高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 2.4 等比數(shù)列 2.4.2 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用課件 新人教A版必修5.ppt

2 4 2等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 等比數(shù)列的常用性質(zhì) 1 若m n p q m n p q n 則am an ap aq 特例 若m n 2p m n p n 則am an 2 an am qn m m n n 3 在等比數(shù)列 an 中 每隔k項取出一項 取出的項 按原來順序組成新數(shù)列 該數(shù)列仍然是等比數(shù)列 公比為qk 1 4 數(shù)列 an 為等比數(shù)列 則數(shù)列 an 為不等于0的常數(shù) 仍然成等比數(shù)列 5 等比數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)a1 0 q 1或a10 01時 數(shù)列 an 為遞減數(shù)列 當(dāng)q 1時 數(shù)列 an 為常數(shù)列 當(dāng)q 0時 數(shù)列 an 為擺動數(shù)列 練一練1已知在等比數(shù)列 an 中 若a1a9 9 則a4a6 a 3b 3c 9d 9答案 c練一練2已知數(shù)列 an 是遞增的等比數(shù)列 a2 2 a4 8 則公比q 解析 a2 2 a4 8 q2 4 q 2 又?jǐn)?shù)列 an 是遞增數(shù)列 q 2 答案 2 探究一 探究二 探究三 探究一等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用等比數(shù)列中的有些計算比較麻煩 但適當(dāng)?shù)乩玫缺葦?shù)列的性質(zhì) 可以簡化計算 典型例題1已知數(shù)列 an 為等比數(shù)列 1 若an 0 且a2a4 2a3a5 a4a6 25 求a3 a5的值 2 若a1 a2 a3 7 a1a2a3 8 求數(shù)列 an 的通項公式 思路分析 利用等比數(shù)列的通項及性質(zhì)求解 探究一 探究二 探究三 解 1 a2a4 2a3a5 a4a6 25 且數(shù)列 an 是等比數(shù)列 又an 0 a3 a5 5 探究一 探究二 探究三 變式訓(xùn)練1 已知遞增的等比數(shù)列 an 中 a2 a8 3 a3 a7 2 則 解析 an 是遞增的等比數(shù)列 a3a7 a2a8 2 又a2 a8 3 a2 a8是方程x2 3x 2 0的兩根 則a2 1 a8 2 q6 2 q3 答案 探究一 探究二 探究三 探究二靈活設(shè)項求解等比數(shù)列在等比數(shù)列中 靈活設(shè)項是非常重要的 一般來說 當(dāng)三個數(shù)成等比數(shù)列時 可設(shè)這三個數(shù)分別為a aq aq2或 a aq 此時公比為q 當(dāng)四個數(shù)成等比數(shù)列時 可設(shè)這四個數(shù)分別為a aq aq2 aq3 公比為q 當(dāng)四個數(shù)均為正 負(fù) 數(shù)時 可設(shè)為 aq aq3 公比為q2 探究一 探究二 探究三 典型例題2有四個數(shù) 其中前三個數(shù)成等差數(shù)列 后三個數(shù)成等比數(shù)列 并且第一個數(shù)和第四個數(shù)的和是16 中間兩個數(shù)的和是12 求這四個數(shù) 思路分析 根據(jù)條件 用兩個未知數(shù)表示這四個數(shù) 探究一 探究二 探究三 所以 當(dāng)a 4 d 4時 所求四個數(shù)為0 4 8 16 當(dāng)a 9 d 6時 所求四個數(shù)為15 9 3 1 故所求四個數(shù)為0 4 8 16或15 9 3 1 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 變式訓(xùn)練2 三個數(shù)成等比數(shù)列 其積為512 若第一個數(shù)與第三個數(shù)各減去2 則這三個數(shù)成等差數(shù)列 求這三個數(shù) 探究一 探究二 探究三 探究三等差 等比數(shù)列的綜合問題1 解有關(guān)等差 等比數(shù)列有關(guān)的綜合問題時 應(yīng)注意以下方法與技巧的應(yīng)用 1 轉(zhuǎn)化思想 將非等差 比 數(shù)列轉(zhuǎn)化 構(gòu)造出新的等差 比 數(shù)列 以便于利用其公式和性質(zhì)解題 2 等差 比 數(shù)列公式和性質(zhì)的靈活應(yīng)用 3 當(dāng)題中有多個數(shù)列出現(xiàn)時 既要研究單一數(shù)列項與項之間的關(guān)系 又要關(guān)注各數(shù)列之間的相互聯(lián)系 4 注意求通項與求和的相互聯(lián)系 2 對于存在性問題 在解答時 應(yīng)先假設(shè)結(jié)論成立 然后結(jié)合已知條件運(yùn)算 推理 最后根據(jù)結(jié)果確定結(jié)論 探究一 探究二 探究三 典型例題3已知數(shù)列 an 的前n項和sn 3n2 5n 數(shù)列 bn 中 b1 8 64bn 1 bn 0 問是否存在常數(shù)c 使得對任意的正整數(shù)n n n an logcbn恒為常數(shù)m 若存在 求出常數(shù)c和m的值 若不存在 請說明理由 思路分析 先求出an與bn 假設(shè)存在c與m 利用n的任意性建立c m的方程 判斷解是否存在 探究一 探究二 探究三 解 sn 3n2 5n 當(dāng)n 2時 an sn sn 1 6n 2 而a1 s1 8適合上式 an 6n 2 bn 是首項為8 公比為8 2的等比數(shù)列 bn 8 8 2 n 1 83 2n 假設(shè)存在常數(shù)c和m 使an logcbn m恒成立 則6n 2 logc83 2n m 即 6 2logc8 n 2 3logc8 m對任意n n 恒成立 故存在常數(shù)c 2 使得對任意n n an logcbn恒為常數(shù)11 變式訓(xùn)練3 在等差數(shù)列 an 中 公差d 0 且a2是a1和a4的等比中項 已知成等比數(shù)列 求數(shù)列k1 k2 k3 kn的通項kn 解 由題意得 a1a4 即 a1 d 2 a1 a1 3d 又d 0 所以a1 d 又成等比數(shù)列 所以該數(shù)列的公比為所以 a1 3n 1 又 a1 kn 1 d kna1 所以kn 3n 1 所以數(shù)列 kn 的通項為kn 3n 1 探究一 探究二 探究三 12345 1 對任意等比數(shù)列 an 下列說法一定正確的是 a a1 a3 a9成等比數(shù)列b a2 a3 a6成等比數(shù)列c a2 a4 a8成等比數(shù)列d a3 a6 a9成等比數(shù)列解析 根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì) 若m n 2k m n k n 則am ak an成等比數(shù)列 即a3 a6 a9成等比數(shù)列 故選d 答案 d 12345 2 若1 a1 a2 4成等差數(shù)列 1 b1 b2 b3 4成等比數(shù)列 則的值等于 解析 1 a1 a2 4成等差數(shù)列 3 a2 a1 4 1 a2 a1 1 又1 b1 b2 b3 4成等比數(shù)列 設(shè)其公比為q 則 1 4 4 且b2 1 q2 0 b2 2 答案 a 12345 3 若等比數(shù)列 an 滿足a2a4 則 解析 數(shù)列 an 是等比數(shù)列 a1a5 a1a5 a2a4 a2a4 a2a4 2 答案 12345 4 在等比數(shù)列 an 中 a1 a2 30 a3 a4 120 則a5 a6