【名師解析】北京市海淀區(qū)2015屆高三上學(xué)期期中練習(xí)（數(shù)學(xué)理）.doc

教學(xué)資源網(wǎng) 世紀(jì)金榜 圓您夢想 2014-2015年海淀高三年級(jí)第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試卷解析【試卷結(jié)構(gòu)與特點(diǎn)】本次次海淀區(qū)的期中考試范圍與往年基本一致，即：集合、函數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、解三角形和數(shù)列。1.本次考試的試題結(jié)構(gòu)和高考的試題結(jié)構(gòu)一致，即選擇題8個(gè)，每題5分，填空題6個(gè)，每題5分，解答題6個(gè)，其中4題13分，另外兩題14分（高考中14分的題目為立體幾何和解析幾何，本次期中并未涉及這兩個(gè)知識(shí)內(nèi)容）。2.試卷總體難度與去年類似，但是難易程度的分布與去年期中考試不同，更類似于2014年的高考真題的難度分布，即常規(guī)基本問題的難度下降，產(chǎn)生了很多“送分題”；但是中檔問題考核方向不變，但是考核方法有所改變，增強(qiáng)了知識(shí)方法之間的綜合和深入理解知識(shí)后的靈活視同；對于難題而言，從命題和設(shè)問的角度可以看出，依舊本著考察數(shù)學(xué)思想、思維方法的方向，同時(shí)鼓勵(lì)歸納猜想的特征依舊在其中，想完成問題，需要對概念和方法有明確的認(rèn)識(shí)，而不是簡單記憶。值得注意的是，第8題和第14題的題目難度有所下降，同時(shí)，第20題也與往常不同，并不是以組合數(shù)學(xué)為核心的問題，而變成了函數(shù)和不等式的綜合考核，但思維方式類似。3.由于具備以上特征，本次考試相比之前的考試具有了更好的區(qū)分度，靠著對于題目“熟悉”才能入手的考生無法在此次考核中獲得較高的分?jǐn)?shù)，更加強(qiáng)調(diào)了知識(shí)和概念的理解，以及方法背后隱含的數(shù)學(xué)思想。通過以上分析，高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，題海戰(zhàn)術(shù)與高考的要求是相違背的，是一種低效的復(fù)習(xí)方式。應(yīng)在對基礎(chǔ)知識(shí)和概念的理解上多下工夫，思考和總結(jié)與做題并重，特別是要注重對重要數(shù)學(xué)思想和思維方法的訓(xùn)練和體會(huì)。【試卷分析】一、選擇題部分1.設(shè)集合，則（ ）A.B.C.D. 【分析】本題考查集合的表示與運(yùn)算，難度不大，掌握表示方法、了解運(yùn)算概念即可解決。集合的核心考察主要就集中在集合的表示和運(yùn)算上，常與基本的解不等式結(jié)合考察；同時(shí)還要強(qiáng)調(diào)，集合作為基本的數(shù)學(xué)語言，考生應(yīng)該注意掌握，可以讀懂用集合語言表述的答案，同時(shí)也可以靈活使用集合語言表述數(shù)學(xué)問題。【解】C.，通過數(shù)軸表示可知，兩個(gè)集合的公共部分為，即，故選C.2.已知向量，若，則（ ）A.B.C.D. 【分析】本題考察平面向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)表示下的點(diǎn)乘運(yùn)算（，），考核難度較低，屬于基本的運(yùn)算方法的考核。對于這部分的考核，考生需要注意，向量的坐標(biāo)表示和基本運(yùn)算屬于常規(guī)的運(yùn)算工具，考生應(yīng)該把重點(diǎn)放在這種運(yùn)算的應(yīng)用上，結(jié)合應(yīng)用之后的向量問題的難度較大，而且重點(diǎn)的難度不在于向量，多在基本的代數(shù)運(yùn)算，可以參考2013年重慶高考第10題?！窘狻緿.根據(jù)平面向量坐標(biāo)下的運(yùn)算法則，可知，求解方程可以得到，故選D.3.若等比數(shù)列滿足，且公比，則（ ）A.B.C.D.【分析】本題考察等比數(shù)列的基本性質(zhì)，難度不大，但入手角度較多。對于做題經(jīng)驗(yàn)較為豐富的同學(xué)，可以選擇猜想實(shí)驗(yàn)，即可以輕松發(fā)現(xiàn)本題的數(shù)列通項(xiàng)為，可以直接求得答案；或者使用等比數(shù)列的性質(zhì)去解決，這是一種經(jīng)典的“對應(yīng)項(xiàng)”問題，即與對應(yīng)，與對應(yīng)，則加和可以公比推導(dǎo)；亦或者使用等差等比數(shù)列中最基本的“基本量法”建立關(guān)于基本量和的方程，求解基本量取處理問題?！窘狻緾.方法一：根據(jù)觀察，數(shù)列可以為，即，那么，故選C.方法二：對于，又，則，故選C.方法三：對于，解方程可得，那么通項(xiàng)，可知，則，故選C.4.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（ ）A.向左平移個(gè)單位B.向左平移個(gè)單位 C.向右平移個(gè)單位D.向右平移個(gè)單位 【分析】本題考察三角函數(shù)的圖象變化的基本方法，難度中等，但是包含很多細(xì)節(jié)，容易導(dǎo)致考生失誤，常見的關(guān)注點(diǎn)有如下三點(diǎn)：（1）在自變量前存在系數(shù)時(shí)，要注意平移的大小，平移是針對于的變化，而不是函數(shù)內(nèi)部整體；（2）關(guān)注兩個(gè)圖象關(guān)系，哪個(gè)是原始的函數(shù)圖象，哪個(gè)是變化后的函數(shù)圖像，避免審題失誤；（3）關(guān)注變化前后圖象的函數(shù)名，若問題是從變?yōu)椋ɑ蚍粗?，要注意?yīng)先利用誘導(dǎo)公式變名后，再利用圖象變化原則進(jìn)行變化?！窘狻緽.首先分析哪個(gè)是原始函數(shù)，本題中，原始函數(shù)為，要將其變化為，明顯是利用替換，再根據(jù)“左加右減”的原則可知，應(yīng)該向左平移個(gè)單位，故選B.5.設(shè)，則（ ）A.B.C.D.【分析】本題是一種十分常見的考核方法，即數(shù)大小的比較，這類型問題處理方法主要有兩種：（1）利用函數(shù)單調(diào)性解決數(shù)的大小比較；（2）利用對數(shù)指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值的大小，與“分界點(diǎn)”進(jìn)行比較，得到結(jié)論。本題則需要使用方法（2），使用十分常規(guī)的“分界點(diǎn)”0和1,。這類型問題在近些年趨向于復(fù)雜，不單單只考核對數(shù)和指數(shù)，又是還會(huì)結(jié)合一些特殊的三角函數(shù)，例如，等；另外，也會(huì)出現(xiàn)一些不是0和1的“分界點(diǎn)”，如判斷和的大小時(shí)，選擇分界點(diǎn)才可以做出（）。【解】B.對于，則；對于，則；對于，則，那么可得，那么，故選B.6.設(shè)，則“且”是“”的（ ）A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件 C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件 【分析】本題是結(jié)合不等式的基本性質(zhì)考核充分必要條件，難度適中，充分必要條件是高考的必考題型之一，這類型的考核以充分必要條件為框架，結(jié)合不同的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考核，多是在考核這個(gè)結(jié)合著的知識(shí)點(diǎn)的細(xì)節(jié)，北京近兩年結(jié)合的都是數(shù)列的知識(shí)點(diǎn)，所以，充分必要條件問題的復(fù)習(xí)重點(diǎn)不應(yīng)該過多點(diǎn)的放在充分必要條件上，而是要放在其余的知識(shí)細(xì)節(jié)上?！窘狻緼.對于“且”的充分性考核，可以有兩種方法：第一種方法可以采用函數(shù)，由于，可知同號(hào)，對于函數(shù)而言，在和這兩個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，由于，則，即。第二種方法單純使用不等式性質(zhì)，由于，左右分別先同時(shí)除以，再同時(shí)除以，由于，則同號(hào)，若均大于，則兩次除法不變號(hào)，可得；若同時(shí)大于，則兩次除法變了兩次號(hào)，最終并沒有變化，同樣，那么可知條件“且”具有充分性。對于其必要性的考核，可以找出明顯的反例，即但，是明顯的反例，故不具備必要性。故選A.7.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）A.B. C.D.【分析】本題屬于常規(guī)的函數(shù)與方程的設(shè)問方法，利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來判斷方程根的個(gè)數(shù)，此處有三個(gè)不相等的實(shí)根本質(zhì)是的圖象和有三個(gè)交點(diǎn)。圖象交點(diǎn)的研究需要對于常見的圖象繪制了如指掌，同時(shí)，參數(shù)變化對于圖象的影響也需要掌握良好。就本題而言，綜合程度較高，但是仍然屬于常見的綜合問題，把切線、直線方程、分段函數(shù)、方程與函數(shù)的內(nèi)容通過圖象的載體結(jié)合在一起，本題需要注意切線起到的特殊作用，很多函數(shù)問題的“臨界點(diǎn)”都是切線，本題圖象如下圖所示：分段函數(shù)和過定點(diǎn)的直線在如上圖位置時(shí)恰好相切，此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，若直線斜率變大，則只存在一個(gè)交點(diǎn)，若直線斜率減小，則會(huì)出現(xiàn)三個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：但是，斜率不能無限下降，當(dāng)斜率等于時(shí)，就只存在一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)斜率繼續(xù)減小時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)不會(huì)超過1個(gè)?？芍獫M足條件的直線應(yīng)該在切線和的范圍內(nèi)。對于此類型問題，核心的處理方式類似，但在高三的復(fù)習(xí)中，務(wù)必關(guān)注切線的“臨界”作用。【解】D.根據(jù)上述分析，首先計(jì)算切線斜率，假設(shè)直線與的切點(diǎn)為，對函數(shù)求導(dǎo)可得，那么可以得到如下三個(gè)方程：，講后兩個(gè)方程代入到第一個(gè)方程中，得到，即，解得，從而斜率，根據(jù)分析可知，若要有三個(gè)交點(diǎn)，則斜率，故選D.8.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，在同一個(gè)坐標(biāo)系中，及的部分圖象如圖所示，則（ ）0.7-0.4-0.8Onan(Sn)78A.當(dāng)時(shí)，取得最大值B.當(dāng)時(shí)，取得最大值C.當(dāng)時(shí)，取得最小值D.當(dāng)時(shí)，取得最小值【分析】本題是綜合考察等差數(shù)列及其前項(xiàng)和性質(zhì)的問題，其中對邏輯推理的要求很高。首先，考生需要對于圖象中三個(gè)點(diǎn)具體表示的含義有做出具體詳盡的分析，三個(gè)點(diǎn)的含義是處理這個(gè)問題的前提和基礎(chǔ)，要分析清楚含義，考生要有有條理清晰的分析能力及較好的數(shù)列基礎(chǔ)。當(dāng)分析出三個(gè)點(diǎn)的含義之后，對于前項(xiàng)和的最值問題也存在兩種做法，第一種可以直接利用題目中點(diǎn)的坐標(biāo)完成數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，第二種方法就是直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行處理。本題的難度較高，對學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力提出了挑戰(zhàn)，十分符合北京高考的命題思路和方向，熟悉的知識(shí)點(diǎn)，但是給出了不同于以往的題目特征?！窘狻緼.首先分析圖象中三個(gè)點(diǎn)各自的含義，若橫坐標(biāo)為的點(diǎn)表示，那么的情況分為兩種：（1），在這種情況下，根據(jù)圖象可知，必然小于，但我們可以根據(jù)圖象發(fā)現(xiàn)，等差數(shù)列為單調(diào)遞減的，說明數(shù)列從第一項(xiàng)至第七項(xiàng)應(yīng)該都是大于的，那么前7項(xiàng)和，與圖象給出的信息矛盾，故不成立；（2），在這種情況下，根據(jù)圖象可以推理出前7項(xiàng)和，但是，說明數(shù)列單調(diào)遞增，且從第一項(xiàng)至第八項(xiàng)均小于，那么前7項(xiàng)和必然大于，又產(chǎn)生矛盾。說明橫坐標(biāo)為處的點(diǎn)表示的是數(shù)列的前8項(xiàng)和，此時(shí)需要分析橫坐標(biāo)為處的兩個(gè)點(diǎn)各自的含義，若，則，說明數(shù)列單調(diào)遞減，那么可知數(shù)列在第一項(xiàng)至第8項(xiàng)均為正數(shù)，那么，與圖象信息矛盾，故，可以解得，可知等差數(shù)列公差為，接下來可以有兩種基本思路去處理。方法一：直接求解數(shù)列通項(xiàng)，根據(jù)公差，解得，那么可以解得前項(xiàng)和的表達(dá)式為，可知其對稱軸，距它最近的整數(shù)為，故其在時(shí)取最大值，故選A.方法二：從前項(xiàng)和的最值性質(zhì)可以看出，數(shù)列本身正負(fù)發(fā)生改變的地方是產(chǎn)生最值的地方，根據(jù)分析可知，那么，可見，數(shù)列從第一項(xiàng)至第四項(xiàng)均是正數(shù)，此時(shí)前項(xiàng)和越加越大，最大值在第四項(xiàng)取到，故選A.二、填空題部分9.設(shè)復(fù)數(shù)，則 _.【分析】本題考察復(fù)數(shù)運(yùn)算中的模的運(yùn)算，雖然簡單，但是方法的選擇不同也會(huì)帶來不同的效果。復(fù)數(shù)的運(yùn)算在高考的考核中難度較低，通常是填選的前幾個(gè)基礎(chǔ)問題，重點(diǎn)在于掌握基本的運(yùn)算法則和復(fù)平面的理解。本題中模的運(yùn)算也可以有兩種手段，第一就是直接對復(fù)數(shù)進(jìn)行分母實(shí)數(shù)化處理，從而得到的形式，利用處理，第二種處理方法可以利用復(fù)數(shù)除法的性質(zhì)，即，以此直接求解。復(fù)數(shù)難度不大，掌握基本的方法可以直接求解，若要進(jìn)行最有效最快速的求解，還需對這部分的常見性質(zhì)有所掌握?！窘狻糠椒ㄒ唬菏紫冗M(jìn)行分母實(shí)數(shù)化處理，即，則，故填.方法二：根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算的除法性質(zhì)，可知，其中，故，故填.10.已知函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則實(shí)數(shù)的值是_.【分析】本題考察函數(shù)的基本性質(zhì)，本題處理的方法如果不同，那么本題側(cè)重的知識(shí)點(diǎn)就有所不同，但本質(zhì)上都是圍繞著函數(shù)的對稱性進(jìn)行問題的求解。第一種入手的方法就是從條件“關(guān)于軸對稱”入手，得知函數(shù)為偶函數(shù)，從而利用偶函數(shù)的代數(shù)性質(zhì)，進(jìn)行求解；另外一種處理手段是通過解析式對原始的圖象帶來的圖象變化入手可以解得問題，或者直接使用圖象變化的二級(jí)結(jié)論，即的圖象關(guān)于對稱，利用二級(jí)結(jié)論解決小題是最快的求解手段，而且，近幾年北京高考對于函數(shù)圖象變化的考核明顯增多，望考生在后續(xù)復(fù)習(xí)時(shí)加大關(guān)注力度?！窘狻糠椒ㄒ唬河捎诤瘮?shù)圖像關(guān)于軸對稱，那么函數(shù)為偶函數(shù)，那么，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，只有當(dāng)時(shí)，等式恒成立，故填.方法二：根據(jù)函數(shù)圖像的變化規(guī)律可知，函數(shù)，由函數(shù)得到，首先將函數(shù)關(guān)于軸進(jìn)行翻折，可以得到函數(shù)，此時(shí)函數(shù)關(guān)于軸對稱，再將圖象向左平移個(gè)單位得到，此時(shí)函數(shù)關(guān)于對稱，根據(jù)題目條件可知對稱軸為軸，故，故填.【注：此法結(jié)論可以當(dāng)作一個(gè)二級(jí)結(jié)論記下，在考試小題求解中直接使用】11._.【分析】本題考察基本的定積分運(yùn)算，難度不大，但同樣可以從兩個(gè)角度入手，其一就是常規(guī)的定積分運(yùn)算，其二就是利用定積分的幾何含義進(jìn)行分析【解】方法一：，故填.方法二：由于定積分性質(zhì)可知，對于奇函數(shù)，若積分對應(yīng)的區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對稱，那么積分的結(jié)果一定為（通過圖像也可以判別），故填.12.為凈化水質(zhì)，向一個(gè)游泳池加入某種化學(xué)藥品，加藥后池水中該藥品的濃度（單位：）隨時(shí)間（單位：）的變化關(guān)系為，則經(jīng)過_后池水中藥品的濃度達(dá)到最大?！痉治觥勘绢}直觀從題面看的話是一個(gè)函數(shù)應(yīng)用問題，但本質(zhì)上只是一個(gè)均值不等式的應(yīng)用問題，經(jīng)典的一次比二次的代數(shù)式最值求解，這種最值求解也經(jīng)常在解析幾何中的最值問題中出現(xiàn)。當(dāng)然，本題也可以理解為對勾函數(shù)的問題，但對勾函數(shù)的最值求解也可以用均值不等式求解。本題如果選擇求導(dǎo)找最值同樣可以，但是難度較大，不建議。【解】方法一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，其關(guān)系式，求導(dǎo)可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)遞增，當(dāng)，函數(shù)遞減，可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取最大值，故填.方法二：對于解析式，當(dāng)時(shí)取得最值，此時(shí)，故填.13.如圖所示，在中，為邊上的一點(diǎn)，且，若（），則_.【分析】本題考察向量的線性表示，屬于常規(guī)問題，難度適中，可以通過兩個(gè)思路去解決問題，第一，利用幾何關(guān)系處理問題，通過建立平行線尋找?guī)讉€(gè)向量的關(guān)系；第二，則可以使用向量之間的相互表達(dá)的手段去處理，或者直接使用共線定理（即：若共線，且，則）?！窘狻糠椒ㄒ唬河捎?，則，其中，那么可轉(zhuǎn)化為，可以得到，即，則，那么，故填.方法二：直接利用共線定理，則，則，則，那么，故填.方法三：利用幾何方法，如右圖所示構(gòu)造輔助線，做的三等分點(diǎn)，根據(jù)平行線等分定理則，在新構(gòu)造的中，又，那么，可以得到，則，那么，故填.14.已知函數(shù)（是常數(shù)，）的最小正周期為.設(shè)集合直線為曲線在點(diǎn)處的切線，.若集合中有且只有兩條直線相互垂直，則_；_.【分析】本題是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的考題，與往年14題的命題思路有些不同，重點(diǎn)放在了知識(shí)的綜合和深入理解上。題目利用三角函數(shù)為基本背景，以切線關(guān)系為橋梁，代數(shù)的數(shù)值關(guān)系為核心構(gòu)成的，同時(shí)利用集合的數(shù)學(xué)語言描述問題，內(nèi)容十分豐富。首先需要理解集合是一個(gè)切線集合，同時(shí)這個(gè)條件要特別注意，這說明集合是一個(gè)完整周期內(nèi)的全部切線，所以對于只影響左右位置的參數(shù)對于本題無關(guān)緊要。那么這道題目本質(zhì)就是在說，三角函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)只存在一組相互垂直的直線，要去求出參數(shù)的值，那么我們就要關(guān)注所有的切線斜率及其之間的關(guān)系，這個(gè)斜率構(gòu)成的集合中，只有兩個(gè)斜率乘積為即可?！窘狻坑捎诤瘮?shù)的周期為，則，可以解得，那么函數(shù)為，接下來求解函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的所有切線的斜率，由于可以取遍一個(gè)周期內(nèi)的所有的點(diǎn)，故的范圍為，則，那么集合中所有的直線斜率取值范圍為，那么要有在這個(gè)集合中只存在兩個(gè)數(shù)互為負(fù)倒數(shù)。對于區(qū)間而言，其負(fù)倒數(shù)的對應(yīng)區(qū)間為，若區(qū)間中有兩個(gè)值互為負(fù)倒數(shù)，則其與對應(yīng)的負(fù)倒數(shù)區(qū)間的交集中有且只有兩個(gè)元素，那么（或），解得，又，故.三、解答題部分15.已知函數(shù).（）求的值；（）求的單調(diào)遞增區(qū)間.【解】（）. （3分）（） （5分） . （9分） 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為， 由， （11分） 得. 所以 的單調(diào)遞增區(qū)間為. （13分）16.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列.（）求的通項(xiàng)公式；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和.【解】（）因?yàn)?成等差數(shù)列， 所以 . （2分） 設(shè)數(shù)列的公比為，由可得， （4分）即.解得：或（舍）. （5分） 所以 . （7分）（）由（）得：. 所以 （8分） （9分） . （13分）17.如圖所示，在四邊形中，且，.（）求的面積；（）若，求的長. 【解】（）因?yàn)?，所以 . （3分）因?yàn)?，所以 . （5分）因?yàn)?，所以 的面積. （7分）（）在中，.所以 . （9分）因?yàn)?， （11分） 所以 . 所以 . （13分）18.已知函數(shù).（）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（）若在區(qū)間上恒成立，求的最大值.【解】（）當(dāng)時(shí)，.，. （2分） 令. 因?yàn)?， 所以 . （3分） 所以 函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是. （4分） （）,.令，由，解得，（舍去）. （5分） 當(dāng)，即