼近，所以是一串有理數(shù)指數(shù)冪，和另一串有理數(shù)指數(shù)冪，按上述變化規(guī)律變化的結(jié)果，事實(shí)上表示這些數(shù)的點(diǎn)從兩個(gè)方向表示的點(diǎn)靠近，但這個(gè)點(diǎn)一定在數(shù)軸上，由此我們可得到的結(jié)論是一定是一個(gè)實(shí)數(shù)，即。充分表明是一個(gè)實(shí)數(shù)。 （3）逼近思想，事實(shí)上里面含有極限的思想，這時(shí)以后要學(xué)的知識(shí)。 （4）根據(jù)（2）（3）我們可以推斷是一個(gè)實(shí)數(shù)，猜測(cè)一個(gè)正數(shù)的無(wú)理數(shù)次冪是一個(gè)實(shí)數(shù)。 （5）無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義：一般的，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)。也就是說(shuō)無(wú)理數(shù)可以作為指數(shù)，并且它的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)，這樣指數(shù)概念又一次得到推廣，在數(shù)的擴(kuò)充過(guò)程中，我們知道有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)。我們規(guī)定了無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義，知道它是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，結(jié)合前面的有理數(shù)指數(shù)冪，那么，指數(shù)冪就從有理數(shù)指數(shù)冪擴(kuò)充到實(shí)數(shù)指數(shù)冪。問(wèn)題二：（1）為什么在規(guī)定無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的意義時(shí)，必須規(guī)定底數(shù)是正數(shù)？（2）無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則是怎樣的？是否與有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則相通呢？（3）你能給出實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則嗎？師生活動(dòng)：教師組織學(xué)生互助合作，交流探討，引導(dǎo)他們用反例說(shuō)明問(wèn)題，注意類(lèi)比、歸納。對(duì)問(wèn)題（1）回顧我們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義時(shí)對(duì)底數(shù)的規(guī)定，舉例說(shuō)明。對(duì)問(wèn)題（2）結(jié)合有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，既然無(wú)理數(shù)指數(shù)冪是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)，那么無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則應(yīng)當(dāng)與有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則類(lèi)似，并且相通。對(duì)問(wèn)題（3）有了有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則和無(wú)理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，實(shí)數(shù)的運(yùn)