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全國181套中考數(shù)學(xué)試題分類解析匯編專題23:二次函數(shù)的應(yīng)用(實(shí)際問題)1、 選擇題1.(山東濟(jì)南3分)豎直向上發(fā)射的小球的高度h(m)關(guān)于運(yùn)動時間t(s)的函數(shù)表達(dá)式為ht2t,其圖象如圖所示若小球在發(fā)射后第2s與第6s時的高度相等,則下列時刻中小球的高度最高的是第a3s b3.5s c4.2s d6.5s【答案】c?!究键c(diǎn)】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)?!痉治觥啃∏蛟诎l(fā)射后第2s與第6s時的高度相等,小球在發(fā)射后第4s時的高度最高。看所給時刻中小球的高度最高的只要看那個時刻離4s最近,而4.2s離4s最近,故4.2s是所給時刻中小球的高度最高的。故選c。2(河北省3分)一小球被拋出后,距離地面的高度h (米)和飛行時間t (秒)滿足下面函數(shù)關(guān)系式:h=5(t1)2+6,則小球距離地面的最大高度是 a、1米b、5米 c、6米d、7米【答案】c?!究键c(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用,二次函數(shù)的最值?!痉治觥扛叨萮和飛行時間t 滿足函數(shù)關(guān)系式:h=5(t1)2+6,當(dāng)t=1時,小球距離地面高度最大,h=6米。故選c。3.(廣西梧州3分)2011年5月22日29日在美麗的青島市舉行了蘇迪曼杯羽毛球混合團(tuán)體錦標(biāo)賽在比賽中,某次羽毛球的運(yùn)動路線可以看作是拋物線y=x2+bx+c的一部分(如圖),其中出球點(diǎn)b離地面o點(diǎn)的距離是1m,球落地點(diǎn)a到o點(diǎn)的距離是4m,那么這條拋物線的解析式是(a)y=x2+x+1 (b)y=x2+x1 (c)y=x2x+1 (d)y=x2x1【答案】a?!究键c(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用,點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系?!痉治觥坑梢阎c(diǎn)a和b的坐標(biāo)分別為(4,0),(0,1)。根據(jù)點(diǎn)在拋物線上,點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程的關(guān)系將它們分別代入拋物線y=x2+bx+c可求出b,c1。因此這條拋物線的解析式是y=x2+x+1。故選a。4.(湖南株洲3分)某廣場有一噴水池,水從地面噴出,如圖,以水平地面為軸,出水點(diǎn)為原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系,水在空中劃出的曲線是拋物線(單位:米)的一部分,則水噴出的最大高度是a米 b米c米 d米【答案】a?!究键c(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用?!痉治觥扛鶕?jù)題意可以得到噴水的最大高度就是水在空中劃出的拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo),利用配方法或公式法求得其頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)即可:,拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為:(2,4),噴水的最大高度為4米。故選a。5.(山東聊城3分)某公園草坪的防護(hù)欄由100段形狀相同的拋物線形構(gòu)件組成,為了牢固起見,每段護(hù)欄需要間距0.4m加設(shè)一根不銹鋼的支柱,防護(hù)欄的最高點(diǎn)距底部0.5m(如圖),則這條防護(hù)欄需要不銹鋼支柱的總長度至少為a50m b100m c160m d200m【答案】c。【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用?!痉治觥拷⑷鐖D所示的直角坐標(biāo)系,由于拋物線的頂點(diǎn)為(0,0.5),所以可設(shè)拋物線函數(shù)表達(dá)式為。則由于點(diǎn)(1,0)在拋物線上,代入后得,從而拋物線函數(shù)表達(dá)式為。當(dāng)時,;當(dāng)時,。則這條防護(hù)欄需要不銹鋼支柱的總長度至少為:1002(0.480.32)160(m)。故選c。6.(青海西寧3分)西寧中心廣場有各種音樂噴泉,其中一個噴水管的最大高度為3米,此時距噴水管的水平距離為米,在如圖所示的坐標(biāo)系中,這個噴泉的函數(shù)關(guān)系式是ay(x)23by3(x)23cy12(x)23dy12(x)23【答案】c?!究键c(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用。【分析】一支高度為1米的噴水管噴水的最大高度為3米,此時噴水水平距離為米,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(,3)。設(shè)拋物線的解析式為y=a(x )23,而拋物線還經(jīng)過(0,0),0=a()23,a=12。拋物線的解析式為y12(x)23。故選c。二、填空題1.(湖南懷化3分)出售某種手工藝品,若每個獲利元,一天可售出個,則當(dāng)= 元,一天出售該種手工藝品的總利潤最大 【答案】4?!究键c(diǎn)】二次函數(shù)的最值【分析】依題意得與的函數(shù)關(guān)系式=(8)=28,化為頂點(diǎn)式為=(4)216, 當(dāng)=4時,取得最大值。三、解答題1. (天津8分) 注意:為了使同學(xué)們更好她解答本題,我們提供了種分析問題的方法,你可以依照這個方法按要求完成本題的解答也可以選用其他方法,按照解答題的一般要求進(jìn)行解答即可 某商品現(xiàn)在的售價為每件35元每天可賣出50件市場調(diào)查反映:如果調(diào)整價格每降價1元,每天可多賣出2件請你幫助分析,當(dāng)每件商品降價多少元時,可使每天的銷售額最大,最大銷售額是多少?設(shè)每件商品降價元每天的銷售額為元(i) 分析:根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系用含的式子填表: () (由以上分析,用含的式子表示,并求出問題的解) 【答案】解:() ()根據(jù)題意,每天的銷售額 整理配方,得。 當(dāng)=5時,取得最大值1800。 答:當(dāng)每件商品降價5元時,可使每天的銷售額最大,最大銷售額為l 800元。【考點(diǎn)】列函數(shù)關(guān)系式,二次函數(shù)的應(yīng)用。【分析】()根據(jù)題意,可分析出結(jié)果。 ()列函數(shù)關(guān)系式是找出等量關(guān)系: 每天的銷售額=每件售價每天銷量 求每件商品降價多少元時的每天的銷售額最大和最大銷售額是多少,只要把二次函數(shù)變形為頂點(diǎn)式的形式即可求出。 ()列函數(shù)關(guān)系式是找出等量關(guān)系: 每天的銷售額=每件售價每天銷量 求每件商品降價多少元時的每天的銷售額最大和最大銷售額是多少,只要把二次函數(shù)變形為頂點(diǎn)式的形式即可求出。2.(黑龍江哈爾濱3分)手工課上,小明準(zhǔn)備做一個形狀是菱形的風(fēng)箏,這個菱形的兩條對角線長度之和恰好為60cm,菱形的面積s(單位:cm2)隨其中一條對角線的長 (單位:cm)的變化而變化 (1)請直接寫出s與x之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍); (2)當(dāng)是多少時,菱形風(fēng)箏面積s最大?最大面積是多少? 【答案】解:(1)。(2)把化為頂點(diǎn)式:0,當(dāng)時,s有最大值,最大值為450。當(dāng)為30cm時,菱形風(fēng)箏的面積最大,最大面積是450cm 2?!究键c(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用,菱形的性質(zhì),二次函數(shù)的最值?!痉治觥浚?)根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半,即可得出s與之間的函數(shù)關(guān)系式。(2)把二次函數(shù)化為頂點(diǎn)式,根據(jù)二次函數(shù)的最值原理,即可求出。3.(黑龍江大慶7分)某商店購進(jìn)一批單價為8元的商品,如果按每件10元出售,那么每天可銷售100件經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn),這種商品的銷售單價每提高1元,其銷售量相應(yīng)減少10件將銷售價定為多少時,才能使每天所獲利潤最大?最大利潤是多少?【答案】解:設(shè)銷售單價定為元(),每天所獲利潤為元,則 將銷售定價定為14元時,每天所獲利潤最大,且最大利潤是360元。【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用?!痉治觥扛鶕?jù)題意列出二次函數(shù),將函數(shù)化為頂點(diǎn)式,便可知當(dāng)=14時,所獲得的利潤最大。4.(江蘇徐州8分)某網(wǎng)店以每件60元的價格進(jìn)一批商品, 若以單價80元銷售,每月可售出300件, 調(diào)查表明:單價每上漲1元,該商品每月的銷量就減少10件。(1)請寫出每月銷售該商品的利潤(元)與單價上漲(元)間的函數(shù)關(guān)系式;(2)單價定為多少元時,每月銷售該商品的利潤最大?最大利潤為多少?【答案】解:(1)每月銷售該商品的利潤(元)與單價上漲(元)間的函數(shù)關(guān)系式為。 (2) 當(dāng)時,即單價定為85元時,每月銷售該商品的利潤最大,最大利潤為6250元?!究键c(diǎn)】列二次函數(shù)關(guān)系式,二次函數(shù)的頂點(diǎn)式,求二次函數(shù)的最大(?。┲??!痉治觥浚?)關(guān)鍵是找出等量關(guān)系:利潤=收入成本,即 (2)根據(jù)二次函數(shù)的最大(?。┲档母拍?,二次函數(shù)故只要通過配方法把化為即可。5.(江蘇常州、鎮(zhèn)江7分)某商店以6元/千克的價格購進(jìn)某種干果1140千克,并對其進(jìn)行篩選分成甲級干果與乙級干果后同時開始銷售。這批干果銷售結(jié)束后,店主從銷售統(tǒng)計中發(fā)出:甲級干果與乙級干果在銷售過程中每天都有銷量,且在同一天賣完;甲級干果從開始銷售至銷售的第天的總銷量(千克)與的關(guān)系為;乙級干果從開始銷售至銷售的第天的總銷量(千克)與的關(guān)系為,且乙級干果的前三天的銷售量的情況見下表:123214469求、的值;若甲級干果與乙級干果分別以8元/千克的6元/千克的零售價出售,則賣完這批干果獲得的毛利潤是多少元?問從第幾天起乙級干果每天的銷量比甲級干果每天的銷量至少多6千克?(說明:毛利潤=銷售總金額-進(jìn)貨總金額。這批干果進(jìn)貨至賣完的過程中的損耗忽略不計)【答案】解:選取表中任兩組數(shù)據(jù),代入,得 , 解得,。 設(shè)甲級干果與乙級干果天銷完這批貨。 則有, 當(dāng) 毛利潤3998741611406798(元) 第天甲級干果的銷售量為 , 第天乙級干果的銷售量為 。 依題意有。答:從第7天起乙級干果每天的銷量比甲級干果每天的銷量至少多6千克?!究键c(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用,解二元一次方程組和一元一次不等式,待定系數(shù)法。【分析】用待定系數(shù)法得二元一次方程組直接求解。 列方程解應(yīng)用題。關(guān)鍵是找出等量關(guān)系: 天甲級干果銷量天乙級干果銷量總銷量 關(guān)鍵在表示第天干果的銷售量,然后列不等式求解。6(山東泰安10分)某商店經(jīng)營一種小商品,進(jìn)價為每件20元,據(jù)市場分析,在一個月內(nèi),售價定為25元時,可賣出105件,而售價每上漲1元,就少賣5件(1)當(dāng)售價定為30元時,一個月可獲利多少元?(2)當(dāng)售價定為每件多少元時,一個月的獲利最大?最大利潤是多少元?【答案】解:(1)獲利:(3020)1055(3025)=800。(2)設(shè)售價為每件元時,一個月的獲利為元,由題意,得=(20)1055(25)=523304600=5(33)2845。50,當(dāng)=33時,的最大值為845。故當(dāng)售價定為33元時,一個月的利潤最大,最大利潤是845元?!究键c(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用(銷售問題)?!痉治觥浚?)當(dāng)售價定為30元時,可知每一件賺10元錢,再有售價定為25元時,可賣出105件,而售價每上漲1元,就少賣5件可計算出一個月可獲利多少元。(2)設(shè)售價為每件元時,一個月的獲利為元,得到與的二次函數(shù)關(guān)系式求出函數(shù)的最大值即可。5.(湖北黃岡、鄂州12分隨州14分)我市某鎮(zhèn)的一種特產(chǎn)由于運(yùn)輸原因,長期只能在當(dāng)?shù)劁N售當(dāng)?shù)卣畬υ撎禺a(chǎn)的銷售投資收益為:每投入萬元,可獲得利潤p=(萬元)當(dāng)?shù)卣當(dāng)M在“十二五”規(guī)劃中加快開發(fā)該特產(chǎn)的銷售,其規(guī)劃方案為:在規(guī)劃前后對該項(xiàng)目每年最多可投人100萬元的銷售投資,在實(shí)施規(guī)劃5年的前兩年中,每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路,兩年修成,通車前該特產(chǎn)只能在當(dāng)?shù)劁N售;公路通車后的3年中,該特產(chǎn)既在本地銷售,也在外地銷售在外地銷售的投資收益為:每投入萬元,可獲利潤q=(萬元)(1)若不進(jìn)行開發(fā),求5年所獲利潤的最大值是多少?(2)若按規(guī)劃實(shí)施,求5年所獲利潤(扣除修路后)的最大值是多少?(3)根據(jù)(1)、(2),該方案是否具有實(shí)施價值?【答案】解:(1)每投入萬元,可獲得利潤p=(萬元),當(dāng)=60時,所獲利潤最大,最大值為41萬元。若不進(jìn)行開發(fā),5年所獲利潤的最大值是:415=205(萬元)。(2)前兩年:050,此時因?yàn)閜隨的增大而增大,所以=50時,p值最大,即這兩年的獲利最大為:2 =80(萬元)。后三年:設(shè)每年獲利,設(shè)當(dāng)?shù)赝顿Y額為,則外地投資額為100,=p+q=+=2+60+165=(30)2+1065。當(dāng)=30時,y最大且為1065。這三年的獲利最大為10653=3195(萬元)。5年所獲利潤(扣除修路后)的最大值是:80+3495502=3175(萬元)。(3)規(guī)劃后5年總利潤為3175萬元,不實(shí)施規(guī)劃方案僅為205萬元,故具有很大的實(shí)施價值?!究键c(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用(銷售問題)?!痉治觥浚?)由可獲得利潤p=(萬元),即可知當(dāng)=60時,p最大,最大值為41,繼而求得5年所獲利潤的最大值;(2)首先求得前兩年的獲利最大值,注意前兩年:050,此時因?yàn)閜隨的增大而增大,所以=50時,p值最大;然后后三年:設(shè)每年獲利y,設(shè)每年獲利,設(shè)當(dāng)?shù)赝顿Y額為,則外地投資額為100,即可得函數(shù)=p+q=+,整理求解即可求得最大值,則可求得按規(guī)劃實(shí)施,5年所獲利潤(扣除修路后)的最大值。(3)比較可知,該方案是具有極大的實(shí)施價值。6.(湖北荊門10分)2011年長江中下游地區(qū)發(fā)生了特大旱情,為抗旱保豐收,某地政府制定了農(nóng)戶投資購買抗旱設(shè)備的補(bǔ)貼辦法,其中購買型、型抗旱設(shè)備所投資的金額與政府補(bǔ)貼的額度存在下表所示的函數(shù)對應(yīng)關(guān)系. 型號金額型設(shè)備型設(shè)備投資金額(萬元)524補(bǔ)貼金額(萬元)22.43.2(1)分別求和的函數(shù)解析式;(2)有一農(nóng)戶同時對型、型兩種設(shè)備共投資10萬元購買,請你設(shè)計一個能獲得最大補(bǔ)貼金額的方案,并求出按此方案能獲得的最大補(bǔ)貼金額.【答案】解:(1)由題意得:5=2,=, 。, . 。 (2)設(shè)購型設(shè)備投資t萬元,購型設(shè)備投資(10t)萬元,共獲補(bǔ)貼q萬元。 , 。0,q有最大值,即當(dāng)時,q最大。 (萬元) 。即投資7萬元購型設(shè)備, 3萬元購型設(shè)備,共獲最大補(bǔ)貼5.8萬元?!究键c(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用,曲線圖上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系,二次函數(shù)的最值?!痉治觥浚?)根據(jù)圖表得出函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可。(2)根據(jù)得出關(guān)于的二次函數(shù),求出二次函數(shù)最值即可。7.(湖北咸寧9分)某農(nóng)機(jī)服務(wù)站銷售一批柴油,平均每天可售出20桶,每桶盈利40元為了支援我市抗旱救災(zāi),農(nóng)機(jī)服務(wù)站決定采取降價措施經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn):如果每桶柴油降價1元,農(nóng)機(jī)服務(wù)站平均每天可多售出2桶(1)假設(shè)每桶柴油降價元,每天銷售這種柴油所獲利潤為元,求與之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)每桶柴油降價多少元后出售,農(nóng)機(jī)服務(wù)站每天銷售這種柴油可獲得最大利潤?此時,與降價前比較,每天銷售這種柴油可多獲利多少元?【答案】解:(1)。 (2)當(dāng)時,有最大值1250因此,每桶柴油降價15元后出售,可獲得最大利潤。,與降價前比較,每天銷售這種柴油可多獲利450元?!究键c(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用?!痉治觥浚?)根據(jù)每桶柴油的利潤乘以銷售量等于銷售利潤,可以得到與的函數(shù)關(guān)系式。(2)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),用頂點(diǎn)式表示二次函數(shù),可以求出最大利用和降價數(shù)。8.(云南曲靖9分)一名男生推鉛球,鉛球行進(jìn)高度(單位:m)與水平距離(單位:m)之間的關(guān)系是,鉛球運(yùn)行路線如圖。(1)求鉛球推出的水平距離;(2)通過計算說明鉛球行進(jìn)高度能否達(dá)到4m?!敬鸢浮拷猓海?)由0,得,解之,得 (不合題意,舍去)。 鉛球推出的水平距離是10m。 (2), 函數(shù)的最大值為3m。 鉛球行進(jìn)高度不能達(dá)到4m。【考點(diǎn)】二次函數(shù)點(diǎn)的坐標(biāo)和性質(zhì)?!痉治觥浚?)根據(jù)點(diǎn)a在軸上,0即可求。 (2)根據(jù)二次函數(shù)最大值的求法,比較4m和函數(shù)的最大值的關(guān)系即可得出結(jié)論。9. (山東濱州12分)如圖,某廣場設(shè)計的一建筑物造型的縱截面是拋物線的一部分,拋物線的頂點(diǎn)o落在水平面上,對稱軸是水平線oc點(diǎn)a、b在拋物線造型上,且點(diǎn)a到水平面的距離ac4米,點(diǎn)b到水平面距離為2米,oc8米(1)請建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,求拋物線的函數(shù)解析式;(2)為了安全美觀,現(xiàn)需在水平線oc上找一點(diǎn)p,用質(zhì)地、規(guī)格已確定的圓形鋼管制作兩根支柱pa、pb對拋物線造型進(jìn)行支撐加固,那么怎
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