解數(shù)學(xué)題的逆向思維.doc

發(fā)表于邵陽(yáng)學(xué)院學(xué)報(bào)自然科學(xué)版第一卷第二期解數(shù)學(xué)題的逆向思維賀 昉（邵陽(yáng)市一中，湖南，邵陽(yáng)，422000）摘要：運(yùn)用逆向思維方法，使一些較難解決的問(wèn)題迎刃而解，如這篇文章中涉及的三類問(wèn)題，其解法都比較巧妙。關(guān)鍵詞：逆向思維；均分法；迭代中圖分類號(hào)：B804.4；O141.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：AThe Inwerse Thinking Model for Solving Mathematical ProblemsHE Fang(The First Middle School of Shaoyang City,Shaoyang,Hunan,422000)Abstract: By using a iverse thinking method,some relatively difficulr problems can be readily solved.For example,the solution methods of three ex,problems repressuted in this paper are all ring.Keywords: Inverse thinking;equipartition method;successive substitution逆向思維是思維的一種方式，這種所謂是從要解決問(wèn)題的結(jié)論入手。在解決某些問(wèn)題時(shí)，這種思維別出心裁，相當(dāng)有效。比如，試求出一個(gè)四位數(shù)，使其等于它的4位數(shù)字之和的4次方，文1的解法就很特別，是運(yùn)用逆向思維的一個(gè)范例。下面將從幾個(gè)方面試用這種方法。1 從一個(gè)數(shù)學(xué)游戲談起例1 設(shè)有甲乙兩人對(duì)奕。游戲規(guī)則是：兩人輪流數(shù)出一組連續(xù)的自然數(shù)，至少數(shù)1個(gè)，至多可數(shù)10個(gè)，前面的人數(shù)到n停止，后面的人接著從n+1數(shù)起，誰(shuí)恰好數(shù)到100，就算勝利。試提供一種制勝方法。分析：如果用順向思維，設(shè)甲第一個(gè)數(shù)，從1開(kāi)始，數(shù)到某個(gè)數(shù)止住，那簡(jiǎn)直無(wú)從下手，因?yàn)樗荒茴A(yù)知乙怎么數(shù)。甲乙雙方都有一個(gè)最佳停止問(wèn)題。我們不妨用逆向思維，甲欲取勝，即最后一次由甲數(shù)到100。倒數(shù)第二次由乙數(shù)，倒數(shù)第三次由甲數(shù)，倒數(shù)第三次甲的最佳停止數(shù)是多少？不難看出這個(gè)最佳停止數(shù)是89，乙從90開(kāi)始，不管他數(shù)的個(gè)數(shù)還是連續(xù)數(shù)210個(gè)數(shù)，甲有把握數(shù)出100，這個(gè)89的來(lái)源是89=100-（1+10）=最終目的數(shù)-（最少數(shù)出數(shù)+最多數(shù)出數(shù)）。從此逆推，倒數(shù)第五次甲的最佳停止數(shù)是89-（1+10）=78繼續(xù)逆推，甲的最佳停止數(shù)依次是1，12，23，34，45，56，67，78，89。如果甲第一個(gè)數(shù)，依次在上述最佳停止數(shù)處停止，則無(wú)論乙怎么數(shù)，不論乙智商如何高，甲肯定取勝。但游戲規(guī)則是公平的，可能是乙先數(shù)，即使由甲先數(shù)，為了不曝露目標(biāo)，開(kāi)頭幾次，也不必在最佳停止處停止。制造假象，使乙摸不著頭緒，但接近目標(biāo)時(shí)，必須在最佳停止處停止。稍微變通一下，如果最少 5個(gè)，最多數(shù)10個(gè)，則最佳停止處為100-k（5+10）=100-15k（k=1，2，3，4，5，6），即最佳停止處依次為10，25，40，55，70，85。2 兩分法例2 假定甲心中確定一個(gè)1000以內(nèi)的自然數(shù)，由乙猜這個(gè)數(shù)，乙可提出若干問(wèn)話，甲只能以“是”，“否”作答，試為乙設(shè)計(jì)一種最佳方案，使乙提問(wèn)次數(shù)最少。方法：下面是乙與甲的對(duì)話：乙：（這個(gè)數(shù)）大于512？ 甲：否乙：大于256？ 甲：否乙：大于128？ 甲：是乙：大于192？ 甲：否乙：大于160？ 甲：否乙：大于144？ 甲：是乙：大于152？ 甲：是乙：大于156？ 甲：否乙：大于154？ 甲：是乙：大于155？ 甲：是如此回答10次，乙最后猜出該數(shù)是156。 方法的理論依據(jù)：因?yàn)?10=10241000，用二均分法將1024逐次二等分，這也是逆向思維的應(yīng)用，因?yàn)?191000000220，因此為了猜出一百萬(wàn)中的某數(shù)，只需要進(jìn)行20次問(wèn)話即可。 方法妙用：如果某財(cái)務(wù)部門(mén)的1000筆會(huì)計(jì)賬與現(xiàn)金賬的累計(jì)數(shù)不相符，不知差錯(cuò)在何處，為核查（假定只有一處差錯(cuò)），可采用如上的方法，先核對(duì)序號(hào)512的會(huì)計(jì)賬與現(xiàn)金賬，看累計(jì)數(shù)是否相符，如不相符，再核對(duì)序號(hào)216的兩種帳目 核查10次，即可把差錯(cuò)找到。3 計(jì)算非完全平方數(shù)的平方根 設(shè).分析 則有 （3.1） （3.1）的導(dǎo)出是逆向思維的運(yùn)用。 令 則（3.1）變?yōu)?我們運(yùn)用下述定理 定理3.1 若 則方程的一個(gè)根可用來(lái)逼近，這就是所謂逐次逼近法，證明從略。 關(guān)于迭代的深入研究，可參看2。 將定理3.1用于（3.1）式，并設(shè)m=2，就得下例。 例3 試求的近似值 解 （3.1）變?yōu)椋?取計(jì)算可為下簡(jiǎn)化： 設(shè)已有 于是 化小數(shù)點(diǎn)