高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)方程同步提高訓(xùn)練 新人教A版必修1.doc

3.1函數(shù)與方程（提高訓(xùn)練）1.已知函數(shù)=具有以下性質(zhì)：對任意實(shí)數(shù)，且時(shí)，滿足；對任意（1，+），總有.則方程=0根的情況是（ ）a.無實(shí)數(shù)根b.有兩個(gè)不等正根c.有兩個(gè)異號實(shí)根d.有兩個(gè)相等正根答案：c解析：（法一）本題由條件，知函數(shù)的對稱軸為x=1；由條件，知函數(shù)是凸函數(shù)，即a 0；再由函數(shù)的表達(dá)式，知的圖象過點(diǎn)（0，1）.根據(jù)這三點(diǎn)，可畫出函數(shù)的草圖，如下圖，發(fā)現(xiàn)函數(shù)與x軸交點(diǎn)的位置，可知=0有兩個(gè)異號實(shí)根，故應(yīng)選c。（法二）由條件，知函數(shù)f（x）的圖象開口向下，即a0.又由，可知=0有兩個(gè)異號實(shí)根，故應(yīng)選c。2.設(shè)，（其中a0，且a1）.（1）求的定義域；（2）求證：函數(shù)無零點(diǎn)。證明：要證的圖象與x軸無公共點(diǎn)，可假設(shè)它與x軸有公共點(diǎn)，用反證法去做.（1）即又，函數(shù)的定義域?yàn)閤|x.（2）假設(shè)有零點(diǎn)，則由=0得，=1.由此得p=1，這與已知條件中1p1矛盾，所以無零點(diǎn)。3.已知二次函數(shù)=和一次函數(shù)，其中，且。（1）求證：函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)；（2）求線段ab在x軸上的射影a1b1的長的取值范圍。證明：（1）需證方程組有兩組解，消去y得.=.由abc，a+b+c=0，得a0，c0.又0，故，即0。方程有兩個(gè)不同實(shí)根，即f（x），g（x）的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn).（2）設(shè)的兩根為x1，x2，則又b=（a+c），由abc，a+b+c=0，得a+2ca+b+c2a+c，2，即。4.求使函數(shù)有四個(gè)不同零點(diǎn)的最大正數(shù)k.解析：設(shè)，函數(shù)，在同一坐標(biāo)系中作出的圖象，注意到當(dāng)直線與在（1，2）中相切時(shí)，有三個(gè)解，當(dāng).聯(lián)立，設(shè)只有一個(gè)交點(diǎn)，即方程只有一個(gè)實(shí)根，=0.=0，。（時(shí)，y=mx與y=x2+3x2的切點(diǎn)在第三象限，與問題不符，故舍去）.17.2.當(dāng)與有四個(gè)不同的實(shí)根時(shí)，k應(yīng)滿足.所求的最大的正整數(shù)k的值為17。5.已知函數(shù)+ (a1),(1)求證:在上為增函數(shù);（2）求證當(dāng)時(shí)， +在（0，1）內(nèi)必有零點(diǎn)；解析：（1）可設(shè), =， 由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知： 當(dāng)a1時(shí)，在（-1，+）上單調(diào)遞增. 下面證明=在上單調(diào)遞增.設(shè)且， 則=-=-=. ， 在上單調(diào)遞增. 在上單調(diào)遞增. （2）由（1）可知：函數(shù)在上是增函數(shù). 又f(0)=30-2=-10,f(1)=31-=0,即，說明函數(shù)在區(qū)間（0，1）內(nèi)有零點(diǎn)，且只有一個(gè)。 6.設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足（1）當(dāng)時(shí)，求證：（2）設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，求證：。證明