北京高考近5年三角、數列考題.doc

2017數列（2017年文科數列1道大題）（2017年理科數列1小題、1大題）2017年北京高考文科第15題15. 已知等差數列 和等比數列 滿足 ，（1）求 的通項公式；（2）求和：15. （1） 等差數列 ，可得：，解得 ，所以 的通項公式：（2） 由（） 可得 ，等比數列 滿足 ，可得 （等比數列奇數項符號相同），所以 ， 是等比數列，公比為 ，首項為 ， 2017年北京高考理科第10題（10）若等差數列和等比數列滿足a1=b1=1，a4=b4=8，則=_.【答案】1【解析】2017年北京高考理科第20題20. 設 和 是兩個等差數列，記 ，其中 表示 ， 這 個數中最大的數（1）若 ，求 ， 的值，并證明 是等差數列；（2）證明：或者對任意正數 ，存在正整數 ，當 時，；或者存在正整數 ，使得 ， 是等差數列20. （1） ，當 時，當 時，當 時，下面證明：對 ，且 ，都有 ，當 ，且 時，則 由 ，且 ，則 ，則 ，因此，對 ，且 ，又 ，所以 對 均成立，所以數列 是等差數列（2） 設數列 和 的公差分別為 ，下面考慮 的取值，由 ，考慮其中任意 （，且 ），則 下面分 ， 三種情況進行討論，若 ，則 ，當 ，則對于給定的正整數 而言，此時 ，所以數列 是等差數列；當 ，則對于給定的正整數 而言，此時 ，所以數列 是等差數列；此時取 ，則 ，是等差數列，命題成立；若 ，則此時 為一個關于 的一次項系數為負數的一次函數，故必存在 ，使得 時，則當 時， 因此當 時，此時 ，故數列 從第 項開始為等差數列，命題成立；若 ，此時 為一個關于 的一次項系數為正數的一次函數，故必存在 ，使得 時，則當 時， 因此，當 時，此時 令 ，下面證明： 對任意正整數 ，存在正整數 ，使得 ，若 ，取 ， 表示不大于 的最大整數，當 時， 此時命題成立；若 ，取 ，當 時， 此時命題成立，因此對任意正數 ，存在正整數 ，使得當 時，；綜合以上三種情況，命題得證2017三角（2017文科一小題一大題）（2017理科一小題一大題）2017年北京高考文科第9題9. 在平面直角坐標系 中，角 與角 均以 為始邊，它們的終邊關于 軸對稱，若 ，則 9. 2017年北京高考文科第16題16. 已知函數 （1）求 的最小正周期；（2）求證：當 時，16. （1） 所以 ，所以 的最小正周期為 （2） 因為 ， 所以 ，所以 ，所以 2017年北京高考理科第12題（12）在平面直角坐標系xOy中，角與角均以Ox為始邊，它們的終邊關于y軸對稱.若，=_.【答案】【解析】2017年北京高考理科第15題（15）（本小題13分）在ABC中， =60，c=a.（）求sinC的值；（）若a=7，求ABC的面積.【答案】（1）根據正弦定理（2）當時，ABC中 2016數列（2016文科一大題）（2016理科一小題一大題）2016年北京高考文科第15題15. 已知 是等差數列， 是等比數列，且 ，（1）求 的通項公式；（2）設 ，求數列 的前 項和15. （1） 等比數列 的公比 ，所以 ，設等差數列 的公差為 因為 ，所以 ，即 所以 （2） 由（1）知，因此 從而數列 的前 項和 2016年北京高考理科第12題12. 已知 為等差數列， 為其前 項和，若 ，則 12. 【解析】 為等差數列，所以 ，解得 所以 2016年北京高考理科第20題20. 設數列 ：，如果對小于 的每個正整數 都有 ，則稱 是數列 的一個“ 時刻”記 是數列 的所有“ 時刻”組成的集合（1）對數列 ：，寫出 的所有元素；（2）證明：若數列 中存在 使得 ，則 ；（3）證明：若數列 滿足 ，則 的元素個數不小于 20. （1） 的元素為 和 （2） 因為存在 使得 ，所以 記 ，則 ，且對任意正整數 ，因此 從而 （3） 當 時，結論成立以下設 由（2）知 設 ，記 ，則 對 ，記 如果 ，取 ，則對任何 ，從而 且 又因為 是 中的最大元素，所以 從而對任意 ，特別地，對 ，因此 所以 因此 的元素個數 不小于 2016三角（2016文科一小題一大題）（2016理科一小題一大題）2016年北京高考文科第13題13. 在 中，則 13. 【解析】在 中，由正弦定理知 ，又 ，所以 ，解得 ，又 為銳角，所以 ，所以 2016年北京高考文科第16題16. 已知函數 的最小正周期為 （1）求 的值；（2）求 的單調遞增區(qū)間16. （1） 因為 ， .所以 （2） 由 可知 ， ， ， 所以單調遞增區(qū)間是 2016年北京高考理科第7題7. 將函數 圖象上的點 向左平移 個單位長度得到點 若 位于函數 的圖象上，則 A. ， 的最小值為 B. ， 的最小值為 C. ， 的最小值為 D. ， 的最小值為 7. A【解析】因為點 在 的圖象上，所以 點 向左平移 個單位長度得到 因為 在 的圖象上，所以 所以 ，所以 又 ，所以 2016年北京高考理科第15題15. 在 中，（1）求 的大??；（2）求 的最大值15. （1） 因為 ，所以 ，所以 （2） 在 中， 所以當 時， 的最大值為 2015數列（2015文科一大題）（2015理科一小題一大題）2015年北京高考文科第16題16. 已知等差數列 滿足 ，（1）求 的通項公式；（2）設等比數列 滿足 ，問： 與數列 的第幾項相等?16. （1） 設等差數列 的公差為 因為 ，所以 又因為 ，所以 ，故 所以 （）（2） 設等比數列 的公比為 ，因為 ，所以 ，所以 由 得 ，所以 與數列 的第 項相等2015年北京高考理科第6題6. 設 是等差數列，下列結論中正確的是 A. 若 ，則 B. 若 ，則 C. 若 ，則 D. 若 ，則 6. C【解析】數列 是等差數列，如數列 ，滿足 ，則 ；如數列 ，滿足 ，則 ；所以A，B不正確；對于等差數列 ，所以D不正確；等差數列若 ，則數列 是單調遞增數列，有 ，所以C正確2015年北京高考理科第20題20. 已知數列 滿足：，且 記集合 （1）若 ，寫出集合 的所有元素；（2）若集合 存在一個元素是 的倍數，證明： 的所有元素都是 的倍數；（3）求集合 的元素個數的最大值20. （1） ，（2） 因為集合 存在一個元素是 的倍數，所以不妨設 是 的倍數由 可歸納證明對任意 ， 是 的倍數如果 ，則 的所有元素都是 的倍數如果 ，因為 或 ，所以 是 的倍數，于是 是 的倍數類似可得 ， 都是 的倍數從而對任意 ， 是 的倍數，因此 的所有元素都是 的倍數綜上，若集合 存在一個元素是 的倍數，則 的所有元素都是 的倍數（3） 由 ， 可歸納證明 （）因為 是正整數， 所以 是 的倍數從而當 時， 是 的倍數如果 是 的倍數，由（2）知對所有正整數 ， 是 的倍數因此當 時，這時 的元素個數不超過 如果 不是 的倍數，由（2）知對所有正整數 ， 不是 的倍數因此當 時，這時 的元素個數不超過 當 時， 有 個元素綜上可知，集合 的元素個數的最大值為 2015三角（2015文科一小題一大題）（2015理科一小題一大題）2015年北京高考文科第11題11. 在 中，則 11. 2015年北京高考文科第15題15. 已知函數 （1）求 的最小正周期；（2）求 在區(qū)間 上的最小值15. （1） 因為 ，所以 的最小正周期為 （2） 因為 ，所以 當 ，即 時， 取得最小值所以 在區(qū)間 上的最小值為 2015年北京高考理科第12題12. 在 中，則 12. 【解析】因為 中，所以 ，所以 ，所以 2015年北京高考理科第15題15. 已知函數 （1）求 的最小正周期；（2）求 在區(qū)間 上的最小值15. （1） 由題意得 ，所以 的最小正周期為 （2） 因為 ，所以 當 ，即 時， 取得最小值所以 在區(qū)間 上的最小值為 2014數列（2014文科一大題）（2015理科兩小題一大題）2014年北京高考文科第15題15. 已知 是等差數列，滿足 ， ，數列 滿足 ， ，且 是等比數列（1）求數列 和 的通項公式；（2）求數列 的前 項和15. （1） 設等差數列 的公差為 ，由題意得： 所以 設等比數列 的公比為 ，由題意得： 解得 所以 從而 （2） 由（1）知， 數列 的前 項和為 ，數列 的前 項和為 所以數列 的前 項和為 2014年北京高考理科第5題5. 設 是公比為 的等比數列，則 “ ” 是 為遞增數列的 A. 充分且不必要條件B. 必要且不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件5. D2014年北京高考理科第12題12. 若等差數列 滿足 ，則當 時， 的前 項和最大12. 【解析】根據等差數列的性質，得 ，于是 ，即 ，故 為 的前 項和中的最大值2014年北京高考理科第20題20. 對于數對序列 ，記 ，其中 表示 和 兩個數中最大的數（1）對于數對序列 ，求 ， 的值；（2）記 為 四個數中最小值，對于由兩個數對 ， 組成的數對序列 ， 和 ，試分別對 和 時兩種情況比較 和 的大小；（3）在由 個數對 ， 組成的所有數對序列中，寫出一個數對序列 使 最小，并寫出 的值（只需寫出結論）20. （1） （2） 當 時，因為 是 中最小的數，所以 ，從而當 時，因為 是 中最小的數，所以 ，從而綜上，這兩種情況下都有 （3） 數對序列 （不唯一）對應的 最小，此時 2014三角（2014文科一小題一大題）（2014理科一小題一大題）2014年北京高考文科第12題12. 在 中，則 ； 12. ，2014年北京高考文科第16題16. 函數 的部分圖象如圖所示（1）寫出 的最小正周期及圖中 ， 的值；（2）求 在區(qū)間 上的最大值和最小值16. （1） 的最小正周期為 ，（2） 因為 ，所以于是，當 ，即 時， 取得最大值 ；當 ，即 時， 取得最小值 2014年北京高考理科第14題14. 設函數 （ ， 是常數， ）若 在區(qū)間 上具有單調性，且 ，則 的最小正周期為 14. 【解析】記 的最小正周期為 由題意知 ，又 ，且 ，可作出示意圖如圖所示（一種情況）： 所以 ， ，所以 ，所以 2014年北京高考理科第15題15. 如圖，在 中， ， ，點 在 上，且 ， （1）求 ；（2）求 的長15. （1） 因為 所以（2） 在 中 ， 即 解得 在 中， 所以 2013數列（2013文科一小題一大題）（2013理科一小題一大題）2013年北京高考文科第11題11. 若等比數列 滿足 ，則公比 ；前 項和 11. ，2013年北京高考文科第20題20. 給定數列 ，對 ，該數列前 項的最大值記為 ，后 項 ， 的最小值記為 ，（1）設數列 為 ，寫出 ， 的值；（2）設 ， 是公比大于 的等比數列，且 ，證明：， 是等比數列；（3）設 ， 是公差大于 的等差數列，且 ，證明：， 是等差數列20. （1） ，（2） 因為 ，公比 ，所以 ， 是遞增數列因此，對 ，故 ，因此， 且 ，即 ， 是等比數列（3） 設 為 ， 的公差對 ，因為 ，所以又因為 ，所以從而 ， 是遞增數列因此又因為所以因此 ，所以所以因此對 ， 都有即 ， 是等差數列2013年北京高考理科第10題10. 若等比數列 滿足 ，則公比 ；前 項和 10. ，2013年北京高考理科第20題20. 已知 是由非負整數組成的無窮數列，該數列前 項的最大值記為 ，第 項之后各項 的最小值記為 ，（1）若 為 ，是一個周期為 的數列（即對任意 ），寫出 的值；（2）設 是非負整數，證明： 的充分必要條件為 是公差為 的等差數列；（3）證明：若 ，則 的項只能是 或者 ，且有無窮多項為 20. （1） （2） （充分性）因為 是公差為 的等差數列，且 ，所以因此（必要性）因為 ，所以又因為 ，所以于是，因此即 是公差為 的等差數列（3） 因為 ，所以故對任意 假設 中存在大于 的項設 ，并且對任意 又因為 ，所以于是，故與 矛盾所以對于任意 ，有 ，即非負整數列 的各項只能為 或 因為對任意 ，所以 故因此對于任意正整數 ，存在 滿足 ，且 ，即數列 有無窮多項為 2013三角（2013文科一小題一大題）（2013理科一小題一大題）2013年北京高考文科第5題5. 在 中，則 A. B. C. D. 5. B【解析】由正弦定理： 及已知得 所以 2013年北京