高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何與空間向量 8.8 立體幾何中的向量方法(二)——求空間角和距離課件 理 新人教版.ppt

8 8立體幾何中的向量方法 二 求空間角和距離 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 課時(shí)作業(yè) 題型分類深度剖析 內(nèi)容索引 基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí) 設(shè)a b分別是兩異面直線l1 l2的方向向量 則 1 兩條異面直線所成角的求法 知識(shí)梳理 設(shè)直線l的方向向量為a 平面 的法向量為n 直線l與平面 所成的角為 a與n的夾角為 則sin cos 2 直線與平面所成角的求法 3 求二面角的大小 1 如圖 ab cd分別是二面角 l 的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線 則二面角的大小 2 如圖 n1 n2分別是二面角 l 的兩個(gè)半平面 的法向量 則二面角的大小 滿足 cos 二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角 或其補(bǔ)角 cos n1 n2 利用空間向量求距離 供選用 1 兩點(diǎn)間的距離設(shè)點(diǎn)a x1 y1 z1 點(diǎn)b x2 y2 z2 則 ab 2 點(diǎn)到平面的距離如圖所示 已知ab為平面 的一條斜線段 n為平面 的法向量 則b到平面 的距離為 判斷下列結(jié)論是否正確 請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打 或 1 兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角 2 直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角 3 兩個(gè)平面的法向量所成的角是這兩個(gè)平面所成的角 5 若二面角 a 的兩個(gè)半平面 的法向量n1 n2所成角為 則二面角 a 的大小是 1 2017 煙臺(tái)質(zhì)檢 已知兩平面的法向量分別為m 0 1 0 n 0 1 1 則兩平面所成的二面角為a 45 b 135 c 45 或135 d 90 考點(diǎn)自測(cè) 答案 解析 即 m n 45 兩平面所成的二面角為45 或180 45 135 2 已知向量m n分別是直線l和平面 的方向向量和法向量 若cos m n 則l與 所成的角為a 30 b 60 c 120 d 150 答案 解析 0 90 30 故選a 3 2016 鄭州模擬 如圖 在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱abc a1b1c1 ca cc1 2cb 則直線bc1與直線ab1所成角的余弦值為 答案 解析 設(shè)ca 2 則c 0 0 0 a 2 0 0 b 0 0 1 c1 0 2 0 b1 0 2 1 可得向量 2 2 1 0 2 1 由向量的夾角公式得cos 故選a 4 教材改編 如圖 正三棱柱 底面是正三角形的直棱柱 abc a1b1c1的底面邊長(zhǎng)為2 側(cè)棱長(zhǎng)為2 則ac1與側(cè)面abb1a1所成的角為 答案 解析 c1ad為ac1與平面abb1a1所成的角 5 p是二面角 ab 棱上的一點(diǎn) 分別在平面 上引射線pm pn 如果 bpm bpn 45 mpn 60 那么二面角 ab 的大小為 答案 解析 90 不妨設(shè)pm a pn b 如圖 作me ab于e nf ab于f epm fpn 45 二面角 ab 的大小為90 題型分類深度剖析 題型一求異面直線所成的角 例1 2015 課標(biāo)全國(guó) 如圖 四邊形abcd為菱形 abc 120 e f是平面abcd同一側(cè)的兩點(diǎn) be 平面abcd df 平面abcd be 2df ae ec 1 證明 平面aec 平面afc 證明 如圖所示 連接bd 設(shè)bd ac g 連接eg fg ef 在菱形abcd中 不妨設(shè)gb 1 由 abc 120 可得ag gc 由be 平面abcd ab bc 2 可知ae ec 又ae ec 所以eg 且eg ac 在直角梯形bdfe中 由bd 2 be df 可得ef 從而eg2 fg2 ef2 所以eg fg 又ac fg g 可得eg 平面afc 因?yàn)閑g 平面aec 所以平面aec 平面afc 2 求直線ae與直線cf所成角的余弦值 解答 所以直線ae與直線cf所成角的余弦值為 思維升華 用向量法求異面直線所成角的一般步驟 1 選擇三條兩兩垂直的直線建立空間直角坐標(biāo)系 2 確定異面直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo) 從而確定異面直線的方向向量 3 利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值 4 兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角余弦值的絕對(duì)值 跟蹤訓(xùn)練1如圖所示正方體abcd a b c d 已知點(diǎn)h在a b c d 的對(duì)角線b d 上 hda 60 求dh與cc 所成的角的大小 解答 如圖所示 以d為原點(diǎn) da為單位長(zhǎng)度 建立空間直角坐標(biāo)系dxyz 即dh與cc 所成的角為45 題型二求直線與平面所成的角 例2 2016 全國(guó)丙卷 如圖 四棱錐p abcd中 pa 底面abcd ad bc ab ad ac 3 pa bc 4 m為線段ad上一點(diǎn) am 2md n為pc的中點(diǎn) 1 證明mn 平面pab 證明 取bp的中點(diǎn)t 連接at tn 由n為pc中點(diǎn)知tn bc tn bc 2 又ad bc 故tn綊am 四邊形amnt為平行四邊形 于是mn at 因?yàn)閍t 平面pab mn 平面pab 所以mn 平面pab 2 求直線an與平面pmn所成角的正弦值 解答 取bc的中點(diǎn)e 連接ae 由ab ac得ae bc 以a為坐標(biāo)原點(diǎn) 的方向?yàn)閤軸正方向 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系axyz 由題意知 p 0 0 4 m 0 2 0 設(shè)n x y z 為平面pmn的法向量 則 思維升華 利用向量法求線面角的方法 1 分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量 轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角 或其補(bǔ)角 2 通過(guò)平面的法向量來(lái)求 即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角 取其余角就是斜線和平面所成的角 跟蹤訓(xùn)練2在平面四邊形abcd中 ab bd cd 1 ab bd cd bd 將 abd沿bd折起 使得平面abd 平面bcd 如圖所示 1 求證 ab cd 證明 平面abd 平面bcd 平面abd 平面bcd bd ab 平面abd ab bd ab 平面bcd 又cd 平面bcd ab cd 2 若m為ad中點(diǎn) 求直線ad與平面mbc所成角的正弦值 解答 過(guò)點(diǎn)b在平面bcd內(nèi)作be bd 如圖 由 1 知ab 平面bcd be 平面bcd bd 平面bcd ab be ab bd 以b為坐標(biāo)原點(diǎn) 分別以的方向?yàn)閤軸 y軸 z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系 依題意 得b 0 0 0 c 1 1 0 d 0 1 0 a 0 0 1 m 0 設(shè)平面mbc的法向量n x0 y0 z0 取z0 1 得平面mbc的一個(gè)法向量n 1 1 1 設(shè)直線ad與平面mbc所成角為 題型三求二面角 例3 2016 山東 在如圖所示的圓臺(tái)中 ac是下底面圓o的直徑 ef是上底面圓o 的直徑 fb是圓臺(tái)的一條母線 1 已知g h分別為ec fb的中點(diǎn) 求證 gh 平面abc 證明 設(shè)fc的中點(diǎn)為i 連接gi hi 在 cef中 因?yàn)辄c(diǎn)g是ce的中點(diǎn) 所以gi ef 又ef ob 所以gi ob 在 cfb中 因?yàn)閔是fb的中點(diǎn) 所以hi bc 又hi gi i 所以平面ghi 平面abc 因?yàn)間h 平面ghi 所以gh 平面abc 解答 連接oo 則oo 平面abc 又ab bc 且ac是圓o的直徑 所以bo ac 以o為坐標(biāo)原點(diǎn) 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系oxyz 設(shè)m x y z 是平面bcf的一個(gè)法向量 因?yàn)槠矫鎍bc的一個(gè)法向量n 0 0 1 思維升華 利用向量法計(jì)算二面角大小的常用方法 1 找法向量法 分別求出二面角的兩個(gè)半平面所在平面的法向量 然后通過(guò)兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小 但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的大小 2 找與棱垂直的方向向量法 分別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量 則這兩個(gè)向量的夾角的大小就是二面角的大小 跟蹤訓(xùn)練3 2016 天津 如圖 正方形abcd的中心為o 四邊形obef為矩形 平面obef 平面abcd 點(diǎn)g為ab的中點(diǎn) ab be 2 1 求證 eg 平面adf 證明 依題意 of 平面abcd 如圖 以o為原點(diǎn) 分別以的方向?yàn)閤軸 y軸 z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系 依題意可得 o 0 0 0 a 1 1 0 b 1 1 0 c 1 1 0 d 1 1 0 e 1 1 2 f 0 0 2 g 1 0 0 設(shè)n1 x1 y1 z1 為平面adf的法向量 2 求二面角o ef c的正弦值 解答 易證 1 1 0 為平面oef的一個(gè)法向量 依題意 1 1 0 1 1 2 設(shè)n2 x2 y2 z2 為平面cef的法向量 不妨取x2 1 可得n2 1 1 1 解答 題型四求空間距離 供選用 例4如圖 bcd與 mcd都是邊長(zhǎng)為2的正三角形 平面mcd 平面bcd ab 平面bcd ab 2 求點(diǎn)a到平面mbc的距離 解答 如圖 取cd的中點(diǎn)o 連接ob om 因?yàn)?bcd與 mcd均為正三角形 所以ob cd om cd 又平面mcd 平面bcd 所以mo 平面bcd 以o為坐標(biāo)原點(diǎn) 直線oc bo om分別為x軸 y軸 z軸 建立空間直角坐標(biāo)系oxyz 因?yàn)?bcd與 mcd都是邊長(zhǎng)為2的正三角形 設(shè)平面mbc的法向量為n x y z 思維升華 求點(diǎn)面距一般有以下三種方法 1 作點(diǎn)到面的垂線 點(diǎn)到垂足的距離即為點(diǎn)到平面的距離 2 等體積法 3 向量法 其中向量法在易建立空間直角坐標(biāo)系的規(guī)則圖形中較簡(jiǎn)便 跟蹤訓(xùn)練4 2016 四川成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考 如圖所示 在四棱錐p abcd中 側(cè)面pad 底面abcd 側(cè)棱pa pd pa pd 底面abcd為直角梯形 其中bc ad ab ad ab bc 1 o為ad中點(diǎn) 1 求直線pb與平面poc所成角的余弦值 解答 在 pad中 pa pd o為ad中點(diǎn) po ad 又 側(cè)面pad 底面abcd 平面pad 平面abcd ad po 平面pad po 平面abcd 在 pad中 pa pd pa pd ad 2 在直角梯形abcd中 o為ad的中點(diǎn) ab ad oc ad 以o為坐標(biāo)原點(diǎn) oc為x軸 od為y軸 op為z軸建立空間直角坐標(biāo)系 如圖所示 則p 0 0 1 a 0 1 0 b 1 1 0 c 1 0 0 d 0 1 0 1 1 1 易證oa 平面poc 0 1 0 為平面poc的法向量 2 求b點(diǎn)到平面pcd的距離 解答 1 1 1 設(shè)平面pcd的法向量為u x y z 取z 1 得u 1 1 1 解答 q 0 1 設(shè)平面caq的法向量為m x y z 取z 1 得m 1 1 1 平面cad的一個(gè)法向量為n 0 0 1 整理化簡(jiǎn) 得3 2 10 3 0 典例 12分 如圖 在四棱錐p abcd中 pa 底面abcd ad ab ab dc ad dc ap 2 ab 1 點(diǎn)e為棱pc的中點(diǎn) 1 證明 be dc 2 求直線be與平面pbd所成角的正弦值 3 若f為棱pc上一點(diǎn) 滿足bf ac 求二面角f ab p的余弦值 利用空間向量求解空間角 答題模板系列6 規(guī)范解答 答題模板 1 證明依題意 以點(diǎn)a為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖 可得b 1 0 0 c 2 2 0 d 0 2 0 p 0 0 2 1分 由e為棱pc的中點(diǎn) 得e 1 1 1 設(shè)n x y z 為平面pbd的一個(gè)法向量 可得n 2 1 1 因此 2 1 2 2 2 2 0 解得 設(shè)n1 x y z 為平面fab的一個(gè)法向量 不妨令z 1 可得n1 0 3 1 取平面abp的法向量n2 0 1 0 易知 二面角f ab p是銳角 返回 利用向量求空間角的步驟 第一步 建立空間直角坐標(biāo)系 第二步 確定點(diǎn)的坐標(biāo) 第三步 求向量 直線的方向向量 平面的法向量 坐標(biāo) 第四步 計(jì)算向量的夾角 或函數(shù)值 第五步 將向量夾角轉(zhuǎn)化為所求的空間角 第六步 反思回顧 查看關(guān)鍵點(diǎn) 易錯(cuò)點(diǎn)和答題規(guī)范 返回 課時(shí)作業(yè) 1 若直線l的方向向量與平面 的法向量的夾角等于120 則直線l與平面 所成的角等于a 120 b 60 c 30 d 60 或30 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 設(shè)直線l與平面 所成的角為 直線l與平面 的法向量的夾角為 則sin cos cos120 又 0 90 30 故選c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 2016 廣州模擬 二面角的棱上有a b兩點(diǎn) 直線ac bd分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi) 且都垂直于ab 已知ab 4 ac 6 bd 8 cd 2 則該二面角的大小為a 150 b 45 c 60 d 120 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 在正方體abcd a1b1c1d1中 點(diǎn)e為bb1的中點(diǎn) 則平面a1ed與平面abcd所成的銳二面角的余弦值為 答案 解析 以a為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系axyz 設(shè)棱長(zhǎng)為1 設(shè)平面a1ed的一個(gè)法向量為n1 1 y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 平面abcd的一個(gè)法向量為n2 0 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4 2016 長(zhǎng)春模擬 在三棱錐p abc中 pa 平面abc bac 90 d e f分別是棱ab bc cp的中點(diǎn) ab ac 1 pa 2 則直線pa與平面def所成角的正弦值為 答案 解析 以a為原點(diǎn) ab ac ap所在直線分別為x軸 y軸 z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 由ab ac 1 pa 2 設(shè)平面def的法向量為n x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 取z 1 則n 2 0 1 設(shè)直線pa與平面def所成的角為 直線pa與平面def所成角的正弦值為 故選c 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5 已知正四棱柱abcd a1b1c1d1中 ab 2 cc1 2 e為cc1的中點(diǎn) 則直線ac1到平面bde的距離為 答案 解析 以d為原點(diǎn) da dc dd1所在直線分別為x軸 y軸 z軸建立空間直角坐標(biāo)系 如圖 則d 0 0 0 a 2 0 0 b 2 2 0 c 0 2 0 c1 0 2 2 e 0 2 易知ac1 平面bde 設(shè)n x y z 是平面bde的法向量 取y 1 則n 1 1 為平面bde的一個(gè)法向量 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 又 2 0 0 點(diǎn)a到平面bde的距離是 故直線ac1到平面bde的距離為1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6 如圖所示 三棱柱abc a1b1c1的側(cè)棱長(zhǎng)為3 底面邊長(zhǎng)a1c1 b1c1 1 且 a1c1b1 90 d點(diǎn)在棱aa1上且ad 2da1 p點(diǎn)在棱c1c上 則的最小值為 答案 解析 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 則d 1 0 2 b1 0 1 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7 2016 合肥模擬 在長(zhǎng)方體abcd a1b1c1d1中 ab 2 bc aa1 1 則直線d1c1與平面a1bc1所成角的正弦值為 答案 解析 如圖 建立空間直角坐標(biāo)系dxyz 則d1 0 0 1 c1 0 2 1 a1 1 0 1 b 1 2 0 設(shè)平面a1bc1的一個(gè)法向量為n x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 設(shè)直線d1c1與平面a1bc1所成角為 則 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8 在正四棱柱abcd a1b1c1d1中 aa1 2ab 則直線cd與平面bdc1所成角的正弦值等于 答案 解析 以d為坐標(biāo)原點(diǎn) 建立空間直角坐標(biāo)系 如圖 設(shè)aa1 2ab 2 則d 0 0 0 c 0 1 0 b 1 1 0 c1 0 1 2 所以有令y 2 得平面bdc1的一個(gè)法向量為n 2 2 1 設(shè)cd與平面bdc1所成的角為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9 2016 石家莊模擬 已知點(diǎn)e f分別在正方體abcd a1b1c1d1的棱bb1 cc1上 且b1e 2eb cf 2fc1 則平面aef與平面abc所成的二面角的正切值為 答案 解析 如圖 建立空間直角坐標(biāo)系dxyz 設(shè)da 1 由已知條件得 設(shè)平面aef的法向量為n x y z 平面aef與平面abc所成的二面角為 由圖知 為銳角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 取平面abc的法向量為m 0 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 令y 1 z 3 x 1 則n 1 1 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10 2016 南昌模擬 如圖 1 在邊長(zhǎng)為4的菱形abcd中 dab 60 點(diǎn)e f分別是邊cd cb的中點(diǎn) ac ef o 沿ef將 cef翻折到 pef 連接pa pb pd 得到如圖 2 的五棱錐p abfed 且pb 1 求證 bd 平面poa 證明 點(diǎn)e f分別是邊cd cb的中點(diǎn) bd ef 菱形abcd的對(duì)角線互相垂直 bd ac ef ac ef ao ef po ao 平面poa po 平面poa ao po o ef 平面poa bd 平面poa 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 求二面角b ap o的正切值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 設(shè)ao bd h 連接bo dab 60 abd為等邊三角形 bd 4 bh 2 ha 2 ho po 在 pbo中 bo2 po2 10 pb2 po bo po ef ef bo o ef 平面bfed bo 平面bfed po 平面bfed 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 以o為原點(diǎn) of所在直線為x軸 ao所在直線為y軸 op所在直線為z軸 建立空間直角坐標(biāo)系oxyz 如圖所示 設(shè)平面pab的法向量為n x y z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 由 1 知平面pao的一個(gè)法向量為 2 0 0 設(shè)二面角b ap o的平面角為 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11 2016 四川 如圖 在四棱錐p abcd中 ad bc adc pab 90 bc cd ad e為棱ad的中點(diǎn) 異面直線pa與cd所成的角為90 1 在平面pab內(nèi)找一點(diǎn)m 使得直線cm 平面pbe 并說(shuō)明理由 解答 在梯形abcd中 ab與cd不平行 延長(zhǎng)ab dc 相交于點(diǎn)m m 平面pab 點(diǎn)m即為所求的一個(gè)點(diǎn) 理由如下 由已知 bc ed且bc ed 所以四邊形bcde是平行四邊形 從而cm eb 又eb 平面pbe cm 平面pbe 所以cm 平面pbe 說(shuō)明 延長(zhǎng)ap至點(diǎn)n 使得ap pn 則所找的點(diǎn)可以是直線mn上任意一點(diǎn) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 若二面角p cd a的大小為45 求直線pa與平面pce所成角的正弦值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 方法一由已知 cd pa cd ad pa ad a 所以cd 平面pad 從而cd pd 所以 pda是二面角p cd a的平面角 所以 pda 45 設(shè)bc 1 則在rt pad中 pa ad 2 過(guò)點(diǎn)a作ah ce 交ce的延長(zhǎng)線于點(diǎn)h 連接ph 易知pa 平面abcd 從而pa ce 且pa ah a 于是ce 平面pah 又ce 平面pce 所以平面pce 平面pah 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 過(guò)a作aq ph于q 則aq 平面pce 所以 aph是pa與平面pce所成的角 在rt aeh中 aeh 45 ae 1 方法二由已知 cd pa cd ad pa ad a 所以cd 平面pad 于是cd pd 1 2 3